2018版高中数学人教版a版必修一学案：第三单元 章末复习课 含答案
【人教A版】2018版高中数学必修一精品学案全集(含答案)
§2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x，1123 y＝x，y ＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念α一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) 4－(1)函数y＝x是幂函数．( ) 5x－(2)函数y＝2是幂函数．( ) 12 (3)函数y＝－x是幂函数．( ) 45 －提示(1)√ 函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数；x－(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2不是幂函数； 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：1231－幂函数 y＝x y＝x y＝x y＝x 2 y＝x (－∞，0)∪定义域 [0，＋∞) R R R (0，＋∞) *0，＋∞) 值域 [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0，＋∞)，增增单调性增增 x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0]，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)＝x，则f(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数33－－(2)3.17与3.71的大小关系为________．解析(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．13－(2)易知f(x)＝x＝在(0，＋∞)上是减函数，又 3.17<3.71，所以f(3.17)>f(3.71)，即3.173x33－－>3.71. 33－－答案(1)A (2)3.17>3.71 题型一幂函数的概念222－【例1】(1)在函数y＝x，y＝2x，y＝(x＋1)，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2m(2)若f(x)＝(m－4m－4)x是幂函数，则m＝________. 2－解析(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x是幂函数，所以选B．22(2)因为f(x)是幂函数，所以m－4m－4＝1，即m－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案(1)B (2)5或－1 规律方法判断函数为幂函数的方法α(1)只有形如y＝x(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．α(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝x(α为常数)的形式，函数的解α析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)，ααy＝2x，y＝x＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 1 【训练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________． 2ααα解析设f(x)＝x，因为f(4)＝3f(2)，∴4＝3×2，解得：α＝log3，2232111 ∴f＝log3＝. 21答案3题型二幂函数的图象及应用 1n【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象，已知n取±2，±2四个值，则相应于C，C，C，C的n依次为( ) 1234 1111A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 22221111 D．2，C．－，－2,2，，－2，－22221 －2，－分别在幂函数f(x)，(2)点(2，2)与点g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有： 2①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．nn(1)解析根据幂函数y＝x的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y ＝x递增1速度越快，故C的n＝2，C的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C的n＝12321－，曲线C的n ＝－2，故选B．42答案B 1αβαβ2(2)解设f(x)＝x，g(x)＝x.∵(2)＝2，(－2)＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x，g(x)21－＝x.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于1213 －y＝x或y＝x或y＝x)来判断．m n* 【训练2】如图是函数y＝x (m，n∈N，m，n互质)的图象，则( ) mA．m，n是奇数，且<1 nmB．m是偶数，n是奇数，且>1 nmC．m是偶数，n是奇数，且<1 nmD．m 是奇数，n是偶数，且>1 n m n解析由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x m m n ∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1. n答案C 典例迁移题型三利用幂函数的性质比较大小【例3】比较0.30.311－－下列各组数中两个数的大小：2123－－与. (1)与；(2)53350.3解(1)因为幂函数y＝x0.30.3又>，所以>.在(0，＋∞)上是单调递增的，212153531－(2)因为幂函数y＝x在(－∞，0)上是单调递减的，2323 11－－－－>. 又－<－，所以 353521 0.30.3－【迁移1】(变换条件)若将例1(1)中的两53如何？数换为“与”，则二者的大小关系1 0.30.30.3－解因为＝3，而y＝x在(0，＋∞)上是单调递增的， 32212 0.30.30.30.3－又<3，所以<3.即<.553522 50.3 ”，则二者的大小关系【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“与0.3 5如何？22222 5x0.3 >，又因为函数y解因为y＝在(0，＋∞)为上减函数，又2155552222222 55550.3 0.3<，所以＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>0.3，所以>0.3，所以>0.3.555规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训与；(2)练3】比较下列各组数的大小：23 0.50.533(1)－3.14与－π； 353113 42 (3)与.解(1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数且＞，24230.5∵y＝x是R上的增函3523 0.50.5∴＞. 353(2)数，且 3.14＜π，3333∴3.14＜π，∴－3.14＞－π. 3111142x (3)∵y＝是R上的减函数，∴＜.＝x是[0，＋∞)上的增函数，2221y4222 .∴＞. ∴＞2311131314242课堂达标1 4，，则f(2)＝( ) 1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点 212A．B．4 C． D．2 421111 2αα －4，，解析设幂函数为y＝x，∵幂函数的图象经过点∴＝4，∴α＝－，∴y＝x， 22212 2 －∴f(2)＝2＝，故选C． 2答案C 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是() 11523233 －A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x解析A中定义域值域都是R；B中定义域值域都是(0，＋∞)；C中定义域值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．答案D 1 a－1，1，，33．设a∈，则使函数y＝x的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是() 2 A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 1－解析当a＝－1时，y＝x的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的11 2 定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当23a＝3时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数．故选A．答案A 1 3 4．函数y＝x的图象是() 1 3 解析显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数．同时由当0<x<1时，x>x，1 3 当x>1时，x<x. 答案B 5．比较下列各组数的大小：7722π12 8833 －－－－－(1)－8与－；(2)与.9367777711111 88888 －解(1)－8＝－，函数y＝x在88989771 88 －从而－8<－. (0，＋∞)上为增函数，又>，则>.9222222ππ224333333 －－－－－－－－＝＝，＝.因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减(2)33666函数，22π2π4 33 －－－－<. 又>，所以 3666课堂小结α1．幂函数y＝x的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．§2.1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点)．预习教材P49－P53，完成下面问题：知识点1 根式1．n次方根n*(1)定义：一般地，如果x＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N. (2)个数：a>0 x>0 n n是奇数 x 仅有一个值，记为a a<0 x<0n a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±a n是偶数a<0 x不存在 2．根式n(1)定义：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．a，n为奇数 nnnn*(2)性质：(a)＝a，a＝(其中n>1且n∈N)． |a|，n为偶数 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)()*nn(1)当n∈N时，都有意义．( ) －16(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) nn (3)a＝a.( ) ()nn提示(1)× 当n是偶数时，没有意义；－16(2)× 负数没有偶次方根；nn(3)× 当n为偶数，且a<0时，a＝－a. 知识点2 指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义m分正分数指数幂nnm* 规定：a＝a(a>0，m，n∈N，且n>1) 数m11n* －指规定：a＝＝(a>0，m，n∈N，且n>1) 负分数指数幂m n nm aa数0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义幂 2．有理数指数幂的运算性质rsrs＋(1)aa＝a(a>0，r，s∈Q)．rsrs(2)(a)＝a(a>0，r，s∈Q)．rrr(3)(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂α一般地，无理数指数幂a(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【预习评价】11 201 －2的结果为( ) 计算：(π－3)＋3× 437A． B．22。
【人教A版】高中数学必修一：第3章《函数的应用》导学案设计(含答案)
知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)
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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示 课件 课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 课件
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2017-2018学年高一数学必修1全册同步课时作业含解析【人教A版】
2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业目录1.1.1-1集合与函数概念1.1.1-2集合的含义与表示1.1.1-3集合的含义与表示1.1.2集合间的包含关系1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.1习题课1.2.1函数及其表示1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.2.2-2函数的表示法（第2课时）1.2.2-3函数的表示法（第3课时）1.2习题课1.3.1-1单调性与最大（小）值（第1课时）1.3.1-2单调性与最大（小）值（第2课时）1.3.1-3单调性与最大（小）值（第3课时）1.3.1-4单调性与最大（小）值（第4课时）1.3.2-1函数的奇偶性（第1课时）1.3.2-2函数的奇偶性（第2课时）函数的值域专题研究第一章单元检测试卷A第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数（Ⅰ）2.1.1-2指数与指数幂的运算（第2课时）2.1.2-1指数函数及其性质（第1课时）2.1.2-2指数函数及其性质（第2课时）2.1.2-3对数与对数运算（第3课时）2.2.1-1对数与对数运算（第1课时）2.2.1-2对数与对数运算（第2课时）2.2.1-3对数与对数运算（第3课时）2.2.2-1对数函数及其性质（第1课时）2.2.2-2对数函数的图像与性质（第2课时）2.2.2-3对数函数的图像与性质2.3 幂函数图像变换专题研究第二章单元检测试卷A第二章单元检测试卷B3.1.1函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例第三章单元检测试卷A第三章单元检测试卷B全册综合检测试题模块A全册综合检测试题模块B1.1.1-1集合与函数概念课时作业1.下列说法中正确的是()A.联合国所有常任理事国组成一个集合B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C.{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D.由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素答案 A解析根据集合中元素的性质判断.2.若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A.3.14 B.－2 C.78 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7. 3.设集合M ＝{(1，2)}，则下列关系式成立的是( ) A.1∈M B.2∈M C.(1，2)∈M D.(2，1)∈M 答案 C4.若以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 M ＝{－1，2，3}.5.若2∈{1，x 2＋x}，则x 的值为( ) A.－2 B.1 C.1或－2 D.－1或2 答案 C解析 由题意知x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0.解得x ＝－2或x ＝1.6.已知集合M ＝{a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D解析 因集合中的元素全不相同，故三角形的三边各不相同.所以△ABC 不可能是等腰三角形.7.设a ，b ∈R ，集合{1，a}＝{0，a ＋b}，则b －a ＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 A解析 ∵{1，a}＝{0，a ＋b}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.∴b －a ＝1，故选A. 8.下列关系中①－43∈R ；②3∉Q ；③|－20|∉N *；④|－2|∈Q ；⑤－5∉Z ；⑥0∈N .其正确的是________. 答案 ①②⑥ 9.下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合N 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素. 其中正确的个数是________. 答案 2解析 由数集性质知①③错误，②④正确.10.集合{1，2}与集合{2，1}是否表示同一集合？________；集合{(1，2)}与集合{(2，1)}是否表示同一集合？______.(填“是”或“不是”) 答案 是，不是11.若{a ，0，1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝______，b ＝______，c ＝________.答案 －1 1 0解析 ∵－1∈{a ，0，1}，∴a ＝－1. 又0∈{c ，1b ，－1}且1b ≠0，∴c ＝0，从而可知1b＝1，∴b ＝1.12.已知集合A 中含有两个元素1和a 2，则a 的取值范围是________. 答案 a ∈R 且a ≠±1解析 由集合元素的互异性，可知a 2≠1，∴a ≠±1，即a ∈R 且a ≠±1. 13.对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是________. 答案 2或414.设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值. 答案 －4解析 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，a ＋3≠5， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2.∴a ＝－4. ►重点班·选做题15.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A ＝{－1，1，2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解析 (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a ，即a＝±1，故可以取集合A ＝{1，2，12}或{－1，2，12}或{1，3，13}等.下面有五个命题：①集合N (自然数集)中最小的数是1；②{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b ≥2；④a ∈N ，b ∈N ，则a·b ∈N ；⑤集合{0}中没有元素. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 因为0是自然数，所以0∈N .由此可知①②③是错误的，⑤亦错，只有④正确.故选B.1.1.1-2集合的含义与表示含解析课时作业1.用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1，1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}答案 B2.集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是( ) A.{x|x 是不大于9的非负奇数} B.{x|x ≤9，x ∈N } C.{x|1≤x ≤9，x ∈N } D.{x|0≤x ≤9，x ∈Z }答案 A3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x|－3<x<11，x ∈Q } B.{x|－3<x<11}C.{x|－3<x<11，x ＝2k ，x ∈Q }D.{x|－3<x<11，x ＝2k ，x ∈Z }答案 D4.集合{x ∈N *|x<5}的另一种表示法是( ) A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}答案 B5.设集合M ＝{x|x ∈R 且x ≤23}，a ＝26，则( ) A.a ∉M B.a ∈MC.a ＝MD.{a|a ＝26}＝M答案 A解析 首先元素与集合关系只能用符号“∈”与“∉”表示.集合中元素意义不同的不能用“＝”连接，再有a ＝24>23，a 不是集合M 的元素，故a ∉M.另外{a|a ＝26}中只有一个元素26与集合M 中元素不相同.故D 错误.6.将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A.{2，3} B.{(2，3)} C.{x ＝2，y ＝3} D.(2，3)答案 B7.下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x|x ＝1} B.{x ＝1} C.{1}D.{y|(y －1)2＝0}答案 B解析A，C，D都是数集.8.下列集合表示同一集合的是()A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C.M＝{4，5}，N＝{5，4}D.M＝{1，2}，N＝{(1，2)}答案 C解析A中M是点集，N是点集，是两个不同的点；B中M是点集，N是数集；D中M是数集，N是点集，故选C.9.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 B解析由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5，6，7，8}，所以集合M中共有4个元素.10.坐标轴上的点的集合可表示为()A.{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B.{(x，y)|x2＋y2＝0}C.{(x，y)|xy＝0}D.{(x，y)|x2＋y2≠0}答案 C解析坐标轴上的点的横、纵坐标至少有一个为0，故选C.11.将集合“奇数的全体”用描述法表示为①{x|x＝2n－1，n∈N*}; ②{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③{x|x＝2n－1，n∈Z};④{x|x＝2n＋1，n∈R}；⑤{x|x＝2n＋5，n∈Z}.其中正确的是________.答案②③⑤12.已知命题：(1){偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}；(2){x||x|≤2，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}；(3){(x，y)|x＋y＝3且x－y＝1}＝{1，2}.其中正确的是________.答案(1)(2)13.已知集合A＝{1，0，－1，3}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.答案{0，1，3}解析 ∵y ＝|x|，x ∈A ，∴y ＝1，0，3，∴B ＝{0，1，3}. 14.用∈或∉填空：(1)若A ＝{x|x 2＝x}，则－1________A ； (2)若B ＝{x|x 2＋x －6＝0}，则3________B ； (3)若C ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，则8________C ； (4)若D ＝{x ∈Z |－2<x<3}，则1.5________D. 答案 (1)∉ (2)∉ (3)∈ (4)∉ ►重点班·选做题15.用另一种方法表示下列集合. (1){x||x|≤2，x ∈Z }；(2){能被3整除，且小于10的正数}； (3)坐标平面内在第四象限的点组成的集合. (4){(x ，y)|x ＋y ＝6，x ，y 均为正整数}； (5){－3，－1，1，3，5}. (6)被3除余2的正整数集合.答案 (1){－2，－1，0，1，2} (2){3，6，9}(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y<0 (4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)} (5){x|x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z } (6){x|x ＝3n ＋2，n ∈N }16.已知集合{x|x 2＋ax ＋b ＝0}＝{2，3}，求a ，b 的值. 答案 －5 6解析 ∵{x|x 2＋ax ＋b ＝0}＝{2，3}， ∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两实根x 1＝2，x 2＝3. 由根与系数的关系得a ＝－(2＋3)＝－5，b ＝2×3＝6.1.下列集合是有限集的是( ) A.{x|x 是被3整除的数}B.{x ∈R |0＜x ＜2}C.{(x ，y)|2x ＋y ＝5，x ∈N ，y ∈N }D.{x|x 是面积为1的菱形}答案 C解析 C 中集合可化为：{(0，5)，(1，3)，(2，1)}.2.已知集合A ＝{x|x 2－2x ＋a>0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A.{a|a ≤1}B.{a|a ≥1}C.{a|a≥0}D.{a|a≤－1}答案 A解析因为1∉A，所以当x＝1时，1－2＋a≤0，所以a≤1，即a的取值范围是{a|a≤1}.1.1.1-3集合的含义与表示课时作业(三)1.设x ∈N ，且1x ∈N ，则x 的值可能是( )A.0B.1C.－1D.0或1答案 B解析 首先x ≠0，排除A ，D ；又x ∈N ，排除C ，故选B.2.下面四个关系式：π∈{x|x 是正实数}，0.3∈Q ，0∈{0}，0∈N ，其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 本题考查元素与集合之间的关系，由数集的分类可知四个关系式均正确. 3.集合{x ∈N |－1<x<112}的另一种表示方法是( )A.{0，1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{0，1，2，3，4，5}D.{1，2，3，4，5} 答案 C解析 ∵x ∈N ，且－1<x<112，∴集合中含有元素0，1，2，3，4，5，故选C.4.已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5}，则必有( ) A.－1∈A B.0∈A C.3∈A D.1∈A 答案 D解析 ∵x ∈N *，－5≤x ≤5，∴x ＝1，2，即A ＝{1，2}，∴1∈A. 5.