人教版高二数学必修四知识点：平面向量
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
(word版)高中数学必修4平面向量知识点总结,文档
高中数学必修4平面向量知点一.向量的根本概念与根本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c⋯⋯来表示，或用有向段的起点与点的大写字母uuur uuurxiyj(x,y)表示，如：AB几何表示法AB，a；坐表示法a 向量的大小即向量的模〔uuur度〕，作|AB|即向量的大小，作｜a｜向量不能比大小，但向量的模可以比大小．②零向量：度0的向量，0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝r r由于0的方向是任意的，且定0平行于任何向量，故在有关向量平行〔共〕的中必看清楚是否有“非零向量〞个条件．〔注意与0的区〕③位向量：模1个位度的向量向量a0位向量｜a0｜＝1④平行向量〔共向量〕：方向相同或相反的非零向量任意一平行向量都可以移到同一直上方向相同或相反的向量，称平行向量作a∥b由于向量可以行任意的平移(即自由向量)，平行向量可以平移到同一直上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意取，在必区分清楚共向量中的“共〞与几何中的“共〞、的含，要理解好平行向量中的“平行〞与几何中的“平行〞是不一的．⑤相等向量：度相等且方向相同的向量相等向量平移后可以重合， a b大小相等，方向相x1x2同(x1,y1)(x2,y2)y1y2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r ruuur uuuruuurAB a,BC b，a+b=AB BC=AC〔1〕0a a0a；〔2〕向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法〞与“平行四形法〞：1〕用平行四形法，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量2〕三角形法的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向段就表示些向量的和；差向量是从减向量的点指向被减向量的点当两个向量的起点公共，用平行四形法；当两向量是首尾接，用三角形法．向量加法的三角形法可推广至多个向量相加：uuu r A Buuu r B Cuuur CDLuuu r PQuuu r QRuuur AR ，但这时必须“首尾相连〞． 3向量的减法 ①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：〔i 〕(a)=a ；(ii)a +(a)=( a )+a =0；(iii)假设a 、b 是互为相反向量，那么 a = b ,b = a ,a +b =0②向量减法：向量a加上b 的相反向量叫做 a 与b 的差，记作：a b a (b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：a b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量〔 a 、b 有共同起点〕实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：〔Ⅰ〕aa ；〔Ⅱ〕当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当 0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，a0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b = a平面向量的根本定理：如果e 1,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1,2使：a 1e 12e 2，其中不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底特别注意:1〕向量的加法与减法是互逆运算2〕相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件3〕向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情况4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的根本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出以下命题：rrrr①假设|a |＝|b |，那么a =b；uuur uuur②假设A ，B ，C ，D 是不共线的四点，那么AB DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；r r r r r r③假设a =b ，b =c ，那么a =c ，r r r r r r④a =b 的充要条件是 |a |=| b |且a // b ；r r r r r r⑤假设a //b ，b //c，那么a //c，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．uuu ruuur uuur uuur uuur uuur②正确．∵ABDC ，∴|AB||DC|且AB//DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，假设四边形ABCD 为平行四uuur uuu ruuuruuur边形，那么，AB// DC 且|AB||DC|，uuu r uuur因此，AB DC ．③正确．∵r r r ra =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；r r r r又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，r r r r∴a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝c ．r rr r r r r r r r ④不正确．