正十边形尺规作图法

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尺规作图法简介

尺规作图法简介

一、尺规作图在中学就知道,几何作图所使用的工具是严格限制的,只准用圆规和直尺,直尺不能有刻度,不能使用量角器及其他任何工具.其实,这种限制自古希腊就有而且沿用至今.为什么要加以这样的限制呢?比如说,要找出一个线段的中点来,就不可以先用(有刻度的)尺去量,看它的长度是多少,然后取这个长的一半,再用这一半去量就找出中点来了.何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢?是自己跟自己过不去吗?古希腊认为,所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的,圆是最完美的,他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来.古希腊人十分讲究理性思维,讲究精确、严谨.他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠.例如前面所说的寻求一已知线段AB 的中点问题,作图的步骤是:1.以 A 为圆心,以一适当长度为半径画弧;2.又以 B 为圆心,以同样的长度为半径画弧;3.这两弧相交于两点,作两点连线,此连线与已知直线之交点即为所求之中点.然后,要根据已知几何命题来证明这个点必是中点.人们认为,这不仅是最可靠地找到了中点,而且体现了一种完美的思路和做法.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点,但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实,有的困难一些,有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些,还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法,这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法,也使人怀疑:究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断:至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来,所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题,却在正七边形面前止步了:究竟能作不能作,得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.17 世纪的费马,就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家,他研究了形如F i = 22i+ 1的数.费马的一个著名猜想是,当n》3寸,不定方程x n+ y n= z n没有正整数解•现在他又猜测F i都是素数,对于i = 0, 1, 2, 3, 4时,容易算出来相应的F i:F o= 3, F! = 5, F2 = 17,F3=257,F4=65 53725验证一下,这五个数的确是素数. F5=225+1 是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论,伟大的欧拉发现它竟不是素数,因而,伟大的费马这回可是猜错了!F5是两素数之积:F5= 641X6 700 417 .当然,这一事例多少也说明: 判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事,不然,何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题?更奇怪的是,不仅F5不是素数,F6, F7也不是素数,F8, F9, F10 , F11等还不是素数,甚至,对于F14也能判断它不是素数,但是它的任何真因数还不知道•至今,人们还只知F o , F1, F2, F3 , F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数,于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想,形如22i+1 的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然,形如F i=22i+1 的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难,不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出,而且具体分解某个F i 也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年,一位德国数学家高斯,在他仅20 岁左右之时发现,当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论:正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k>p1 xp2X^xp其中,P1 , P2,…,P s是费马素数.正7 边形可否尺规作图呢?否!因为7 是素数,但不是费马素数.倒是正17 边形可尺规作图,高斯最初的一项成就就是作出了正17 边形.根据高斯的理论,还有一位德国格丁根大学教授作了正257 边形.就这样,一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决,而这一问题解决的过程是如此的蹊跷,它竟与一个没有猜对的猜想相关连.正17 边形被用最简单的圆规和直尺作出来了,而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分,那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17 等分,其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏,由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过),而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17 边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底,以致有了高斯的定理,我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形,还进而知道了它们为什么能用尺规作图,就因为 3 和 5 都是费马素数(3=F o, 5 = F i);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形,乃至于正11边形、正13边形,现在我们能有把握地说,它们不可能由尺规作图,因为7、11、13 都不是费马素数;对于正257 边形、正65 537 边形,即使我们不知道具体如何作,可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外,为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢?因为4= 22,因为6= 2 "3 而3=F0 •从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题,一个是化圆为方问题,即求作一正方形,使其面积等于已知圆的面积;二是倍立方体问题,即求作一立方体,使其体积等于已知立方体的体积;三是将一任意角三等分.某些特殊角的三等分并不困难,例如将90°的角、 1 35 °的角三等分并不难,但是任意角就不一样了.例如,60°的角,你试试看,能否将它三等分?现在已有了结论,告诉你不要再试了,否则是白费时间了.可以取单位圆作代表,其面积即为n那么,化圆为方的问题相当能吗?古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣,许多人进行研究.这一研究推动了圆面积的近似计算,促进了极限思想的萌生,但是并没有解决化圆为方的问题.另外两大难题虽也没解决,但也促进了对另一些数学问题的研究.尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图.长度为任一有理数平方根的线段来.当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来.我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”.可以证明,“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、-、X羽和开方这类运算得到的量•否则叫不可作几何卓”量•化圆为方的问题直至19世纪才得到答案:它是不可能的•因为可作几何量".这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题,最终得以解决.属“不可作几何量”,所以,倍立方体问题的答案也明确了:不可能!再以60。

看完这些正多边形的尺规作图方法,你还不认为数学也是一种艺术吗?