集合M ＝{(x ，y)|xy<0，x ∈R ，y ∈R }是( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集 答案 D解析 根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.6.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形D.梯形答案 D解析 由于集合中的元素具有“互异性”，故a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.7.集合A ＝{x|x ∈N ，且42－x ∈Z }，用列举法可表示为A ＝________.答案 {0，1，3，4，6}解析 注意到42－x ∈Z ，因此，2－x ＝±2，±4，±1，解得x ＝－2，0，1，3，4，6，又∵x ∈N ，∴x ＝0，1，3，4，6.8.一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 答案 1解析 这样的三角形只有1个，是两腰长为6，底边长为3的等腰三角形. 9.点P(1，3)和集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋2}之间的关系是________. 答案 P ∈A解析 在y ＝x ＋2中，当x ＝1时，y ＝3，因此点P 是集合A 的元素，故P ∈A. 10.用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为________. 答案 {(0，3)，(1，2)，(2，1)}解析 集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1.故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}.11.若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x|x ＝t 2，t ∈A}，用列举法表示集合B ＝________. 答案 {4，9，16}解析 由题意可知集合B 是由集合A 中元素的平方构成，故B ＝{4，9，16}.12.下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1}，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个. 答案 2解析 因为集合{(2，1)}的元素表示的是有序实数对，由已知集合的代表元素知，元素为有序实数对的是C ，D ，而A 表示含有两个元素x ＝2，y ＝1的集合，B 表示含有2个元素的集合.13.设A 是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，求a 的值. 解析 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴a<6且3a<6，∴a<2. 又∵a 是自然数，∴a ＝0或1.14.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值.解析 本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A ，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性.若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a ＝－1. ►重点班·选做题15.已知集合A ＝{0，2，5，10}，集合B 中的元素x 满足x ＝ab ，a ∈A ，b ∈A 且a ≠b ，写出集合B.解析 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝0时，x ＝0； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2时，x ＝10； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2时，x ＝20； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5时，x ＝50. 所以B ＝{0，10，20，50}.1.已知A ＝{x|3－3x>0}，则有( ) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉A答案 C解析 因为A ＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.2.“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”.(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.解析 三女相会的日数，即为5，4，3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60，120，180}.3.数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M(a ≠±1且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.解析 ∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M ，∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M ，∴1＋121－12＝3∈M.即M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－2，－13，12.4.设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若集合A ，B 相等，求实数x ，y 的值. 解析 因为A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去. (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去. 综上知：x ＝1，y ＝0.5.集合A ＝{x|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2}可化简为________. 以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由.学生甲：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0，1}； 学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0，0)，(1，1)}. 解析 同学甲正确，同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ，因此满足条件的元素只能为x ＝0，1；而不是实数对⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故同学甲正确.1.1.2集合间的包含关系课时作业(四)1.数0与集合∅的关系是()A.0∈∅B.0＝∅C.{0}＝∅D.0∉∅答案 D2.集合{1，2，3}的子集的个数是()A.7B.4C.6D.8答案 D3.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x＋5＝5}B.{x∈R|x＋5>5}C.{x∈R|x2＝0}D.{x∈R|x2＋x＋1＝0}答案 D解析∵A，B，C中分别表示的集合为{0}，{x|x>0}，{0}，∴不是空集；又∵x2＋x＋1＝0无解，∴{x∈R|x2＋x＋1＝0}表示空集.4.已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是()A.M QB.M QC.Q MD.Q＝M答案 A5.下列六个关系式中正确的个数为()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}.A.6B.5C.4D.3个及3个以下答案 C解析其中①②⑤⑥是正确的，对于③应为∅ {∅}或∅∈{∅}；对于④应为{0} ∅.6.若集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则有()A.a＝1，b＝－2B.a＝2，b＝2C.a＝－1，b＝－2D.a＝－1，b＝2答案 C解析由A＝B知－1与2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，（－1）×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. 7.集合P ＝{x|y ＝x 2}，Q ＝{y|y ＝x 2}，则下列关系中正确的是( ) A.P Q B.P ＝Q C.P ⊆Q D.P Q答案 D解析 P ，Q 均为数集，P ＝{x|y ＝x 2}＝R ，Q ＝{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}，∴Q P ，故选D. 8.已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3答案 B解析 A ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共5个.9.若A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|yx ＝1}，则A ，B 关系为( )A.A BB.B AC.A ＝BD.A B答案 B10.已知集合A ＝{－1，3，m}，集合B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 答案 4解析 ∵B ⊆A ，A ＝{－1，3，m}，∴m ＝4.11.已知非空集合A 满足：①A ⊆{1，2，3，4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A.符合上述要求的集合A 的个数是________. 答案 3解析 由“若x ∈A ，则5－x ∈A ”可知，1和4，2和3成对地出现在A 中，且A ≠∅.故集合A 的个数等于集合{1，2}的非空子集的个数，即3个.12.设集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －1＝0}，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}，则集合A ，B 之间的关系是________. 答案 B A解析 ∵A ＝{－1－52，－1＋52}，B ＝∅，∴B A.13.已知M ＝{y|y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x|－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________. 答案 N M14.设A ＝{x ∈R |－1<x<3}，B ＝{x ∈R |x>a}，若A B ，求a 的取值范围. 答案 a ≤－1解析 数形结合，端点处单独验证.15.设集合A ＝{1，3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，B ⊆A ，求a 的值.解析 因为B ⊆A ，所以B 中元素1，a 2－a ＋1都是A 中的元素，故分两种情况. (1)a 2－a ＋1＝3，解得a ＝－1或2，经检验满足条件. (2)a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝1，此时A 中元素重复，舍去. 综上所述，a ＝－1或a ＝2. ►重点班·选做题16.a ，b 是实数，集合A ＝{a ，ba ，1}，B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 015＋b 2 016.答案 －1解析 ∵A ＝B ，∴b ＝0，A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}.∴a 2＝1，得a ＝±1.a ＝1时，A ＝{1，0，1}不满足互异性，舍去；a ＝－1时，满足题意.∴a 2015＋b 2 016＝－1.1.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，ba ，b}，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2答案 C解析 ∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴ba ＝－1.∴b ＝1，a ＝－1，∴b －a ＝2，故选C.2.设集合A ＝{x|－3≤x ≤2}，B ＝{x|2k －1≤x ≤k ＋1}且B ⊆A ，求实数k 的取值范围. 解析 ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.①B ＝∅时，有2k －1>k ＋1，解得k>2. ②B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≤k ＋1，2k －1≥－3，k ＋1≤2，解得－1≤k ≤1.综上，－1≤k ≤1或k>2.1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）课时作业(五)1.(2014·广东)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( ) A.{0，1} B.{－1，0，2} C.{－1，0，1，2} D.{－1，0，1}答案 C解析 M ∪N ＝{－1，0，1，2}.2.若集合A ＝{x|－2<x<1}，B ＝{x|0<x<2}，则集合A ∩B ＝( ) A.{x|－1<x<1} B.{x|－2<x<1} C.{x|－2<x<2} D.{x|0<x<1} 答案 D3.设A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x<0或x ≥2}，则A ∪B 等于( ) A.{x|x<0或x ≥1} B.{x|x<0或x ≥3} C.{x|x<0或x ≥2} D.{x|2≤x ≤3} 答案 A4.设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数是( ) A.1 B.3 C.4 D.8答案 C解析 ∵A ＝{1，2}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴B ＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故选C.5.设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0，1} B.{－1，0，1} C.{0，1，2} D.{－1，0，1，2} 答案 B解析 集合M ＝{－2，－1，0，1}，集合N ＝{－1，0，1，2，3}，M ∩N ＝{－1，0，1}. 6.若A ＝{x|x2∈Z }，B ＝{y|y ＋12∈Z }，则A ∪B 等于( )A.BB.AC.∅D.Z答案 D解析 A ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y|y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 7.已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A ∩B ＝( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1，0，1}答案 B解析集合B含有整数－1，0，故A∩B＝{－1，0}.8.如果A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝k＋3，k∈Z}，那么A∩B＝()A.∅B.AC.BD.Z答案 B9.满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是________.答案 2解析M＝{1，2，3}或M＝{2，3}.10.下列四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的为________.答案②③④解析①是错误的，a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B，不一定能推出a∈A.11.已知集合P，Q与全集U，下列命题：①P∩Q＝P，②P∪Q＝Q，③P∪Q＝U，其中与命题P⊆Q等价的命题有______个.答案 2解析①②都等价.12.已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是________.答案a≤－113.若集合P满足P∩{4，6}＝{4}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{4，6，8，10}，求集合P. 解析由条件知4∈P，6∉P，10∈P，8∉P，∴P＝{4，10}.14.已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a<0}.(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围.解析(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a＞－3.(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a≤－3.►重点班·选做题15.已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，求a的取值范围.解析∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a<－1，a ＋8≥5，解得－3≤a<－12.1.若A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x|x 2－6x ＋8＝0}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 答案 A ＝{2，3}，B ＝{2，4}， ∴A ∪B ＝{2，3，4}，A ∩B ＝{2}.2.设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A.∅ B.{x|x<－12}C.{x|x>53}D.{x|－12<x<53}答案 D解析 S ＝{x|x>－12}，T ＝{x|x<53}，在数轴上表示出S 和T ，可知选D.3.设集合A ＝{x|－5≤x<1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A.{x|－5≤x<1} B.{x|－5≤x ≤2} C.{x|x<1} D.{x|x ≤2} 答案 A4.设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 15.已知A ＝{|a ＋1|，3，5}，B ＝{2a ＋1，a 2＋2a ，a 2＋2a －1}，若A ∩B ＝{2，3}，则A ∪B ＝________.答案 {2，3，5，－5}解析 由|a ＋1|＝2，得a ＝1或－3，代入求出B ，注意B 中不能有5.6.已知M ＝{x|x ≤－1}，N ＝{x|x>a －2}，若M ∩N ≠∅，则a 的范围是________. 答案 a<1课时作业(六)1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.已知U＝{1，3}，A＝{1，3}，则∁U A＝()A.{1，3}B.{1}C.{3}D.∅答案 D2.设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)＝()A.{1，4}B.{1，5}C.{2，4}D.{2，5}答案 C3.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，则(∁U A)∪(∁U B)＝()A.{1，2，3，4，5}B.{3}C.{1，2，4，5}D.{1，5}答案 C解析∵∁U A＝{4，5}，∁U B＝{1，2}，故选C.4.若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案 D5.设P＝{x︱x<4}，Q＝{x︱x2<4}，则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P答案 B6.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x＝k3，k∈Z}，B＝{x|x＝k6，k∈Z}，则()A.∁U A ∁U BB.A BC.A＝BD.A与B中无公共元素答案 A解析∵A＝{x|x＝26k，k∈Z}，∴∁U A ∁U B，A B.7.设全集U＝{2，3，5}，A＝{2，|a－5|}，∁U A＝{5}，则a的值为()A.2B.8C.2或8D.－2或8答案 C解析∁U A＝{5}包含两层意义，①5∉A；②U中除5以外的元素都在A中.∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.8.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜5}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是()A.∁U A ∁U BB.∁U A ∁U BC.∁U A＝∁U BD.∁U A ∁U B答案 A解析∵∁U A＝{x∈Z|x≥5}，∁U B＝{x∈Z|x>2}.故选A.9.设A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x＞a}，全集U＝R，若A⊆∁R B，则有()A.a＝0B.a≤2C.a≥2D.a＜2答案 C解析A＝{x|－2<x<2}，∁R B＝{x|x≤a}，在数轴上把A，B表示出来.10.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，S U，T U，若S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1，5}，则有()A.3∈S∩TB.3∉S但3∈TC.3∈S∩(∁U T)D.3∈(∁U S)∩(∁U T)答案 C11.设全集U＝Z，M＝{x|x＝2k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则下列关系式中正确的有________.①M⊆P；②∁U M＝∁U P；③∁U M＝P；④∁U P＝M.答案③④12.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________. 答案∁U A ∁U B解析∵∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}，∴∁U A ∁U B.13.已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，4，6，8，9}，求集合B.解析 借助韦恩图，如右图所示， ∴U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵∁U B ＝{1，4，6，8，9}， ∴B ＝{2，3，5，7}.14.设集合U ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈U|x 2－5x ＋m ＝0}，若∁U A ＝{2，3}，求m 的值. 解析 ∵∁U A ＝{2，3}，U ＝{1，2，3，4}， ∴A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根. ∴m ＝1×4＝4.15.已知全集U ＝{2，0，3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}且∁U P ＝{－1}，求实数a. 解析 ∵U ＝{2，0，3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.1.如果S ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，4}，B ＝{2，4，5}，那么(∁S A)∩(∁S B)等于( ) A.∅ B.{1，3} C.{4} D.{2，5}答案 A解析 ∵∁S A ＝{2，5}，∁S B ＝{1，3}， ∴(∁S A)∩(∁S B)＝∅.2.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q)等于()A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，6，7}D.{1，2，3，4，5}答案 A解析 ∵∁U Q ＝{1，2}，∴P ∩(∁U Q)＝{1，2}.3.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，5}，则正确的是( ) A.U ＝A ∪B B.U ＝(∁U A)∪B C.U ＝A ∪(∁U B) D.U ＝(∁U A)∪(∁U B)答案 C解析 ∵∁U B ＝{1，2，4，6，7}， ∴A ∪(∁U B)＝{1，2，3，4，5，6，7}＝U.4.已知A ＝{x|x<3}，B ＝{x|x<a}.若A ⊆B ，问∁R B ⊆∁R A 是否成立？ 答案 成立5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.答案126.如果S＝{x∈N|x<6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么(∁S A)∪(∁S B)＝________.答案{0，1，3，4，5}解析∵S＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}，∴∁S A＝{0，4，5}，∁S B＝{0，1，3}.∴(∁S A)∪(∁S B)＝{0，1，3，4，5}.课时作业(七)1.1习题课含解析(第一次作业)1.(2015·广东，理)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝() A.{1，4} B.{－1，－4}C.{0}D.∅答案 D2.设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 A3.集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则下列关系中正确的是() A.M P B.P MC.M＝PD.M P且P M答案 A解析P＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}，当a＝2时，x＝1而M中无元素1，P比M多一个元素.4.设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|0≤x≤1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}答案 B5.已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩(∁N B)＝()A.{1，5，7}B.{3，5，7}C.{1，3，9}D.{1，2，3}答案 A6.已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解集分别为S与M，且S∩M＝{3}，则p＋q 的值是()A.2B.7C.11D.14答案 D解析 由交集定义可知，3既是集合S 中的元素，也是集合M 中的元素.