高三模拟周测二考试数学试题及答案
2024年沧州市高三数学第二次模拟联考试卷附答案解析
2024年沧州市高三数学第二次模拟联考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()21i 2i z +=+，则z 的虚部为（）A ．1B ．i C ．12D ．1i22．若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞3．化简cos20sin30cos40sin40cos60-=（）A ．1BC ．2D 4．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618⋅”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x （单位：元）和销售量y （单位：百件）之间的一组数据：x2025303540y578911用最小二乘法求得y 与x 之间的经验回归方程是ˆˆ0.28yx a =+，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）A ．11.2B ．11.75C ．12D ．12.25．在6(23)x y z -+的展开式中，23xy z 项的系数为（）A ．6480B ．2160C ．60D ．2160-6．若()28log 3,ln sin 2024a b c ===，则下列大小关系正确的是（）A ．b a c<<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．c a b<<7．已知四面体ABCD 满足π11,cos ,cos ,2,3,2334BAC CAD DAB AB AC AD ∠∠∠======，则点A 到平面BCD 的距离为（）AB ．32C D8．若函数()e ln 2xf x x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．(],0-∞C ．(),0∞-D ．(),1-∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知实数,a b 满足,1a b a b >+=，则（）A ．2a ab ＞B ．2ab b >C ．14ab ≤D ．221a b +≥10．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，()02,P y 为C 上一点，且3PF =，则（）A ．过点()2,3M -且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3条B ．当AOB 的面积为94AF BF ⋅=C ．AOB 为钝角三角形D ．2AF BF +的最小值为3+11．已知()f x 是定义在[)0,∞+上的单调递增且图象连续不断的函数，若[),0,x y ∀∈+∞，恒有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+成立，设121x x >>，则（）A ．()00f =B ．[)()000,,1x f x ∞∃∈+=C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}()21,{}A xx B x x a a =<=>∈R ∣∣，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为.13．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的π4，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移π12个单位长度，可得到()y g x=的图象．若方程()g x m=在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．14．已知12,F F为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左､右焦点，过1F的直线与E交于,M N两点，若12134MF MF NF==，则E的离心率为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知数列{}lnna为等差数列，且2313426,8a a a a a-==．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若数列{}n b满足22log1n nb a=-，记11nn i n iiT a b+-==∑，求n T．16．由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计这600名学生成绩的中位数；(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），9σ≈，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望和方差.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11BCC B 为菱形，160CBB ∠= ，三棱柱111ABC A B C -的体积为3．(1)证明：平面ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若D 为棱11A C 的中点，求平面1CDB 与平面1AB D 的夹角的正切值．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>一个焦点F 2．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设,M N 分别是双曲线C 左、右两支上的动点，A 为双曲线C 的左顶点，若直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ，且122,k k MN ⋅=-=MN 的方程．19．若函数()(),f x g x 与()h x 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥，则称函数()h x 为()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.(1)若()()()[]211,,23,1,22f x xg xh x x D ==-=+=，判断()h x 是否为()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数，并说明理由；(2)若()()e 1,xf x h x kx =-=，且()()f x h x ≥在R 上恒成立，求k 的值；(3)若()()()()()ln 1e ,1,,,0,xx f x g x h x kx b k b D x∞+==+=+∈=+R ，证明：1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件.1．A【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数z ，再求出z 即可得解.【详解】由()21i 2i z +=+，得22i 2i (2i)i)12i 1i (1i)2i i ((2i )22z +++-=====+⋅---，则1i 2z =+，所以z 的虚部为1.故选：A 2．C【分析】由点A 在圆外代入圆的方程可得2m <，再由圆的一般方程中2240D E F +->可得2m <-，最后求交集即可.【详解】由题意知22214250m +--+>，故2m <，又由圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，可得2240D E F +->，即22(2)(2)450m -+--⨯>，即2m <-或2m >，所以实数m 的范围为2m <-.故选：C.3．B【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和40︒角即可进行化简.【详解】()cos 6040sin30cos40cos20sin30cos40sin60sin40tan60sin40cos60sin40cos60sin40cos60---====故选：B.4．D【分析】求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点()x y 求出ˆa，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得.【详解】因为()12025303540305x =++++=，()157891185y =++++=，所以回归直线ˆˆ0.28yx a =+过点()30,8，故ˆ80.2830a =⨯+，解得ˆ0.4a =-，所以ˆ0.280.4yx =-，将45x =代入ˆ0.280.4y x =-中，得0.28450.412.2ˆy =⨯-=，即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为12.2百件.故选：D.5．A【分析】根据条件，利用组合知识，即可求出结果.【详解】6(23)x y z -+相当于6个因式()23x y z -+相乘，其中一个因式取x ，有16C 种取法，余下5个因式中有2个取2y -，有25C 种取法，最后3个因式中全部取3z ，有33C 种取法，故6(23)x y z -+展开式中23xy z 的系数为12233653C 1C (2)C 36480⨯⨯⨯-⨯⨯=.故选：A.6．B【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解.【详解】由对数函数单调性，可得881log log 3log 812=<<=，所以112a <<；因为113311110101082⎛⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1012b a <<<<，又因为20sin 20241<<，所以()2ln sin 20240<，即0c <，所以c b a <<.故选：B.7．D【分析】设平面BCD 的一个法向量n x AB y AC z AD =++ ，列出方程组，求得n AB AD =+，再求得n = 且5AB n ⋅= ，结合AB n h n⋅=，即可求解.【详解】因为四面体ABCD 满足π11,cos ,cos ,2,3,2334BAC CAD DAB AB AC AD ∠∠∠======，可得3,2,1AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=，设平面BCD 的一个法向量n x AB y AC z AD =++，则()()()()60330n BC x AB y AC z AD AC AB x y z n BD x AB y AC z AD AD AB x y z ⎧⋅=++⋅-=-++=⎪⎨⋅=++⋅-=--+=⎪⎩，令1z =，解得1,0x y ==，所以n AB AD =+，所以415n AB n ==⋅=+=，设点A 到平面BCD 的距离为h，则2AB n h n ⋅== .故选：D.8．D【分析】进行合理换元和同构，转化为()e tg t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.【详解】令()e ln 20xf x x x x a =--+-=，所以()ln e ln eln 2x x xx x x x x a +--=-+=-．令()()ln eln x xF x x x +=-+，定义域为()0,,2y a ∞+=-，令ln t x x =+，易知()t x 在()0,∞+上单调递增，且t ∈R ．所以()()e tF x g t t ==-，则函数()f x 有两个零点转化为函数()e tg t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点．则()e 1tg t '=-，当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，即()e tg t t =-在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 01g t g ≥=-=，当t →-∞时，()g t ∞→+；当t →+∞时，()g t ∞→+，则21y a =->，解得1a <，即实数a 的取值范围是(),1∞-．故选：D ．9．AC【分析】由不等式的性质可判断A,B ；由代入消元结合函数的最值可判断C ；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D.【详解】因为,10a b a b >+=>，所以0,a b >的符号不确定，由不等式的性质知2a ab ＞成立，但2ab b >不一定成立，故A 正确，B 错误；因()21111244ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为a b >，所以222a b ab +>，所以222()122a b a b ++>=，故D 错误.故选：AC.10．ACD【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点P 与抛物线C 的位置关系即可判断A ；联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，利用焦半径公式即可求解B ；根据数量积的坐标运算即可求解C ；根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D.【详解】如图①所示，因为3PF =，所以232p+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.对于A ，因为24y x =，当2x =时，3y =<，故点()2,3M -在抛物线的外部，所以与C 仅有一个公共点的直线有3条，故A 正确；对于B ，由抛物线C 的方程可知，焦点()1,0F ，设l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x ，整理得2440y my --=，所以21212Δ16160,4,4m y y m y y =+>+==-，又1OF =，所以121122AOB S OF y y OF =⨯⨯-=⨯== 解得1m =±，则()()21221212122426,116y y x x m y y m x x +=++=+===，则()()()1212121118AF BF x x x x x x ⋅=++=+++=，故B 错误；对于C ，由选项B 可知12121,4x x y y ==-，所以12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-<，故AOB ∠为钝角，所以AOB 为钝角三角形，故C 正确；对于D ，由选项B 可知121=x x ，所以()()12111221132AF BF x x x x +=+++=++33≥+=+，当且仅当1112x x =，即12x x =D 正确.故选：ACD.图①11．AD【分析】对于A ：令0y =，结合单调性分析即可判断；对于B ：假设存在0x 使得()01f x =，分析可知()f x 恒等于1，结合单调性分析判断；对于CD ：利用反证法证明[)()0,,1x f x ∞∀∈+<，结合基本不等式分析可得()()()()()121221212f x f x f x x f x f x ++>⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，构建函数()221xg x x =+，结合()g x 的单调性可知()()121222f x f x x x g f g ⎛⎫+⎛⎫+⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可得结果.【详解】对于选项A ：令0y =，得()()()()()0010f x f f x f x f ++=+，即()()2010f f x ⎡⎤-=⎣⎦，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，可知()f x 不恒等于1±，所以()00f =，故A 正确；对于选项B ：若存在0x 使得()01f x =，令0y x =，得()()()0111f x f x x f x ++==+，则()f x 恒等于1，这与()f x 单调递增矛盾，故[)()0,,1x f x ∞∀∈+≠，故B 错误；对于选项CD ：若存在1x ，使得()11f x >，因为()f x 的图象连续不断，()()11,001f x f >=<，故存在2x ，使得()21f x =，与上述()1f x ≠矛盾，故[)()0,,1x f x ∞∀∈+<，可得1212x xf +⎛⎫< ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()12121221212112f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +++=≥+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，当且仅当()()12f x f x =时取等号，又因为()12,x x f x ≠单调递增，故不取等号，即()()()()()121221212f x f x f x x f x f x ++>⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，令0y x =≥时，可得()()()2221f x f x f x =+，则()12122122212x x f f x x x x f +⎛⎫⎪⎝⎭+=⎡⎤+⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当[)0,1x ∈时，令()221x g x x =+，则()()2,0,11g x x x x=∈+，因为()1,0,1y x x x=+∈单调递减且0y >，可知()()2,0,11g x x x x=∈+单调递增，所以()1g x <，又因为()00g =，则[)()[)220,1,0,11xx g x x ∀∈=∈+，且在[)0,1上单调递增，因为()()()()()()()121212121222121222,221122x x f f x f x f x f x x x g f f x x g x x f x f x f +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎛⎫+⎛⎫⎝⎭==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，可知()()121222f x f x x x g f g ⎛⎫+⎛⎫+⎛⎫> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 错误，D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：1.对于抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件推证函数的性质，根据函数的性质解决问题；2.比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．12．(),1-∞【分析】求出集合A ，根据集合A B ⋂≠∅，即可求出.【详解】由题意知{|11}A x x =-<<，又(){}B xx a a =>∈R ∣且A B ⋂≠∅，故1a <，即a 的取值范围为(),1∞-.故答案为：(),1∞-.13．(2,-【分析】易得1A =，再由点2101,1,,332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 的图象上，代入函数解析式求得()ππsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用伸缩变换和平移变换得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，作出其图象，利用数形结合法求解．【详解】解：由()f x 的部分图象，可得1A =．由图可知点2101,1,,332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 的图象上，则2sin 13ωϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，101sin 32ωϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，由五点作图法可得2π32ωϕ⨯+=，10π2π36ωϕ⨯+=-，解得ππ,26ωϕ==，则()ππsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的π4，纵坐标伸长到原来的2倍得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移π12个单位长度，可得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．作出函数()g x 的部分图象如图所示，由根据函数()g x 的图象知：当2m -<≤y m =与函数()g x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，即方程()g x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．故答案为：(2,3⎤--⎦14．105##1105【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于,a c 的等式，即可求出离心率.【详解】由12134MF MF NF ==及122MF MF a +=，得22a MF =，1133,28aMF a NF ==，又122NF NF a +=，则2138aNF =，设1212,2MF F F F c θ∠==，在12MF F △中，由余弦定理得，22221211122cos MF F F MF MF F F θ=+-⋅，在12NF F △中，由余弦定理得，22221211122cos NF F F NF NF F F θ=++⋅，于是22293422cos 442a a a c c θ=+-⨯⨯，且22216993422cos 64648a a a c c θ=++⨯⨯，整理得2223cos c a ac θ+=，且22583cos a c ac θ-=，因此2225c a =，105c a =所以E 的离心率为105e =.故答案为：10515．(1)2nn a =(2)13246n n T n +=⋅--【分析】（1）根据条件得出数列{}n a 为等比数列，再根据条件求出1,a q ，即可求出结果；（2）根据（1）得到21n b n =-，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}ln n a 的公差为d ，则1ln ln n n a a d +-=，即1lnn n a d a +=，则1e d n naa +=，则数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由2313426,8a a a a a -==，得2116a q a -=且2321118()a q a q a q ⋅=，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以2n n a =．（2）由（1）可得22log 121n n b a n =-=-，所以()()1211211212122323212n nn n n n n T a b a b a b a b n n ---=++⋅⋅⋅++=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅①，()()23112212232523212n n n n T n n -+=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅②，①-②得：()()()()()123112122222222212n n n n T n -+-=-⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅-⋅()231142222222n n n n -+=--⋅++⋅⋅⋅++-21122422212n n n ++-=--⋅--14632n n +=+-⋅，所以13246n n T n +=⋅--．16．(1)0.018a =；(2)中位数为80；(3)①4442人；②()()55,2E Y D Y ==.【分析】（1）利用频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1即可求得a ；（2）利用频率分布直方图计算中位数，即只需要求出频率累加到0.5时所对应的临界数值；（3）可利用区间中点值和频率来估计平均数μ，发现(86.8)()P X P X μσ>=>+，从而转化为利用已知()0.6827P X μσμσ-<≤+≈的概率来求解，然后利用二项分布的期望公式()E X np =，即可估计出竞赛成频超过86.8分的人数为280000.158654442⨯≈人；同理从所有参赛的学生中随机抽取10人，我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量110,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，因此利用(),()(1)E X np D X np P ==-很容易的就求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得：()100.0040.0080.0120.0260.0321a ⨯+++++=，解得0.018a =.（2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为()100.0040.0080.0120.0260.5⨯+++=，所以估计600名学生成绩的中位数为80.（3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数μ，即450.04550.08650.12750.26850.32950.1877.8μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以()277.8,9X N ~，则1()10.6827(86.8)()0.1586522P X P X P X μσμσμσ--<≤+->=>+=≈=，题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布，为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，每个人的成绩超过86.8分的概率约是0.15865，所以()28000,0.15865X B ~，此时()280000.158654442E X =⨯=，即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人.②由①得()277.8,9X N ~，则1(77.8)2P X >=，由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人，所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量110,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()1115105,1012222E Y D Y ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭.17．(1)证明见解析(2)9【分析】（1）取BC 的中点O ，连接1B O ，由已知得出1B O =1B 到平面ABC 的距离，即可得出1B O ⊥平面ABC ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可．