立体几何专题(教师版)

立体几何专题

1．如图，AE ⊥平面ABC ，AE BD ∥，22AB BC CA BD AE =====，F 为CD 中点．

（1）求证：EF ⊥平面BCD ；

（2）求二面角C DE A --的正弦值； （3）求点A 到平面CDE 的距离．

【答案】（1）详见解析；（2） 6

arccos ；（3）22

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，由F ，G 分别为DC ，BC 中点，知//FG BD 且1

2

FG BD = ，又AE ∥BD 且1

2

AE BD =

，故AE ∥FG 且AE=FG ，由此能够证明EF ⊥平面BCD ．（Ⅱ）取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，则(

)

300C

，，，

()012D ，，，()011E -，，，()010A -，，， ()312CD =-，，，()021ED =，，

．求出面CDE 的法向量(

)

1312n =-，，，面ABDE 的

法向量()2100n =，，，由此能求出二面角C DE A --的大小．（Ⅲ）由面CDE 的法向量(

)

1312n =-，，，

()001AE =，，，利用向量法能求出点A 到平面CDE 的距离．

试题解析：解：⑴取BC 中点G 点，连接AG 、FG ，

∵F 、G 分别为DC 、BC 中点，∴FG BD ∥且12FG BD =，又AE BD ∥且1

2

AE BD =． ∴AE FG ∥且AE FG =，∴四边形EFGA 为平行四边形，则EF AG ∥， ∵AE ⊥平面ABC ，AE BD ∥，∴BD ⊥平面ABC ． 又∵DB ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，

∵G 为BC 中点，且AC AB =，∴AG BC ⊥，∴AG ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD ． ⑵取AB 的中点O 和DE 的中点H ，

分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系， 则()

300C

，，，()012D ，

，，()011E -，，，()010A -，，， (

)

312CD =-，，，()021ED =，，

， 设面CDE 的法向量()1n x y z =，，，

则1132020

n CD x y z n ED y z ⎧

⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(

)

1312n =-，，，

取面ABDE 的法向量()2100n =，，， 由()

()12122

2

212

3

6

cos 4

3

121

n n n n n n ⋅<>=

=

=

⋅+-+⨯，， 故二面角C DE A --的大小为6arccos 4

． ⑶由⑵，面CDE 的法向量(

)

1312n =

-，，，()001AE =，，

， 则点A 到平面CDE 的距离，12221||||22

23()()12

AE n d n =

==+-+⋅ ．.

考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面垂直的判定；3.与二面角有关的立体几何综合题；4.点、线、

面间的距离计算．

【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面

,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图

2）其中|

|||cos 2121n n n n ⋅⋅=

ω.

2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，

90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．

（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；

（2）若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小． 【答案】见解析

【解析】（1Q 2PA PD AD ===，1BC =，

∴PQ AD ⊥，QD BC ∥，∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴DC QB ∥，

∵底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥

，90ADC ∠=，∴BQ AD ⊥．（4分） 又BQ

PQ Q =，∴AD ⊥平面PQB ．

∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，

∴PQ ⊥底面ABCD ，

以Q 为原点，

QA 所在直线为x 轴，QB 所在直线为y 轴，QP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)Q ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -，(0,0,3)P .（6分）

设(,,)M a b c ，则

3

4PM PC =

，

即

333333(,,3)(3,3)(,4444a b c -=

-=--，

∴3

4a =-

，334b =，34c =

，∴333(,444M -，（8分）

∴

3333

(,444QM =-，(0,3,0)QB =， 设平面MQB 的法向量(,,)x y z =r ，则3333044430

QM x y z QB y ⎧⋅=-++=⎪

⎨

⎪⋅==⎩

r r ，

取1x =，得(1,0,3)=r ，易知平面BQC 的一个法向量(0,0,1)=n ． M BQ C --的平面角为θ(显然θ为锐角)，则

3

cos ||||2θ⋅=

=

⋅r n r n ，

∴

6θπ=

，

∴二面角M BQ C --的大小为6π

．（12分）