亦即是方程x 2－px ＋15＝0与x 2－5x ＋q ＝0的公共解，把3代入两方程，可知p ＝8，q ＝6，则p ＋q 的值为14.7.已知全集R ，集合A ＝{x|(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y|y ≥0}，则A ∩(∁R B)为( ) A.{1，2，－2} B.{1，2} C.{－2} D.{－1，－2}答案 C解析 A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y|y<0}，故两集合的交集是{－2}，选C. 8.集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是( ) A.除法 B.加法 C.乘法 D.减法答案 C解析 当⊕为除法时，14∉P ，∴排除A ；当⊕为加法时，1＋4＝5∉P ，∴排除B ；当⊕为乘法时，m 2·n 2＝(mn)2∈P ，故选C ； 当⊕为减法时，1－4∉P ，∴排除D.9.设全集U ＝Z ，集合P ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x|x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A.P ∪Q B.(∁U P)∪Q C.P ∪(∁U Q) D.(∁U P)∪(∁U Q)答案 C10.设S ，P 为两个非空集合，且S P ，P S ，令M ＝S ∩P ，给出下列4个集合：①S ；②P ；③∅；④S ∪P.其中与S ∪M 能够相等的集合的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.④答案 A11.设集合I ＝{1，2，3}，A 是I 的子集，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的“配集”，则当A ＝{1，2}时，A 的配集的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 A 的配集有{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4个. 12.已知集合A ，B 与集合A@B 的对应关系如下表：________.答案 {2 012，2 013}13.已知A ＝{2，3}，B ＝{－4，2}，且A ∩M ≠∅，B ∩M ＝∅，则2________M ，3________M. 答案 ∉ ∈解析 ∵B ∩M ＝∅，∴－4∉M ，2∉M. 又A ∩M ≠∅且2∉M ，∴3∈M.14.若集合A ＝{1，3，x}，B ＝{1，x 2}，且A ∪B ＝{1，3，x}，则x ＝________. 答案 ±3或0解析 由A ∪B ＝{1，3，x}，B A ， ∴x 2∈A.∴x 2＝3或x 2＝x. ∴x ＝±3或x ＝0，x ＝1(舍).15.已知S ＝{a ，b}，A ⊆S ，则A 与∁S A 的所有有序组对共有________组. 答案 4解析 S 有4个子集，分别为∅，{a}，{b}，{a ，b}注意有序性.⎩⎪⎨⎪⎧A ＝{a}，∁S A ＝{b}和⎩⎪⎨⎪⎧A ＝{b}，∁S A ＝{a}是不同的.16.已知A ⊆M ＝{x|x 2－px ＋15＝0，x ∈R }，B ⊆N ＝{x|x 2－ax －b ＝0，x ∈R }，又A ∪B ＝{2，3，5}，A ∩B ＝{3}，求p ，a 和b 的值.解析 由A ∩B ＝{3}，知3∈M ，得p ＝8.由此得M ＝{3，5}，从而N ＝{3，2}，由此得a ＝5，b ＝－6.(第二次作业)1.(2014·北京，理)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A.{0}B.{0，1}C.{0，2}D.{0，1，2}答案 C解析解x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，故A＝{0，2}，所以A∩B＝{0，2}，故选C.2.(高考真题·全国Ⅰ)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析由题意得P＝M∩N＝{1，3}，∴P的子集为∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个，故选B.3.设集合A＝{x∈Z|0≤x≤5}，B＝{x|x＝k2，k∈A}，则集合A∩B＝()A.{0，1，2}B.{0，1，2，3}C.{0，1，3}D.B答案 A4.设M＝{1，2，m2－3m－1}，P＝{1，3}，且M∩P＝{1，3}，则m的值为()A.4B.－1C.－4或1D.－1或4答案 D5.已知集合M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于()A.∅B.NC.MD.R答案 B解析∵M＝R，N＝{y|y≥－1}，∴M∩N＝N.6.若A∪B＝∅，则()A.A＝∅，B≠∅B.A≠∅，B＝∅C.A＝∅，B＝∅D.A≠∅，B≠∅答案 C7.设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是() A.10 B.11C.20D.21答案 C解析 ∵A ∪B ＝{x|x ∈Z 且－15≤x<5}＝{－15，－14，－13，…，1，2，3，4}，∴A ∪B 中共20个元素.8.已知全集U ＝{0，1，2}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 A解析 ∵A ＝{0，1}，∴真子集的个数为22－1＝3.9.如果U ＝{x|x 是小于9的正整数}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6}，那么(∁U A)∩(∁U B)等于()A.{1，2}B.{3，4}C.{5，6}D.{7，8}答案 D解析 ∵∁U A ＝{5，6，7，8}，∁U B ＝{1，2，7，8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{7，8}. 10.已知集合P ＝{x|－1≤x ≤1}，M ＝{－a ，a}，若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A.{a|－1≤a ≤1} B.{a|－1<a<1}C.{a|－1<a<1，且a ≠0}D.{a|－1≤a ≤1，且a ≠0}答案 D解析 由P ∪M ＝P ，得M ⊆P.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.又由集合元素的互异性知－a ≠a ，即a ≠0， 所以a 的取值范围是{a|－1≤a ≤1，且a ≠0}.11.若A ，B ，C 为三个集合，且A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A.A ⊆C B.C ⊆A C.A ≠C D.A ＝∅答案 A12.已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2，3}，则m ＝________. 答案 313.集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 有________个元素. 答案 15解析 由A ∩B 含有3个元素知，仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合的元素个数为10＋8－3＝15，或直接利用韦恩图得出结果.14.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|mx＋1>0}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围.思路首先根据题意判断出A与B的关系，再对m分类讨论化简集合B，根据A，B的关系求出m的范围.解析∵A∪B＝B，∴A⊆B.①当m>0时，由mx＋1>0，得x>－1m，此时B＝{x|x>－1m}，由题意知－1m<－1，∴0<m<1.②当m＝0时，B＝R，此时A⊆B.③当m<0时，得B＝{x|x<－1m}，由题意知－1m>2，∴－12<m<0.综上：－12<m<1.点评在解有关集合交、并集运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题.解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件.已知全集U＝{a，1，3，b，x2－2＝0}，集合A＝{a，b}，则∁U A＝________.答案{1，3，x2－2＝0}解析在全集U中除去A中的元素后所组成的集合即为∁U A，故∁U A＝{1，3，x2－2＝0}.1.(2015·新课标全国Ⅰ，文)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案 D2.(2015·天津，理)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁U B)＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}答案 A3.(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}答案 D解析由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}.4.(2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D解析∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.5.(2013·山东，文)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B ＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{4}C.{3，4}D.∅答案 A解析由题意知A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B ＝{3，4}，故A∩(∁U B)＝{3}.6.(2013·课标全国)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，A∩B＝()A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}答案 A7.(2013·山东)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A.1 B.3C.5D.9答案 C解析逐个列举可得.x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x －y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1，0，1，2.共5个.8.(2013·天津)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A.(－∞，2]B.[1，2]C.[－2，2]D.[－2，1]答案 D解析解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝[－2，2]，所以A∩B＝[－2，1].9.(2012·福建)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是()A.N⊆MB.M∪N＝MC.M∩N＝ND.M∩N＝{2}答案 D解析A项，M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，M与N显然无包含关系，故A错.B项同A项，故B项错.C项，M∩N＝{2}，故C错，D对.10.(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 D解析A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.故选D.11.(2012·山东)已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B 为()A.{1，2，4}B.{2，3，4}C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}答案 C解析由题意知∁U A＝{0}，又B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}，故选C.12.(2014·重庆，理)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，∁U A∩B＝________.9}，则()答案{7，9}解析由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B ＝{7，9}.1.(2014·大纲全国理改编)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩(∁R N)＝() A.(0，4] B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0)答案 D解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，∴∁R N＝{x|x<0或x>5}.∴M∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}.2.(2014·江西，文)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝() A.(－3，0) B.(－3，－1)C.(－3，－1]D.(－3，3)答案 C解析由题意知，A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，∵B＝{x|－1<x≤5}，∴∁R B＝{x|x≤－1或x>5}.∴A ∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x ≤－1或x>5}＝{x|－3<x ≤－1}.3.(2010·北京)集合P ＝{x ∈Z |0≤x<3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M ＝( ) A.{1，2} B.{0，1，2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3}答案 B4.(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q)＝( ) A.[2，3] B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 B解析 由于Q ＝{x|x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x|－2<x<2}，故得P ∪(∁R Q)＝{x|－2<x ≤3}.选B.5.(2014·四川，文)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A.{－1，0} B.{0，1}C.{－2，－1，0，1}D.{－1，0，1，2} 答案 D解析 由二次函数y ＝(x ＋1)(x －2)的图像可以得到不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集A ＝[－1，2]，属于A 的整数只有－1，0，1，2，所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选D.6.(2012·北京)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A.(－∞，－1) B.(－1，－23)C.(－23，3)D.(3，＋∞)答案 D解析 A ＝{x|x>－23}，B ＝{x|x>3或x<－1}，则A ∩B ＝{x|x>3}，故选D.课时作业(八) 1.2.1函数及其表示含解析1.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A.A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1}，f ：A 中的数平方 B.A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方 C.A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D.A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2.设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，下图所示4个图形中能表示集合M 到集合N 的函数关系的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 B3.函数f(x)＝1＋x ＋x1－x的定义域( ) A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1] C.R D.[－1，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1.故定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，故选D. 4.设函数f(x)＝3x 2－1，则f(a)－f(－a)的值是( ) A.0 B.3a 2－1 C.6a 2－2 D.6a 2答案 A解析 f(a)－f(－a)＝3a 2－1－[3(－a)2－1]＝0.5.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x3；③y＝x2－1；④y＝1x.其中定义域相同的函数有()A.①②和③B.①和②C.②和③D.②③和④答案 A6.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1) 答案 C7.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于()A.π2B.πC.πD.不确定答案 B解析因为π2∈R，所以f(π2)＝π.8.函数y＝21－1－x的定义域为()A.(－∞，1)B.(－∞，0)∪(0，1]C.(－∞，0)∪(0，1)D.[1，＋∞)答案 B9.将下列集合用区间表示出来.(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2≤x≤8}＝________；(3){y|y＝1x}＝________.答案(1)[1，＋∞)(2)[2，8] (3)(－∞，0)∪(0，＋∞)10.若f(x)＝5xx2＋1，且f(a)＝2，则a＝________.答案12或211.已知f(x)＝x2＋x－1，x∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________.答案{－1，1，5，11}12.设函数f(n)＝k(n∈N*)，k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则f(3)＝________.答案 113.若函数y ＝1x －2的定义域为A ，函数y ＝2x ＋6的值域是B ，则A ∩B ＝________. 答案 [0，2)∪(2，＋∞)解析 由题意知A ＝{x|x ≠2}，B ＝{y|y ≥0}，则A ∩B ＝[0，2)∪(2，＋∞). 14.已知函数f(x)＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f(23)的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a －1)的值.解析 (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x|x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x|x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x|x ≥－3}∩{x|x ≠－2}＝{x|x ≥－3，且x ≠－2}. (2)f(－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f(23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a>0，故f(a)，f(a －1)有意义. f(a)＝a ＋3＋1a ＋2；f(a －1)＝a －1＋3＋1（a －1）＋2＝a ＋2＋1a ＋1.15.已知f(x)＝13－x 的定义域为A ，g(x)＝1a －x的定义域是B. (1)若B A ，求a 的取值范围； (2)若A B ，求a 的取值范围. 解析 A ＝{x|x<3}，B ＝{x|x<a}.(1)若B A ，则a<3，∴a 的取值范围是{a|a<3}； (2)若A B ，则a>3，∴a 的取值范围是{a|a>3}.1.下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是( ) A.y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1) B.y ＝f(x)，x ∈R 与y ＝f(t)，t ∈R C.f(x)＝x 2，g(x)＝x 3xD.f(x)＝2x ＋1与g(x)＝4x 2＋4x ＋1答案 B2.下列式子中不能表示函数y ＝f(x)的是( ) A.x ＝2yB.3x ＋2y ＝1C.x ＝2y 2＋1D.x ＝y答案 C3.已知函数f(x)＝2x －1，则f(x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1 D.1答案 C4.若f(x)＝x 2－1x ，则f(x)的定义域为________.答案 {x|x ≤－1或x ≥1}5.下列每对函数是否表示相同函数？ (1)f(x)＝(x －1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2； (3)f(t)＝t 2t ，g(x)＝|x|x .答案 (1)不是 (2)不是 (3)是6.已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B 对任意x ∈A ，x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的函数，若输出值1和8分别对应的输入值为3和10，求输入值5对应的输出值.解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以对应关系f ：x →y ＝x －2，故输入值5对应的输出值为3.7.已知f(x)＝11＋x ，求[f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)]＋[f(12)＋f(13)＋…＋f(12 016)].答案 2 015解析 f(x)＋f(1x )＝11＋x＋11＋1x＝11＋x ＋x1＋x ＝1，则原式＝⎣⎡⎦⎤f （2）＋f （12）＋⎣⎡⎦⎤f （3）＋f （13）＋…＋⎣⎡⎦⎤f （2 016）＋f （12 016）＝2 015.8.已知函数g(x)＝x ＋2x －6，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？ (2)当x ＝4时，求g(x)的值； (3)当g(x)＝2时，求x 的值.答案(1)不在(2)－3(3)14课时作业(九)1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.下列结论正确的是( )A.任意一个函数都可以用解析式表示B.函数y ＝x ，x ∈{1，2，3，4}的图像是一条直线C.表格可以表示y 是x 的函数D.图像可表示函数y ＝f(x)的图像答案 C2.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A.成绩y 不是考试次数x 的函数B.成绩y 是考试次数x 的函数C.考试次数x 是成绩y 的函数D.成绩y 不一定是考试次数x 的函数答案 B3.函数f(x)＝x ＋|x|x的图像是下图中的( )答案 C4.从甲城市到乙城市t min 的电话费由函数g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为t 的整数部分，则从甲城市到乙城市5.5 min 的电话费为( ) A.5.04元 B.5.56元 C.5.84元 D.5.38元答案 A解析 g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04.。
【金版学案】高一人教A版数学必修一练习：章末整合3 Word版含答案[ 高考]