【详解】（1）证明：取BC 的中点O ，连接1B O ，因为112,60BB BC CBB ∠===，所以1BCB △为等边三角形，因为O 为BC 中点，所以1B O BC ⊥，1B O 因为三棱柱111ABC A B C -的体积为3，设1B 到平面ABC 的距离为h ，所以12232⨯⨯⨯=，所以h =1B O ⊥平面ABC ，又1B O ⊂平面11BCC B ，所以平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）连接AO ，由（1）知1B O ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，所以1AO B O ⊥，因为O 为BC 的中点，AC AB =，所以AO BC ⊥，且AO =所以1,,OA OB OB 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OB OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则)(),0,1,0AB，((()11,0,,0,1,0B C C --，因为(1110,AA BB CC ===-，所以1A -，因为D 为11A C的中点，所以32D ⎫-⎪⎪⎝⎭，则1B D =((113,0,0,1,,2B C AB ⎫-=-=⎪⎪⎝⎭，设平面1CDB 的一个法向量(),,n x y z = ，则1100n B D n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x y y -=⎨⎪-=⎩，令1y =，解得3x z ==-，故n =⎭，设平面1AB D 的一个法向量(),,m a b c = ，则1100m B D m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020b -=⎨⎪=⎩，令a =1,b c ==m =，设平面1CDB 与平面1AB D 的夹角为θ，所以cos cos<,>m n m n m n θ⋅====⋅所以sin θ=tan 9θ=．18．(1)2213y x -=(2)50x y --=或50x y +-=【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出b ，再由离心率公式求出2a ，即可得解；（2）首先判断直线MN 的倾斜角不为零，设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出n ，由弦长公式求出m ，即可得解.【详解】（1）由题知双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，不妨设(),0F c ，则焦点F 到渐近线的距离223bc bcd b ca b ====+C 的离心率为22222222,2,4,33,1cc a b c a a a a∴=∴=∴=-==∴=，故双曲线C 的标准方程为2213y x -=．（2）由（1）可得()1,0A -，当直线MN 的倾斜角为零时，由92MN =MN 的方程为922y =±，代入双曲线方程可得292x =2992,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2992,22N ⎫⎪⎪⎭，则12929222292923112k k -++⋅==-，不符合题意，则直线MN 的倾斜角不为零，∴设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213y x x my n ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，2310m ∴-≠，()()2222Δ36123110m n m n =--->，22310m n ∴+->，()2121222316,3131n mn y y y y m m -∴+=-=--．1111y k x ∴=+，2221y k x =+，122k k ⋅=- ，1212211y yx x ∴⋅=-++，()()12122110y y x x ∴+++=，()()12122110y y my n my n ∴+++++=，()()()()2212122121210m y y m n y y n ∴++++++=，即()()()()2222231621212103131n mn m m n n m m -+⋅-+⋅++=--，()()()()2222231211212(1)310n m m n n n m ∴-+-+++-=，2450n n ∴--=，5n ∴=或1n =-．当1n =-时，120y y =，不符合题意，5n ∴=．1223031m y y m -∴+=-，1227231y y m =-，12231MN y y m ∴-⋅-解得1m =±，故直线MN 的方程为5x y =±+．综上，直线MN 的方程为50x y --=或50x y +-=．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数，理由见解析(2)1k =.(3)证明见解析.【分析】（1）根据隔离函数定义依次证明()()0f x h x -≥和()()0h x g x -≥在[]1,2x ∀∈上是否恒成立即可得解.（2）依据()00ϕ=，得到0x =是()x ϕ的极小值点，也是最小值点，从而求出1k =，再进行检验即可.（3）构造函数()()ln 1e 1,0,x x F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+ ⎪⎝⎭并求出其隐零点，结合题意得到001e x x =，00e xkx b +=与0e x k =，进而得到0,,x k b 的关系，从而得证.【详解】（1）()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.因为()()()211,,232f x xg xh x x ==-=+，所以()()()221111252322832f x h x x x x ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭，()()f x h x -在111,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又()()()()111,2202f h f h -=-=，当2x =时，()()f x h x -在D 上取到最小值0，故[]()()1,2,x f x h x ∀∈≥.又()()222320h x g x x x ⎛-=++=+≥ ⎝⎭，所以()()h x g x ≥.综上，()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.（2）设()e 1,x x kx x ϕ=--∈R ，则()e xx k ϕ'=-，因为()()00x ϕϕ≥=，则0x =是()x ϕ的极小值点，也是最小值点，所以()010k ϕ='-=，即1k =.当1k =时，()()e 1,e 1x xx x x ϕϕ'=--=-，当0x >时，()0x ϕ'>；当0x <时，()0x ϕ'<，所以()()00x ϕϕ≥=，即e 1x x ≥+恒成立（当且仅当0x =时取等号），故1k =.（3）证明：设()()ln 1e 1,0,xx F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+⎪⎝⎭，由（2）得e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号），所以()()()ln ln 111e 1e ln 1e ln 1xx x x x F x x x x x x x xx ++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+=-++=-++ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()1ln 1ln 10x x x x x ⎡⎤≥++-++=⎣⎦，当且仅当ln 0x x +=时取等号，设()()ln ,0,G x x x x ∞=+∈+，则()110G x x=+>'，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又()()11110,e e10G G --=>=-<，所以存在()10e ,1x -∈使得()00G x =，即00ln 0x x +=，则000011ln ,e x x x x ==，又()00F x =，则000ln 1e 1x x x +=+，由隔离函数定义可得00000ln 1e 1e x x x kx b x +≥+≥+=，所以00e x kx b +=，设()()e ,0,xH x kx b x ∞=--∈+，则()()000e 0,e x xH x kx b H x k =--==-'，又()()00H x H x ≥=，则0x 是()H x 的极小值点，所以()00e 0xH x k ='-=，即0e x k =，结合00001e ,e x x kx b x =+=，得1b k +=，故1=-b k ，所以1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件.【点睛】关键点点睛：证明1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件的关键是构造函数()()ln 1e 1,0,xx F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+⎪⎝⎭并求出其隐零点，从而得到0,,x k b 的关系，从而得证.。
通州区2024届高三二模数学试题及答案
通州区2024届高三年级模拟考试数学试卷 2024年4月本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =−，{}1,2A =，{}0,2,3B =，则()U C A B =A.{}3B.{}0,3C.{}1,2,3D.{}0,1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)−，则2i z =A.1i −+B.22i −+C.1i −D.22i − 3. 在262()x x−的展开式中，常数项为A.60B.120C.180D.2404. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是A.1()1f x x =+B.3()f x x =−C.()tan f x x =D.12()log ||f x x =5. 在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，则AB AC ⋅=A. B.8 C.12 D.6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点43(,)55P −，则cos(π2)α−=A.925−B.725−C.725D.9257. 已知圆心为C 的圆22(2)(4)16x y ++−=与双曲线222:14x y E b −=(0)b >交于,A B 两点，且CA CB ⊥，则双曲线E 的渐近线方程为A.y x =B.12y x =±C.y =D.2y x =±8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=(0,1)a a >≠且，图象如图所示. 则下列 结论正确的个数为①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.A.0B.1C.2D.39. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2220S a −<”是“1(1)n n nS n S +>+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知函数2||1,1()log 1,1x x x f x x x −≤⎧=⎨+>⎩，()ln g x x x =，若关于x 的方程(()2)(())0f x g x m −−=恰有3个不同的实数根，则实数m 的取值范围是A.1(,0)e −B.1(,1)e −C.(0,)+∞D.(1,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024高考模拟压轴卷(二) 数学试卷(含答案解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（ ）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（ ）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（ ）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（ ）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（ ）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（ ）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（ ）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。
湖南省长沙市2024届高三下学期高考考前模拟卷数学试题(二)含答案
考前模拟卷二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中x 的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令521r -=，则2r =，所以x 系数为25C 10=.故选：B2.已知实数a ，且复数2i2ia z +=+的实部与虚部互为相反数，则复数z 对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z ，求得实部与虚部，依题求出a 的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i 2i 2i 224i2i 555a a a az +-++-===++，其实部为225+a ，虚部为45a -，依题有224055a a+-+=，解得6a =-，所以22i z =-+，其对应的点为()2,2-，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交双曲线于,A B 两点，1F AB 为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22b AB a=，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,A c y ，代入双曲线方程可得22224221122221y x c a b y b a b a a --=⇒==，所以22b AB a =即正三角形的边长，所以正三角形的高为2222b a a⨯=，所以)222222322220c ac ac c a ac e a=⇒=⇒=-⇒-=⇒=，故选：C.5.已知四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 为PC 中点，则（）A.BE 平面PADB.PD ⊥平面ABCDC.平面PAB ⊥平面PADD.DE EB=【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的性质判断A 错误；举反例判断B 错误；先证明PH AB ⊥，再由线面垂直得到AB ⊥平面PAD ，进而得到平面PAB ⊥平面PAD ，判断C 正确；由已知条件判断D 错误.【详解】A ：易知//BC 平面PAD ，因为BE BC B = ，且两条直线都在平面PBC 内，所以BE 不可能平行平面PAD ，故A 错误；B ：举反例，如图PH 垂直平面ABCD 时，由于PD PH P ⋂=，所以PD 不垂直，故B 错误；C ：作PH AD ⊥于点H ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，又AB AD ⊥，PH AD H ⋂=，且,PH AD 都在平面PAD 内，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故C 正确；D ：没有任何条件可以证明DE EB =，故D 错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16C x y -++=，过点()0,1D 的动直线l 与圆C 相交于,M N两点||MN =直线l 的方程为（）A.4330x y +-=B.3440x y -+=C.0x =或4330x y +-= D.4330x y +-=或3440x y -+=.【答案】C 【解析】【分析】考虑直线l 与x 轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为0x =，22:(1)(2)16C x y -++=中令0x =得2(2)15y +=，解得2y =，故此时()22MN y ==-=，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心到直线的距离为d =MN ===，1d ∴==，解得43k =-，则直线l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=，综上可知直线l 的方程为0x =或4330x y +-=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD 中，π2,,4AD ADB BD ∠==是圆的直径，2AC BD ⋅= ，则ADC ∠=（）A.5π12B.π2 C.7π12D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD 的几何性质，即可得所求.【详解】因为2AC BD ⋅=，所以()2AD DC BD +⋅= ，易知BD =，结合图形，2·242AD BD =⨯= ，90BCD ∠=︒，则242DC -= ，故DC = .所以在直角三角形BCD 中可得π3BDC ∠=，故7π12ADC ∠=.故选：C .8.若直线e 4eln40x y -+=是指数函数(0x y a a =>且1)a ≠图象的一条切线，则底数=a （）A.2或12 B.eC.D.e 【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为()()00,x f x ，根据导数的几何意义，列式运算求得a 的值.【详解】设切点坐标为()()00,x f x ，对函数x y a =，求导得ln x y a a '=，切线方程e 4eln40x y -+=化成斜截式为4e 44eln y x =+，由题设知000e ln 04e eln44x x a a x a ⎧=>⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，显然ln 0a >，即1a >，由0e 4ln x aa =，得04e eln4e4ln x a +=，即01ln4ln x a=+，即()00ln ln 01ln ln ln4ln ln4ln 4xx aa x a a a a =⋅+=+=⋅，即0ln ln ee 444ln xaa a a=⋅=⋅，化简得ln 44ln a a =，令ln 0a t =>，即44t t =，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t =或12，即ln 1a =或12，解得e a =.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c 是空间中三条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥B.若,a αβα⊥⊥，则aβC.若a ,b a ,c a α，则b α或c α.D.若,,a b a αβ⊥⊥ b ，则α β，【答案】ABC 【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A ，需要补上,b c 不平行才成立，否则a 可能与α相交或平行，故A 错误；对B ，若,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，故B 错误；对C ，有可能b α⊂且c α⊂且b c P ，故C 错误；对D ，若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故D 正确.故选：ABC.10.对于事件A 与事件B ，若A B ⋃发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.()()2P BA P AB =∣∣C.事件A 发生的概率的范围为[]0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则()()()()30.72P A B P A P B P A ⋃=+==，所以()0.24,A P A =，故A 错误；对于B ，()()()()()()()()()1|,||22P AB P AB P AB P B A P A B P B A P A P B P A ====，故B 正确；对于C ，()()()()()()()()30.72,0.243P AB P A B P A P B P AB P A P AB P A ⋃=+-=-==+，若事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，此时()P A 取到最小值为0.24，若()()P A P B ⊆，此时()()(),P AB P A P A =取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，()0.3P A =，则()0.6P B =，由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()()()0.30.60.720.18P AB P A P B =+-==⋅，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域和值域均为{}0,x x x ≠∈R ∣，对于任意非零实数,,0x y x y +≠，函数()f x 满足：()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，且()f x 在(),0∞-上单调递减，()11f =，则下列结论错误的是（）A.122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2023202311222i i f =⎛⎫ ⎪⎝=⎭-∑C.()f x 在定义域内单调递减 D.()f x 为奇函数【答案】BC 【解析】【分析】赋值法可判断A ，根据等比数列求和公式判断B ，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C ，由函数的特例可判断D.【详解】对于A ，令12x y ==，则()21121()[()]22f f f =，因1()02f ≠，故得1()2(1)22f f ==，故A 正确；对于B,由()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，令y x =，则2[()]1(2)()2()2f x f x f x f x ==，则111111()(2)()2222i i i f f f ++=⨯=，即111(2()22i i f f +=，故1{(2i f 是以1(22f =为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212i i f =-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑，故B 错误；对于D ，由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，令2y x =-，则()()()()()22f x f x f x f x f x --=+-①，把,x y 都取成x -，可得()()()()()222f x f x f x f x f x ----==-②，将②式代入①式，可得()()()()()22f x f x f x f x f x --=-+，化简可得()(),f x f x -=-即()f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，()f x 在(),0∞-上单调递减，函数为奇函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，但是不能判断()f x 在定义域上的单调性，例如()1f x x=，故C 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()f x f x -的关系式即可判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin 23f x x x ϕ⎛⎫=++-⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，则ϕ可以为__________.（写出一个符合条件的ϕ即可）【答案】π6-.（答案不唯一）【解析】【分析】因为函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，只需根据三角函数图象让2x =也为πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴即可.【详解】函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，则只要πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称即可，所以()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，所以()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，如令0k =，可以取π6ϕ=-.故答案为：π6-13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为A ，过,A F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若直线l 的斜率为1，且83AB =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】22142x y +=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0F c ，由题意知，,b c a ==，直线l 的方程为y x c =-，与椭圆C 的方程联立化简得x cx -=2340，所以40,3A B x x c ==，故833B A AB x x c =-==，解得c =所以2b a ==，椭圆C 的方程为22142x y +=.故答案为：22142x y +=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：12,,,m G G G ，记挑战每一个关卡()1,2,,k G k m = 失败的概率为k a ，其中()110,1,3k a a ∈=.游戏规则如下：从第一个关卡1G 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m =，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望()E X =__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k +关的概率总等于闯到第k 关()1,2,,1k m =-L 的概率的一半，则数列{}n a 的通项公式n a =__________,1,2,,n m = .