看完这些正多边形的尺规作图方法,你还不认为数学也是一种艺术吗?

看完这些正多边形的尺规作图⽅法,你还不认为数学也是⼀种艺术吗?荟思正多边形的尺规作图,虽然是⼀个很纯粹的数学问题,但同时也极具艺术欣赏价值!尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题,早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。

⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到,什么样的图形不可以。

对于可以尺规作图的图形,很好办,想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。

对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难,因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法,还是因为作法太复杂,所以还没⼈能发现这样的⽅法。

例如三等分⾓问题,就是很长时间⾥都找不到作图⽅法,最终证明是不可能办到的。

再次特别强调⼀下,在尺规作图问题中,直尺是不带刻度的,我们只能⽤它来画直线。

在各种图形中,正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。

由于圆规可以画圆,⽽所有正多边形都可以内接于圆,因此它的所有顶点都在圆周上。

这样看来,正多边形应该很有希望⽤尺规作图。

⽽且,前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了,步骤也不算复杂。

然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法,因此⾃然要问,是否存在不可能尺规作图的正多边形。

相对于同时期的其他⽂明,古希腊数学更富思辨精神。

尽管当时的数学问题都是源于⽣活,但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题,⽽是考虑⼀般的理想情形。

边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现,但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣,并且还执着地规定直尺不能带刻度。

这个问题在经过漫长的两千年后,才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。

根据⾼斯的结论,⼀个正多边形可以尺规作图,当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积,或者是这些数的2的乘幂倍(即2倍,4倍,8倍,16倍,等等)。

请注意,⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。

换句话说,费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。

根据⾼斯的结论,边数不超过20的18个正多边形中,可以尺规作图的⼀共有11个,边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。

几何中的尺规作图法

几何中的尺规作图法

第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义:给泄条件,设法作具备这些条件的图形,能据条件作出图形或作不岀图形,故几何作图是存在问题的证明。

意义:建立学生具体几何观念的重要手段,是克服死记硬背左理的好办法:学以致用:为制图学提供理论基础:培养逻辑思维能力。

二、作图公法(1)通过两个已知点可作一直线;(2)已知圆心和半径作圆:(3)若两已知直线相交,或一已知直线和一已知圆(或圆弧)相交,或两已知圆相交,则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形,则叫几何作图(或尺规作图)不能问题。

三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图,叫做作图成法。

它可以在以后的作图中直接应用。

下而列举一些:(1)任意延长已知线段。

(2)在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

(3)以已知射线为一边,在指泄一侧作角等于已知角。

(4)已知三边,或两边及夹角,或两角及夹边作三角形。

(5)已知一直角边和斜边,作直角三角形。

(6)作已知线段的中点。

(7)作已知线段的垂直平分线。

(8)作已知角的平分线。

(9)过已知直线上或直线外一已知点,作此直线的垂线。

(10)过已知直线外已知点,作此直线的平行线。

(11)已知边长作正方形。

(12)以立线段为弦,已知角为圆周角,作弓形弧。

(14)过圆上或圆外一点作圆的切线。

(16)作已知圆的内接(外切)正三角形、正方形,或正六边形。

(17)作一线段,使之等于两已知线段的和或差。

(18)作一线段,使之等于已知线段的n倍或n等分。

(19)内分或外分一已知线段,它们的比等于已知比。

(20)作已知三线段a.b.c的第四比例项。

(21)作已知两线段匕“的比例中项。

(22)已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1(a>b).四、解作图题的步骤①分析:遇到不是一目了然的作图题,常假左符合条件的图已做出,研究已知件和求作件间的关系,从而得到作图的线索。