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一、零点1．零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使得方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．特别关注：零点不是点，而是实数.2．函数零点与方程根之间的等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．特别关注：正确理解函数零点存在性定理.若函数y＝f(x)图象在[a，b]上是连续的，A．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？对B．f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？不一定C．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点？不一定D．y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0?不一定得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间有零点的其中一种方法，不是唯一方法，且不能确定零点的个数有多少．(2)不能由存在性定理的结论反推出条件．4．判断函数零点个数的求法：方法一，解对应方程的实根；方法二，画出函数图象，图象与x轴的交点个数即为函数的零点个数；方法三，对于超越方程，则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数．方法四，若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理，判断出原函数只有一个零点．二、二分法1．二分法定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．利用二分法求近似解的解题步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c[此时零点x0∈(a, c)]；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c[此时零点x0∈(c, b)]．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．三、函数模型及应用1．几类不同增长的函数模型．(1)一次函数模型：y＝ax＋b；(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指数函数模型：y＝a x(a>0，且a≠1)；(4)对数函数模型：y＝log a x(a>0，且a≠1)；(5)幂函数模型：y＝xα；(6)分段函数模型．2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较．(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y ＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)，增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．因此总存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.(2)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x (0<a<1)，y＝log a x(0<a<1)和y＝x n(n<0)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝log a x (0<a<1)的衰减速度比y＝x n(n<0)和y＝a x (0<a<1)的衰减得快．因此总存在一个x0，当x> x0时，就有log a x<x n<a x.3．解决应用问题的基本步骤：(1)实际应用题→明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系；(2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解；(3)阅读、分析、联想、转化、抽象；(4)建立数学模型；(5)运用数学知识作为工具；(6)解答数学问题；(7)解决实际问题(作答)．1．函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)的零点在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．2．求曲线和x轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根．例1 已知函数f(x)＝3x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有没有实数根？为什么？解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－0＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1，0]内有实数根．►跟踪训练1．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)1．解析：令g (x )＝x 3－22－x ，则有g (0)＜0，g (1)＜0，g (2)＞0，g (3)＞0，g (4)＞0.故函数g (x )的零点所在区间为(1，2)．故选B.答案：B2．已知f ()x ＝2＋log 3x ()1≤x ≤9，判断函数g ()x ＝f 2()x ＋f ()x 2有无零点，并说明理由．2．解析：∵log 3x 在区间[1，9]上为增函数，且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)．∴1≤x 2≤9.∴1≤x ≤3.故g (x )的定义域为[1，3]．g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝4＋4log 3x ＋(log 3x )2＋2＋log 3x 2＝6＋6log 3x ＋(log 3x )2.在区间[1，3]上，g (x )也为增函数．所以g (x )＞g (1)＝6，所以g (x )无零点．1．对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：(1)确定初始区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε.(2)求区间(a ，b )的中点x 1(将a ＋b 2称为区间[a ，b ]的中点)． (3)计算f (x 1)：①若f (x 1)＝0，则x 1是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1[此时零点x 0∈(a ，x 1)]；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1[此时零点x 0∈(x 1，b )]．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)步骤．例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.1).解析：由于f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f (x )在区间[1，1.5]上存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3.►跟踪训练3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)解析：由f(0.6)＝1.516－0.36＞0，f(1.0)＝2.0－1.0＞0，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.96＞0，f(1.8)＝3.482－3.24＞0，故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.24＞0，f(2.2)＝4.595－4.84＜0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8，2.2)，故选C.答案：C在没有给出具体模型的问题中，要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．例3 某县2005—2010年财政收入情况如下：(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2011年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．解析：(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如下图所示，其中年份第一年为2005年，第二年为2006年，其他依次类推．通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：模型一：设f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1 )，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＝2.59，f （2）＝a 2＋b ＝3.05，f （3）＝a 3＋b ＝3.80 ⇒⎩⎨⎧a ≈1.35，b ≈1.25. ∴f (x )＝1.35x ＋1.25.计算得f (4)≈4.57，f (5)≈5.73，f (6)≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20.模型二：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ≥1)，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝a ＋b ＋c ＝2.59，g （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3.05，g （3）＝9a ＋3b ＋c ＝3.80 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.145，b ＝0.025，c ＝2.42.∴g (x )＝0.145x 2＋0.025x ＋2.42.计算得g (4)≈4.84，g (5)≈6. 17，g (6)≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71.对两个函数模型进行对比，发现g (x )与实际的误差较小，所以用函数模型g (x )＝0.145x 2＋0.025x ＋2.42 (x ≥1)较好．(2)设年财政收入平均增长率为a ，由2005年和2010年财政收入，则有2．59(1＋a)5＝8.5，解得a≈26.83%.从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：h(x)＝2.59(1＋26.83%)x－1.用g(x)和h(x)分别预测2011年的财政收入是：g(7)＝9.7(亿元)，h(7)＝10.78(亿元)．从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择g(x)模型比较稳妥．点评：在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．►跟踪训练4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解析：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如下图所示．根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以y ＝ ab x (b ＞0，b ≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型．把点(70，7.90)、(160，47.25)代入函数以y ＝ ab x 中，得⎩⎨⎧ab 70＝7.90，ab 160＝47.25.使用计算器可求得⎩⎨⎧a ≈2，b ≈1.02.所以，函数模型为y ＝ 2×1.02x .用计算器验证其他点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．再将x ＝175代入函数式y ＝ 2×1.02x ，即y ＝ 2×1．02175，用计算器求得y ≈63.98.因为7863.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想例4 二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1＜2，x 2＞2，如图所示，则a 的取值范围是()A．a＜1或a＞5 B．a＜12C．a＜－12或a＞5 D．－12＜a＜1解析：由题意可得f(2)＜0，即4＋(a－3)×2＋1＜0，解得a＜1 2.答案：B►跟踪训练5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(其中a＜b)，且α、β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a、b、α、β的大小关系为() A．α＜a＜b＜βB．α＜a＜β＜bC．a＜α＜b＜βD．a＜α＜β＜b解析：a，b是方程g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象(如下图所示)，知α＜a＜b＜β.故选A.答案：A6．函数f(x)＝x2－4|x|＋5－m恰有三个零点，则实数m的取值集合为____．解析：函数f (x )＝x 2－4|x |＋5－m 恰有3个零点，等价于函数y 1＝x 2－4|x |＋5与y 2＝m 的图象恰有3个公共点(如下图)，知m ＝5.答案：{5}二、函数与方程思想 例5 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7米内追上汽车B ．人可在10米内追上汽车C ．人追不上汽车，其距离最近为5米D ．人追不上汽车，其距离最近为7米解析：若经t 秒人刚好追上汽车，则s ＋25＝6 t ，由s ＝12t 2得 12t 2－6t ＋25＝0⇒t 2－12t ＋50＝0. 因为Δ＜0，所以人追不上汽车．考虑距离差d ＝⎝⎛⎭⎫s ＋25－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7， 故当t ＝6时，d 有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米， 故选D.答案：D►跟踪训练7．函数f (x )＝a |x |－x －a 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是：________________.解析：函数f (x )＝a |x |－x －a 恰有2个零点等价于函数y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象恰有2个公共点．画出y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象如下：情形1：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1 ⇒a >1. 情形2：⎩⎨⎧a <0，a <－1⇒a <－1. 答案：{} |a a >1或a <－18．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为________年(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．解析： 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.90，于是0.50μ0＝μ0(e －λ)t ⇒12＝(0.90)t ， 两边取常用对数，lg 12＝t 2lg 0.90， 解得t ＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 0－0.045 8＝13.1. 答案：13三、分类讨论思想例6 如下图，三个机器人M 1，M 2，M 3和检测台M 位于一条直线上．三个机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测，送检程序规定：当M 1把零件送达M 处时，M 2即刻自动出发送检，当M 2把零件送达M 处时，M 3即刻自动出发送检．设M 2的送检速度为v ，且送检速度是M 1的2倍、M 3的3倍．(1)求三台机器人M 1，M 2，M 3把各自生产的零件送达检测台M 处的时间总和；(2)现要求M 1，M 2，M 3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M 在该直线上的位置(M 与M 1，M 2，M 3均不能重合)．解析：借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化．(1)由题设条件知，检测台M 的位置坐标为0，机器人与检测台的距离分别为2，1，3.故机器人M 1，M 2，M 3按程序把各自的生产零件送达检测台M处的时间总和为y ＝212v ＋1v ＋313v ＝14v . (2)设x 为检测台M 的位置坐标，则机器人M 1，M 2，M 3与检测台M 的距离分别为|x －(－2)|，|x －1|和|x －3|，于是机器人送交检测台M 的时间的总和为y ＝|x －（－2）|12v ＋|x －1|v ＋|x －3|13v ＝1v (2|x ＋2|＋|x －1|＋3|x －3|)．只要求f (x )＝2|x ＋2|＋|x －1|＋3|x －3|取最小值．∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋6，x <－2，－2x ＋14，－2≤x <1，12，1≤x ≤3，6x －6，x >3.由其图象可知，x ∈[1，3]时，所对应的f (x )均取最小值12，即送检时间总和最短为12v . 依题意，检测台M 与M 1，M 2，M 3均不能重合，故可将检测台M 设置在直线上机器人M 2与M 3之间的任何位置(不含M 2、M 3的位置)，都能使各机器人M 1，M 2，M 3的送检时间总和最短．►跟踪训练9．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，求实数m 的取值范围．解析：(1)当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3与x 轴只有1个交点，此时函数f (x )只有1个零点．(2)当m ≠0时，要使得f (x )＝mx 2－2x ＋3只有1个零点，则Δ＝(－2)2－4×3×m ＝0，此时m ＝13. 综上所述，当m ＝0或m ＝13时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有1个零点．一、关系分析法即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法．例7进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价为多少时所获得的利润最大？分析：题中显示“利润最大”的语句，因此，应从构造利润的函数关系入手．(利润＝销售额－成本)解析：设销售价为90＋x元时利润为y，此时销售数量为400－20x.∴y＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝－20(x－5)2＋4 500，∴当x＝5时，y max＝4 500(元)．故销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4 500元．►跟踪训练10．某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测知，当售出这种产品t百件时，若0＜t＜5，则销售所得的收入为5t－12t2万元；若t＞5，则销售收入为18t＋232万元．(1)若该公司这种产品的年产量为x百件时(x>0)，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为当年产量x的函数；(2)当年产量为多大时，当年公司所得利润最大？解析：(1)当0<x ≤5时，f (x )＝5x －0.5x 2－(0.5＋0.25x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5；当x ＞5时，f (x )＝18x ＋232－(0.5＋0.25x )＝－0.125x ＋11. ∴f (x )＝⎩⎨⎧－0.5x 2＋4.75x －0.5，0＜x ≤5，－0.125x ＋11，x ＞5.(2)当0＜x ≤5时，f (x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5＝－0.5(x －4.75)2＋10.781 25，∴当x ＝4.75时，f (x )max ＝10.781 25.当x ＞5时，f (x )＝－0.125x ＋11＜－0.125×5＋11＝10.375＜10.781 25，∴当年产量为4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大为10.781 25万元．二、列表分析法即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法．►例题分析例8 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A 地10台，B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙地调运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数关系式；(2)若总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立．由甲、乙两地调运至A 地、B 地的机器台数及运费如下表所示：解析：(1)依题意，得：y＝400(10－x)＋800[12－(10－x)]＋300x＋500(6－x)，即y＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈Z)．(2)由y≤9 000，解得x≤2.∵x∈Z，0≤x≤6，∴x＝0，1，2.故共有三种调运方案．(3)由一次函数的单调性可知，当x＝0时，总运费最低，y min＝8 600(元)．即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的运费最低，最低运费为8 600元．►跟踪训练11．某厂为了尽快解决职工住房困难问题，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：之间的关系式．解析：当0＜x ＜1 000时，y ＝x ；当1 000≤x ＜2 000时，y ＝1 000＋(x －1 000)(1－5%)＝0.95x ＋50；当2 000≤x ＜3 000时，y ＝1 000＋1 000(1－5%)＋(x －2 000)(1－10%)＝0.9x ＋150；当x ≥3 000时，y ＝1 000＋1 000(1－5%)＋1 000(1－10%)＋(x －3 000)(1－15%)＝0.85x ＋300.因此y 与x 的关系可用分段函数表示如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1 000，0.95x ＋50，1 000≤x <2 000，0.9x ＋150，2 000≤x <3 000，0.85x ＋300，x ≥3 000.。
2018学年高中数学人教A版必修一 章末综合测评3 含答案
章末综合测评（三）函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x 轴在区间[a，b]内()A．至多有一个交点B．必有唯一个交点C．至少有一个交点D．没有交点【解析】∵f(a)f(b)＜0，∴f(a)与f(b)异号，即f(a)＞0，f(b)＜0；或者f(a)＜0，f(b)＞0，显然，在[a，b]内必有一点，使得f(x)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】 B2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是()【解析】A：与直线y＝2交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．故选D.【答案】 D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )【解析】 由二分法的定义与原理知A 选项正确．【答案】 A4．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x【解析】 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C.【答案】 C5．向高为H 的水瓶以等速注水，注满为止，若水量V 与水深h 的函数的图象如图1所示，则水瓶的形状可能为( )【导学号：97030147】图1【解析】 由水量V 与水深h 的函数的图象，可知随着h 的增加，水量V 增加的越来越快，则对应的水瓶应该是上底面半径大于下底面半径的圆台型，故选A.【答案】 A6．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(例如[3.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( )元．A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77【解析】 由[m ]是大于或等于m 的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f (5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C.【答案】 C7．函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 ∵函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数即为f (x )＝0的根的个数， ∴f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0， ∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1，∵⎩⎨⎧－x >0x －3≠0，解得x ＜0，∵函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为1个．故选A. 【答案】 A8．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【解析】 由已知可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.【答案】 C9．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：)A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】 由于f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，则f (－3)·f (－1)＜0，f (2)·f (4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．【答案】 A10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a 2x (a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )A. 5B ．5C ．±5D ．－ 5【解析】 设投放x 万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5.∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x 2也成立，∴a min ＝ 5.【答案】 A11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )【导学号：97030148】A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【解析】 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.【答案】 A12．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 令f (a )＝x ，则f [f (a )]＝12变形为f (x )＝12；当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1＝12，解得x 1＝1＋22，x 2＝1－22；∵f (x )为偶函数，∴当x ＜0时，f (x )＝12的解为x 3＝－1－22，x 4＝－1＋22；综上所述，f (a )＝1＋22，1－22，－1－22，－1＋22；当a ≥0时，f (a )＝－(a －1)2＋1＝1＋22，方程无解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝1－22，方程有2解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1－22，方程有1解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1＋22，方程有1解．故当a ≥0时，方程f (a )＝x 有4解，由偶函数的性质，易得当a ＜0时，方程f (a )＝x 也有4解，综上所述，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为8，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】 函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则f (0)＝0，∴m ＋3＝0，∴m ＝－3，则f (x )＝x 2－3x ，于是另一个零点是3.【答案】 314．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x 2时，面积达到最大，此时x 的值为________．