【答案】①.53②.1122n -+【解析】【分析】若2m =，则X 得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()E X 即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-，于是根据递推关系式可得数列{}n a 的通项公式.【详解】若2m =，则X 得可能取值为1,2，又()()1121,21333P X P X ====-=，所以()12512333E X =⨯+⨯=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ；那么有()()()()()()121121111111k kk m a a a a P a a a ----=---- ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-；即121k k k a a a +=-，对两边同时取倒数，可得1122k k a a +=-，即111222k k a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又112321a -=-=，故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22n n n n a n m a ---===+ .故答案为：53；1122n -+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24y x =，焦点为F ，设,P Q 是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF =，求直线PF 的斜率；（2）设PQ 中点为R ，若直线PQ斜率为2，证明R 在一条定直线上.【答案】（1）±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得到2P x =，求出(2,P ±，从而求出斜率；（2）法一：:2PQ y x t =+，联立抛物线方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，得到两根之和，两根之积，得到122R y y y +==，求出答案；法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，得到21211242y y x x y y -==-+，从而确定12y y +=，得到122R y y y +==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13P F PF x =+=，2P x \=，将2x =代入24y x =得，y =±(2,P ∴±所以21PF k ±==±-；【小问2详解】法一：设()()1122,,,P x y Q x y，:2PQ y x t =+，即x =，代入24y x =，得20y -+=，由韦达定理，有12y y +=故122R y y y +==，R在定直线y =上.法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意，21212221211242244y y y y y y x x y y --===-+-，故12y y +=，故122R y y y +==，R在定直线y =上.16.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD，,2,4,AB AD AB AD PB CD PD ⊥=====，点E 为PB 中点，DE PC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知点F 为线段AB 的中点，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）连接BD ，可证PD BD =，从而得到DE PB ⊥，即有DE ⊥平面PBC ，可得DE BC ⊥，由222BC BD CD +=，可得BC BD ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD ，即BC PD ⊥，再由222PB PD BD =+，得PD BD ⊥，从而证明PD ⊥平面ABCD ；（2）以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量为(m = ，表示出(1,0,EF = ，代入向量夹角公式，可得直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD .因为AB AD =，且AB AD ⊥，所以BD D =，因为PD =，所以PD BD =.因为E 是棱PB 的中点，所以DE PB ⊥.因为,,DE PC PC PB ⊥⊂平面PBC ，且PC PB P = ，所以DE ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以DE BC ⊥.由题意可得BC BD ==，则222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥.因为,BD DE ⊂平面PBD ，且BD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD .因为PD ⊂平面PBD ，所以BC PD ⊥.因为,2PD BD PB AB ===，所以222PB PD BD =+，所以PD BD ⊥.因为,BD BC ⊂平面ABCD ，且BD BC B ⋂=，所以PD⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,4,0C，(0,0,P，(E ，()2,1,0F从而(2,2,PB =- ，()2,2,0BC =-，(1,0,EF = 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得(m = ，设直线EF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,6m EF m EF m EF α⋅====，所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为6.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 2π13,,,3a A b c ABC ==> 的内切圆圆I 的面积为3π.（1）求b c 、的值及cos ABC ∠；（2）若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，试讨论在BC 边上是否存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ 若存在，求出点M 的位置，并求出DBM △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7b c ==，11cos 13ABC ∠=；（2）存在，位置见解析，10.【解析】【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc 与b c +的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b c ，最后由余弦定理解出cos ABC ∠即可；（2）由题意BI BM CI CM ⋅=⋅ ，配合切线长定理可解出BM ，再设角θ结合正弦定理解出BD ，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC 内切圆圆I 的面积为3π，可得圆I的半径为r =，则)()112π13sin ,262223ABC S b c bc bc b c =++=∴=++ ，所以1132b c bc +=-，由余弦定理得222π2cos 1693b c bc +-=，得2()169b c bc +-=，将1132b c bc +=-代入整理得：2()560bc bc -=，解得56,15,,8,7bc b c b c b c =∴+=>∴== .∴由余弦定理得：222137811cos 213713ABC ∠+-==⨯⨯.【小问2详解】记圆I 与BC 边切于点E ，根据切线长定理可求得6,7BE CE ==，若BI BM CI CM ⋅=⋅ ，则BE BM CE CM ⋅=⋅，即()6713BM BM =-，解得7BM =，所以在BC 边上存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ .依题意可知I 为内心，则BD 平分ABC ∠，记ABD DBC θ∠=∠=，则11cos cos213ABC ∠θ==，故23913cos ,sin 1313θθ====，在ABD △中，2πππ33ADB ∠θθ=--=-，由正弦定理得2ππsin sin sin 33BD AB c ADB θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，又π31513sin cos sin 732226c θθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，7395BD ∴=，11sin 72251310DBM S BM BD θ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .18.已知函数()e x x f x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()e 1xf x ≤-；（3）设()()()22e 2e 41x xg x f x a a a =-+-+∈R ，若存在实数0x 使得()00g x ≥，求a 的最大值.【答案】（1）增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()f x '，判断导数正负得到函数()f x 的单调区间；（2）利用分析法转化要证结论，要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，利用导数判断()h x 单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e 41x x g x f x a a =-+-+，分别讨论当102a ≤≤时和12a >时是否存在0x 使得()00g x ≥，即可求解.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,ex x f x -='R ，所以当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),1∞-，减区间为()1,∞+.【小问2详解】要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，()21e e x xx h x -'-=，令()21e x m x x =--，则()212e 0x m x =--<'，所以()m x 在R 上单调递减，又()00m =，∴当0x <时，()()0,0m x h x '>>；当0x >时，()()0,0m x h x '<<.()h x ∴在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()00h x h ∴≤=，所以e 1e x x x ≤-，即()e 1xf x ≤-得证.【小问3详解】当102a ≤≤时，()()20242120g a a a a =-=-≥，即存在00x =满足题意；当12a >时，由（2）知，()()()2222e 2e 41e 1e 2e 41x x x x x g x f x a a a a =-+-+≤--+-+()()()()()2226112611221e 21e 4e 0244x x x a a a a a a a +-+-+⎛⎫=-++-=--+≤< ⎪⎝⎭，∴此时()0g x <恒成立，不满足题意；综上，所以a 的最大值为12.19.设数集S 满足：①任意x S ∈，有0x ≥；②任意x ，y S ∈，有x y S +∈或x y S -∈，则称数集S 具有性质P .（1）判断数集{}0,1,2,4A =和{}0,2,4B =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P .（i ）当5n =时，求证：1a ，2a ，…，n a 是等差数列；（ii ）当1a ，2a ，…，n a 不是等差数列时，求n 的最大值.【答案】（1）数集A 不具有性质P ，数集B 具有性质P ，证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义判断可得出结论(2)（i ）推导出10a =，再根据性质P 的定义推导出32532432a a a a a a a a -=--=-=从而证明（ii ）根据性质P 的定义得出12,,,n a a a ⋅⋅⋅在5n ≥均为等差数列，再令4n =进行验证，可以不是等差数列，所以得出n 的最大值.【小问1详解】证明：对于数集A ，41A +∉，41A -∉，所以数集A 不具有性质P ，对于数集B ，任意,x y B ∈，x y B -∈，所以数集B 具有性质P .【小问2详解】（i ）当5n =时，数集{}125,,,C a a a =⋅⋅⋅具有性质P ，55552a a a a +=>，所以55a a C +∉，即550a a C -=∈，因为123450a a a a a ≤<<<<，则10a =，又因为5453525a a a a a a a +>+>+>，所以5(2,3,4)i a a C i +∉=，则5(2,3,4)i a a C i -∈=，因为154535250a a a a a a a a =<-<-<-<，所以得542a a a -=，533a a a -=，524a a a -=，因为43425a a a a a +>+=，所以43a a C +∉，则43a a C -∈，又因为14340a a a a =<-<，所以432a a a -=或433a a a -=，因为533a a a -=，所以433a a a -=(舍去)，即432a a a -=，32532432a a a a a a a a -=--=-=，所以213243542a a a a a a a a a -=-=-=-=，即当5n =时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列.（ii ）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P ，按照(1)推导的方式得出5n ≥一般结论，具体如下：因为122n n n n n n a a a a a a a --+>+>>+> ，所以(2,3,,1)n i a a C i n +∉=- ，即(2,3,,1)n i a a C i n -∈=- ，因为11220n n n n n n a a a a a a a a --=<-<-<<-< ，所以1(2,3,,1)n i n i a a a i n +--==- ①，所以12n n a a a -=+，23n n a a a -=+，因为12131312n n n n n n n a a a a a a a a a ------+>+>>+>+= ，所以1(3,4,5,,2)n i a a C i n -+∉=- ，即1(3,4,5,,2)n i a a C i n --∈=- ，因为112131310n n n n n n a a a a a a a a ------=<-<-<<-< ，根据120n a a a ≤<<< ，分两种情况：第一种情况为122n n a a a ---=，133n n a a a ---=，…，133n n a a a ---=，第二种情况为12(3)n n k a a a k ---=≥，13(2)n i a a a i n --=≥-，先考虑第二种情况1223n n k n n a a a a a a ---=+≥+=，与题意矛盾，1332n i n n a a a a a a --=+≥+=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)n i n i a a a i n ---==- ②，由①-②，得11(3,4,,2)n n n i n i a a a a i n -+---=-=- ，即12332221n n n n a a a a a a a a a ----=-==-==- ，即当5n ≥时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列，当4n =时，434a a a +>，所以43a a C +∉，即43a a C -∈，由前面得出1434240a a a a a a =<-<-<，所以432a a a -=，423a a a -=，当322a a a -≠成立时，1a ，2a ，3a ，4a 不是等差数列，所以n 的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N )n n a a d n *+-=∈(d 为常数)等差中项法：122(N )n n n a a a n *++=+∈通项公式法：(N )n a an b n *=+∈（a ，b 为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.。
湖北省孝感市八所重点高中教学协作体2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
湖北省孝感市八所重点高中教学协作体2025届高三第二次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D ．363．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．124．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．26D ．277．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=8．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 9．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A．B．CD ．2010．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里11．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πBπCπD ．2π12．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学周考第二套试卷(含参考答案)
一、选择题1、已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A ∪B=（ ）A. )3,1(-B. )0,1(-C. )2,0(D. )3,2( 解析：因为A ={x |-1<x <2}，B ={x |0<x <3}，所以A ∪B ={x |-1<x <3}，故选A.2、复数512ii =-（ ） A ．2i - B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+解析：()()()51252121212=i i ii i i i +=-+--+，故选C.3、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）A. 5B. 7C. 9D. 11解析：13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===. 4、设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5解析：2222||10210.||62 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r rr r r r r r Q Q Q ，，两式相减，则 1.ab =rr5、在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC的面积为（ ） A ．232+ B ．31+C ．232-D ．31-解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得22c =.所以三角形的面积为117sin 222sin 2212bc A π=⨯⨯.因为73221231sinsin()sin cos cos sin ()123434342222222πππππππ=+=+=⨯+⨯=+， 所以1231sin 22()312222bc A =⨯+=+，故选B. 6、设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．8B ．7C ．2D ．1解析：画出可行域为如图所示，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122zy x =-+经过A 点时，直线122zy x =-+的截距最大，此时z 最大．由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3，2)，此时z 的最大值为z =3+2×2=77、如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8、下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=解析：可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是（0，+∞）的增函数，故选B. 9、执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040解析：可设P 1=1，k 1=2，则P 2=2，k 2=3，P 3=6，k 3=4，P 4=24，k 4=5，P 5=120，k 5=6，P 6=720，k 6=7 > 6，输出720. 故选B. 10、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=o ，则C 的离心率为（ ）A ．36B ．13C ．12D ．33解析：因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=o，所以2123432tan 30,33PF c c PF c ===o .又4423· 否 是开始 k<N输出p 输入N 结束k =1, p =1 k =k+1p=p·k126323PF PF c a +==，所以1333c a ==，即椭圆的离心率为33，故选D.二、填空题11、已知曲线x x y ln +=在点(1, 1)处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a .解析：曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y =2x -1，与y = ax 2+(a +2)x +1联立得ax 2+ax +2=0，显然a ≠0，所以由△=a 2-8a =0，得a =8 .12、甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 解析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为3193=. 13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 三、解答题14、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点. （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积.解析：（Ⅰ）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ， BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . （Ⅱ）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD . 由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1. 由AA 1＝AC ＝CB ＝2，22AB =得∠ACB ＝90°，2CD =，16A D =，3DE =，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以111632=132C A DE V ⨯⨯⨯⨯－＝. 15、三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且CC 1＝2AB .(1)求证：平面C 1CD ⊥平面ABC ；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求三棱锥D －CBB 1的体积．证明：（I ）因为1CC ⊥平面ABC ，又因为1CC ⊂平面C 1CD ， 所以平面1C CD ⊥平面ABC （4分） （II ）证明：连接1BC 交1B C 于点O ，连接DO则O 是1BC 的中点，DO 是1BAC ∆的中位线。
2024学年山东省青岛市高三(54级)下学期第二周周测数学试题
2024学年山东省青岛市高三（54级）下学期第二周周测数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x yxy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 2．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件3．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为A ．1322-B ．3122i +C ．1322+D ．3122i - 4．已知函数()2ln 2x x f x ex a x =-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π6．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．408．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A B C ．2 D9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 211．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32- 12．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案