当a // b 且方向相反时，即使| a |=| b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是r ra =b 的充要条件，而是必要不充分条件．r 不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的根本概念．向量的根本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：uuu r uuur uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur①ABBCCD，②DB AC BD③OAOCOBCOuuur uuur uuur uuur uuur uuur 解：①原式=(AB BC)CD AC CD AD②原式=③原式=uuur uuur uuur r uuur uuur (DB BD) AC 0 AC ACuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r uuur(OB OA) (OC CO)AB (OC CO)AB 0A Br rrrrrrrrr例3设非零向量a 、b不共线，c =k a +b ，d =a +k b(kR)，假设c ∥d ，试求krr 解：∵c∥d∴由向量共线的充要条件得：r rc=λd (λR)rrrrrrr即ka +b =λ(a +k b ) ∴(k λ)a+(1λk)b =0 r r又∵a 、b 不共线k1∴由平面向量的根本定理k1 k 0 二.平面向量的坐标表示r r1平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底由平面向量的根本定理知， rrr r r该平面内的任一向量a 可表示成axi yj ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，r r r因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关平面向量的坐标运算：rx 1,y 1 r x 2 ,y 2 r rx 1x 2,y 1 y 2(1) 假设a,b ，那么a b uuur (2) 假设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2，那么AB x 2 x,y 2 y11(3) r r x, y)假设a =(x,y)，那么a =(rrx 2 ,y 2r rx 1y 2 x 2y 1 0(4) 假设ax 1,y 1,b ，那么a//brrx 2 ,y 2 r rx 1 x 2 y 1y 2(5) 假设ax 1,y 1,b ，那么abrry 1y 20假设ab，那么x 1x 2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质运 几何方法坐标方法运算性质算类型向 1平行四边形法那么 rra b b a量 2三角形法那么ab(x 1x,y 21y)2的(a b) ca (bc)加法uuuruuur uuurABBC AC向 三角形法那么rraba(b)量ab(x 1x 2,y 1y 2)的减法uuur uuurAB BA uuur uuur uuurOB OA AB向 a 是一个向量,a(x,y)(a)()a量满足:的>0时, a 与a 同向;()aaa 乘<0时,a 与a 异向;法a =0(ab)a b=0时,a ∥bab向r ra?ba?bxx y 1y 2a?bb?a是一个数量1 2的0或(a)ba(b)(a b)数ab0???时,量 ab =0(a b)?ca?cb?c积?a 0且b0时,a 2 |a|2,|a|x 2y 2a?b| a || b |cos ab|a ? b||a||b|,r r r r r r r r r r 例1 向量a r (1,2),b (x,1),u a 2b ，v 2a b ，且u//v ，求实数x 的值r r r r r r r解：因为a (1,2),b (x,1),u a 2b ，v 2ab r (1,2)2(x,1) (2x 1,4) r2(1,2) (x,1) (2 x,3) 所以u ，vr r 又因为u//v所以3(2x1) 4(2 x) 0，即10x51解得x2AC 和OB 〔O 为坐标原点〕交点 P 的坐例2点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线标uuuruuur(x4,y)解：设P(x,y)，那么OP(x,y),AP因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上uuur uuur uuuruuu r即得OP//OB,AP//ACuuuruuur由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4)得方程组6(x 4) 2y4x 4y 0x 3解之得3y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积两个向量的数量积：r rr r rrab·=︱ ab两个非零向量 与，它们的夹角为 ，那么︱·︱ ︱cosr r r r 0叫做a 与b 的数量积〔或内积〕 规定0arr rrrab2向量的投影：︱b ︱cos=r∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|r rrr r3数量积的几何意义： 的长度与b 在 方向上的投影的乘积·等于4向量的模与平方的关系： r r r 2r 2a a a|a|5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2r a b a b ab a r r 2 r 2 r r r 2 r a ba2ab ba 23 r 2 b ；2 r r r 22abb平面向量数量积的运算律：①交换律成立： r r r ra b b a②对实数的结合律成立：r r r rr r Ra bab a br r r rr r r r r r③分配律成立：a b c ac b c c ab特别注意：〔1〕结合律不成立：r r rr rra b ca b c；〔2〕消去律不成立r r r rr rab a c不能得到b crrr rr r〔3〕ab =0不能得到a = 