尺规作图

尺规作图

还有另外两个著名问题
■1、作正多边形
只使用直尺和圆规,作正五边形。 只使用直尺和圆规,作正六边形。 只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单 的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形 是不能由尺规作出的。
只使用直尺和圆规,作九边形,此图也不能作出来,因为 单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的。
一、尺规作图知识梳理
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。只 使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来 解决不同的平面几何作图题。
尺规作图是起源于古希腊的数学课题。
1、直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。只可 以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度;
2、圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之 前构造过的长度。
以A点为起分点,依次画弧即可以得九 等分圆周。
在100以内可以用圆规直尺等分圆周的等分 数只有24个:1型的五个为4,8,16,32, 64;2型的十九个为3,6,12,24,48, 96,5,10,20,40,80,15,30,60, 17,34,68,51,85。
已知三点画圆
B
A
C
o
B
A
C
o
中国古代
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历
城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩, 女娲氏手执规”之图形。矩不仅可以画直线、 直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规. 甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水 (公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治 水时“左准绳,右规矩”。赵爽注《周髀算经》 中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下 之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪 水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股 的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.。

尺规作图方法详解(20191202)

尺规作图方法详解(20191202)

线AE上截取
AC=b ;
α
3、连接BC ;
4、△ABC即为所求。
a
b
QQ网名
作法:
1.以O为圆心,适当
长为半径作弧,交OA于M,
A
交OB于N.

2.分别以M,N为
圆心.大于 1 MN的长为

2
半径作弧.两弧在∠AOB
的内部交于C.



3.作射线OC.
则射线OC即为所求.
作线段的垂直平分线。
已知:线段AB,
A
求作:线段AB的垂直平分线。 作法:(大两1)于弧分—交别12—于以AC点B、的AD、长两B为点为半;圆径心作,弧以,
作法:1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别 交OA,OB于点C、D; 2、画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画 弧,交O′A′于点C′; 3、以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所 画的弧交于点D′;
4、过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AAOB
O
B
用尺规作角的平分线的方法
(2)作直线CD。 CD即为所求。
C
B D
已知三边BC、AB、AC作三角形
画法: 1.画线段B`C`=BC; 2.分别以B`、C`为圆心,线段 AB、AC为半径画弧,两弧交 于点A`; 3. 连接线段A`B` 、A`C`.
已知两边及其夹角,求作三角形.
画法:
1、画∠DAE=∠α ;
2、在射线AD上截取AB=a,在射

官人失叙 令曰 轩辕有明台之议 正既不为皓所爱 不敢於此有所立作 故汤 武之师不再战而克 文帝即王位 歆 朗及纪子群 为后生之法 是时 寇恂平河内 太祖从之 讳备 必由四科 皆慷慨曰

人教版九年级数学上册24.3-正多边形和圆课件

人教版九年级数学上册24.3-正多边形和圆课件
选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
4 2
也就是要找这个正
方形外接圆的直径
能 力 提 升 题
1. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形
的面积等于4,求⊙O的面积.
解:∵正方形的面积等于4,
∴正方形的边长AB=2.
则圆的直径AC=2 2,
∴⊙O的半径= 2
2

(
2)
2 .
∴⊙O的面积为
C
·
D
方法归纳 :圆内接正多边形的辅助线
O
F
E
中心角一半
半径R
O
·
A
r
边心距r
D
R
M
C
B
M
C
边长一半
1.连半径,得中心角;
2.作边心距,构造直角三角形.
2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直
角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最
大值是多少?
解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x
求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
解:作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A、B、C、D四点.
A
O
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
④分别以A、C为圆心,OA的长为半径作弧,
交☉O于E、H、F、G;
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
点,则作出正六边形.
先作出正六边形,则可作
正三角形,正十二边形,正二
十四边形………
说说作正多边形的方法有哪些?
(1)用量角器等分圆周作正n边形;
(2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,

1.3.1尺规作图(同步教学设计)2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(青岛版)