2024届模拟试卷（二）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()x f =的定义域是A ．[]2,2-B ．()2,2-C ．{}2,2x x x <->或D ．{}2,2-2.已知函数()y f x =的图象是下列四个选项图象之一，且其导函数()y f'x =的图象如图所示，则该函数的图象是A ．B ．C ．D ．3.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则该双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x=±4.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于A ．2B ．2-C ．0D ．4-5.将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线π4x =对称，则ϕ的最小值为A ．3π4B ．1π2C ．3π8D ．1π86.为调查某地区中学生每天睡眠时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.757.在等腰△ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD 在BA上的投影向量为A ．32BAB ．4BAC ．2BAD ．34BA8.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC （包括端点）上运动，则下列结论一定成立的是A ．三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B ．1A P 与平面1ACD 相交C ．平面1PDB ⊥平面11A BC D ．1AP D C⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有A ．2c cd<B ．a c b d -<-C ．ac bd<D ．0c d a b->10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了四十二里路11.三棱锥A -BCD 的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A -BCD 的体积43A BCD V -=，则A ．三棱锥A -BCD 的四个面都是直角三角形B ．2CD =C ．π2CDA ∠=D ．三棱锥A -BCD 外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内方程210x x ++=的解为.13.已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为.14.若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m +≥，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++.（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A -PB -C 的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆G ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为63，右焦点为()，斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -.（1）求椭圆G 的方程；（2）求△PAB 的面积.18.（本小题满分17分）某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束.（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；（2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数.（ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X .（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19.（本小题满分17分）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21esin e ax g x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.2024届模拟试卷（二）数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DBAACBDCADACDABD2.B【解析】由()y f'x =的图象知，()y f x =为增函数，且在区间()1,0-上增长速度越来越快，而在区间()0,1上增长速度越来越慢.故选B ．3.A【解析】∵53c a =，∴222259a b a +=，∴43b a =.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为a y x b =±.∴所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.故选A ．4.A【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数.则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=.故选A ．6.B【解析】初中生人数800m =，每天睡眠时间的平均数9x =，方差211s =；高中生人数1200n =，每天睡眠时间的平均数8y =，方差220.5s =.总的样本平均数8.4mx n y a m n +==+.总的样本方差()()22221220.94m s x a n s y a s m n⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+.故选B ．7.D【解析】设AB AC x ==，由余弦定理可知22222cos1203BC AB AC AB AC x =+-⋅⋅︒=，∴BC =，30ABC ∠=︒，∵AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点，2BD x =，由图可知向量BD 在BA 上的投影向量为BE ，3cos304BE BD x =︒= ，34BE BA = ，∴34BE BA =.故选D .8.C 【解析】对于选项A ，11A A PD P AA D V V --=．在正方体中，1BC ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 的距离不变，即三棱锥1P AA D -的高不变，又1AA D ∆的面积不变，因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立；对于选项B ，由于11BC AD ∥，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD ，同理可证1BA ∥平面1ACD ，又11BA BC B = ，所以平面11BA C ∥平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 不成立；对于选项C ，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B = ，所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥；同理11A B B D ⊥，又1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ⊥平面11A BC ，故C 成立；对于选项D ，当B 与P 重合时，AP 与1D C 的夹角为π4，故D 不成立.故选C ．9.AD 【解析】因为0a b c d >>>>，所以0a b >>，0c d >>，对于A ，因为0c d >>，由不等式的性质可得2c cd <，故选项A 正确；对于B ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故选项B 错误；对于C ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故选项C 错误；对于D ，因为0a b >>，0d c <<，则ad bc <，所以c d a b >，故0c da b->，故选项D 正确.故选AD ．10.ACD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第一天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于31192484a =⨯=，4813788>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186-=，1921866-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，456378192964842a a a ++=---=，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D 正确.故选ACD ．11.ABD 【解析】∵AB BC ⊥，BC CD ⊥，构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A -BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R .∵1114223263A BCD V BC CD AB CD -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，∴2CD =，∴该长方体为正方体，∴AD =∴R =，∴外接球体积为34π3V R ==.故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.12x -=13.212x y=【解析】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设点M 到直线l 的距离为r ，则点M 到l ＇：3y =-与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =.14.2A mn -【解析】法一：直接计算，略.法二：实际意义：从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素a ，b 进行分类，a ，b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，a ，b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，a ，b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++.法三：特值法试一试，如取3m =，7n =，再猜出排列数.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）()cos 2cos cos C A B C =+=-，22cos cos 10C C +-=，1cos 2C =，因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由外接圆半径2R =和正弦定理知1sin sin 2ABC S ab C A B ∆==，2ππsin sin 3sin 22236ABC S A B A A A A A ∆⎛⎫⎛⎫==-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π3A =时，△ABC的面积最大值为16.【解析】（1）因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥．又AD PD D = ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥．（2）如图，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =-，()1,0,0BC =- 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x z ⎧-+=⎪-=，因此可取n =.设平面PBC 的法向量为m ，则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(0,1,m =-，则cos ,7m n <>==-，经判断，二面角A -PB -C 为钝角，故二面角A -PB -C的余弦值为7-.17.【解析】（1）由已知得c =3c a =，解得a =，又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22463120x mx m ++-=，①设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 中点为()00,E x y ，则120324x x x m +==-，004my x m =+=，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥，所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以AB =，又点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==，所以1922PAB S AB d ∆=⋅=.18.【解析】（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14.（2）（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21.()112P X p ==，()()()()()2121111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅+-⋅=--，2i =，3， (19)()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为X 12…i …2021P 12p ()122p p -…()()21212i p p p ---…()18112p -()19112p -其中2i =，3，…，19.（ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯-()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ，作差得()()()17181112191p p pS p p ⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p ⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-()1811112192p p p p ⎛⎫=++---≈ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望()E X 约为19.19.【解析】（1）y x =，0x =为该函数的极值点，该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.（2）（ⅰ）切线方程为0y =.（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--，因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，现考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,+∞上的性质即可，()212e sin cos ax g'ax x x x x +=--，()0,0g'=，()()222124e 2cos sin ax a a x x x x g''x +=+-+，()2e 20g 'a '=-，则必有()e 2002g''a =-≥，即1e a ≥.①否则，若()e 2002g''a =-<，即1ea <，则必存在一个区间()0,m ，使得()0g''x <，则()g'x 在()0,m 单调递减，又()00g'=，则()g'x 在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥，令()211e esin e x h x x x +=--，()2112e sin cos e x e x h x x x 'x +=--，()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上单调递增，对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y'x x x x x x x =++=+，则3sin cos y'x x x =+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0，故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.故()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又()00h''=，故()0h''x ≥，故()h'x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h'=，故()0h'x ≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x >，故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1e a ≥.。
高三数学模拟试卷二答案
一、选择题1. 答案：D解析：由题意可知，函数f(x)的周期为T=π，且f(0)=0，f(π)=1。
因此，f(π/2)的值应等于f(π/2-π)的值，即f(-π/2)。
由周期性，f(-π/2)=f(π/2)，故f(π/2)=0。
选项D正确。
2. 答案：A解析：设a、b为等差数列的前两项，公差为d。
根据等差数列的性质，有a+b=2a+d。
由题意可知，a+b=2，解得a=1，d=1。
因此，该等差数列的前两项为1和2，所以a^2+b^2=1^2+2^2=5。
选项A正确。
3. 答案：C解析：设函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为m。
由题意可知，f(0)=0，f(2)=2。
因为函数在[0,2]上连续，所以根据极值定理，函数在[0,2]上存在最大值和最小值。
又因为f(0)=f(2)，所以最大值和最小值相等，即M=m=0。
选项C正确。
4. 答案：B解析：设a、b为等比数列的前两项，公比为q。
根据等比数列的性质，有ab=q^2。
由题意可知，a+b=1，ab=1/2。
将ab=1/2代入ab=q^2中，得到q^2=1/2。
解得q=√2或q=-√2。
因为a、b为正数，所以q=√2。
选项B正确。
5. 答案：D解析：由题意可知，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减。
因此，函数在x=1处取得极大值。
又因为f(0)=f(2)，所以函数在x=0和x=2处取得相同的函数值。
选项D正确。
二、填空题6. 答案：3解析：设等差数列的前两项为a、b，公差为d。
由题意可知，a+b=10，ab=21。
根据等差数列的性质，有a+b=2a+d，解得a=5，d=5。
因此，等差数列的第三项为a+2d=5+25=15。
7. 答案：-4解析：设函数f(x)在x=1处的导数为f'(1)。
由题意可知，f'(1)=2。
因此，函数在x=1处的切线方程为y=2x-1。
8. 答案：√2解析：设函数f(x)在x=0处的导数为f'(0)。
2021年高三数学周测试卷二(10.11)含答案
2021年高三数学周测试卷二（10.11）含答案一、填空题 (本大题共14小题，共70分．请将答案填写在答题纸相应的位置)1．已知集合，，若，则 ▲ ． 2．的值为 ▲ .3．设，，，若∥，则 ▲ .4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为12，则项数n为 ▲ ．5．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝ ▲ ．6．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为 ▲ ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，则数列{b n }的前n 项和的最小值为 ▲ .9．已知正数满足，则的最小值为 ▲ ．10． “十一”期间，我市各家重点公园举行了免费游园活动，板桥竹石园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分竹石园内的人数是 ▲ ．11．已知，且，，则 ▲12. 函数f (x )=在区间x ∈ [﹣1，2]上最大值为4，则实数13. 已知扇形的弧的中点为，动点分别在线段上，且 若，，则的取值范围是__ ▲ _．14．已知数列满足：，用[x]表示不超过x 的最大整数，则 的值等于 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分14分）已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)．（1）若a ∥b ，求sin2θ的值； （2）若a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值．16.（本小题满分14分）如图，在中，边上的中线长为3，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求边的长．17．（本小题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和．ADBC第16题18．（本小题满分16分）如图，市自来水公司要在昭阳路两侧排水管，昭阳路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在我校南北校区门前矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．19（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n 项和为S n ，已知，且对一切都成立． （1）若λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列．l 2l 120．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值； （3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．楚水实验学校xx 届高三数学周测试卷二（10.11）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．_____________ 2．_____________ 3．_____________ 4．_____________ 5．_____________ 6．_____________ 7．_____________ 8．_____________ 9．_____________ 10．____________ 11．_____________12．____________ 13．____________ 14．____________二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．班级________________ 姓名____________________ 考试号__________________-------------------------密---------------------------------------封----------------------------线---------------------------------15 16 1720楚水实验学校xx 届高三数学周测试卷二答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．-2 3．12 4．168 5．—36． 7．1 8．-225 9．9 10． 4039 11． 12．2或 13． 14．2二、解答题15.（1）因为a ∥b ，所以1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝35． …………………6分（2）因为a ⊥b ，所以1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分所以tan θ＝－56． …………………10分所以tan(θ＋π4)＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝111． …………………14分16．(本题满分14分)解:（Ⅰ）因为，所以…………2分 又,所以…………… 4分所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ ………………………7分 （Ⅱ）在中,由正弦定理,得,即,解得 ……………10分 故,从而在中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=,所以 ……………………14分 17、【解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．………………………… 3分由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． …………………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ．则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n－1＋(n ＋1)×2n ，2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1， 所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， ………………… 11分 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． ………………… 14分 18．（本小题满分16分）19.l2 l1公路公路20，解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t 3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间； 当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t 3)为函数f (x )的单调减区间． ………………4分 （2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， …………………6分 因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6， 即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号． 所以2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t 327． 因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t 327． …………………10分 令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t 327）． …………………12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ， 所以(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． …………………16分24420 5F64 彤20402 4FB2 侲dO28716 702C 瀬 >35583 8AFF 諿R#t35498 8AAA 說。
山东省聊城市2024届高三下学期模拟考试(二模)数学试题(含答案与解析)_5357