0 或b = 0两个向量的数量积的坐标运算：rrr r x 1x 2 y 1y 2两个向量，那么a ·=8向量的夹角：两个非零向量rruuurruuurr〔0 0180 0a 与b ，作OA =a ,OB =b ,那么∠AOB=〕叫做r r向量a 与b 的夹角rrr r x 1x 2 y 1y 2a?bcos=cosa,br r = 2 2 2 y 2 2a ?b x 1 y 1 x 2当且仅当两个非零向量r r r rr 与其它任何非a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0 零向量之间不谈夹角这一问题rr的夹角为90 0rrrr9垂直：如果a 与 b 那么称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥ba ·b ＝Ox 1x 2 y 1y 20 平面向量数量积的性质例1判断以下各命题正确与否：rr r 0；〔1〕0a 0；〔2〕0ar r r r r r r〔3〕假设a 0,abac ，那么b c ；r rr r r rr r时成立；⑷假设ab a c ，那么 b c 当且仅当ar r r r r r r r r〔5〕(a b)c a (b c) 对任意a,b,c 向量都成立；rr 2 r 2〔6〕对任意向量a ，有aa解：⑴错； ⑵对；⑶错；⑷错；⑸错；⑹对例2两单位向量r r 0 r r rr r rr r a 与b 的夹角为120 ，假设c 2a b,d 3b a ，试求c 与d 的夹角解：由题意， r r r r 120，a b 1，且a 与b 的夹角为r r r r 0 1 ，所以，ab abcos120 2r 2 rr r r r rr 2 r r r 2 7，Qcc c (2a b)(2a b) 4a 4ab br 7c，r 13同理可得dr rr rr rrrr 2r 217，而cd (2a b)(3ba)7ab 3b 2a2r设为c 与d 的夹角，那么cos2 17 17 91 arccos17917 13 182182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3r 4,3 r1,2 ， r rr rrr的值a，b m a b,n 2ab ，按以下条件求实数rr r r r r 〔1〕m n ；〔2〕m//n ；(3)m nr r r 4 ,3 2, r r r7,8解：m a b n 2a br r 47328052〔1〕mn；9r r4832701；〔2〕m//n2r r42322722524880(3)m n8 2115点评：此例展示了向量在坐标形式下的根本运算。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
高中数学有关平面向量知识点总结概括
高中数学有关平面向量知识点总结概括高中数学平面向量的知识点总结概括如下：1. 平面向量的定义：平面上两点之间的有向线段。
2. 平面向量的表示法：用向量符号a或者AB来表示。
3. 平面向量的运算：- 平面向量的加法：向量a+b的结果是用起点为a的点与起点为b的点之间的有向线段所代表的向量。
- 平面向量的数乘：向量ka的结果是起点相同且方向与a相同或相反的线段，但其长度为ka倍。
- 平面向量的减法：向量a-b可以表示为a+(-b)，其中-（b）表示b的反向量。
4. 平面向量的基本性质：- 平面上任意两个向量的和和差与其起点无关，即将平移后的向量的运算结果与平移前的向量的运算结果相同。
- 向量的交换律：a+b=b+a- 向量的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)- 数乘的结合律：k(la)=(kl)a- 数乘的分配律：(k+l)a=ka+la- 零向量的性质：任何向量与零向量的和等于该向量本身。
5. 平面向量的数量积：- 数量积的定义：向量a与向量b的数量积a·b等于a、b的模的乘积和它们的夹角的余弦值的乘积。
- 数量积的计算公式：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。
6. 平面向量的性质：- 数量积与夹角的关系：a·b=0当且仅当a与b垂直，即a与b的夹角为90度。
- 数量积的交换律：a·b=b·a- 数量积的结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)- 非零向量的性质：若a·b=0，则a、b中至少有一个为零向量。
7. 平面向量的向量积：- 向量积的定义：向量a与向量b的向量积a×b等于a、b的模的乘积和它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于a、b所在平面，符合右手定则。
- 向量积的计算公式：|a×b|=|a||b|sinθn，其中θ为a和b的夹角，n为单位法向量。
8. 平面向量的性质：- 向量积与夹角的关系：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b的夹角。
必修4-平面向量知识点总结
必修4-平面向量知识点总结平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示。
需要注意的是，向量可以平移，因此不能简单地将向量等同于有向线段。
举例1：已知A(1,2)，B(4,2)，将向量AB按照向量a=(-1,3)平移后得到的向量是(3,0)。
2.零向量是长度为0的向量，记作0.零向量的方向是任意的。
3.单位向量是长度为1的向量。
与AB共线的单位向量是±AB/|AB|。
4.相等向量是长度相等且方向相同的两个向量。
相等向量具有传递性。
5.平行向量（也叫共线向量）是方向相同或相反的非零向量a、b。
记作a∥b。
需要注意的是，零向量和任何向量都是平行的。
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的概念。
两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性（因为有例外）；④三点A、B、C共线⇔ AB、AC共线。
6.相反向量是长度相等方向相反的向量。
a的相反向量记作-a。
举例2：以下命题中，正确的是(4)和(5)。
1) 若|a|=|b|，则a=b。