1.3.1尺规作图(同步教学设计)2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(青岛版)
2. 课程平台:学校提供的教学管理系统,如课堂讲义、作业布置与批改等。
3. 信息化资源:教学课件、视频教程、网络几何作图软件、互动讨论区等。
4. 教学手段:讲解法、示范法、练习法、小组合作法、讨论交流法等。
五、教学过程设计
1. 导入环节(5分钟)
教师通过展示一些实际生活中的几何作图问题,如建筑设计中的圆形图案、制作模型时的轮廓作图等,激发学生的学习兴趣。同时,教师提出问题:“你们认为几何作图在实际生活中有什么应用?”让学生思考并发表自己的观点。
教师布置一些练习题,让学生独立完成。这些练习题包括尺规作图的基本操作和应用问题。在学生练习过程中,教师巡回指导,解答学生的疑问并提供帮助。同时,教师鼓励学生之间进行讨论交流,分享彼此的解题方法和经验。
4. 师生互动环节(10分钟)
教师邀请几位学生上台演示和讲解自己完成的练习题,其他学生听后提出疑问和建议。教师对学生的演示和讲解进行评价和指导,强调重点和易错点。同时,教师引导学生思考尺规作图在实际生活中的应用,让学生举例说明。
(2) 作一个周长为20cm的正方形,可以用尺子量取5cm的长度,然后用圆规以此长度为边长画一个正方形。
(3) 作一个面积为24cm²的等腰三角形,可以用尺子量取一条线段,然后用圆规以此线段为半径画一个圆,再将圆上两个相对的点与圆心连接,得到一个等腰三角形,其面积为24cm²。
八、作业布置与反馈
1. 作业布置
在素质方面,学生需要培养良好的学习习惯和合作意识。对于尺规作图的学习,学生需要认真观察、动手实践、积极思考,才能真正理解和掌握作图的方法和原理。此外,学生在学习过程中容易受到旧有观念的影响,教师需要引导学生树立正确的学习观念,勇于尝试新的作图方法,培养创新意识。
四、教学资源

尺规作图

尺规作图

尺规作图——正多边形及两圆公切线作法探究海南中学高一(1)班洪璐陈洁盈成果论文自古时候起,尺规作图就是一个引人入胜的数学问题。

时至今日,这个如希腊神话般神秘的数学问题仍吸引着无数学者的目光、受到人们的重视,并且在初中课本中也渗透了一些关于基本图形的尺规作法。

但是我们并不满足于课本上的内容,并且在不断学习和探索中发现了更多关于尺规作图的问题及其解决方法,总结归纳了解决尺规作图的一般思路。

关键词尺规作图正多边形两圆的公切线希腊是奥林匹克运动的发源地。

奥运会上的每一个竞赛项目,对运动器械都有明确的规定,不然的话,就不易显示出谁“更快、更高、更强”。

一些古希腊人认为,几何作图也应像体育竞赛一样,对作图工作作一番明确的规定,不然的话,就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。

应该怎样限制几何作图工具呢?他们认为,几何图形都是由直线和圆组成的,有了直尺和圆规,就能作出这两样图形,不需要再添加其他的工具。

于是规定在几何作图时,只准许使用圆规和直尺,并且规定只准许使用有限次。

它使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相同:•直尺必须没有刻度,无限长,只有一只角。

只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。

•圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

由于有了这样一个规定,一些普普通通的几何作图题,顷刻间变得身价百倍,万众瞩目,甚至有不少题目让西方数学家苦苦思索了2000多年。

一、几种正多边形的作法尺规作图以它特有的魅力,使无数的人沉湎其中,乐而忘返。

连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物,在转战南北的余暇,也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。

有一次,他还编了一道尺规作图题,向全法国数学家挑战呢。

拿破仑出的题目是:"只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分。

"由于圆心O是已知的,求出这个题目的答案并不难。

正四边形的作法:1、在圆周上任意选一点A,以A点为圆心,OA长为半径作弧,交圆O于点B;2、以点B为圆心,OA长为半径作弧,交圆O于点C;3、以点C为圆心,OA长为半径作弧,交圆O于点D;4、分别以A点和D点为圆心,AC长为半径作弧,两弧交于点M;5、用圆规量出OM的长度,以点A为起点,逐一在圆周上划分,便可将圆周4 等分。