2024年聊城市高考模拟试题（二）数 学注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上.2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 在抛物线28y x =上，若点P 到点()2,0的距离为6，则点P 到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 72. 已知集合{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A. {}0,1B. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 11,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D. 11,0,,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 3. 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当0x >时，()4log 1f x x =-，则232f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 23-B. 13-C.13D.234. 若圆221:1C x y +=与圆222:()()4C x a y b -+-=恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(),a b 是（ ）A20x y +=B. 220x y -+=C. 0x y +=D. 20x y -+=5. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种B. 54种C. 48种D. 36种的.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线的方程为2y x =，若直线y kx =与C 在第一象限内的交点为P ，且PF x ⊥轴，则k 的值为（ ）A.B.C.D.7. 如图，在平面四边形ABCD 中，2,2120AB AD B D ︒==∠=∠=，记ABC 与ACD 的面积分别为12,S S ，则21S S -的值为（ ）A. 2B.C. 1D.8. 已知圆柱1OO 的下底面在半球O 的底面上，上底面圆周在半球O 的球面上，记半球O 的底面圆面积与圆柱1OO 的侧面积分别为1,S S ，半球O 与圆柱1OO 的体积分别为1,V V ，则当1SS 的值最小时，1V V 的值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知向量()()1,2,1,a b λ=-= ，若b 在a 上的投影向量为a，则（ ）A. 3λ=B. a b ∥C. ()a b a ⊥-D. a 与b的夹角为45︒10. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，则下列关系能同时成立的是（ ） A. “AB PB =”与“PB BD =” B. “PA PC ⊥”与“PB PD ⊥” C. “PB CD ⊥”与“PC AB ⊥”D. “平面PAB ⊥平面PBD ”与“平面PCD ⊥平面PBD ” 11. 已知函数()()ππ2πππ5πsin 2,cos 266361212f x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≤≤=+-≤≤ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. 若动直线x m =与()(),f x g x 的图象的交点分别为,A B ，则AB的长可为 B. 若动直线y m =与()(),f x g x 的图象的交点分别为,A B ，则AB 的长恒为π4C. 若动直线y m =±与()(),f x g x 的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为π2D. 若()035f m =，则0π212mg ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ∈R ，且2i 1ia a +=+，则=a ________． 13. 甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为________．14. 已知正方形ABCD 的四个顶点均在函数()31f x x =-+的图象上，若,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，则12x x =________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤．15. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其,A B 两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：分公司A ：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B ：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89（1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；（2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B 的客户人数为X ，求X 的分布列和数学期望.16. 如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，11AA BB ，13AA =，点E.在线段11A C 上，且112EC A E =．（1）证明：1//B E 平面1ABC ；（2）若AB ⊥平面11BCC B ，且2AB =，求直线11A C 与平面1AB E 所成角正弦值． 17. 已知数列{}{},n n a b 满足21212212,,n n n n a b m a mb m --=+=为常数，若{}n a 为等差数列，且()()423111228b b b b a b -=-=+=．（1）求m 的值及{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前2n 项和2n S ．18. 对于函数()f x ，若存在实数0x ，使00()1)(f x f x λ+=，其中0λ≠，则称()f x 为“可移λ倒数函数”，0x 为“()f x 的可移λ倒数点”．已知()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>．（1）设2()()()x g x h x ϕ=为“()h x 可移2-倒数点”，求函数()ϕx 的单调区间；（2）设(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩，若函数()x ω恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2.（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==.（ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；的的（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,到l 的距离的最大值.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 在抛物线28y x =上，若点P 到点()2,0的距离为6，则点P 到y 轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义知，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，结合点P 和准线的位置，求点P 到y 轴的距离.【详解】抛物线28y x =开口向右，准线方程为2x =-， 点P 到焦点的距离为6，则点P 到准线的距离为6， 点P 在y 轴右边，所以点P 到y 轴的距离为4． 故选：A ．2. 已知集合{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A. {}0,1 B. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 11,0,,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】由交集的定义求解. 【详解】集合{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭，则11,0,,122M N ⎧⎫⋂=-⎨⎬⎩⎭. 故选：D3. 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当0x >时，()4log 1f x x =-，则232f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】根据偶函数的定义可得2233(2)(2)f f -=，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则2222213333342212(2)(2)log 21log 21log 21133f f -==-=-=-=-=-.故选：A4. 若圆221:1C x y +=与圆222:()()4C x a y b -+-=恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(),a b 的是（ ）A. 20x y +=B. 220x y -+=C. 0x y +=D. 20x y -+=【答案】D 【解析】【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心(),a b 所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点(),a b 即可.【详解】圆221:1C x y +=的圆心()10,0C ，半径11r =，圆222:()()4C x a y b -+-=的圆心()2,C a b ，半径22r =，若圆1C 与圆2C 恰有一条公切线，则两圆内切，所以1212C C r r =-，即1=，所以点(),a b 的轨迹为圆221x y +=， 对于A ，圆心()0,0到直线20x y +-=1<，则该直线过点(),a b ，故A 不符合；对于B ，圆心()0,0到直线220x y -+=1<，则该直线过点(),a b ，故B 不符合；的对于C ，圆心()0,0到直线0x y +=1，则该直线过点(),a b ，故C 不符合；对于D ，圆心()0,0到直线20x y -+=1>，则该直线不过点(),a b ，故D 符合； 故选：D.5. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ） A 60种B. 54种C. 48种D. 36种【答案】B 【解析】【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况进行说明即可. 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有13C 3=种结果， 然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有24C 6=种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有22A 2=种结果， 所以不同的安排方案共有36236⨯⨯=种，第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时， 先选两人出来，有23C 3=种结果，再将四门不同学科分成两堆，有2422C 3A =种结果，将学科分给学生，有22A 2=种结果， 所以不同的安排方案共有33218⨯⨯=种， 综合得不同的安排方案共有361854+=种. 故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线的方程为2y x =，若直线y kx =与C 在第一象限内的交点为P ，且PF x ⊥轴，则k 的值为（ ）..A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可得2b a c =⇒=，由PF x ⊥轴得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用斜率公式可得结果.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意有2b a=，即2b a c =⇒=，又右焦点为(),0F c ，且PF x ⊥轴，所以2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22OPb b a k kc ac =====， 故选：C.7. 如图，在平面四边形ABCD 中，2,2120AB AD B D ︒==∠=∠=，记ABC 与ACD 的面积分别为12,S S ，则21S S -的值为（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理得2224BC AC BC -=--、2224CD AC CD -=-，两式相减可得2CD BC -=，由三角形的面积公式得21)S S CD BC -=-，即可求解. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即221424BC AC BC +--=，得2224BC AC BC -=--①，在ACD 中，由余弦定理得222cos 2AD CD AC D AC CD +-=⋅，即221424CD AC CD+-=，得2224CD AC CD -=-②，又1211sin120,sin 6022S AB BC S AD CD ︒︒=⋅=⋅，所以21)S S CD BC -==-③， 由②-①，得222()CD BC CD BC -=+，由0CD BC +>，得2CD BC -=，代入③得21S S -=故选：B8. 已知圆柱1OO 的下底面在半球O 的底面上，上底面圆周在半球O 的球面上，记半球O 的底面圆面积与圆柱1OO 的侧面积分别为1,S S ，半球O 与圆柱1OO 的体积分别为1,V V ，则当1SS 的值最小时，1V V 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设圆柱底面半径为r ，高为h ，球的半径为R ，则122S h r S r h=+，根据基本不等式可得r h =、=R ，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解.【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，球的半径为R ，则222R h r =+，233211142π,2π,ππ,π233S R S rh V R R V r h ===⋅==，所以2221π12π222S R h r h r S rh rh r h +===+≥=， 当且仅当r h =时等号成立，此时=R ，所以3212π3πR V V r h ===故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知向量()()1,2,1,a b λ=-= ，若b 在a 上的投影向量为a ，则（ ）A. 3λ=B. a b∥C. ()a b a ⊥-D. a 与b的夹角为45︒【答案】ACD 【解析】【分析】根据投影向量的公式求出λ的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.【详解】对于A ，因为b 在a 上的投影向量为a ，即||||a b a a a a ⋅⋅=，所以21||a ba ⋅=1=，解得3λ=，故A 正确； 对于B ，()()1,2,1,3a b =-=，所以(1)3210-⨯-⨯≠，故B 错误； 对于C ，()=(1,2)(2,1)220a b a ⋅--⋅=-+= ，所以()a b a ⊥-，故C 正确；对于D，cos ,||||a b a b a b ⋅<>===，所以a 与b 的夹角为45︒，故D 正确.故选：ACD.10. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，则下列关系能同时成立的是（ ） A. “AB PB =”与“PB BD =” B. “PA PC ⊥”与“PB PD ⊥” C. “PB CD ⊥”与“PC AB ⊥”D. “平面PAB ⊥平面PBD ”与“平面PCD ⊥平面PBD ” 【答案】BC 【解析】【分析】利用正方形的特征可判定A ，利用球的特征可判定B ，利用面面垂直的性质可判定C ，利用反证法可判定D.【详解】对于A ，显然AB PB =时，而底面ABCD 是正方形，AB DB ≠， 所以PB BD =不成立，故A 错误；对于B ，设底面正方形中心为O ，则P 在以O 为球心，以OA 为半径的球面上时可符合题意，故B 正确；对于C ，当平面PBC ⊥底面ABCD 时，由面面垂直的性质可知AB ⊥平面PBC ，DC ⊥平面PBC ，显然符合题意，故C 正确； 对于D ，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，如图有,,l a b αβαγβγαγβγ⋂=⋂=⋂=⎧⎪⊥⎨⎪⊥⎩，取A γ∈，作,AB a AC b ⊥⊥，垂足分别为B 、C ，由面面垂直的性质可知,AB AC αβ⊥⊥，由线面垂直的性质可知,,AC ll l AB l αβ⊥⎧⊂⊂∴⎨⊥⎩，又,,AB AC A AB AC γ=⊂ ，由线面垂直的判定可知l γ⊥，若“平面PAB ⊥平面PBD ”与“平面PCD ⊥平面PBD ”同时成立，易知P =平面PAB ⋂平面PCD ，可设平面PAB ⋂平面PCD l =，则P l ∈， 则l⊥平面PBD ，易知//,AB CD AB ⊄平面PCD ，所以//AB 面PCD ，则//l AB ， 则有AB ⊥平面PBD ，显然AB BD ⊥不成立，故D 错误. 故选：BC11. 已知函数()()ππ2πππ5πsin 2,cos 266361212f x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≤≤=+-≤≤ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. 若动直线x m =与()(),f x g x 的图象的交点分别为,A B ，则AB 的长可为B. 若动直线y m =与()(),f x g x 的图象的交点分别为,A B ，则AB 的长恒为π4C. 若动直线y m =±与()(),f x g x 的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为π2D. 若()035f m =，则0π212mg ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】先判断函数()(),f x g x 的单调性及值域，由条件确定m 的范围，设点,A B 的坐标分别为()()12,,,x m x m ，列方程化简可得12π4x x -=，由此判断AB ，判断直线y m =±与()(),f x g x 的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件()035f m =，结合两角差余弦公式可求0cos 2m ，根据二倍角公式可求0cos m ，由此判断D. 【详解】由π6π23x ≤≤，可得ππ3π2262x ≤+≤，所以()f x 在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()ππsin 162f x f ⎛⎫≤==⎪⎝⎭，()π3πsin 162f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭， 所以()11f x -≤≤， 由π51212πx -≤≤，可得π02π6x ≤+≤，所以函数()g x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 且()πcos 0112g x g ⎛⎫≤-== ⎪⎝⎭，()5πcos π112f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()11g x -≤≤， 由已知11m -≤≤，所以直线y m =与函数()(),y f x y g x ==都只有一个交点， 设点,A B 的坐标分别为()()12,,,x m x m ， 则122ππ2πsin 2cos 2sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12ππ3π262x ≤+≤，2π2π3π2232x ≤+≤， 因为函数sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以12π2π2263x x +=+， 所以12π4x x -=，所以12π4AB x x ==-=，A 错误，B 正确，设直线y m =-与函数()(),y f x y g x ==的交点为,C D ， 则π4CD =，又//AB CD ， 所以四边形ABDC 为平行四边形，其面积ππ242S m =⨯≤，C 正确；对于D ，因为()035f m =， 所以0π3sin 265m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02ππ3π262m ≤+≤， 所以0π4cos 265m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0ππ2π26m ≤+<，即02ππ156m ≤≤， 又0000ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0cos 2m =，所以202cos 1m -=02ππ156m ≤≤，所以0cos m====所以00πcos 212m g m ⎛⎫-==⎪⎝⎭D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题AB 选项的关键是利用正弦型函数的性质得到,A B 点横坐标之间的关系，即12π4x x -=. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ∈R ，且2i 1ia a +=+，则=a ________． 【答案】1 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a 的方程，解之即可. 【详解】()()()2222i 222i 22i i i i 1i i i 111a a a a a a a a a a a a a --⎛⎫+=+=+=+-= ⎪++-+++⎝⎭， 所以22211201aa a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩，解得1a =.故答案为：113. 甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为________． 【答案】35##0.6 【解析】【分析】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，根据条件概率公式分别求解()P A 、()P AB 的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，()P A 122221220C 3333327=⨯+⨯⨯⨯=，22224()C 339P AB =⨯⨯=， 故4()1239(|)20()20527P AB P B A P A ====． 故答案为：35．14. 已知正方形ABCD 的四个顶点均在函数()31f x x =-+的图象上，若,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，则12x x =________．【解析】【分析】分析函数关于点(0,1)M 中心对称，进而正方形ABCD 的对称中心为M ，设出直线AC 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，则1(C x -,12)y -，2(D x -,22)y -，联立直线方程与函数()y f x =可得21x k =+221x k=，由||||AM BM =，可得2211(1)((1)k k k k ++=+，进而求得1k k -的值，所以可得2212x x ，代值计算即可得出答案．【详解】因为()31f x x =-+，所以()31f x x -=-++，则()()2f x f x +-=，得函数()f x 关于点(0,1)M 中心对称，显然该正方形ABCD 的中心为M ，由正方形性质可知，AC BD ⊥于M ，且||||||||AM BM CM DM ===， 不妨设直线AC 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+， 设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，则1(C x -,12)y -，2(D x -,22)y -，联立直线AC 方程与函数()y f x =得311y kx y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，即3(0x k x -+=，∴21x k =+221x k=，又12||0|,||0|AM x BM x =-=-，∴2211(1)((1)k k k k ++=+-，即22110k k k k++-=，化简得211()20k k k k-+-+=，∴1k k -=∴((221211773x x k k k k ⎛⎫⎫=+-=-+=+= ⎪⎪⎝⎭⎭，∴12x x =【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线的综合运用.解决本题的关键是利用函数的对称性与正方形的对称性，从而可设互相垂直的两条直线，再根据直线与曲线相交的坐标关系，进而利用相交弦长公式确定直线斜率关系式.考查了运算求解能力，属于较难题目．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤．15. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其,A B 两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：分公司A ：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B ：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. （1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；（2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B 的客户人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）75（2）()95E X =，分布列见解析 【解析】【分析】（1）将数据从小到大排列，根据第一四分位数的概念求解即可；（2）先求出两个公司不满意的人数，确定随机变量的取值，然后求出对应的概率，根据数学期望公式求解即可.【小问1详解】将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为2025%5⨯=，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为7377752+=. 【小问2详解】由已知得分公司A 中75分以下的有66分，72分； 分公司B 中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A 中2人，分公司B 中3人. 所以X 的所有可能取值为1，2，3.()()()211203232323333555C C C C C C 3311;2;3C 10C 5C 10P X P X P X =========， 所以X 的分布列为X 12 3P310 35 110数学期望()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯=. 16. 如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，11AA BB ，13AA =，点E 在线段11A C 上，且112EC A E =．