2) 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
3) 若AB=DC，则ABCD是平行四边形。
4) 若ABCD是平行四边形，则AB=DC。
5) 若a=b，b=c，则a=c。
6) 若a//b，b//c，则a//c。
二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB。
需要注意的是，起点在前，终点在后。
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a、b、c 等。
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，那么平面内的任一向量a都可以表示为a=x*i+y*j=(x,y)。
(x,y)称为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。
需要注意的是，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中平面向量知识点归纳总结人教版
高中平面向量知识点归纳总结如下：一、向量的概念与表示向量的定义：向量是一个既有大小又有方向的量，通常用一条有向线段表示。
向量的表示方法：在数学中，我们用有向线段来表示向量，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的模长。
二、向量的基本运算向量的加法：向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的减法：向量减法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的数乘：一个数与一个向量的乘积是一个向量，其模长等于这个数乘以原向量的模长，方向与原向量相反（负数）。
向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，等于两个向量的模长乘以它们的夹角余弦值。
向量的模长：一个向量的模长等于该向量的长度，用数学符号表示为：|a| = √(x² + y²)。
三、向量的坐标表示平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，我们用(x, y)表示一个点的位置。
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，一个向量的坐标表示可以看作是从起点到终点的有向线段。
向量的起点坐标减去终点坐标得到该向量的有向线段的斜率，即该向量的方向角。
向量加法的坐标表示：两个向量的和的坐标等于它们的坐标之和。
向量减法的坐标表示：两个向量的差的坐标等于它们的坐标之差。
向量数乘的坐标表示：一个数与一个向量的乘积的坐标等于这个数乘以该向量的每个分量的坐标。
向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们的分量的乘积之和再乘以它们的夹角余弦值。
向量模长的坐标表示：一个向量的模长等于该向量的每个分量的平方和的平方根。
四、特殊向量及其性质零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量，记作e。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量叫做平行向量，记作a//b。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b。
对角线向量：从一条直线的中点引出一条与这条直线夹角为θ的射线所得到的向量叫做对角线向量，记作a(θ)。
正交向量：如果两个向量的模长为1且夹角为90°，则这两个向量叫做正交向量，记作a⊥b。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立： ()()2222a b a b a ba b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角 cos θ=cos ,a ba b a b •<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。
字母表示：用小写字母a、b、c等表示。
2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。
模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。
3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。
零向量的方向是任意的。
4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。
对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。
例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。
5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
若向量a与b平行，记作a。
例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。
6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。
平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。
结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。
向量减法的定义：ab=a+(b)。
其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。
(完整版)数学必修4-第二章-平面向量知识点,推荐文档
形法则”
① 三量角b 的形终法点则指：向当被a,减b 有向共量同a起的点终时点，的向a 量b 表。示为从减向
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图
所示的对角线。设
AB
a,
AC
b
则
a
-
b
=
AB
AC
CB
.