尺规作图

尺规作图
3.作射线OC OC就是∠AOB的平分线.
A
1、试把下图所示的角四等分
A
O
B
2.如图,已知∠A,试画∠B= 1/2∠A.(不写画法,保留作图痕 迹).
(第 2 题)
3.画出图中三角形三个内角的角平分 线.(不写画法,保留作图痕迹), 你能发现什么?
(第 3 题)
2. 过一点作已知直线的垂线
分两种情况:(1)点在直线上 (2)点在直线外
作法:
• (1)任取一点M,使点M和点C在的两侧; • (2)以C点为圆心,以CM长为半径画弧, 交于A、B两点; 1 • (3)分别以A、B两点为圆心,以大于 AB 2 长为半径画弧,两弧相交于D点; • (4)过C、D两点作直线CD. • 所以,直线CC画 出直线l的垂线.
C
l
(1)以C 点为圆心,以大于C 点到直线l 的距
离为半经画弧,交直线于A、B 两点; (2)分别以A、B 两点为圆心,以大于1/2AB的 长度为半径画弧,两弧相交于D 点; (3)过C、D 两点作直线CD ,即为所求作的 垂线. C l
A
1、作射线OM
O
E
F
G
M
2、在射线OM上截取OE=AB,顺次截取 EF=CD,FG=CD。 则线段OG即为所求线段。
2.已知三边作三角形. b c 已知:线段a,b,c. 求作:△ABC,使得三边为线段a,b,c. 作法:(1)画一条线段AB,使得AB=c. (2)以点A为圆心,以线段b的长为半 径画圆弧;再以点B为圆心,以线段 a的长为半径画圆弧;两弧交于点C. (3)连结AC,BC. △ABC即为所求.
尺规作图----- 基本作图
在几何里,把限定用直尺和圆规来画图, 称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作 图,通常称基本作图.

尺规作图

尺规作图

古希腊的三大几何难题
• 1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分。 • 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长, 使这个正方体的体积是已知正方体体积的 二倍。 • 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它 的面积和已知圆的面积相等
高斯的发现
• 最先突破的是德国数学家高斯(17771855)1796年年仅19岁的高斯宣布他发 现了正十七边形的作图方法时,在数学界 引起巨大的震憾。
B D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
• 证明: ,由作法可知 • △C`O`D`≌△COD(SSS), • ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角 相等), • 即∠A`O`B`=∠AOB。
B
E
C
O
D
A
• 1、在OA和OB上,分别截取OD、OE,使 OD=OE。 • 2、分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径 作弧,在∠AOB内,两弧交于点C。 • 3、作射线OC。 • 4、OC就是所求的射线。
不幸的挪威数学家阿贝尔
• 此后,挪威数学家阿贝尔利用置换群的理 论,给出了高于四次的一般代数方程不存 在代数解的证明。 • 阿贝尔简介:
• (阿贝尔:Abel,1802.8~1829.5)任何一部数学 家词典中的第一人,是十九世纪最伟大的数学家 之一,是挪威空前绝后的最伟大的学者。……后 人整理他的遗著花了150年。
· 作一条线段等于已知线段 · 作一个角等于已知角 · 作已知线段的垂直平分线 · 作已知角的角平分线 · 过一点作已知直线的垂线
1、作一个角等于已知角
• 已知: AOB(图1) • 求作: A`O`B`,使 A`O`B`= AOB
B
D D`

正十一边形尺规做法

正十一边形尺规做法

注册登录•分栏模式•论坛•搜索•导航•christmas•blue•gray•green•orange•purpleICE论坛» 数字家园» 高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图返回列表发帖超级版主1#跳转到»倒序看帖打印字体大小: t Tzpabuaa发表于 2010-10-26 22:15 | 只看该作者高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图如下所示:附件: 您需要登录才可以下载或查看附件。

没有帐号?注册收藏分享2#zpabuaa发表于 2010-10-26 22:25 | 只看该作者超级版主1976年的一天,德国哥廷根大学,一个19岁的青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。

正常情况下,青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。

像往常一样,前两道题目在两个小时内顺利地完成了。

第三道题写在一张小纸条上,是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。

青年没有在意,像做前两道题一样开始做起来。

然而,做着做着,青年感到越来越吃力。

困难激起了青年的斗志:我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去解这道题。

当窗口露出一丝曙光时,青年长舒了一口气,他终于做出了这道难题。

作业交给导师后,导师当即惊呆了。

他用颤抖的声音对青年说:“这真是你自己做出来的?你知不知道,你解开了一道有两千多年历史的数学悬案?阿基米德没有解出来,牛顿也没有解出来,你竟然一个晚上就解出来了!你真是天才!我最近正在研究这道难题,昨天给你布置题目时,不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。

”多年以后,这个青年回忆起这一幕时,总是说:“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我不可能在一个晚上解决它。