【解析】 由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12， ∴当x ＝1时，S 最大．【答案】 115．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】 设每个涨价x 元，则实际销售价为10＋x 元，销售的个数为100－10x ，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】 1416．给出下列五个命题：①函数y ＝f (x )，x ∈R 的图象与直线x ＝a 可能有两个不同的交点；②函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 是相等函数；③对于指数函数y ＝2x 与幂函数y ＝x 2，总存在x 0，当x ＞x 0时，有2x ＞x 2成立； ④对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若有f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )内有零点； ⑤已知x 1是方程x ＋lg x ＝5的根，x 2是方程x ＋10x ＝5的根，则x 1＋x 2＝5. 其中正确的序号是________．【解析】 对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③，当x 0取大于等于4的值都可使当x ＞x 0时，有2x ＞x 2成立，故③正确； 对于④，只有函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，同时f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )内有零点．故④错；对于⑤，∵x ＋lg x ＝5，∴lg x ＝5－x .∵x ＋10x ＝5，∴10x ＝5－x ，∴lg (5－x )＝x .如果做变量代换y ＝5－x ，则lg y ＝5－y ，∵x 1是方程x ＋lg x ＝5的根，x 2是方程x ＋10x ＝5的根，∴x 1＝5－x 2，∴x 1＋x 2＝5.故正确．【答案】 ③⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．【解】 令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x 轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,2)内．18．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.【导学号：97030149】【解】 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. ∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x ≤0，解得x ≥1，当log 14x ≥－12，解得x ≤2，所以1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x ＞0时，12≤x ＜1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．图2(1)试求函数f (t )的解析式；(2)画出函数y ＝f (t )的图象.【导学号：97030150】【解】 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8－12t 2，(0≤t ≤2)，10－2t ，(2<t ≤5).(2)函数f (t )图象如图所示．21．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4， y ＝4×2.1＋3x ×2.1＋3×(5x －4)＝21.3x －3.6.当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，21.3x －3.6⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜40.8； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜40.8； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8， 解得x ＝2，所以甲用户用水量为5x ＝10吨，付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)； 乙用户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．22．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为4 000元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？【解】 (1)当每辆车的月租金定为 4 000元时，能租出的车有：100－4 000－3 00050＝80辆．(2)设当每辆车的月租金定为x (x ≥3 000)元时，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－150×100－x －3 00050－50×x －3 00050 ＝－150(x －4 050)2＋4 0502＋3 000×50－8 000×15050， 则当月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是4 0502＋3 000×50－8 000×15050＝30 7050元．。
2018学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：3.2第3
第三课时建立实际问题的函数模型一、课前准备1．课时目标（1）．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，（2）．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.2．基础预探常见实际问题的函数模型（1）设原有人口a人，人口的自然增长率为b，则经过x年后，人口数为y ；（2）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，在计算下一期的利息；（3）本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为（4）放射性元素剩流量为所需要的时间叫做半衰期。
二、基本知识习题化1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式表示．三、学习引领1、知识梳理2、解函数应用的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
第二步：引进数学符号，建立数学模型一般设自变量x，函数y，必要时可引入其他相关辅助变量，并用,x y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件运用已掌握的数学知识、物理知识及其相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。
第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，得到结果；第四步：将所得的结论转译成具体问题的解答。
四、典例导析1、指、对函数的实际应用：例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间后的温度是T ,则1()()2th a o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c热水冲的速容咖啡,放在24c的房间中,如果咖啡降到40c需要20min ,那么降温到35c 时,需要多长时间?思路导析：根据题设条件，常设变量，用变量表达函数关系，利用函数知识求解。
【同步汇编】2018年高一数学人教A版必修1 习题汇编 70页(含解析)
2018年高一数学人教A版必修1 习题汇编目录第一章集合与函数概念1.1.1.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.1.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.3.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.3.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.2.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.2.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1 章末高效整合Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2 章末高效整合Word版含答案第三章函数的应用3.1.1 Word版含答案第三章函数的应用3.1.2 Word版含答案第三章函数的应用3.2.1 Word版含答案第三章函数的应用3.2.2 Word版含答案第三章函数的应用3 章末高效整合Word版含答案2018年高一数学人教A版必修一模块质量评估试题模块质量评估A Word版含答案2018年高一数学人教A版必修一模块质量评估试题模块质量评估B Word版含答案一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．中国农业银行滨州支行的所有员工 B ．2016年里约热内卢奥运会所有的田径项目 C ．好心的人D ．所有小于18的既是奇数又是质数的正实数解析： A ，B ，D 中涉及的元素都是确定的，如D 中满足条件的正实数只有3,5,7,11,13,17，故它们都能构成集合，而C 中没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心的人”，所以不能组成集合．故选C. 答案： C2．已知集合A 中元素x 满足-5≤x ≤5，且x ∈N *，则必有( ) A ．-1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．1∈A解析： x ∈N *，且-5≤x ≤5，所以x =1,2，所以1∈A . 答案： D3．由a 2,2-a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．-2 C ．6D ．2解析： 由题设知，a 2,2-a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠-2，a ≠1，且a ≠2.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，-4,4，可以构成集合，故选C. 答案： C4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．4∈MB ．2∈MC ．0∉MD ．-4∉M解析： 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合 Z中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________．解析： 因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 答案： ②④6．不等式x -a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： 因为3∉A ，所以3是不等式x -a <0的解，所以3-a <0，解得a >3. 答案： a >37．(2016·浙江镇海检测)已知集合A 是由0，m ，m 2-3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m =________. 解析： 由题意知，m =2或m 2-3m ＋2=2，解得m =2或m =0或m =3，经验证， 当m =0或m =2时，不满足集合中元素的互异性，当m =3时，满足题意，故m =3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)8．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2-2x ， (1)求元素x 应满足的条件； (2)若-2∈A ，求实数x .解析： (1)由集合元素的互异性可得x ≠3，且x 2-2x ≠x ， x 2-2x ≠3，解得x ≠-1，且x ≠0，且x ≠3.(2)若-2∈A ，则x =-2或x 2-2x =-2.由于方程x 2-2x ＋2=0无解，所以x =-2. 经检验，知x =-2符合互异性．故x =-2.9．数集M 满足条件，若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来．解析： ∵a =3∈M ，∴1＋a 1－a =1＋31－3=-2∈M ，∴1－21＋2=-13∈M ，∴1－131＋13=12∈M ，∴1＋121－12=3∈M .再把3代入将重复上面的运算过程，由集合中元素的互异性可知M 中含有元素3，-2，-13，12.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析： ∵32－x∈Z ，∴2-x 的取值有-3，-1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，-1，故集合A 中的元素个数为4，故选C. 答案： C2．集合{(x ，y )|y =2x -1}表示( ) A ．方程y =2x -1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合解析： 集合{(x ，y )|y =2x -1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y =2x -1，因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合，故选D. 答案： D3．将集合⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案： B4．已知集合A ={x |x =2m -1，m ∈Z }，B ={x |x =2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A解析： 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．答案： D 二、填空题(每小题5分，共15分)5．设集合A ={1，-2，a 2-1}，B ={1，a 2-3a,0}，若A ，B 相等，则实数a =________.解析： 由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a =1.答案： 16．已知集合A ={x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵1∉{x |2x ＋a >0}，∴2×1＋a ≤0，即a ≤-2. 答案： a ≤-27．已知-5∈{x |x 2-ax -5=0}，则集合{x |x 2-4x -a =0}中所有元素之和为________． 解析： 由-5∈{x |x 2-ax -5=0}得(-5)2-a ×(-5)-5=0，所以a =-4， 所以{x |x 2-4x ＋4=0}={2}，所以集合中所有元素之和为2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知集合M ={-2,3x 2＋3x -4，x 2＋x -4}，若2∈M ，求x .解析： 当3x 2＋3x -4=2时，即x 2＋x -2=0，则x =-2或x =1.经检验，x =-2，x =1均不合题意． 当x 2＋x -4=2时，即x 2＋x -6=0，则x =-3或2.经检验，x =-3或x =2均合题意． ∴x =-3或x =2.9．(1)已知集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z，求M ； (2)已知集合C =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x ∈Z x ∈N ，求C .解析： (1)∵x ∈N ，61＋x∈Z .∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x =1,2,3,6，即x =0,1,2,5.∴M ={0,1,2,5}． (2)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x 应为6的正约数， ∴1＋x =1,2,3,6，此时61＋x分别为6,3,2,1，∴C ={6,3,2,1}.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合A ={x |x =3k ，k ∈Z }，B ={x |x =6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．ABD ．AB解析： 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．答案： D2．已知集合M={x|-5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P={-3,0,1} B．Q={-1,0,1,2}C．R={y|-π<y<-1，y∈Z} D．S={x||x|≤3，x∈N}解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M={-2，-1,0,1}，集合R={-3，-2}，集合S={0,1}，不难发现集合P中的元素-3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素-3∉M，而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.答案： D3．已知集合P={x|x2=1}，Q={x|ax=1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．-1C．1或-1 D．0,1或-1解析：由题意，当Q为空集时，a=0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a=1或a=-1.答案： D4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6 B．5C．4 D．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N={x|-2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M={y|y≥-2}．∴N M.答案：N M6．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．解析：由Venn图可得A B，C D B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．答案：小说文学作品叙事散文散文7．已知集合A ={x |ax 2＋2x ＋a =0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________． 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a =0(a ∈R )仅有一个根． 当a =0时，方程化为2x =0，∴x =0，此时A ={0}，符合题意． 当a ≠0时，Δ=22-4·a ·a =0，即a 2=1，∴a =±1. 此时A ={-1}，或A ={1}，符合题意．∴a =0或a =±1. 答案： {0,1，-1}三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A ={x |x 2-3x ＋2=0}，B ={x |ax -2=0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C . 解析： 由x 2-3x ＋2=0，得x =1，或x =2.∴A ={1,2}． ∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B =∅，即方程ax -2=0无解，此时a =0.(2)若B ≠∅，则B ={1}或B ={2}．则B ={1}时，有a -2=0，即a =2； 当B ={2}时，有2a -2=0，即a =1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ={0,1,2}．9．已知A ={x |x 2＋4x =0}，B ={x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解析： 集合A ={0，-4}，由于B ⊆A ，则(1)当B =A 时，即0，-4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0的两根，代入解得a =1. (2)当BA 时，①当B =∅时，则Δ=4(a ＋1)2-4(a 2-1)<0，解得a <-1；②当B ={0}或B ={-4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0应有两个相等的实数根0或-4，则Δ=4(a ＋1)2-4(a 2-1)=0，解得a =-1，此时B ={0}满足条件． 综上可知a =0或a ≤-1.一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y =x 2－9x －3与y =x ＋3B ．y =x 2-1与y =x -1C ．y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D ．y =2x ＋1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z解析： A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同．故选C. 答案： C2．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ={-1,0,1}，B ={0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ={0,1}，B ={-1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A =Z ，B =Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A =R ，B ={正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析： 按照函数定义，选项B 中，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中，集合A 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应着唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A 符合函数定义． 答案： A3．设f (x )=x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=( )A ．1B ．-1 C.35D ．-35解析： f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=22－122＋1⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1=35－3454=35×⎝⎛⎭⎫－53=-1. 答案： B4．若函数y =f (x )的定义域M ={x |-2≤x ≤2}，值域为N ={y |0≤y ≤2}，则函数y =f (x )的图象可能是()解析： A 中定义域是{x |-2≤x ≤0}，不是M ={x |-2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ={y |0≤y ≤2}． 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知f (x )由下表表示则函数f (x )的定义域是________解析： 观察表格可知函数f (x )的定义域是{1,2,3}，值域是{1,2}． 答案： {1,2,3} {1,2}6．若[a,3a -1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析： 由题意知3a -1>a ，则a >12.答案： ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 7．设f (x )=11－x，则f (f (a ))=________.解析： f (f (a ))=11－11－a =11－a －11－a =a －1a .答案： a －1a (a ≠0，且a ≠1)三、解答题(每小题10分，共20分) 8．求下列函数的定义域． (1)y =2x ＋1＋3－4x ； (2)y =1|x ＋2|－1.解析： (1)由已知得⎩⎨⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12，3－4x ≥0⇒x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，34. (2)由已知得：∵|x ＋2|-1≠0，∴|x ＋2|≠1，得x ≠-3，x ≠-1. ∴函数的定义域为(-∞，-3)∪(-3，-1)∪(-1，＋∞)． 9．已知函数f (x )=6x －1-x ＋4，(1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (-1), f (12)的值．解析： (1)根据题意知x -1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥-4且x ≠1， 即函数f (x )的定义域为[-4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (-1)=6－2-－1＋4=-3- 3.f (12)=612－1-12＋4=611-4=-3811.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f (x )的定义域A ={x |0≤x ≤2}，值域B ={y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )解析： 根据函数的定义，观察图象，对于选项A ，B ，值域为{y |0≤y ≤2}，不符合题意，而C 中当0<x <2时，一个自变量x 对应两个不同的y ，不是函数．故选D. 答案： D2．已知函数f (2x ＋1)=3x ＋2，且f (a )=2，则a 的值等于( ) A ．8 B ．1 C ．5D ．-1解析： 由f (2x ＋1)=3x ＋2，令2x ＋1=t ，∴x =t －12，∴f (t )=3·t －12＋2，∴f (x )=3(x －1)2＋2，∴f (a )=3(a －1)2＋2=2，∴a =1.答案： B3．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))等于( )A.1 C ．3D ．4解析： ∵f (3)=4，∴f (f (3))=f (4)=1. 答案： A 4．