3.实数与向量的积
（1）
定义：实数
λ
与向量
a
的积是一个向量，记作
4.平面向量的坐标运算：
①若
a
( x1 ,
y1
),
b
( x2
,
y2
)
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
；
②若
Ax1 ,
y1
,
Bx2
,
y2
，则
AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若
a
=(x,y)，则
a
=(
x,
y)；
④若
a
( x1 ,
y1 ), b
(x2 ,
y2
)
，则
a
//
b
x1 y2
x2
y1
1.平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
λ1，λ2
使
a
=λ1
e1
+λ2
e2
.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
数学必修四第二章平面向量知识点
数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。
2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。
3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。
4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。
5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。
6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。
7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。
8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。
9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。
10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。
11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。
12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。
13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。
14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。
15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。
这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。
高中数学人教版必修四第二章平面向量的线性运算
A、AD 1 AB 4 AC 33
C、AD 4 AB 1 AC 33
B、AD
1 3
AB
Байду номын сангаас
4 3
AC
D、AD 4 AB 1 AC 33
M A
B
C
D
N
AD AM AN 1 AB 4 AC 33
变式1：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点， 则 OA OB OC OD 等于（ ）
自我检测：
4、在平行四边形 ABCD中，AB AD AB AD ， 则必有（ C ）
A. AD 0 B. 四边形 ABCD是菱形 C. 四边形 ABCD是矩形 D. 四边形 ABCD是正方形
1、平面向量的线性运算及基本定理的应用
例1 （2015全国）设 D 为 ABC 所在平面内一点，
BC 3CD，则（ ）
BM _____53____ AB
MB 3
自我检测：
3、设 e1、e2 是两个不共线的向量，则下列各组
向量中，不能作为该平面内所有向量的一组基 底的是___(_2_)__(4_)____.
(1)3e1,2e2
(2)0,e1 e2
(3)e1 e2 ,e1 e2 (4)e1 2e2,2e1 4e2
问题1：我们已经学习过向量的哪些运算？ 它们的运算结果是什么？
加法、减法、数乘三种运算 线性运算的结果都是向量. 共线向量定理：
向量a(a 0) 与 b 共线，当且仅当存在唯
一实数 ，使__b_____a__.
平面向量基本定理：
设 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于该平面内的任意向量 a ，有且只有
人教版数学必修四2.3.1平面向量基本定理及坐标表示
则
对于该平面内的任一向量 a ，
j o iB
x
有且只有一对实数x、y，可使
a xi +y j
这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，
记作
a (x, y)①来自①式叫做向量的坐标表示。
向量的坐标表示:
y
a
j
o
i
a xi y j
(1 )i _(1_,0_)_; ( 2 ) j _(0_,_1)_; ( 3 )0 _(0_,_0_) .
x
a ( x, y )
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a、b 、c 、d ，并 求出它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
• 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
一、平面向量基本定理:
e e 如果
1、
是同一平面内的两个不共线
2
a 向量，那么对于这一平面内的任一向量
有且只有一对实数 1 、2 , 使
a 1e1 2e2
e e 我们把不共线的向量 、 叫做表示 12
这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量基本定理:
向量的正交分解。
探索1: 以O为起点， （ P 3，2）为终点的向量
能否用坐标表示？如何表示？
y
P（3，2）
a
o
x
我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量作为基底。
4
3
P（3，2）
2
2j 1 j
-2
2
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
人教版高中数学必修四《平面向量基本定理》课件
B M A O
观察：上述三个向量等式中的 向量的系数，你能得出什么结 论？这个结论对于直线AB上的 任意一点P都适用吗？
T
例 2已知A、B是直线l上确定两点，O为直线外一点,
求证：对于直线l上任意一点P，存在实数t，使 OP 关于基底 ｛OA, OB｝的分解式为 OP (1 t )OA tOB ① 并且，满足①式的点P一定在l上
B
M O B H M O A
OM =
OA, OB}的分解式 2.如右图，点H为线段MB的中点，求 OH 关于基底｛
1 1 OA + OB 2 2
A
OH =
1 3 OA + OB 4 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3.如右图，点T在直线l上且MA=AT,求 OT 关于基底｛ OA, OB }的分解式
3 1 OT = OA - OB 2 2
平面向量基本定理
（1）向量的线性运算有哪些？向量的加法法
复习:
则有哪些？
（2）平行向量基本定理 向量 a 与非零向量 b 共线
存在唯一一个实数 λ ， 使得 a =λ b.