（1）证明：1//B E 平面1ABC ；（2）若AB ⊥平面11BCC B ，且2AB =，求直线11A C 与平面1AB E 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）要证明线面平行：1//B E 平面1ABC ，只需证明平面1//B ME 平面1ABC （其中点M 在线段1AA 上，1113A M A A =），从而只需结合线面平行的判定定理分别得出//ME 平面1ABC ，1//B M 平面1ABC 即可.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线11A C 的方向向量与平面1AB E 的法向量，从而由公式111111cos ,n A C n A C n A C ⋅=⋅即可运算求解.【小问1详解】在线段1AA 上取一点M ，使1113A M A A =， 连结1,B M ME ，则12MA A M =， 又因为112EC A E =，所以1ME AC ∥，因为ME ⊄平面11,ABC AC ⊂平面1ABC ，所以//ME 平面1ABC ， 由13A A =，得2MA =，又12B B =，且11AA BB ， 所以四边形1ABB M 为平行四边形，所以1B M AB ∥，因为1B M ⊄平面1,ABC AB ⊂平面1ABC ，所以1//B M 平面1ABC ， 又1B M ME M ⋂=，1B M ⊂平面1B ME ，ME ⊂平面1B ME ， 所以平面1//B ME 平面1ABC ，又因为1B E ⊂平面1B ME ，所以1//B E 平面1ABC .【小问2详解】因为AB ⊥平面111,,BCC B BB BC ⊂平面11BCC B ，所以1,AB BB AB BC ⊥⊥， 又四边形11BCC B 是正方形，所以1BB BC ⊥， 所以1,,BC BA BB 两两互相垂直．所以以B 为原点，以1,,BC BA BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由12,3AB BC AA ===，得()()()()1110,2,0,0,2,3,0,0,2,2,0,2A A B C ，于是()()()111112,2,1,0,2,2,0,2,1A C AB B A =--=-=，111111242,,3333B E B A A C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z = ，则110n AB n B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2202420333y z x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，即020y z x y z -=⎧⎨++=⎩， 令1y =，得1,3z x ==-，所以平面1AB E 的一个法向量()3,1,1n =-， 设直线11A C 与平面1AB E 所成的角为θ，则111111sin cos ,n A C n A C n A C θ⋅====⋅，所以直线11A C 与平面1AB E. 17. 已知数列{}{},n n a b 满足21212212,,n n n n a b m a mb m --=+=为常数，若{}n a 为等差数列，且()()423111228b b b b a b -=-=+=．（1）求m 的值及{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）m 的值为1,223n a n =+ （2）267n n +【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得；（2）由题意可得2121226,2n n n n b a b a --=-=，借助分组求和法计算即可得解.【小问1详解】由题意知4231118,4,4b b b b a b -=-=+=， 因为21212212,n n n n a b m a mb --=+=，所以112233441111212212a b m a mb a b ma mb a b a m=+⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪=⎪+=-⎪⎩, 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()3131424211142822124a a b b d a a m b b m d a b a m -=-==⎧⎪-=-==⎨⎪+=-=⎩， 解得1121215d m b a =⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，所以()51223n a n n =+-⨯=+，所以m 值为{}1,2n a 的通项公式为23n a n =+； 【小问2详解】由（1）知，21212223,6,2n n n n n a n b a b a --=+=-=，所以()()2135212462n n n S b b b b b b b b -=+++++++++()()135********n n a a a a n a a a a -=++++-+++++的()()()()12122541626743222n n n a a n a a n n n n n n -++++=-+⨯=-+++267n n =+．所以{}n b 的前2n 项和2267n S n n =+． 18. 对于函数()f x ，若存在实数0x ，使00()1)(f x f x λ+=，其中0λ≠，则称()f x 为“可移λ倒数函数”，0x 为“()f x 的可移λ倒数点”．已知()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>．（1）设2()()()x g x h x ϕ=为“()h x 的可移2-倒数点”，求函数()ϕx 的单调区间；（2）设(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩，若函数()x ω恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(,3),(1,)-∞--+∞，递减区间为()3,1--；（2）()2,e .【解析】【分析】（1）根据给定的定义，列式求出a 值，再利用导数求出函数()ϕx 的单调区间.（2）利用定义转化为求方程()()11x x ωω+=恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.【小问1详解】为“()h x 的可移2-倒数点”，得)21hh -=，即)21a a -+=，整理()2210a a +-+-=，即()()110a a +--=，解得1a =， 由2()1)e (x x x ϕ=+的定义域为R ，求导得()()()()2e (1)2e 1e 13x x x x x x x x ϕ=+++=++'，当(),3x ∞∈--时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；()3,1x ∈--时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减； ()1,x ∞∈-+时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()x ϕ的单调递增区间为(,3),(1,)-∞--+∞，递减区间为()3,1--．【小问2详解】依题意，e ,0()1,0x x x x x aω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩， 由()x ω恰有3个“可移1倒数点”，得方程()()11x x ωω+=恰有3个不等实数根，①当0x >时，10x +>，方程()()11x x ωω+=可化21e 1x +=，解得12x =-， 这与0x >不符，因此在()0,∞+内()()10x x ωω+=没有实数根； ②当10x -<<时，10x +>，方程()()11x x ωω+=可化为1e 1x x a+=+， 该方程又可化为1e x a x +=-．设()1e x k x x +=-，则()1e 1x k x +='-，因为当()1,0x ∈-时，()0k x '>，所以()k x 在()1,0-内单调递增，又因为()()12,0e k k -==，所以当()1,0x ∈-时，()()2,e k x ∈，因此，当()2,e a ∈时，方程()()11x x ωω+=在()1,0-内恰有一个实数根；当(][)0,2e,a ∞∈⋃+时，方程()()11x x ωω+=在()1,0-内没有实数根．③当=1x -时，()10,1x x ω+=+没有意义，所以=1x -不是()()11x x ωω+=的实数根． ④当1x <-时，10x +<，方程()()11x x ωω+=可化为1111x a x a ⋅=+++， 化为()222110x a x a a ++++-=，于是此方程在(),1∞--内恰有两个实数根，则有()()()22221410211212110a a a a a a a ⎧+-+->⎪⎪+-<-⎨⎪-+++->⎪⎩，解得a >，因此当a >时，方程()()11x x ωω+=在(),1∞--内恰有两个实数根，当0a <≤时，方程()()11x x ωω+=在(),1∞--内至多有一个实数根， 为综上，a 的取值范围为()()2,e )2,e ∞⋂+=． 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2. （1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ== .（ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,到l 的距离的最大值. 【答案】（1）2213x y += （2）（ⅰ（ⅱ）2 【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率建立方程求解即可；（2）（ⅰ）利用向量的坐标运算求得点,M N 的坐标，代入双曲线方程即可求解； （ⅱ）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据向量坐标运算得12112m m m k x x k k λμ⎛⎫ ⎪+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，从而代入化简得k m =，即l 过定点()1,0-，进而根据几何性质求得点到直线的最大距离.【小问1详解】由题意得22b c a =⎧⎪⎨==⎪⎩，解得1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2213x y +=． 【小问2详解】（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由12AM BM = ，得2OM OA OB =- ，即,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2AN BN = ，得2ON OB OA =- ，即2,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=， 解得213k =，又0k >，所以k = （ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++-=， 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =-+-=-+>， 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+==++， 由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭， 由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=， 即222222223312303131m k k m k m k k --++=++，所以222222223312930m k k m k m k m --++=，因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =.所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0-，所以点(0,到l 的最大距离为点(0,与点()1,0-的距离2d ==，即点(0,到l 的距离的最大值为2.。
2023届上海黄浦区高三二模数学试题及答案
2023届上海黄浦区高三二模考试数学试卷一、填空题1．设集合{1,3,5,7,9},{25}A B x x ==≤≤∣，则A B = ___________．2．函数4cos 23y x =+的最小正周期为____________．3．若函数ay x =的图像经过点(2,16)与(3,)m ，则m 的值为____________．4．已知复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且12i z =+（i 为虚数单位），则12z z =__________．5．以抛物线24y x =的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为____________．6．已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为____________．7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()ax f x e =．若(ln 2)4f =-，则实数a 的值为____________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm 的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________2cm ．9．若函数()y f x =的图像可由函数3sin 22y x x =的图像向右平移(0π)ϕϕ<<个单位所得到，且函数()y f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ϕ=__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．11．如图．在直角梯形ABCD 中．9021AD BC ABC AD BC ∠=︒==∥，，，，点P 是腰AB 上的动点，则|2|PC PD +的最小值为____________．12．已知实数a ，b ，c 满足：0a b c ++=与23a bc -=，则abc 的取值范围为____________．二、选择题13．若直线(1)10a x y -+-=与直线320x ay -+=垂直，则实数a 的值为（）A ．12B ．32C ．14D ．3414．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球．那么互斥而不对立的事件是（）A ．“恰好有一个白球”与“都是红球B ．“至多有一个白球”与“都是红球”C ．“至多有一个白球”与“都是白球D ．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”15．如图．ABD △与BCD △都是等腰直角三角形．其底边分别为BD 与BC ，点E 、F 分别为线段BD 、AC 的中点．设二面角A BD C --的大小为α，当α在区间(0,π)内变化时、下列结论正确的是（）A ．存在某一α值．使得AC BD ⊥B ．存在某一α值．使得EFBD⊥C ．存在某一α值．使得EF CD⊥D ．存在某一α值，使得AB CD⊥16．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*n ∈N ，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2,)q ∈+∞是{}n a 为“K 数列的充要条件．下列判断正确的是（）A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题三、解答题17．在ABC △中，53cos ,cos 135A B =-=．（1）求sin C 的值；（2）若4AB =，求ABC △的周长和面积．18．如图，多面体111A C D ABCD 是由棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BC 截去一角所得到在棱11A C 上取一点E ，过点1D ，C ，E 的平面交棱1BC 于点F ．（1）求证：1EF A B ∥；（2）若112C E EA =，求点E 到平面11A D CB 的距离以及1ED 与平面11A D CB 所成角的大小．19．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．（1）请列出22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．附：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++．()2P x k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82820．己知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222||AF BF AB λ⋅=．（1）求双曲线C 的渐近线方程：（2）若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及人取最大值时1AF B ∠的正切值：（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：（1）利用基本不等式求最值；（2）设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；（3）设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）（3）若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．21．三个互不相同的函数(),()y f x y g x ==与()y h x =在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥或恒有()()()f x h x g x ≤≤，则称()y h x =为()y f x =与()y g x =在区间D 上的“分割函数”．（1）设12()4,()1h x x h x x ==+，试分别判断12()()y h x y h x ==、是否是222y x =+与24y x x =-+在区间上的“分割函数”，请说明理由；（2）求所有的二次函数，使得该函数是222y x =+与4y x =在区间(,)-∞+∞上的“分割函数”；（3）若[,][2,2]m n ⊆-，且存在实数k ，b ，使得y kx b =+为424y x x =-与2416y x =-在区间[,]m n 上的“分割函数”，求n m -的最大值．参考答案：一．填空题：1、{}3,5；2、π；3、81；4、5-；5、22(1)4x y -+=；6、40；7、2-；8、(300π+；9、2π3；10、1132；11、4；12、[]22-,；二．选择题：13、B ；14、A ；15、D ；16、C ；三．解答题：17、【答案】（1）1665；（2）周长32，面积24.【小问1详解】在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=，又(),0,πA B ∈，则124sin ,sin 135A B ===，则1235416sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】4c AB ==，又124sin ,sin 135A B ==，16sin 65C =，则由正弦定理得124sin sin 135415,4131616sin sin 6565A Ba cbc C C ==⨯====，则ABC 的周长为1513432++=ABC 的面积为1116sin 1513242265ab C =⨯⨯⨯=．18、【答案】（1）证明见解析（2）22，arcsin10【小问1详解】∵11A D BC ∥，且11A D BC =，∴四边形11A D CB 为平行四边形，∴11A B D C ∥，又1D C ⊄平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴1D C ∥平面11A BC ，又1D C ⊂平面1D EFC ，平面11A BC ⋂平面1D EFC EF =，∴1D C EF ∥，又11A B D C ∥，则1EF A B ∥.【小问2详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(2,1,3)B C D E ，11(3,0,0),(0,3,3),(2,2,3),(2,1,0)CB CD EC ED ==-=--=--，设平面11A D CB 的法向量为(,,)n x y z = ，则130330n CB x n CD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(0,1,1)n = ，则点E 到平面11A D CB的距离为22EC n d n⋅=== ；设1ED 与平面11A D CB 所成角为θ，则11110sin cos ,10ED n ED n ED nθ⋅===，则1ED 与平面11A D CB所成角为arcsin10.19、【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；（2）40%,50%.【小问1详解】观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为(0.020.005)100.25+⨯=，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为800.2520⨯=，绩效分数少于80的人数为60，35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为(003250005)100.375+⨯=..，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为800.37530⨯=，绩效分数少于80的人数为50，所以22⨯列联表为：生产标兵非生产标兵总计35周岁及以上组20608035周岁以下组305080总计50110160提出零假设0H ：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平0.05α=，2χ的观测值22160(20503060)323.84150110808011χ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，而2( 3.841)0.05P χ≥≈，所以没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.【小问2详解】令事件A 表示“在35周岁以下组”，B 表示“是生产标兵”，用样本估计总体知，(|)0.375P B A ≈，(|)0.25P B A ≈，()30%P B =，设()P A x =，则由|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+，得0.30.3750.25(1)x x ≈+-，解得40%x ≈，因此()(|)0.40.375(|)50%()0.3P A P B A P A B P B ⨯=≈=，所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为40%,50%.20、【答案】（1）y =±（2）max 14λ=，124tan 7AF B -∠=（3）证明见解析【小问1详解】设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =±.【小问2详解】由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.【小问3详解】设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l 的斜率的绝对值为<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y yB a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.21、【答案】（1）1()y h x =是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”；2()y h x =不是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”；（2）2(42)(02)y ax a x a a =+-+<<；（3）.【小问1详解】因为222242(1)0x x x +-=-≥恒成立，且224(4)0x x x x --+=≥恒成立，所以当(,+)x ∈-∞∞时，222244x x x x +≥≥-+恒成立，故1()y h x =是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”.又因为221(4)31x x x x x +--+=-+，当0x =与1时，其值分别为1与1-，所以22()4h x x x ≥-+与22()4h x x x ≤-+在(,)-∞∞+上都不恒成立，故2()y h x =不是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”.【小问2详解】设2(0)y ax cx d a =++≠是222y x =+与4y x =在(,)-∞∞+上的“分割函数”，则222x +24ax cx d x ≥++≥对一切实数x 恒成立,由2(22)4x x '+=,当1x =时，它的值为4，可知222y x =+的图象在1x =处的切线为直线4y x =，它也是2y ax cx d =++的图象在1x =处的切线，所以244a c a c d +=⎧⎨++=⎩，可得42,.c ad a =-⎧⎨=⎩所以2222(42)4x ax a x a x +≥+-+≥对一切实数x 恒成立，即2(2)(1)0a x --≥且2(1)0a x -≥对一切实数x 恒成立，可得20a -≥且0a >，即02a <≤，又2a =时2(42)y ax a x a =+-+与222y x =+为相同函数，不合题意，故所求的函数为2(42)(02)y ax a x a a =+-+<<.【小问3详解】关于函数424y x x =-，令3480y x x '=-=，可得0,x =高中11当x∈(,∞-与x∈时,0'<y；当(x ∈与x∈)∞时,0'>y .可知是函数y =424x x -极小值点，0是极大值点,该函数与2416y x =-的图象如图所示.由y kx b =+为424y x x =-与2416y x =-在区间[m ,]n 上的“分割函数”，故存在0b 使得b 0b ≤且直线0y kx b =+与424y x x =-的图象相切，并且切点横坐标[2t ∈-∪2]，此时切线方程为324(48)43y t t x t t =-+-，即3240(48),43k t t b t t =-=-，设直线y kx b =+与2416y x =-的图象交于点1122(,),(,)x y x y ，则由2,416y kx b y x =+⎧⎨=-⎩可得24160x kx b ---=，所以12||x x-=====2([2,4])s t =∈，令32()7816k s s s s =-++([2,4])s ∈，2()3148(32)(4)0k s s s s s '=-+=--≤(仅当4s =时，()0k s '=),所以()k s 严格减，故()k s 的最大值为(2)12k =,可知12||x x -=，所以n m -的最大值为。
2023-2024学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三下学期模拟(二)数学试卷含详解
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,利用补集,交集的定义求解即得.