已知f (x -1)=1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )=11＋xB ．f (x )=1＋xxC ．f (x )=1x ＋2D ．f (x )=1＋x解析： 令x -1=t ，则x =t ＋1，∴f (t )=1t ＋1＋1=12＋t ，∴f (x )=1x ＋2.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数f (x )=x -mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．解析： 将点(5,4)代入f (x )=x -mx ，得m =5.答案： 56．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))=________.解析： ∵f (2)=0，∴f (f (2))=f (0)=4，∴f (f (f (2)))=f (4)=2. 答案： 27．已知a ，b 为常数，若f (x )=x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )=x 2＋10x ＋24，则5a -b =________.解析： 由f (x )=x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )=x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3=x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3=x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24.解得a =-1，b =-7或a =1，b =3.则5a -b =2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解析： (1)列表法：(2)图象法：如图所示．(3)解析法：y =20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)-f (x )=2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)=x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )=ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)-f (x )=2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b -ax -b =2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b =2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a =1，b =3.∴所求函数解析式为f (x )=x ＋3.(2)设x ＋1=t ，则x =t -1，f (t )=(t -1)2＋4(t -1)＋1，即f (t )=t 2＋2t -2. ∴所求函数为f (x )=x 2＋2x -2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)=( )A ．-1B ．0C ．1D ．2解析： f (2)=f (2-1)=f (1)=1-2=-1. 答案： A2．函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值为( )A.1516 B ．-2716C.89D ．18解析： ∵x >1，∴f (3)=32-3-3=3，∵13<1，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)=f ⎝⎛⎭⎫13=1-⎝⎛⎭⎫132=89. 答案： C3．函数y =x ＋|x |x的图象是( )解析： y =x ＋|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.答案： D4．a ，b 为实数，集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ={a,0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b =( ) A ．-2 B ．0 C ．2D ．±2解析： 由题意知M 中元素b a 只能对应0,1只能对应a ，所以2ba =0，a =2，所以b =0，a =2，因此a ＋b =2，故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为________，值域为________________．解析： 函数定义域为[0,1]∪(1,2]=[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]=[0,1]． 答案： [0,2] [0,1]6．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x =________.解析： 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10.∴y =3x -10.由3x -10=20，得x =10.答案： 107．已知函数f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析： ∵f (x )的图象由两条线段组成，由一次函数解析式求法可得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.答案： f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x <0)，x 2(0≤x <2)，12x (x ≥2).(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12的值； (2)若f (x )=2，求x 的值．解析： (1)f ⎝⎛⎭⎫－12=⎝⎛⎭⎫－12＋2=32，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12=f ⎝⎛⎭⎫32=⎝⎛⎭⎫322=94，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12=f ⎝⎛⎭⎫94=12×94=98. (2)当f (x )=x ＋2=2时，x =0，不符合x <0.当f (x )=x 2=2时，x =±2，其中x =2符合0≤x <2.当f (x )=12x =2时，x =4，符合x ≥2.综上，x 的值是2或4.9．已知A =B =R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →2x -1. (1)求与A 中元素3相对应的B 中的元素； (2)求与B 中元素3相对应的A 中的元素．解析： (1)将x =3代入对应关系f 可得2x -1=2×3-1=5，即与A 中元素3相对应的B 中的元素为5. (2)由题意可得2x -1=3，解得x =2，所以与B 中元素3相对应的A 中的元素为2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合M ={x |-3<x <1}，N ={-3，-2，-1,0,1}，则M ∩N =( ) A ．{-2，-1,0,1} B ．{-3，-2，-1,0} C ．{-2，-1,0}D ．{-3，-2，-1}解析： 运用集合的运算求解．M ∩N ={-2，-1,0}，故选C. 答案： C2．设集合A ={x |x ＋2=0}，集合B ={x |x 2-4=0}，则A ∩B =( ) A ．{-2} B ．{2} C ．{-2,2}D ．∅解析： 解出集合A ，B 后依据交集的概念求解．∵A ={x |x ＋2=0}，∴A ={-2}．∵B ={x |x 2-4=0}，∴B ={-2,2}． ∴A ∩B ={-2}．故选A. 答案： A3．设集合A ={x ∈Z |-10≤x ≤-1}，B ={ x ∈Z ||x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )A ．10B ．11C ．15D ．16解析： A ={-10，-9，-8，-7，-6，…，-1}，B ={-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5}，∴A ∪B ={-10，-9，-8，…，-1,0,1,2,3,4,5}， A ∪B 中共16个元素． 答案： D4．已知集合A ={x |x 2-2x >0}，B ={x |-5<x <5}，则( ) A ．A ∩B =∅ B ．A ∪B =R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析： 先求解集合A ，再进行集合之间的运算．∵A ={x |x >2或x <0}，B ={x |-5<x <5}，∴A ∩B ={x |-5<x <0或2<x <5}，A ∪B =R .故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．设M ={0,1,2,4,5,7}，N ={1,4,6,8,9}，P ={4,7,9}，则(M ∩N )∪(M ∩P )=________. 解析： M ∩N ={1,4}，M ∩P ={4,7}，所以(M ∩N )∪(M ∩P )={1,4,7}． 答案： {1,4,7}6．设集合A ={x |x ≥0}，B ={x |x <1}，则A ∪B =________. 解析： 结合数轴分析得A ∪B =R .答案： R7．设集合A ={x |-1<x <2}，B ={x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 解析： 利用数轴分析可知，a >-1.答案： a >-1三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A ={x |a <x ≤a ＋8}，B ={x |x <-1，或x >5}．若A ∪B =R ，求a 的取值范围． 解析： 在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A ∪B =R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a <－1，解得-3≤a <-1.综上可知，a 的取值范围为-3≤a <-1. 9．集合A ={x |-1≤x <3}，B ={x |2x -4≥x -2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ={x |2x ＋a >0}，满足B ∪C =C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ={x |x ≥2}，∴A ∩B ={x |2≤x <3}．(2)C =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C =C ⇒B ⊆C ，∴-a2<2，∴a >-4.即a 的取值范围为a >-4.一、选择题(每小题5分，共20分)1．设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2}，则∁U A =( ) A ．{1,2} B ．{3,4,5} C ．{1,2,3,4,5}D ．∅解析： 依据补集的定义计算．∵U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2}，∴∁U A ={3,4,5}． 答案： B2．已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )={4}，B ={1,2}，则A ∩∁U B =( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3,4}D ．∅解析： 利用所给条件计算出A 和∁U B ，进而求交集． ∵U ={1,2,3,4}，∁U (A ∪B )={4}，∴A ∪B ={1,2,3}．又∵B ={1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ={3,4}，∴A ∩∁U B ={3}． 答案： A3．已知全集U =R ，集合A ={x |-2≤x ≤3}，B ={x |x <-2或x >4}，那么集合(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |-1≤x ≤3}解析： ∵∁U A ={x |x <-2或x >3}，∁U B ={x |-2≤x ≤4}，如图．∴(∁U A )∩(∁U B )={x |3<x ≤4}，故选A.答案： A4．设全集U 是实数R ，M ={x |x <-2，或x >2}，N ={x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |-2≤x <1}B ．{x |-2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x >3}D ．{x |-2≤x ≤2}解析：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=(∁U M)∩(∁U N)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}={x|-2≤x<1}．故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．设U={0,1,2,3}，A={x∈U|x2＋mx=0}，若∁U A={1,2}，则实数m=________.解析：∵∁U A={1,2}，∴A={0,3}，∴0,3是方程x2＋mx=0的两个根，∴m=-3.答案：-36．设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．解析：先求出∁U A={x|x<0}，∁U B={y|y<1}={x|x<1}．∴∁U A ∁U B.答案：∁U A ∁U B7．已知全集U=R，A={x|1≤x<b}，∁U A={x|x<1，或x≥2}，则实数b=________.解析：∵∁U A={x|x<1，或x≥2}，∴A={x|1≤x<2}．∴b=2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，C={x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解析：(1)因为A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，所以A∪B={x|2≤x<10}．因为A={x|2≤x<7}，所以∁R A={x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}．(2)因为A={x|2≤x<7}，C={x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.9．已知全集U={不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)={3,5}，(∁U M)∩N={7,19}，(∁U M)∩(∁U N)={2,17}，求M，N.解析：法一：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M={3,5,11,13}，N={7,11,13,19}．法二：∵M∪(∁U N)={3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N={7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)={2,17}，∴∁U(M∪N)={2,17}，∴M={3,5,11,13}，N={7,11,13,19}．能力测评10．设全集U={x||x|<4，且x∈Z}，S={-2,1,3}．若∁U P⊆S，则这样的集合P共有()A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：U ={-3，-2，-1,0,1,2,3}，∵∁U (∁U P )=P ，∴存在一个∁U P ，即有一个相应的P (如当∁U P ={-2,1,3}时，P ={-3，-1,0,2}，当∁U P ={-2,1}时，P ={-3，-1,0,2,3}等)，由于S 的子集共有8个， ∴P 也有8个，选D. 答案： D11．已知集合A ={x |x ≤a }，B ={x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B =R ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵∁R B ={x |x <1或x >2}且A ∪∁R B =R ，∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2. 答案： a ≥212．已知集合A ={1,3，-x 3}，B ={1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )=A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在x ，使B ∪(∁A B )=A ，∴B A . (1)若x ＋2=3，则x =1符合题意．(2)若x ＋2=-x 3，则x =-1不符合题意．∴存在x =1，使B ∪(∁A B )=A ， 此时A ={1,3，-1}，B ={1,3}．13．已知A ={x |-1<x ≤3}，B ={x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m =1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析：(1)m =1时，B ={x |1≤x <4}，A ∪B ={x |-1<x <4}．(2)∁R A ={x |x ≤-1或x >3}．当B =∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤-12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解之得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤-12.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为( )①你所在班中身高超过1.75 m 的同学；②所有平行四边形；③人教A 版数学必修1教材中的所有习题；④所有有理数；⑤2012年高考试卷中的所有难题． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合． 答案： D2．设全集U =Z ，集合A ={1,3,5,7,9}，B ={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9}D ．{2,4}解析： 题图中所示阴影表示的集合是(∁U A )∩B ={2,4}． 答案： D3．如果全集U ={x |x 是小于9的正整数}，集合A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，则(∁U A )∩(∁U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6}D ．{7,8}解析： U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，∁U A ={5,6,7,8}，∁U B ={1,2,7,8}，故(∁U A )∩(∁U B )={5,6,7,8}∩{1,2,7,8}={7,8}． 答案： D4．下列各组函数相等的是( )A ．f (x )=x 2，g (x )=(x )2B ．f (x )=1，g (x )=x 0C ．f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )=|t | D ．f (x )=x ＋1，g (x )=x 2－1x －1解析： 选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合． 答案： C5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x =x 2＋1x 2，则f (3)=( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．10解析： ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x =⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (3)=9＋2=11. 答案： C6．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y =x 2－2x ＋1B ．y =x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y =1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y =1|x ＋1|解析： 在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，即y >0.答案： D7．函数f (x )=1－x 2＋91＋|x |是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 解析： ∵函数f (x )的定义域是[-1,1]，且f (-x )=f (x )，∴该函数为偶函数． 答案： B8．已知f (x )为奇函数，g (x )=f (x )＋9，g (-2)=3，则f (2)=( ) A ．-3 B ．3 C ．-6D ．6解析： 由题意得g (-2)=f (-2)＋9=-f (2)＋9=3，∴f (2)=6. 答案： D9．已知函数f (x )=x 2＋mx ＋1在区间(-∞，-1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[-2,2] B ．(-∞，-2] C ．[2，＋∞)D ．R解析： 二次函数的对称轴是直线x =-m 2，则由题意可得-1≤m2≤1，所以-2≤m ≤2.答案： A10．若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )=af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F (x )在区间(-∞，0)上( ) A ．有最小值-5 B ．有最大值-5 C ．有最小值-1D ．有最大值-3解析： ∵当x >0时，F (x )≤5，即af (x )＋bg (x )＋2≤5，∴af (x )＋bg (x )≤3.设x <0，则-x >0，∴af (-x )＋bg (-x )≤3，即af (x )＋bg (x )≥-3.∴F (x )=af (x )＋bg (x )＋2≥-1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用列举法表示集合：M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z=________. 解析： 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|=1,2,5,10，从而m 的值为-11，-6，-3，-2,0,1,4,9.答案： {-11，-6，-3，-2,0,1,4,9}12．已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)=0，则实数a 的值等于________．解析： 若a >0，则2a ＋2=0，得a =-1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2=0，得a =-3，所以实数a 的值等于-3.答案： -313．已知f (x )=ax 3＋bx -4，其中a ，b 为常数，若f (-2)=2，则f (2)的值等于________．解析： 设g (x )=ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，则f (x )=ax 2＋bx -4=g (x )-4，于是f (-2)=g (-2)-4=-g (2)-4=2，所以g (2)=-6，所以f (2)=g (2)-4=-6-4=-10. 答案： -1014．若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (-x )=0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )=1x ；(2)f (x )=x 2；(3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)解析： ①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数． 答案： (3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)设A ={x |2x 2＋ax ＋2=0}，B ={x |x 2＋3x ＋2a =0}，且A ∩B ={2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U =A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解析：(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2=0和x 2＋3x ＋2a =0的公共解，则a =-5，此时A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ={-5,2}．(2)由并集的概念易得U =A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ={-5}，∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.16．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，(x >0)0，(x ＝0)x 2＋mx .(x <0)(1)求实数m 的值； (2)画出函数图象；(3)若函数f (x )在区间[-1，|a |-2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 解析： (1)当x <0时，-x >0，f (-x )=-(-x )2＋2(-x )=-x 2-2x .又∵f (x )为奇函数，所以f (-x )=-f (x )=-x 2-2x ，所以f (x )=x 2＋2x ，则m =2. (2)由(1)知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， (x >0)0， (x ＝0)x 2＋2x ， (x <0)函数f (x )的图象如图所示．(3)由图象可知f (x )在[-1,1]上单调递增，要使f (x )在[-1，|a |-2]上单调递增，只需-1<|a |-2≤1，即1<|a |≤3， 解得-3≤a <-1或1<a ≤3.17．