引入:
探究一：任意给定一个向量 a ,是否可以用 “一个”已知的非零向量 来表示呢？ b 探究二：平面内任意给定一个向量 a ，是否 能够用“两个”平行向量 e1 , e2 来表示？
② a1e1 +a2 e2 叫做向量
a
关于基底
{ e } 的分解式。 1 , e2
定理深化
判断正误： （1）平面内任意两个向量都可以作为基底（ × ） （2）平面内的一组基底可以表示出这个平面内的所有向 量， 包括零向量（√ ） （3）一个平面内只有一对不共线的向量可以作为基底（ ×） （4）零向量不可以作为基底中的向量（ √ ）
高二数学必修4平面向量复习要点梳理
高二数学必修4平面向量复习要点梳理数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺为大家整理的高二数学必修4平面向量复习要点梳理，仅供参考，大家一起来看看吧。
高二数学必修4平面向量复习要点梳理1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个)坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q=时投影为当q=180时投影为-|b|，称为向量b在a方向上的投影；投影的绝对值称为射影。
高二数学必修4平面向量复习要点梳理2【考纲解读】1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的`运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义;3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;4.两个向量夹角的范围是:[0,π]5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.高二数学必修4平面向量复习要点梳理31.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a||b|cos 叫做a 和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a||b|cos ，规定0a=0.2.向量数量积的运算律(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bc[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立.(1)ab=ac，则b=c吗?(2)(ab)c=a(bc)吗?提示：(1)不一定，a=0时不成立，另外a0时，ab=ac.由数量积概念可知b与c不能确定;(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c 不共线时它们必不相等.【高二数学必修4平面向量复习要点梳理】。
数学必修四第二章平面向量知识点
数学必修四第二章平面向量知识点数学必修四第二章平面向量知识点在年少学习的日子里，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
想要一份整理好的知识点吗？以下是店铺帮大家整理的数学必修四第二章平面向量知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
1、平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的.相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2、平面向量运算加法与减法的代数运算：（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a b=（x1+x2，y1+y2）。
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律：+ = +（交换律）；+（+c）=（+）+c （结合律）；实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
（1）| |=| |·| |；（2）当a>0时，与a的方向相同；当a<0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0。
两个向量共线的充要条件：（1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= 。
（2）若=（），b=（）则‖b 。
3、平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。
高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基baCBAa b C C -=A -AB =B底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
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高二重点解决三个问题一,吃透课本;二，找寻适合自己的学习方 法；三，总结自己考试技巧，形成习惯。
为了帮助你的学习更上一层楼， 2．加法与减法的代数运算 1 若=1,1,=2,2 则=1+2,1+2． 向量加法与减法的几何表示平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律＋=＋交换律;++=++结合律; 3．实数与向量的积实数与向量的积是一个向量。
1｜｜=｜｜·｜｜; 2 当＞0 时，与的方向相同；当＜0 时，与的方向相反；当=0 时， =0． 两个向量共线的充要条件 1 向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得=． 2 若=,=则‖． 平面向量基本定理 若 1、2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量，有且只有一对实数，，使得=1+2． 4．分有向线段所成的比 设 1、2 是直线上两个点，点是上不同于 1、2 的任意一点，则存 在一个实数使=，叫做点分有向线段所成的比。
当点在线段上时，＞0；当点在线段或的延长线上时，＜0； 分点坐标公式若=；的坐标分别为,,；则≠－1，中点坐标公式．
5．向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量与，作=,=,则∠=叫做向量与的夹角。
2．两个向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=｜｜·｜｜． 其中｜｜称为向量在方向上的投影． 3．向量的数量积的性质 若=,=则·=·=｜｜为单位向量; ⊥·=0，为非零向量;｜｜=; ==． 4．向量的数量积的运算律 ·=·;·=·=·;＋·=·+·． 6 主要思想与方法 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用 代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运 用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向 量的夹角，判断两向量是否垂直等。
由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
【人教版高二数学必修四知识点平面向量】
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