分式知识点整理

用心教育个性化辅导讲义

第十六章 分式知识点整理 1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15

x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132

x x ++； （2）2323x x +- 变式练习：已知2-=x 时，分式

a

x b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零，则____=+b a 。

例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．2

31x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134

x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （0≠C ）

例5.不改变分式的值，使分式115101139

x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。 例6.不改变分式2323523

x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式

例7.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y

-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例8.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m

-+- A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷

例9.通分：（1）

26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261

a - 例10.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 例11.已知x+1x

=3，求2421x x x ++的值．

4.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd

±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

例12.当分式

211x --21x +-11

x -的值等于零时，则x=_________。 例13。已知a+b=3，ab=1，则a b +b a

的值等于_______。 例14.计算：222x x x +--2144x x x --+。 例15.计算：2

1

x x --x-1 例16.先化简，再求值:

3a a --263a a a +-+3a ，其中a=32。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a

a 1=- （)0≠a

6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)

（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a

+•=； （2）幂的乘方：()m n mn a a

=;

（3）积的乘方：()n n n ab a b =； （4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；

（5）商的乘方：()n

n n a a b b

=；(b ≠0)

;a c ac a c a d ad b d bd b d b c bc •=÷=•=()n

n n a a b b =

7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题v v v 顺水水流静水＝＋、v v v 顺水水流静水＝-

例17.解方程。 (1)

623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）01152=+-+x x （4）x

x x 38741836---=- 例18.X 为何值时，代数式x x x x 231392---++的值等于2？ 例19.若方程1

22423=+-+x x 有增根，则增根应是（ ） 变式练习：已知分式方程x

k x --=+-22321有增根，则______=k ； 8.科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫

做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

例20.若2510

2=x ,则x -10等于( )。 A.51- B.51 C.50

1 D.6251 例21.若31=+-a a ,则22-+a a 等于( )。

A. 9

B. 1

C. 7

D. 11

例22.计算:(1)10123)326(34--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅- (2)()32

132----xy b a