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)=f (2)=3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[-1,1]上，y =f (x )的图象恒在y =2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析： (1)由题意设f (x )=a (x -1)2＋1，代入(2,3)得a =2，所以f (x )=2(x -1)2＋1=2x 2-4x ＋3. (2)对称轴为x =1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f (x )-2x -2m -1=2x 2-6x -2m ＋2，由题意得2x 2-6x -2m ＋2>0对于任意x ∈[-1,1]恒成立， 所以x 2-3x ＋1>m 对于任意x ∈[-1,1]恒成立，令g (x )=x 2-3x ＋1，x ∈[-1,1]， 则g (x )min =-1，所以m <-1.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )=ax ＋b x 2＋1是定义在(-1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12=25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(-1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x -1)＋f (x )<0.解析： (1)由题意可知f (-x )=-f (x )，∴－ax ＋b 1＋x 2=-ax ＋b1＋x 2，∴b =0，∴f (x )=ax 1＋x 2.又∵f ⎝⎛⎭⎫12=25，∴a =1，∴f (x )=x 1＋x 2. (2)当x ∈(-1,1)时，函数f (x )是单调递增的．证明如下：设-1<x 1<x 2<1，则f (x 1)-f (x 2)=x 11＋x 21-x 21＋x 22=x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)=(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵-1<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0.又1＋x 21>0,1＋x 22>0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0，即f (x 1)-f (x 2)<0，∴函数f (x )为增函数． (3)∵f (2x -1)＋f (x )<0，∴f (2x -1)<-f (x )．又f (x )是定义在(-1,1)上的奇函数，∴f (2x -1)<f (-x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13，∴不等式f (2x -1)＋f (x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫0，13.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列运算结果中正确的为( )A ．a 2·a 3=a 6B ．(-a 2)3=(-a 3)2C ．(a-1)0=1D ．(-a 2)3=-a 6解析： a 2·a 3=a 5，(-a 2)3=(-1)3·(a 2)3=-a 6，而(-a 3)2=a 6，∴在a ≠0时(-a 2)3≠(-a 3)2；若a=1，则(a-1)0无意义，所以只有D 正确． 答案： D2.⎝⎛⎭⎫1120-(1-0.5-2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．-13 B.13 C.43 D.73解析： 原式=1-(1-22)÷⎝⎛⎭⎫322=1-(-3)×49=73. 答案： D 3．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x－2-85化成分数指数幂为( )A ．x-13B ．x 415C ．x-415D ．x 25解析： 原式=⎝⎛⎭⎫x 16·x －23×12-85=⎝⎛⎭⎫x 16－13-85=x-16×⎝⎛⎭⎫－85=x 415. 答案： B4．下列说法中，正确说法的个数为( )①na n =a ；②若a ∈R ，则(a 2-a ＋1)0=1；③3x 4＋y 3=x 43＋y ；④3－5=6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析： ①中，若n 为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为a 2-a ＋1=⎝⎛⎭⎫a －122＋34≠0，所以(a 2-a ＋1)0=1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，是错误的，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．[(-5)4]14-150的值是________．解析： [(-5)4]14-150=(54)14-150=5-1=4.答案： 46．设α、β为方程2x 2＋3x ＋1=0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β=_______________________. 解析： 由根与系数关系得α＋β=-32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β=⎝⎛⎭⎫14-32=(2-2)-32=23=8. 答案： 87．已知x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9=0，则y x 的值为________．解析： 因为x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9=0，所以(x －2)2＋(y ＋3)2=0， 即|x-2|＋|y ＋3|=0，所以x=2，y=-3.即y x =(-3)2=9. 答案： 9三、解答题(每小题10分，共20分) 8．计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56； (2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388. 解析：(1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56=[2×(-6)÷(-3)]a 23＋12-16b 12＋13-56=4ab 0=4a ； (2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388=⎝⎛⎭⎫m 148⎝⎛⎭⎫n －388=m 2n -3=m 2n 3.(1)⎝⎛⎭⎫2140.5-0.752＋6-2×⎝⎛⎭⎫827-23； (2)823-(0.5)-3＋⎝⎛⎭⎫13-6×⎝⎛⎭⎫8116-34. 解析：(1)⎝⎛⎭⎫2140.5-0.752＋6-2×⎝⎛⎭⎫827-23=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32212-⎝⎛⎭⎫342＋136×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫233-23=32-⎝⎛⎭⎫342＋136×⎝⎛⎭⎫23-2=32-916＋136×94=1. (2)823-(0.5)-3＋⎝⎛⎭⎫13-6×⎝⎛⎭⎫8116-34=()2323-(2-1)-3＋⎝⎛⎭⎫3－12-6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324-34=22-23＋33×⎝⎛⎭⎫32-3=4-8＋27×827=4.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y=⎝⎛⎭⎫12x-1；②y=a x (a>0，且a ≠1)；③y=1x ；④y=⎝⎛⎭⎫122x -1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个解析： 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 答案： B2．当a>0，且a ≠1时，函数f(x)=a x ＋1-1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，-1)C ．(-1,0)D ．(1,0)解析： 当x=-1时，显然f(x)=0，因此图象必过点(-1,0)． 答案： C3．函数y=16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析： 要使函数有意义，则16-4x ≥0.又因为4x >0，∴0≤16-4x <16，即函数y=16－4x 的值域为[0,4)． 答案： C4．函数f(x)=πx 与g(x)=⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y=-x 对称解析：设点(x ，y)为函数f(x)=πx 的图象上任意一点，则点(-x ，y)为g(x)=π-x =⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y)与点(-x ，y)关于y 轴对称，所以函数f(x)=πx 与g(x)=⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知函数f(x)=2a x－1＋3(a>0且a ≠1)，若f(1)=4，则f(-1)=________. 解析： 由f(1)=4得a=3，把x=-1代入f(x)=23x －1＋3得到f(-1)=0，故答案为0.答案： 06．函数y=2a x-2＋1(a>0，且a ≠1)的图象过定点________． 解析： 令x-2=0，解得x=2，则y=3.所以过定点(2,3)． 答案： (2,3)7．已知f(x)=a x ＋b 的图象如图，则f(3)=________. 解析： 由题意知，f(x)的图象过点(0，-2)和(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 0＋b ＝－2，a 2＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝3(a>0)，b ＝－3.∴f(x)=(3)x -3.∴f(3)=(3)3-3=33-3. 答案： 33-3三、解答题(每小题10分，共20分) 8．设f(x)=3x ，g(x)=⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f(x)、g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(-1)，f(π)与g(-π)，f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么结论？ 解析： (1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：(2)f(1)=31=3，g(-1)=⎝⎛⎭⎫13-1=3；f(π)=3π，g(-π)=⎝⎛⎭⎫13-π=3π；f(m)=3m ，g(-m)=⎝⎛⎭⎫13-m =3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y=21x-1；(2)y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2. 解析： (1)要使y=21x -1有意义，需x ≠0，则21x ≠1；故21x -1>-1且21x -1≠0，故函数y=21x -1的定义域为{x|x ≠0}，函数的值域为(-1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2-2≥-2. 故0<⎝⎛⎭⎫132x 2-2≤9，所以函数y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2的值域为(0,9]．一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a=⎝⎛⎭⎫34-13，b=⎝⎛⎭⎫34-14，c=⎝⎛⎭⎫32-14，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c<a<b B ．c<b<a C ．a<b<cD ．b<c<a解析： 由y=⎝⎛⎭⎫34x 在R 上单调递减，知⎝⎛⎭⎫34-14<⎝⎛⎭⎫34-13，而⎝⎛⎭⎫32-14<1<⎝⎛⎭⎫34-14，所以⎝⎛⎭⎫32-14<⎝⎛⎭⎫34-14<⎝⎛⎭⎫34-13.即c<b<a. 答案： B2．函数y=⎝⎛⎭⎫121-x的单调递增区间为( ) A ．(-∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析： 定义域为R .设u=1-x ，则y=⎝⎛⎭⎫12u .∵u=1-x 在R 上为减函数，又∵y=⎝⎛⎭⎫12u 在(-∞，＋∞)上为减函数，∴y=⎝⎛⎭⎫121-x 在(-∞，＋∞)上是增函数． 答案： A3．已知0<a<1，b<-1，则函数y=a x ＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析： ∵0<a<1，∴y=a x 的图象不经过三、四象限． ∵b<-1，∴y=a x ＋b 的图象不经过第一象限． 答案： A4．已知f(x)=a -x (a>0且a ≠1)，且f(-2)>f(-3)，则a 的取值范围是( ) A ．a>0B ．a>1C ．a<1D ．0<a<1解析： ∵f(-2)=a 2，f(-3)=a 3，f(-2)>f(-3)，即a 2>a 3，故0<a<1.选D. 答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数y=f(x)的定义域为(1,2)，则函数y=f(2x )的定义域为________． 解析： 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x<1，所以应填(0,1)． 答案： (0,1)6．满足方程4x ＋2x -2=0的x 值为________．解析： 设t=2x (t>0)，则原方程化为t 2＋t-2=0，∴t=1或t=-2. ∵t>0，∴t=-2舍去．∴t=1，即2x =1，∴x=0. 答案： 07．定义运算a ⊗b=⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )，a (a<b )，则函数f(x)=3-x ⊗3x 的值域为________．解析：由题设可得f(x)=3-x ⊗3x=⎩⎪⎨⎪⎧3－x(x>0)，3x (x ≤0)，其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．答案： (0,1]三、解答题(每小题10分，共20分) 8．比较下列各组值的大小：(1)1.8-0.1,1.8-0.2；(2)1.90.3,0.73.1； (3)a 1.3，a 2.5(a>0，且a ≠1)．解析：(1)由于1.8>1，所以指数函数y=1.8x ，在R 上为增函数．所以1.8-0.1>1.8-0.2. (2)因为1.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y=a x 是增函数，此时a 1.3<a 2.5， 当0<a<1时，函数y=a x 是减函数，此时a 1.3>a 2.5， 故当0<a<1时，a 1.3>a 2.5，当a>1时，a 1.3<a 2.5.9．已知函数f(x)=a x 在x ∈[-2,2]上恒有f(x)<2，求a 的取值范围． 解析：当a>1时，函数f(x)=a x 在[-2,2]上单调递增，此时f(x)≤f(2)=a 2， 由题意可知a 2<2，即a<2，所以1<a< 2.当0<a<1时，函数f(x)=a x 在[-2,2]上单调递减，此时f(x)≤f(-2)=a -2， 由题意可知a -2<2，即a>22，所以22<a<1.综上所述，所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． 能力测评10．函数y=a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3D.32解析：函数y=a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1=3，解得a=2.因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是单调递增函数，当x=1时，y max =3. 答案： C11．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y=2x-1，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 答案：1912．已知函数f(x)=ax 2-1(a>0且a ≠1)．(1)若函数f(x)的图象经过点P(3，4)，求a 的值； (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(3)比较f(-2)与f(-2.1)的大小，并说明理由．解析： (1)∵函数f(x)的图象经过点P(3，4)，∴f(3)=a 2=4，∴a=2.(2)函数f(x)为偶函数．∵函数f(x)的定义域为R ，且f(-x)=a(-x)2-1=ax 2-1=f(x)，∴函数f(x)为偶函数． (3)∵y=x 2-1在(-∞，0)上单调递减，∴当a>1时，f(x)在(-∞，0)上单调递减，∴f(-2)<f(-2.1)； 当0<a<1时，f(x)在(-∞，0)上单调递增，∴f(-2)>f(-2.1)． 13．已知函数f(x)=1＋22x －1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(-∞，0)上为减函数．解析：(1)由f(x)=1＋22x －1可得，2x -1≠0，所以x ≠0.所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}．(2)设x 1，x 2∈(-∞，0)且x 1<x 2.f(x 1)-f(x 2)=22x 1－1-22x 2－1=2(2x 2－2x 1)(2x 1－1)(2x 2－1)因为x 1，x 2∈(-∞，0)且x 1<x 2，所以2x 2>2x 1且2x 1<1,2x 2<1.所以f(x 1)-f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)．以函数f(x)在(-∞，0)上为减函数．。
第三章函数的概念与性质 小结与复习(第1课时) 教案-高一上学期数学人教A版必修第一册
第三章函数的概念与性质小结与复习教案第1课时一、内容和内容解析1.内容函数的概念、表示和函数单调性的复习课2. 内容解析这是在学生已经学习完本章内容的基础上进行的复习课，复习课一共两节课，这是第一节复习课.在这一章中，学生从用变量之间依赖关系描述函数上升到用集合语言和对应关系刻画函数，建立了完整的函数概念，并体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.这是一个难点，因此在复习的过程中还要巩固.除此之外，还要了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能根据实际的情况用不同的函数表示方法表示函数，了解简单的分段函数，并能简单应用.同样地，在研究函数单调性的过程中，能够使用符号化的语言来描述，这是学生学习这部分内容时的一个难点. 这样一种从形象直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确刻画刻画定量变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：复习建立在集合与对应关系的函数概念以及函数单调性的符号语言刻画和单调性的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题；（2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，理解它们的作用和实际意义；（3）能用定义证明简单函数的单调性；（4）能运用所学的知识解决一些数学问题和实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能用集合间的对应关系的观点定义函数，能根据实际的问题表示函数；（2）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（3）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（4）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值.三、教学问题诊断分析学生已经学习了相关的知识，在这节复习课上，要巩固前面学习的相关内容，让学生进一步体会用数学的语言和符号化的方式表达数学概念，表达函数的概念、函数的性质等.作为复习课，在教学的过程中也要充分利用信息技术展示函数的对应关系、函数的单调变化规律、函数的最值等，也可以用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.另外，在教学的过程中，还要有一定的习题，让学生通过习题，自己体会函数的概念和函数的性质等，通过习题，体会这些概念和性质的应用，并体会一些内容的综合运用.根据以上分析，确定教学难点是：符号化的语言表述，对量词的使用和运用函数的单调性解决问题.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数图象、展示变化规律等.五、教学过程设计（一）引入问题1：初中函数概念和高中函数概念的区别是什么？（1）请说出初中函数的定义；（2）请说出高中函数的定义；（3）辨析这两者有什么不同.师生活动：教师提出问题，前2个问题学生自主回答，第3个问题由学生之间讨论、分析并总结.设计意图：让学生复习函数的概念，并通过对比初中和高中的概念区别，进一步体会函数是建立在集合间的对应关系.（二）函数的概念和表示法的巩固师生活动：学生先独立思考，计算，黑板板书（或者利用信息技术将学生的书写过程展示）.设计意图：让学生体会在一个熟知的二次函数中，利用单调性解决数学问题.（四）课堂小结问题11：回答下列问题（1）在解决有关函数概念的问题，以及利用函数的概念解决其他问题的时候，有什么需要特别注意的问题吗？（2）在处理函数单调性的问题时，有什么需要注意的吗？师生活动：学生先独立思考，然后讨论，发表观点，教师进行归纳.设计意图：让学生进一步体会和注意，处理有关函数问题的时候，需要注意的问题.六、目标检测设计设计意图：本题通过绘制函数图象，能够观察出（也可以严格的证明）它是一个增函数，因此将f(2-a2)>f(a)转化为1-a2>a，解二次不等式得到结果. 这道题目将分段函数，函数的图象，函数的单调性充分综合，是检测学生综合运用本章知识分析和解决问题的能力.。
2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 章末复习课 Word版含答案 (16)
习题课 函数的应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)．1．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 令f (x )＝e x ＋3x ＝0，即e x ＝－3x ，在同一坐标系中作出函数y ＝e x 和y ＝－3x 的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f (x )有1个零点．答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D ． 答案 D3．函数f (x )＝ax 2＋x －1至少存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝x －1有一个零点x ＝1；当a ≠0时，则零点Δ＝1＋4a ≥0，解得a ≥－14且a ≠0，综上a 的取值范围是a ≥－14. 答案 ⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 4．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．解析 设生产x 台，获得利润f (x )万元，则f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，故当x ＝50时，获得利润最大．答案 50方向1 【例1－1】 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 解析 由f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0及零点存在性定理，知f (x )的零点在区间(－1,0)上． 答案 B方向2 判断函数零点的个数【例1－2】 方程|x |－a x＝0(a >0)的零点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．至少1个解析 令f (x )＝|x |，g (x )＝a x(a >0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．答案 A方向3 根据函数零点求参数的取值范围【例1－3】 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|. 在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同的解． 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根．所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9.答案 (0,1)∪(9，＋∞)规律方法 函数零点问题的解法(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理，结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(3)根据函数的零点求参数的取值范围：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【训练1】 (1)函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) (2)若方程4x ＋2x ＋1＋3－a ＝0有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)易知函数f (x )＝x ＋lg x －3在定义域上是增函数，f (1)＝1＋0－3<0，f (2)＝2＋lg 2－3<0，f (3)＝3＋lg 3－3>0.故函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在的区间为(2,3)，选C ．(2)由4x ＋2x ＋1＋3－a ＝0得a ＝4x ＋2x ＋1＋3，又4x ＋2x ＋1＋3＝(2x )2＋2·2x ＋3＝(2x ＋1)2＋2，因为2x >0，所以(2x ＋1)2＋2>3.故要使原方程有零点，则a >3.答案 (1)C (2)(3，＋∞)类型二 函数模型及其应用【例2】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品为x 万元，则投资风险型类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．规律方法 建立函数模型的方法(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型．(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型．(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型．【训练2】 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)． (2)由(1)得，P ＝P 0e(15ln 0.9)t . 当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e(15ln 0.9)t . 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82. 故污染物减少到40%至少需要42小时．1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．2．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3．函数建模的基本过程如图。