【详解】由 ,得 或 ,而 .
所以 .
故选：B
2.若复数 （其中 ,i为虚数单位）为纯虚数,则复数 在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法求出 ,结合已知求出 值即可得解.
若
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等差数列
D. 是等差数列
【答案】A
【详解】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半.
即 ,由题目中条件可知 的长度为定值.
那么我们需要知道 的关系式.
由于 和两个垂足构成了直角梯形.
那么 .
其中 为两条线的夹角,即为定值.
那么 .
.
作差后： ,都为定值,所以 为定值．故选A．
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中,甲袋装3个小球,其中2个是黑球,乙袋装4个小球,其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球,当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取,直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【详解】建立如图所示坐标系,设 .
显然直线l的斜率存在,故不妨设直线l的方程为 .
由题意得B与 关于直线l对称,所以 .
又 的中点 在直线l上,故 ,①
由于 ,得 .
将 代入①得 .
由每次翻折后点 都落在边 上,所以 ,即 .
所以点M的轨迹方程 ,（ ）.
2021年高三下学期周考二数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期周考二数学（理）试题含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合，集合，则等于( )A． (1,2) B． (1,2] C．2．下面是关于复数的四个命题::，，的共轭复数为，的虚部为，其中真命题为( )A．B．C．D．3．下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是()．A．－4 B．－2 C．0 D．－2或06．已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是()A．B．C．D．7．对于函数，下列说法正确的是()A．是奇函数且在（）上递增 B.是奇函数且在（）上递减C．是偶函数且在（）上递增D．是偶函数且在（）上递减8．定义：在数列中，若满足（，d 为常数），称为“等差比数列”。
已知在“等差比数列”中，则()A．B．C．D．9．已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D．10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。
已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有() A．80 种B．70 种C．40 种D．10种11．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．B．C．D．12.已知实数满足其中是自然对数的底数, 则的最小值为()A．8 B．10 C．12 D．18二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
广东省2023届高三第二次模拟考试数学试题及答案解析
广东省2023届高三第二次模拟考试数学试题及答案解析广东省2023届高三第二次模拟考试数学试题及答案解析即将高考的高三生，通过二模，同学们可以提前适应高考考场节奏，同时查漏补缺，诊断自己在备考过程中存在的问题。
以下是关于广东省2023届高三第二次模拟考试数学试题及答案解析的相关内容，供大家参考!2023广东二模数学试卷2023广东二模数学试卷参考答案高三二模成绩和高考差的多吗大多数同学正常发挥的情况下，高考可能会比二模成绩高30到40分左右吧。
但是也有同学会高更多，也有同学会低一些，都有可能，相比之下，二模的成绩和高考成绩还算接近，大致来说，每年的高考成绩和排名相差不大，也有试卷难度低。
二模是对你目前这个阶段学习成果的检验，从中找到自己哪些知识点的不足，抓紧查漏补缺，为了以后的三模，尤其是最后的中高考起到至关重要的作用，如果考的好，那就说明自己学的还不错，但切记不要骄傲;如果考的不好，就说明自己还要更努力加油，一次的成绩不代表永远的成绩，更代表不了高考的成绩。
二模到高考能提高多少分二模到高考能提高多少分在于高三学生的学习方法与能力,从二模到高考,提高50分以上的同学有很多,最主要的是总结并且针对性的学习,要把自己在各个科目上的得分情况做一个详细的分析;是因为失误失分的,还是不会做导致错误而失分的,还是自己本身知识储备不足失分的,如果是失误失分的,或者知识不足引起的,那么接下来就是要多加练习,减少失误是关键,如果是错误引起的,那就要查漏补缺,多找典型认真做。
二模考试后的复习还要把自己的弱课,自己的强势课目分出来,区别对待,弱势课目减少失误,争取得分。
强势课目努力提升,再上台阶,让它的优势更明显。
每次考试都要正常发挥,力争超常发挥。
高三数学基础差学习技巧1.高三数学基础差不能全靠练习题很多高中生一定有这样的心理，就是刷题不一定获得高分，但是不刷题一定得不了高分，很多时候高中数学的数量和消化吸收往往是有矛盾的，尤其是对于基础很差的高中生。
广东省广州市天河区2023届高三二模数学试题(解析版)
【小问1详解】
连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 是菱形，所以 是 的中点，
又 是 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 且交线为 ， 平面 ，
A.圆 关于直线 对称
B.圆 被直线 截得的弦长为
C.圆 关于直线 对称的圆为
D.若点 在圆 上，则 的最小值为5
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆的方程可求得圆心 与半径 ，由直线 不过圆心 即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，列方程组求出 ，由此可得所求圆的方程，即可判断C； 表示 与点 的距离，求得 ，进而可得所求的最小值，即可判断D．
所以 平面 .
设 ，则 ，解得 .
因为底面 是菱形， ，所以 ，且 .
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
故可设 ，
则 ，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为 .
20.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
2023届高三天河区二模数学模拟测试（答案在最后）
湖南省长沙市2024届高三下学期模拟(二)数学试卷含答案
2024届模拟试卷（二）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}230xA x x =->，{}0,1,2,3,4B =，则A B = （）A.{0}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{3,4}2.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）A.5- B.5C.10-D.103.设1(1i)1i z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，i 为虚数单位，则z =（）A.2i- B.2iC.2- D.04.若底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的表面积与直径为l 的球的表面积相等，则r l=（）1- B.312-1- D.512-5.已知2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，则sin()A B +=（）A.518-B.49C.13- D.166.如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是线段BC 上的一点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为（）A.1B.32C.75D.737.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，444a b ==，则（）A.3535b b a a ≥B.3535b b a a +≥+C.3535b b a a ≤ D.3535b b a a +≤+8.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ︒∠=，则221211e e +的值为（）A.2B.3二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据123456,,,,,x x x x x x 的方差为2，则数据131x -，231x -，331x -，431x -，531x -，631x -的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数2R 比较两个模型的拟合效果时，若2R 越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为ˆ20.4zx =+，则c ，k 的值分别是0.4e 和210.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其最小正周期为4，当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，则（）A.(2023)0f = B.()f x 的值域为[1,2]-C.()f x 在[]4,6上单调递减D.()f x 在[6,6]-上有8个零点11.在三棱锥D ABC -中，平面ABC ⊥平面ABD ，2AB AC BC BD AD =====，则（）A.三棱锥D ABC -的体积为1B.点C 到直线AD 的距离为4C.二面角B AD C --的正切值为2D.三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD 的距离为3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.过椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的右顶点与上顶点的直线斜率为53-，则C 的离心率为__________.13.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期为__________.14.已知三位正整数n 满足()na b +的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则n 的最大值是__________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ︒∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值.16.（15分）已知函数2()e xx ax af x -+=，其中a ∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0a >时，若()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，求a 的值.17.（15分）已知椭圆E 中心在原点，左焦点为(1,0)F -，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的左焦点F 作斜率存在的两直线AB 、CD 分别交椭圆于A 、B ，C 、D ，且AB CD ⊥，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N .求四边形BCMN 面积的最小值.18.（17分）某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题，每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束.若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q .①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值.（2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.19.（17分）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A 和B ，定义和集{},A B a b a A b B +=+∈∈，用符号()d A B +表示和集A B +内的元素个数.（1）已知集合{}1,3,5A =，{}1,2,6B =，{}1,2,6,C x =，若A B A C +=+，求x 的值；（2）记集合{}1,2,,n A n =，,n B = ，n n n C A B =+，n a 为n C 中所有元素之和，*n ∈N ，求证：12121)nna a a +++< ；（3）若A 与B 都是由()*3,m m m ≥∈N个整数构成的集合，且()21d A B m +=-，证明：若按一定顺序排列，集合A 与B 中的元素是两个公差相等的等关数列.2024届模拟试卷（二）数学参考答案题号1234567891011答案C C A D A CAABCDABACD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.C2.C3.A4.D5.A6.C7.A 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以35428a a a +==，因为{}n b 为等比数列，所以235416b b b ==，而()()2235555558841616a a a a a a a =-=-+=--+≤，所以3535b b a a ≥，故A 对，C 错；因为358a a +=，而3b ，5b 可同为正数也可同为负数，当3b ，50b <时，3535b b a a +<+，当3b ，50b >时，35358b b a a +≥=≥+，所以35a a +，35b b +.大小不确定，故BD 错误.故选A.8.A二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）9.BCD 【解析】对A ：若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据131x -，231x -，331x -，431x -，531x -，631x -的方差为2321817⨯=≠，故A 错误；对B ：580%4⨯=，则其第80百分位数是111211.52+=，故B 正确；对C ：根据决定系数的含义知2R 越大，则相应模型的拟合效果越好，故C 正确；对D ：以模型e kxy c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，则ln ln ln e ln kxz y c c kx ==+=+，由题线性回归方程为ˆ20.4zx =+，则ln 0.4c =，2k =，故c ，k 的值分别是0.4e 和2，故D 正确.故选BCD.10.AB 【解析】对于A ，(2023)(50641)(1)(1)0f f f f =⨯-=-==，所以A 正确；对于B ，当[0,2]x ∈时，()22xf x =-单调递增，所以当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]-，由于函数是偶函数，()f x 在[2,0]-上的值域也为[1,2]-，又()f x 是周期为4的周期函数，所以()f x 的值域为[1,2]-，所以B 正确；对于C ，当[0,2]x ∈时，()22x f x =-单调递增，又()f x 的周期是4，所以()f x 在[]4,6上单调递增，所以C 错误；对于D ，令()220xf x =-=，得1x =，所以(1)(1)0f f =-=，由于()f x 的周期为4，所以(5)(5)0f f =-=，(3)(3)0f f =-=，所以()f x 在[6,6]-上有6个零点，所以D 错误，故选AB.11.ACD 【解析】如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，因为平面ABC ⊥平面ABD ，且平面ABC 平面ABD AB =，CG ⊂平面ABC ，所以CG ⊥平面ABD .因为22CG =⨯=1112213322D ABC ABD V S CG -=⋅=⨯⨯⨯⨯△，故A 正确；取AD 的中点E ，连接BE ，取AE 的中点F ，连接FG ，CF ，因为F ，G 分别为AE ，AB 中点，则//FG BE ，所以FG AD ⊥.因为CG ⊥平西ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以CG AD ⊥，又CG FG G = ，CG ，FG ⊂平面CFG ，所以AD ⊥平面CFG ，则AD CF ⊥，则点C 到直线AD 的距离为CF =2=，CFG ∠为二面角B AD C --的平面角，tan 2CGCFG FG∠==，B 错误，C 正确；设ABD △，ABC △的外心分别为M ，K ，则GK AB ⊥，又平面ABD ⊥平面ABC ，所以GK ⊥平面ABD .设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，则OK ⊥平面ABC ，OM ⊥平面ABD ，所以四边形OMGK 为矩形，则13OM GK CG ===33.故三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD 的距离为33，D 正确.故选ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.4513.π214.959【解析】设连续的三项的二项式系数为1C n -，C rn ，1C r n +，()*11,r n n ≤≤-∈N ，由112C C C rn n n -++=+得22(41)420n r n r -++-=，解得412r n +±=①，因为n 为正整数，所以89r +应为奇完全平方数，设()2*89(21)r k k +=+∈N ，可得24224r kk =+-，代入①，解得2(1)2n k =+-或22n k =-，所以三位整数n 的最大值为959.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.【解析】（1）由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =，由2AB BC ==，120ABC ︒∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC ，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .（2）[方法一]：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.如图建系，由（1）可知1AC =，AB =，1(0,0,2)BB = ，设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取(n = ，所以111sin cos ,13AC n AC n AC nθ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913.[方法二]：定义法＋等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）.因为1//C C 平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离.由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB所以d =.故139sin 13d AC θ===.16.【解析】（1）当0a =时，2()e x x f x =，则1(1)e f =，()22e x x x f x -'=，所以1(1)ef '=，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为：11(1)e ey x -=-，即e 0x y -=.（2）()2(2)2(2)()e e x xx a x a x x a f x -++---'==-，今()0f x '=，解得2x =或x a =，当02a <<，[0,]x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[]0,a 上单调递减，所以min 1()()e ea a f x f a ===，则1a =，符合题意；当2a >，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，(2,]x a ∈时，()0f x '>，则()f x 在(2,]a 上单调递增，所以min 241()(2)e ea f x f -===，则4e 2a =-<，不合题意；当2a =，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，所以min 221()(2)e ef x f ==≠，不合题意；综上，1a =.17.【解析】（1）根据题意设椭圆E 的标准方程为22221,0x y a b a b+=>>，由已知得，1222a b ⨯⨯=，即ab =，由1c =可得，221a b -=，联立解得，1a b ==，故椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线AB 、CD 的料率分别为1,k k-，且A 、B 、C 、D 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，设四边形BCMN 面积为S ，又(1,0)F -，则直线AB 为：(1)y k x =+，直线CD 为：1(1)y x k=-+.联立22(1),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214220k x k x k +++-=，知1x ，2x 是该方程两根，所以212221224,2122,21k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则)2222122222188||112121k k AB k x k k k ++=+-=+++.