高考数学一轮总复习：数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入

[基础梳理] 1．复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 复平面内的点Z (a ，b )

向量OZ

→. 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

(2)复数加法的运算律：

设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；

②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．

1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )数系表

复数⎩

⎪⎨⎪

⎧

实数a (b ＝0)虚数a ＋b i (b ≠0)⎩⎨

⎧

纯虚数b i (a ＝0)非纯虚数a ＋b i (a ≠0)

2．复数不能比较大小 3．几个重要运算结论 (1)(1±i)2＝±2i ；

1＋i 1－i ＝i ；1－i

1＋i

＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．

(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈Z *)． (4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．

[四基自测]

1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2

的共轭复数是( )

A ．2－i

B ．2＋i

C ．3－4i

D ．3＋4i

答案：C

2．(教材改编)若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( ) A ．m >1

B ．m >2

3

C ．m <2

3或m >1 D.2

3

答案：D

3．已知z

1＋i ＝3－i ，则复数z 的实部为________．

答案：4 4．复数z ＝7＋i

3＋4i

，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 答案：2

考点一 复数的概念和运算◄考基础——练透

[例1] (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2

D ．3

解析：(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题设知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A

(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i. 答案：5

(3)已知i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)·(a ＋i)＝a ＋i －2a i ＋2＝a ＋2＋(1－2a )i ，且(1－2i)·(a ＋i)为纯虚数，可得：a ＋2＝0且1－2a ≠0，所以a ＝－2.故填－2. 答案：－2

(4)(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i

1＋i

＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1

D.2

解析：∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )

＋2i ＝－2i

2＋2i ＝i ，

∴|z|＝1.

故选C.

答案：C

解决复数概念类问题的要点

(1)找准复数的实部和虚部．复数的相关概念都与实部和虚部有关．

(2)复数问题实数化．解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理．

1．本例(1)条件不变，求|(1＋2i)(a＋i)|.

解析：当实部与虚部相等时，a＝－3，

∴(1＋2i)(a＋i)＝－5－5i，

∴|(1＋2i)(a＋i)|＝5 2.

2．本例(3)条件改为“(1－2i)(a＋i)”为实数，求a的值．

解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i为实数，

∴1－2a＝0，∴a＝1 2.

考点二共轭复数◄考基础——练透

[例2](1)设复数z满足z＋i＝3－i，则复数z的共轭复数为() A．－1＋2i B．1－2i

C．3＋2i D．3－2i

解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以z＝3＋2i，故选C.

答案：C

(2)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝() A．1＋2i B．1－2i

C．－1＋2i D．－1－2i

解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z ＝a －b i,2z ＋z ＝3a ＋b i ，又2z ＋z ＝3－2i ，所以3a ＋b i ＝3－2i ，故可得a ＝1，b ＝－2，即z ＝1－2i.故选B. 答案：B

共轭复数的运算性质 (1)z z ＝|z |2＝|z |2. (2)|z |＝1⇔z ·z ＝1.

(3)非零复数z ，则z 为纯虚数⇔z ＋z ＝0.

1．若复数z 满足2z ＋z ·z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－i B ．－1－2i C ．－1＋2i D ．1－2i

解析：设z ＝a ＋b i ⇒2(a ＋b i)＋(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＋2a ＋2b i ＝3－4i ⇒a ＝－1，b ＝－2⇒z ＝－1－2i. 答案：B

2．若z ＝4＋3i ，则z

|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i

解析：z

|z |＝4－3i 42＋3

2＝45－3

5i ，故选D. 答案：D