”这个青年就是数学王子高斯。

有些事情,在不清楚它到底有多难时,我们往往能够做得更好,这就是人们常说的无知者无畏。

TOP超级版主3#zpabuaa发表于 2010-10-26 22:27 | 只看该作者步骤一:给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,作C点使OC=1/4OB,作D点使∠OCD=1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE=45度步骤二:作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结,推荐文档

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(2003 年,桂林) 分析 这是尺规作图在生活中的具体应用.要把△ABC 分成面积相等的三个三角形, 且都是从 A 点出发,说明这三个三角形的高是相等的,因而只需这三个三角形的底边也相 等,所以只要作出 BC 边的三等分点即可. 作法 如下图,
找三等分点的依据是平行线等分线段定理.
(3)在线段 CA 上截取 CD=b,则线段 AD 就是所求作的线段.
典型例题三
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 求作一个角等于已知角∠MON(如图 1).
错解 如图(2),
图(1)
图(2)
(1)作射线 O1M 1 ;(2)在图(1),以 O 为圆心作弧,交 OM 于点 A,交 ON 于点 B;
(3)以 O1 为圆心作弧,交 O1M 1 于 C;(4)以 C 为圆心作弧,交于点 D;(5)作射线
的相同线段为半径画弧, 两弧相交于 P,Q;
(2)连接 PQ 交 MN 于 O. 则点 O 就是所求作的MN的中点。 (试问:PQ 与MN有何关系?)
题目三:作已知角的角平分线。 已知:如图,∠AOB, 求作:射线 OP, 使∠AOP=∠BOP(即 OP 平分∠AOB)。 作法: (1)以 O 为圆心,任意长度为半径画弧,
典型例题八
例 已知∠AOB,求作∠AOB 的平分线 OC. 错解 如图(1) 作法 (1)以 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 OA、OB 于 D、E 两点;
1
(2)分别以 D、E 为圆心,以大于 DE 的长为半径作弧,两弧相交于 C 点;
2
(3)连结 OC,则 OC 就是∠AOB 的平分线. 错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误.作法(3)中连结 OC,则 OC 是 一条线段,而角平分线应是一条射线.

尺规作图法

尺规作图法

尺规作图法尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么,画一个圆又不知道它的半径,画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大,比如单用圆规找出一个圆的圆心,量度一个角的角度,等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角,十分方便。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。

只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图,限制只能用直尺、圆规。

在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。

他发现以下作图法:在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。

在这以前,许多作图题是不限工具的。

伊诺皮迪斯以后,尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。

尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

编辑本段基本要求·它使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相尺规作图同:·直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。

·圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

编辑本段五种基本作图·作一条线段等于已知线段·作一个角等于已知角·作已知线段的垂直平分线·作已知角的角平分线·过一点作已知直线的垂线编辑本段尺规作图公法以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法:·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

尺规作图·若两已知直线相交,可求其交点。

中考总复习数学27-第一部分 第27讲 尺规作图

中考总复习数学27-第一部分  第27讲 尺规作图

线l
O作直
(2)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半

线l的
径向直线两侧作弧,两弧分别交于点M,N;

垂线
(3)过点M,N作直线MN,则直线MN即为所求
线
MN
垂线
图形示例
第27讲
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尺规作图— 考点梳理
续表
1.五种尺规作图
作图内容
作图步骤

过直线l (1)在直线另一侧取点M,连接PM;
OA等于已知 (2)在射线OP上截取OA=①
a
线段a
_____,OA即为所求线段
图形示例
第27讲
尺规作图— 考点梳理
返回思维导图
续表
1.五种尺规作图
作图内容
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作图步骤
作∠A'O'B' (1)在∠α上以O为圆心,以任意长为半径作弧,交∠α的
等于∠α
两边于点P,Q;
O 'A '
(2)作射线②_______;
第27讲
题型
尺规作图— 题型突破
返回题型清单
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尺规作图
1.(2022·石家庄模拟)已知,在△ABC中,AB=AC,根据以下各图所保留的
作图痕迹,一定能使点O到△ABC三边距离相等的是( D )
1
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5
第27讲
尺规作图— 题型突破
返回题型清单
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2.(2022·邯郸一模)如图,已知△ABC,用尺规按照下面步骤操作:
图,并保留作图痕迹.
步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①;
步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;
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