同理)22221221221||221k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++.所以)())()()()2222222222121111||||||||282821212k k k S BM CN AB CD k k k k +++=⋅=⋅=⋅=++++，则422424222211111141111252225222225925k k k S k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎛⎫++⎛⎫⎢⎥==-=-≥-= ⎪⎪++++⨯+⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎝⎭++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（当1k =±时取等）所以四边形BCMN 面积的最小值为49.18.【解析】①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A ，则2()P A p q =.②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为2232(1)P p q p p p p ==-=-+，今32()f x x x =-+，[0,1]x ∈，()223233f x x x x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭，当203x <<时，()0f x '>，当213x <<时，()0f x '<，所以()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，max 24()327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即当23p =时，32max 2243327P ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.学生甲在n 轮活动中获得奖品的个数~(,)B n P ξ，由max ()4nP =，知27n =.故理论上至少要进行27轮游戏，此时23p =，13q =.（2）设选出的是第k 个箱子，连续三次取出题目的方法数为100(1001)(1002)⨯-⨯-.设数学题为M ，物理题为W ，第三次取出的是物理题W 有如下四种情形：(,,)W W W 取法数为(100)(1001)(1002)k k k -----，(,,)W M W 取法数为(100)(1001)k k k ---，(,,)M W W 取法数为(100)(1001)k k k ---，(,,)M M W 取法数为(1)(100)k k k --，(100)(1001)(1002)(100)(1001)(100)(1001)(1)(100)k k k k k k k k k k k k -----+---+---+--(1001) (1002)(100)k =---则在第k 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为100100k kp -=.而选到第k 个箱子的概率为1100，故所求的概率为1001001002922211101100111509999(100)100100100100100100200k k k k i k P p k i ====-⨯'=⋅=⋅=-===∑∑∑∑.19.【解析】（1）由题：{2,3,4,5,6,7,9,11}A B +=，所以1x +，3x +，5x A B +∈+且1,2,6x ≠，从而15x +=，37x +=，59x +=，故4x =.（2）若1i ∃，2n i A ∈12n B ∈，使1122i i =+，其中1i ，2i ，1j ，2{1,2,,}j n ∈ ，)1221j j i i -=-，故12j j =，12i i =.{}*,,1,n C i j i j n ∴=+∈≤≤N，(1(1(1(2(2(2(n a n ∴=++++++++++++++++()23(1)1((22n nn n n n n n+⋅+++++=⋅+⋅+，121211111)11)1223(1)1nna a a n n n⎫⎛⎫∴+++=+++=-<⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎭.（3）设集合{}12,,,mA a a a= ，{}12,,,mB b b b= ，其中12ma a a<<<，12mb b b<<<.则112112m m m ma b a b a b a b a b+<+<<+<+<<+，这里共21m-个不同元素，又()21d A B m+=-，所以上面为合集A B+中的所有元素.又11122223m m m ma b a b a b a b a b a b+<+<+<<+<+<<+，这里共21m-个不同元素，也为合集A B+中的所有元素，所以有2112a b a b+=+，即2121a ab b-=-.一般地，由1112121k k m k m m mka b a b a b a b a b a b a b'+<+<<+<+<<+<+<<+，111112111k k k m k m k m ma b a b a b a b a b a b a b+++++<<+<+<+<<+<+<<+，可得211k ka b a b++=+，即()21111k ka ab b k m+-=-≤≤-.。
高三数学模拟试卷二及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则下列选项中正确的是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c < 02. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an = Sn - Sn-1，若a1 = 1，则数列{an}的通项公式是：A. an = nB. an = n^2C. an = 2^nD. an = n!3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA + sinB + sinC的值为：A. 6B. 8C. 10D. 124. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，a4 + a5 + a6 = 27，则a1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 37. 若函数g(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(-2, 3)，则下列选项中正确的是：A. a < 0, b < 0, c < 0B. a > 0, b > 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c > 0D. a > 0, b < 0, c > 08. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an = Sn - Sn-1，若a1 = 0，则数列{an}的通项公式是：A. an = 1B. an = nC. an = n^2D. an = 2^n9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则cosA的值为：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/410. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 15，a4 + a5 + a6 = 45，则a1的值为：A. 5B. 10C. 15D. 2011. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的虚部为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f''(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高三数学二模试题及答案
高三数学二模试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(-1)的值。
A. 7B. 5C. 3D. 1答案：A2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S5等于多少？A. 25B. 30C. 35D. 40答案：C3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心到直线x + 2y -8 = 0的距离。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 若sinA = 3/5，且A为锐角，则cosA的值为多少？A. 4/5B. √7/5C. -√7/5D. √21/5答案：B5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 + 6xC. x^3 - 6xD. x^3 + 6x答案：A6. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -4)，求向量a与向量b的点积。
A. -5B. -10C. 10D. 14答案：B7. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|。
A. √13B. √7C. √17D. √19答案：A8. 已知函数y = x^2 - 6x + 8，求其对称轴方程。
A. x = -2B. x = 3C. x = 1D. x = -3答案：B9. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：B10. 已知函数y = √x + 1/x，求其定义域。
A. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)B. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)C. (0, +∞)D. [1, +∞)答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求其顶点坐标。
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1 高2011级3班高三下期数学周测试题（二）（2011年9月21日）一、选择题：每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，仅有一项．．．．是符合题目要求的。
1.设集合{}{}1212,,,,,,,n mB a a a J b b b=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，定义集合B J⊕=()12{,a b a a a=++⋅⋅⋅12,}n ma b b b b+=++⋅⋅⋅+，已知{}51,21,28,B={}89,70,52J=,则B J⊕的子集为（）A. ()100,211 B.{}(100,211) C. ,∅{}100,211 D.,∅{}(100,211)2. 若110a b<<，则下列结论不正确的是（）22.A a b<2.B ab b<.2a bCb a+>.||||||D a b a b+>+3.下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3xπ=对称的一个函数是（）A．sin(6y xπ=-B．sin()6y xπ=+C．sin(3y xπ=+D．sin(2)3y xπ=-4.公差不为0的等差数列{}na中，23711220a a a-+=，数列{}n b是等比数列，且77b a=，则68b b=（）.A 2 .B4 .C8 .D165. 欢欢和迎迎等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.则欢欢和迎迎不在同一岗位服务的概率为（）A.110B.910C.14D.486256．函数()2cosf x x x=+在0,2π⎡⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A．2πB．２C．6πD．13π+7．若关于x的方程|21|x m-=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）.(0,)A+∞.(0,1)B.(1,)C+∞.[0,1]D8.下列命题不正确．．．的是（）A．,,,P A PB Bααα∉∈⊥为垂足，且A与B不重合，则PAB∠为P A与平面α所成的角B．,,,,l O l O A O Bαβαβ⋂=∈⊂⊂,,O A l O B l⊥⊥则AOB∠为二面角lαβ--的平面角C．,,A l AB Bα∈⊥为垂足，则A B为直线l到平面α的距离D．//,,,A B ABαβαβα∈∈⊥，则A B为平面α与平面β的距离9.设正三棱锥P－ABC的内切球半径为r，高为h，则条件h＝4r是正三棱锥P－ABC成为正四面体的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件10.在菱形ABCD中，若2AC=,则C A AB⋅=（）A.2B.2- C.cosAB AD.与菱形的边长有关11.已知)(xf是R上的偶函数，若将)(xf的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若(2)1,(1)(2)(3)(2009)f f f f f=-++++=则（）A．0B．1 C．－1 D．－1004.512.已知方程()f x=22x ax b++的两个根分别在(0,1),(1,2)内，则22(4)a b+-的取值范围为（）A. B. C.(17,20) D.(,20)815二、填空题：每小题4分，共16分。
请把答案直接相应位置上。
13.若9(22x-的展开式的第7项为214，则x=14.过点)1(:)1,21(22=+-yxClM与圆的直线∠ACB最小时，直线l的方程为.15.函数lg||(0)()21(0)xx xf xx<⎧=⎨-≥⎩，若()f a＞0，则16. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动，有以下四个命题： A ．平面MB 1P ⊥ND 1； B ．平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1； C ．△MB 1P 在底面ADD 1A 1上的射影图形的面积为定值；D ．△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2c b =，向量 3(sin ,)2m A =，(1,sin )n A A =+，且m 与n共线．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求a c的值．18. （本小题满分12分）如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (Ⅰ)设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ， 当6x ≥时，则保证信息畅通。
求线路信息畅通的概率；(Ⅱ)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD，AB =1BC =，2PA =，E 为P D 的中点.(Ⅰ)求直线AC 与P B 所成角的余弦值；(Ⅱ)在侧面P A B 内找一点N ，使NE ⊥面PAC .20. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，侧棱AA 1与底面ABC 成600角，∠BAA 1＝∠CAA 1，BC ＝AA 1＝2，又点M 是BC 的中点，点O 是AM 的中点． （1）求证：A 1O ⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1―AC ―B 的大小； （3）求点B 到平面C 1AM 的距离．21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 22=--xf x x a，其中a 是不等于0的常数，e 为自然对数的底数。
⑴当0>a 时，求函数()f x 的单调区间；⑵若()f x 在0x 处取得极值，且202,2⎡⎤∉++⎣⎦x e e，，而()0≥f x 在22,2⎡⎤++⎣⎦e e上恒成立，求实数a的取值范围；22. （本小题满分14分）若数列{}n a 满足221n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 为等方差数列.已知等方差数列{}n a 满足0,n a >11251,,,a a a a =成等比数列且互不相等. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}21()2nna 的前n 项和； （Ⅲ）是否存在实数m ，使得对一切正整数n ，总有2210nn a ma ≤-成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.ACC 1MA 1B 1O参考答案一、选择题：每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，仅有一项．．．．是符合题目要求的。
二、13. 13-14. 0342=+-y x 15.(,1)(0,)-∞-⋃+∞ 16. BC三、17. （Ⅰ）m n，∴ 3sin (sin )02A A A +-= 即sin(2)16A π-=11(0,),2(,)666A A ππππ∈∴-∈-262A ππ∴-=3A π∴=（Ⅱ）由2222cos a b c bc A =+- , 222()2cos223cca c c π=+-2234a c =，∴2a c=18．解：(I)所求x 的可能取值为6、7、8、9411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P431012034141)6(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P(II)203)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P∴线路通过信息量的数学期望 EX 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：(I)线路信息畅通的概率是43. (II)线路通过信息量的数学期望是6.5．19．解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、0,0)B 、0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ ∴AC 与P B 所成角的余弦值为1473(Ⅱ)由于N 点在侧面P A B 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==163z x ∴在侧面P A B 内所求点N 的坐标为)1,0,63((其它解法参照给分)20. （1）证明：⎭⎬⎫AB ＝AC ∠BAA 1＝∠CAA 1⇒A 1在底面ABC 上的射影H 必在∠BAC 的平分线AM 上， ⎭⎬⎫在△AA 1H 中，∠HAA 1＝600，AA 1＝2，得AH ＝1又在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，得AM ＝2⇒H 为AM 的中点，即H 与O 重合，故A 1O ⊥平面ABC ；………………4分 （2）如图，过O 作ON ⊥AC 于N ，连A 1N ，由三垂线定理知∠ONA 1就是二面角A 1―AC ―B 的平面角， 在Rt △ONA 1中，ON ＝12AM·MC AC ＝55，A 1O ＝3，则tan ONA 1＝15故二面角A 1―AC ―B 为arctan 15；…………8分（3）如图，过C 作CP ∥AM ，且CP ＝AO ，延长AM 至Q ， 使MQ ＝AO ，连PQ ，则平行四边形PQMC ，则点B 到平面C 1AM 的距离＝点C 到平面C 1AM 的距离 ＝点P 到平面C 1AM 的距离d ，⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫CM ⊥AA 1AA 1∥CC 1⇒CM ⊥CC 1CM ⊥AM ⇒CM ⊥平面C 1AMPQ ∥CM⇒PQ ⊥平面C 1AM ，又PQ ⊂平面C 1PQ ，平面C 1PQ ⊥平面C 1AM ，过P 作PS ⊥C 1Q 于S ，则PS ⊥平面C 1AM ， 即PS 就是点P 到平面C 1AM 的距离d ， 在△C 1PQ 中，PS ＝d ＝PQ·C 1P C 1Q ＝3·12＝32．…………12分故点B 到平面C 1AM 的距离为32． (第（2）（3）问用向量坐标法按相应步骤给分) 21.22. （Ⅰ）由2152a a a =得，224152a a a =即 21(14)(1)d d ⨯+=+ 0,2d d ≠∴=21(1)221n a n n =+-⨯=-，C 1A 1BCM OB 1PQ SA0,n n a a >∴=数列{}n a的通项公式为n a =；（Ⅱ） 211()(21)22nn na n =-设 231111135(21)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①234111111135(21)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅②①-②，得∴2311111112()(21)222222n nn S n +=+++⋅⋅⋅+--⋅111(1)14221212n --=+⋅--11(21)2n n +-⋅2332n nn S +∴=-.即数列21()2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为2332nn +-；（Ⅲ）假设存在实数m ，使得对一切正整数n ，总有2210nna m a ≤-成立，即 21101211211n m n n -≥=+--.设 ()f n =101211n +-，当 5n ≤时，()1f n <，且()f n 递减；当 5n ≥时，()>1f n ，且()f n 递减；故(6)f 最大， ∴()11man f n =.11m ∴≥故存在11m ≥，使得对一切正整数n ，总有2210nna m a ≤-成立.。