导数微分及其应用

1 x x 2 , y e sin x tan2 x 等都是初等函数。
2 x2 5x 2 x2 函数 y x 2 不是初等函数， 4 x2
因为在其定义域 D , 上不能用一个表达式表 示。
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满足不等式
xa
的一切实数 x 的全体称为点 a 的ε 去心邻域．
例：2的0.001邻域为
（1.999 , 2.001）
2的0.001去心邻域为
(1.999 , 2)∪(2 , 2.001)
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二、函数 1.函数的概念
定义 设 x, y 是两个变量，当变量 x 在集合 D 中取定一个数 值时，依照某种对应法则，变量 y 在集合 W 中有唯一 的数值与之对应时,称 y 是 x 的函数。记为
y f ( x) 。
x 称为自变量， y 称为因变量。
D 称为函数的定义域，
f D y f ( x) | x D 称为函数的值域。
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注 符号 f 可以任意选取。函数概念最重要的是两个
构成要素：定义域 D 和对应法则 f。定义域 D 是函数 存在的前提，对应法则是构建函数关系的规则。如果 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两 个函数相同，否则这两个函数不相同。
2018年11月2源自文库日星期日
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第一节
一、预备知识
函
数
1.区间 设a，b是两个实数，且a<b ①开区间 a, b ： 满足不等式 a<x<b一切实数的全 体。 ②闭区间 a, b ： 满足不等式 a≤x≤b的一切实数的 全体。
③半开区间 a, b：满足不等式 a<x≤b的一切实数的 全体。 a, b ：a ≤ x < b
将函数 y= z 及 z=1－x2 复合得到复合函数 y= 1 x 2 ， 定义域为[-1，1]，是函数 z=1－x2 的定义域(－∞，+∞) 的一部分。
复合函数不仅可以由两个函数，也可以由多个函数复合而成。 例如将四个函数 y=lnu，u=1+v，v= z ，z=1－x2 复合在一 起就得到复合函数 y=ln(1+ 1 x 2 )。
函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。
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例 1.1 求函数 y
1 1 x2
的定义域。
解：要使函数有意义，必须：
1 x2 0 2 1 x 0 解得： 1 x 1
所以函数的定义域为 D x | 1 x 1
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2.邻域
设 a 和ε 是两个实数，且ε >0，满足不等式
xa
的一切实数 x 的全体称为点 a 的ε 邻域，点 a 称为邻域
中心，ε 称为邻域半径。上式与不等式
x a 或
等价。
a x a
注：点 a 的ε 邻域就是开区间(a-ε ，a+ε )。
这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数， 记作 f· g 。变量z叫做中间变量。
D g g(D) f F(g(D))
函数f的定义域
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例1.2 将 y=z2 及 z=sinx 复合得到复合函数 y=sin2x，它的定 义域（－∞，+∞）就是函数 z=sinx 的定义域.
或 D 1,1 。
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2.复合函数
设y是的z函数： y=f(z)， 而z又是x的函数：z=g(x)。 设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D 上取值时所 对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数 y=f(z)得 y=f(g(x))
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, 表示全体实数，或写成－∞< x <＋∞； a, 表示大于a的全体实数，或写成a< x <+∞； , a 表示小于a的全体实数，或写成－∞< x <a；
[a, ) 表示 a≤ x <+∞；
(, a ] 表示－∞< x ≤a。
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第二节 数列的极限
1、数列的极限 (1)、定义 无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,…,an,…称为数列， 记为{an}，其中的每一个数称为数列的一个项， an称为数列的通项。
微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理 论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学 的发展。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发 展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷 竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多 边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊 数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线 弓形的面积，没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。 微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础 。
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3. 初等函数
① 基本初等函数
（1）幂函数： y x ( R 是常数)； （2）指数函数： y a x ( a 0 且 a 1 是常数)； （3）对数函数： y loga x ( a 0 且 a 1 是常数)； 特别当 a e 时，记为 y ln x 。这里 e=2.71828…; （4）三角函数： y sin x, y cos x, y tan x, y cot x ；
（5）反三角函数： y arc sin x, y arc cos x, y arc tan x, y arc cot x ；
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②初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表 示的函数，称为初等函数。
例如函数 y