土的弹塑性模型

土的弹塑性模型近年来，根据弹塑性理论建立的土的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多。

下面几节分别介绍剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan 模型，以及清华模型的基本概念。

一．剑桥模型英国剑桥大学Roscoc 和他的同事（1958~1963）在正常固结粘土和超固结粘土试样的排水和不排水三轴试验的基础上，发展了Rendulic （1937）提出的饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念，提出完全状态边界面的思想。

他们假定土体是加工硬化材料，服从相关联流动规则，根据能量方程，建立剑桥模型。

剑桥模型从理论上阐明了土体弹塑性的变形特性，标志着土的本构理论发展新阶段的开始。

1.临界状态线和Roscoe 面各向等压固结过程中，孔隙比e 或比容()1e υυ=+与有效应力的关系可用下式表示：ln N p υλ'=-（1）式中N ——当 1.0p '=时的比容。

因此exp N p υλ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭（2）（a）,p q ''平面（b）,ln p υ'平面图1临界状态线正常固结粘土排水和不排水三轴试验表明：它们有条共同的破坏轨迹，与排水条件无关。

破坏轨迹在,p q ''平面上是一条过原点的直线，在,ln p υ'平面上也是直线，目与正常固结线平行，分别如图（a）和（b〕所示。

破坏轨迹线可用下式表示：cs csq Mp '=（3）ln cs cs p υλ'=Γ-（4）式中CS ——表示临界状态；M——,p q''平面上临界状态线斜率；p'=时土体的比容；Γ—— 1.0csυ'平面上临界状态线斜率。

λ——,ln p一旦土体的应力路径到达这条线，土体就会发生塑性流动。

这时土体被认为处于临界状态，破坏轨迹被称为临界状态线。

临界状态线在,,''空间为一条空间曲线，如下图2所示。

p qυ图2,,''空间中的临界状态线p qυRendulic（1936）分析了许多三轴试验的结果，首先提出饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念。

Henkel（1960）把饱和粘土的固结排水三轴试验得到的等含水量线同固结不排水三轴试验得到的应力路径（也是等含水量线）画在起，发现其形状是一致的，如图4所示。

等含水量线也就是等比容线。

这样的图称为Rendulic图。

由Rendulic有效应力和孔隙比关系可知，饱和粘土的有效应力与孔隙比之间存在唯一关系。

也就是说，对于所有的正常固结排水和不排水三轴试验来说，应力和比容之间有唯一的关系，与排水条件无关。

因此由CID 试验应力路径族形成的曲面和由CIU 试验应力路径族形成的曲面应是同一个曲面。

换句话说，所有正常固结三轴试验的应力路径都在这个面上。

这个曲面，称为Roscoe 面。

图4CID 试验和CIU 试验等含水量线对任一孔隙比e 定义一个等效应力e p '，e p '是各向等压正常固结达到给定孔隙比时的固结压力。

因此，对于任一比容υ值：exp e N p υλ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭（5）在/,/e e p p q p '''平面上，Roscoe 曲面被归一为一条曲线。