人教A版高中数学选择性必修第一册第3章 章末复习课时练习题
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对答案C解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解方法一由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 方法二设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 反思感悟(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1(1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案x 2－y 23＝1 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3， 因此双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．解抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2(1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62答案D解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. (2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案x ±2y ＝0解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a. 因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则此椭圆的离心率是()A.12B.32C.22D.33答案A解析12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4， 所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12. (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为_________． 答案x ±y ＝0解析c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2， 即c 2a 2－p 24b 2＝1.② 由|F A |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2. ∴a 2＋b 2a 2＝2，即b a＝1， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33. 反思感悟(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围．解(1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0， 若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0， ∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解(1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2，2)知4p ＝4，解得p ＝1.则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12. (2)由题意知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2a ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a .因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 21y 224＋y 1y 2＝0， 解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4.所以－2a ＝－4，解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2.所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4.当且仅当y 1＝2，y 2＝－2或y 1＝－2，y 2＝2时，等号成立．所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2，y 0)(y 0>0)作两条直线l 1，l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解由题意可知，动圆圆心P 到点⎝⎛⎭⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等，所以点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，0为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y 2＝2x . (2)证明易知M (2,2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2， 因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)， 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0，所以(b －1)2＝(2m －1)2，所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时，直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合，舍去；当b ＝2m 时，直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0，－2)，所以直线AB 过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C.1sin50°D.1cos50°答案D解析由题意可得－b a＝tan130°， 所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos130°|＝1cos50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p 等于() A ．2B ．3C ．4D ．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2＝2p ，解得p ＝8，故选D. 3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为()A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 答案B解析由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝(2m )2＋(3m )2－(3m )22×2m ·3m＝13，因为cos2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B. 4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．(1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2. 解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)．。
2018版高中数学人教版A版必修一学案第三单元 章末复习课 Word版含答案
章末复习课网络构建核心归纳．函数的零点与方程的根的关系函数()的零点就是方程()＝的解，函数()的零点的个数与方程()＝的解的个数相等，也可以说方程()＝的解就是函数()的图象与轴交点的横坐标，即函数()的函数值等于时自变量的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．．函数零点的存在性定理()该定理的条件是：①函数()在区间[，]上的图象是连续不断的；②()·()<，即()和()的符号相反．这两个条件缺一不可．()该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．．函数应用()要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．()在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．()根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．要点一函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用．函数的零点与方程的根的关系：方程()＝有实数根⇔函数＝()的图象与轴有交点⇔函数＝()有零点．．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．【例】()函数()＝(\\(－，≤，－＋，>))的零点个数是．()若函数()＝－－有两个零点，则实数的取值范围是．解析()①当≤时，由()＝，即－＝，解得＝或＝－.因为≤，所以＝－.②法一(函数单调性法)当>时，()＝－＋.而()＝×－＋＝－<，()＝×－＋＝>，所以()·()<，又函数()的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数()在()内至少有一个零点．而函数＝－在(，＋∞)上单调递增，＝在(，＋∞)上单调递增，所以函数()＝－＋在(，＋∞)上单调递增．故函数()＝－＋在(，＋∞)内有且只有个零点．综上，函数()共有个零点．法二(数形结合法)当>时，由()＝，得－＋＝，即＝－.如图，分别作出函数＝和＝－的图象．显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在轴的右侧，故当>时，()＝只有一个解．综上，函数()共有个零点．()由()＝得－＝，在同一坐标系中作出函数＝－和＝的图象，如图所示，由图可知<<，即若()有两个零点，则的取值范围是()．答案() ()()【训练】已知关于的方程·＋·＋＝(≠)，常数，同号，，异号，则下列结论中正确的是( )．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根。
2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 章末复习课 Word版含答案 (6)
§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。
人教版A版高中数学必修1课后习题及答案 三章全
高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}AB ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R是实数；（5Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅． （1）{|}AB x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，{|}S A x x =是梯形ð．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R AB x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R AB x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上， 得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆ð，即()U U A B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =． 第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤， 得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=，所以与B 相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t d π=， 显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10 ()[]0,011,122,233,3xxxf x x xxxx--<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（112x -，得1235x t -=+，(012)x ≤≤，即125x t -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()55t h -==+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数； （4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅； 集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥， 得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠， 得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7．解：（1）因为1()1x f x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++，即2()11f a a +=+； （2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8kx =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤.6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58） 1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可. 答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462r t s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ;(6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5. 练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x =(5) 100.3x = (6) xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番. 7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43x x -==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()l o g (1)l o g (1)()a af xg x x x f x g x -+-=-++=+∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4； （3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2∙=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）. （2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x ,x ∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物.(2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0e t )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x∈(0.625,0.75)，x∈(0.625,0.687 5)，x∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.。
2018学年高中数学新课标人教A版必修1同步学案：1.3第3
第一章 集合与函数概念§1.3函数的基本性质第三课时 函数的奇偶性一、课前准备1．课时目标：从具体函数出发，理解函数的奇偶性，学会利用图象理解和探讨函数的性质，能熟练判断一些简单函数的奇偶性。
2．基础预探(1) 如果函数)(x f y =的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则称)(x f y =是 .它的等价形式有(2) 如果函数)(x f y =的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f y =是 . 它的等价形式有二、基本知识习题化1. 2)(x x f =，[)1,1-∈x 是2.x x y =是 函数（填写奇或偶）．三、学习引领1．函数按奇偶性分为四大类：（1）奇函数：如果定义域关于原点对称（这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则函数()y f x =是奇函数. 如53)(x x x f +=；（2） 偶函数：即如果定义域关于原点对称（这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=，则函数()y f x =是偶函数. 如62)(x x x f +=等；（3） 非奇非偶函数：即函数的定义域不关于原点对称（这一点说明了存在x ，使得x 与x -不同时在定义域中），或虽然定义域关于原点对称，但对定义域内的任意x 有()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则函数()y f x =是非奇非偶函数. 如3)(+=x x f ，3)(x x f =（[)1,1-∈x ）等；（4）既奇又偶函数：解析式只有()0f x =，但定义域可以为任何关于原点对称的区间.2．判断函数()y f x =的奇偶性，首先看定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则看对任意的x 是否都有()()f x f x -=-，或()()f x f x -=，若满足前者则是奇函数，满足后者是偶函数，两者都不满足，则是非奇非偶函数.3．奇函数的图象关于原点对称；如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于y 轴对称. 如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 对于在原点有定义的奇函数()y f x =，有()00f =.4．两个奇（偶）函数的和、差函数还是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积、商函数是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数.四、典例导析题型一：函数的奇偶性的判断例1判断()f x x a x a =++-的奇偶性．思路导析：先看函数的定义域，显然是R ，然后根据定义找)(x f -与)(x f 的关系．解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=，∴函数()f x 是偶函数．规律总结：如果定义域关于原点对称，才可根据定义判定函数奇偶性，否则直接下结论是非奇非偶函数，如果直接用定义判断有困难，也可用定义的等价形式．变式1：已知函数()f x =.题型二：己知函数的奇偶性求参数例2已知函数()23()114x a f x x x bx -=-≤≤-+为奇函数，试求,a b 的值. 思路导析：己知函数的奇偶性，然后求参数，有时用特殊值法是很有效的，比如我们常用()00f =可大大方便解题．解析：由于()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，所以()00f =得0a =.又()()11f f -=-，所以3355b b -=-+-，所以0b =. 所以23()4x f x x =+，再利用定义可以证明()f x 为奇函数. 规律总结： 对于在原点有定义的奇函数()f x ，可以先令特殊值()00f =，求出其中参数的值，当然如果参数多时也可以再取其它自变量的值来求，当然有时也可根据对于定义域内的任意x 值恒成立的等式，借用待定系数法来求.变式2： 设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。
人教A版高中数学必修一课件 《章末复习提升课》函数的概念与性质
1．已知二次函数 f(x)满足 f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函
数的解析式为________． 解析：设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
ca＝＋1b，＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，故 f(x)＝x2＋1.
c＝1， 答案：f(x)＝x2＋1
函数的单调性和奇偶性
已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
【解】 (1)证明：∀x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝（x12＋（2x）1－（xx22）＋2）. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
－x2－ax－5（x≤1），
2．已知函数 f(x)＝ax（x>1）
是 R 上的增函数，
求 a 的取值范围．
解：因为 f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以 f(x)需满足在区间 (－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的 函数值－12－a－5≤a1，即 a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5 的对称轴 为直线 x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即 a≤ －2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以 a<0.综上所述，a 的 取值范围是[－3，－2]．
章末复习提升课
函数的定义域和值域
(1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
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章末复习课
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核心归纳
1．函数的零点与方程的根的关系
函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值．
因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．
2．函数零点的存在性定理
(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②
f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．
(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．
3．函数应用
(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．
(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．
(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．
要点一 函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根的关系及应用
1．函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．
2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
【例1】 (1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x>0的零点个数是________．
(2)若函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解析 (1)①当x ≤0时，由f(x)＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝
2或x ＝－ 2.
因为x ≤0，所以x ＝－ 2. ②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x.
而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点．而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增．
故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f(x)共有2个零点．
法二(数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，
即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象．
显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解．
综上，函数f(x)共有2个零点．
(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知0<b<2，即若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0,2)．
答案(1)2 (2)(0,2)
【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，。