图5Roscoe 面2Hvorslev 面在归一化坐标平面/,/ee p p q p '''上，可以直接比较超固结土样排水和不排水三轴试验的破坏点。

图6引自Parry (1960）用Weald 粘土重塑制成的超固结土样进行排水和不排水三轴试验的结果。

破坏点轨迹接近成一条直线。

在图6-12中，把破坏点轨迹简化成一条直线AB 。

OA 相当于受拉应力破坏，斜率为3。

直线AB 限制在直线OA 的右边，临界状态线（点B）的左边。

当然，如果土体能承受拉应力，相应的张拉破坏线在OA 线的左边。

图6超固结土样排水和不排水三轴试验破坏状态通常把图6-12中破坏点轨迹称为Hvorslev 面。

在归一化坐标平面上，Hvorslev 面的方程为：()//ee q p g h p p '''=+（6.3.6）式中g ——纵坐标上截矩；h ——直线斜率。

图7Hvorslev 面图8不同超固结比土样的CIU 试验简化应力路径Parry (l958）指出，超固结土样的应力路径，在达到破坏点后应变增大时趋向临界状态。

超固结比值（p R OCR =）不同的上样，不排水三轴试验的归一化应力路径可简化为如图8所示。

各种超固结比值土样的应力路径都趋向临界状态线，与初始的状态无关达到临界状态需要有大的应变，这样程度的应变在三轴仪中是不能产生的。

对超固结土样破坏后趋向临界状态，至今尚未有令人信服的证据。

6.3.3完全的状态边界面在,,p q υ''空间中，正常固结和超固结土样的应力路径不能超过Roscoe 面和Hvorslev 面，处在这两个面包围的空间中。

正常固结土应力路径都在Roscoe 面上，超固结状态用位于该面下面的傲表示，在该面以上是不可能有点来表示应力状态的。

Roscoe 面成为个边界，在该而的面土或以下是可能的状态，在该面以上是不可能的状态，Roscoe 面称为状态边界面。

超固结土样的应力路径在土样破坏时到达Hvorslev 面，在土样破坏后应变增大时趋向临界状态。

Hvorslev 面也是一个边界，在该面的面上或以下是可能的状态，在该面以上是不可能的状态，Hvorslev 面也称为状态边界面。

因为通常假设土不能承受有效拉应力，状态边界面限于3σ'不能小于零的情况。

当3σ'等于零时，1q σ'=，113p σ''=，所以，/3q p '=。

因此，状态边界面受到对p '轴倾斜坡度为3比1的平面所限制。

这样由Roscoe 面、Hvorslev 面和对p '轴倾斜坡度为3比1的平面就构成了一个完全的状态边界面。

在三个面包围的空间中的状态是可能的状态，在三个面以外空间中的状态是不可能的状态。

在,,p q υ''空间中的完全的状态边界面如图6-14所示。

在归一化坐标平面/,/e e p p q p '''上的完全的状态边界面如图6-15所示。

图6-14,,p q υ''空间中的完全的状态边界面图6-15/,/ee p p q p '''平面上完全的状态边界面Hvorslev 状态边界面的方程前面已经得到，如式6.3.6所示。

以下两节讨论Roscoe 状态边界面的方程．6.3.4能量方程土体在外力作用下，发生体积应变增量υδε和剪切应变增量s δε。

体积应变和剪切应变分别由弹性变形和塑性变形两部分组成，其表达式为：e pυυυδεδεδε=+（6.3.8）相应外力做功记为：e ps s s δεδεδε=+（6.3.9）其中一部分为可恢复的弹性能，一部分为不可恢复的耗散功（或塑性功），即e pE δδωδω=+（6.3.10）弹性能和耗散功分别记为：e ee s p q υδωδεδε'=+（6.3.11）p pp s p q υδωδεδε'=+（6.3.12）在剑桥模型中，假定弹性体积应变可以由各向等压固结试验中的回弹曲线求得，即1e p e p υκδδε'='+（6.3.13）它还假定剪切变形中的弹性部分e s δε等于零，亦就是说，假定一切剪应变都是不可恢复的，于是式6.3.8可改写为：ps s δεδε=（6.3.14）结合式6.3.11和式6.3.13，并考虑到0e s δε=，得1e p eκδωδ'=+（6.3.15）图6-16表示土样在单剪时的变形情况。

土样高为H ，水平截面积为A 。

剪切变形后，水平位移为du ，竖向位移为d υ，如图6-16中所示。

在剪切变形过程中，正应力y σ'和剪应力xy τ所做的功等于xy yAdu Ad τσυ'-。

假设由于摩擦所产生的能量消耗与摩擦系数μ，法向力y A σ'和水平向位移du 成正比。

同时假设正应力和剪应力所做的功等于摩擦产生的能量消散，于是下式成立xy yy Adu Ad Adu τσυμσ''-=（6.3.16）式6.3.16也可改写为xy yd du τυμσ=+'（6.3.17）图6-16单剪时上样的变形式式6.3.17表示xy yτσ'值不但与摩擦系数有关，也与土体的剪胀性有关。

为了适用更一般的情况．采用等效的符号改写式6.3.17，得p p sd qM p d υεε=-'（6.3.18）式中负号是由于d υε代表膨胀引起。

这也是剑桥模型的假设之。

将式6.3.18代人式6.3.12，并考虑0e s d ε=，得p sMp δωδε'=（6.3.19）结合式6.3.9，式6.3.10，式6.3.15和式6.3.19，得到能量方程1s sp p q Mp eυκδδεδεδε'''+=++（6.3.20）6.3.5剑桥模型屈服面方程剑桥模型屈服面在,,p q υ''空间即为Roscoe 状态边界面。

在剑桥模型中，假设土体是加工硬化材料，并服从相关联的流动规则。

因此，可以假定其塑性势面和屈服面是重合的。

在图6-17中，应力平面和应变平面重合，曲线AB 为屈服轨迹，()p QR δε为屈服时塑性应变增量，p υδε为塑性体积应变增量分量，p s δε为塑性剪切应变增量分量。

图6-17屈服时塑性应变增量根据正交定律，在屈服轨迹上任何一点Q 处，应满足下列条件：p p sqp υδεδδδε=-'（6.3.21）式6.3.21的几何意义是塑性应变增量p δε与过Q 点的屈服面法线方向重合。

由能量方程式6.3.20得()1s sp q M e p p υκδδεδεδε'=+-''+（6.3.22）结合式6.3.7、式6.3.13、式6.3.21和式6.3.22，得0q qM p p δδ-+=''（6.3.23）将式6.3.23积分，可得ln qp C Mp'+='（6.3.24）式中C ——积分常数。

如果屈服面轨迹经过正常固结线上一点()00,0,A p υ'，则0ln C p '=（6.3.25）或已知屈服面轨迹经过临界状态线上点(),,x x x B p q υ'，则ln xsxq C p Mp '=+'（6.3.26）将式6.3.25或式6.3.26代人式6.3.24，可得屈服轨迹在,p q '平面上投影的公式：0ln 0p qM p p '-=''（6.3.27）或ln 0x p qM M p p '--=''（6.3.28）图6-17屈服时塑性应变增量屈服轨迹沿着正常固结线或沿着临界状态线移动所形成的曲而就是屈服面，也就是Roscoe 状态边界面。