泛函分析试题
泛函分析基础试卷参考答案
又对en{0,, 0, 1, 0,, }X, || en||1,
|| T ||sup|| x ||1|| T x |||| T en|||| {0,, 0, an, 0,} || = | an|(5分)
所以|| T ||supn| an|M.
所以|| T ||M.(3分)
所以2A x, y0x, yH
所以A x0xH
所以A0.(5分)
4.证明无穷维赋范线性空间X的共轭空间X '也是无穷空间.
证设{ x1, x2,}是X中线性无关向量,
由Hnha-Banach定理
存在f1X ', f1(x1)0,
存在f2X ', f2(x2)0, f2(x1)0
存在f3X ', f3(x3)0, f3(x1)f3(x2)0
所以(T), (5分)
对[0, 1],定义线性算子T : XX,对xC [0, 1]
(T x) (t) x (t)t[0, 1]
由|| T x ||maxt[ 0, 1]| x (t) |
maxt[ 0, 1]| x (t) |
|| x ||
所以T有界.且
T (AI)(AI) TI
所以(A),
所以(A)[0, 1]. (5分)
令SB1A1B (XX),则
S TB1A1ABI, A B B1A1I (2分)
所以ST1,所以T是正则算子. (1分)
二.以下各题每题15分,共75分
1.设X是度量空间, {xn}是X中Cauchy列,证明若存在{xn}的收敛子列{xn k},则{xn}收敛.
证设xX, xn kx (k)
对任何> 0,存在K, k > K时,
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期末试题及答案
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
(完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。
证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。
1、 求证 为 空间。
（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。
4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。
共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。
五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。
六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。
八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。
二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。
三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。
在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
泛函分析试卷与答案
泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。
~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。
(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。
i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。
p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。
i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。
取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。
0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。
由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析习题及参考答案
∑
∞
ξi( n ) < ε p 对任何自然数 n 成立。
1 p
p
p⎞ ⎛ ∞ (n) (n) 证明：必要性证明，由 d ( xn , x) = ⎜ ∑ ξi − ξi ⎟ → 0 可知， ξi → ξi ， i = 1, 2, ⎝ i =1 ⎠
。
由 x = (ξ1 ,
∞
, ξi , ) ∈ l p 可知， ∀ε > 0 ，存在 N1 > 0 ，使得
1 3
1 3
1 1 1 ⎧ ⎫ O( x, ) ∩ O( y, ) = Φ ，从而 ⎨O( x, ) x ∈ M ⎬ 是一族互不相交的球，其总数是不可数的。 3 3 3 ⎩ ⎭
（或：由 ∪O 因此 {y n }至少也有不可数个，这与 {y n }是可数的相矛盾。 （yn , ） ⊃l ⊃M 以
∞
1 3
p p
En
∫x
n
பைடு நூலகம்
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
依测度收敛于 x(t ) 。
， 令n → ∞， 可得 m( E ( x n − x ≥ σ ) → 0 。 即 x n (t )
由 x(t ) 的积分绝对连续性可知，对任何 ε > 0 ，存在 δ 1 > 0 ，使得 e ⊂ E ，me < δ 1 时，
( ∫ x(t ) dt ) <
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
泛函分析考研试题及答案
泛函分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是泛函分析中线性算子的定义？A. 定义在函数空间上的映射B. 满足加法和乘法封闭性的映射C. 满足加法和乘法封闭性的线性映射D. 定义在向量空间上的映射答案：C2. 泛函分析中，紧性的定义是什么？A. 任意序列都有收敛子序列B. 任意序列都有收敛子序列，且收敛到该空间中的点C. 任意开覆盖都有有限子覆盖D. 任意闭集都是紧致的答案：B3. 下列哪个定理是泛函分析中关于线性算子的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 霍德尔定理D. 里斯表示定理答案：D4. 在泛函分析中，下列哪个概念用于描述空间的完备性？A. 可分性B. 完备性C. 紧性D. 连续性答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定义在函数空间上的线性算子，如果满足______，则称其为有界算子。
答案：对于任意的x，存在常数M，使得||Tx||≤M||x||2. 希尔伯特空间中的Riesz表示定理表明，对于任意的线性泛函f，存在唯一的向量______，使得f(x)=<x,y>。
答案：y3. 线性算子的谱定义为使得______的λ的集合。
答案：(A-λI)^{-1}不存在4. 紧算子的一个重要性质是其谱中只有______点。
答案：0三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。
答案：弱收敛是指序列的泛函极限存在，即对于任意的连续线性泛函f，序列的泛函极限存在。
强收敛则要求序列在原空间中收敛，即存在极限点。
2. 请解释什么是Banach空间。
答案：Banach空间是完备的赋范线性空间，即对于空间中的任意柯西序列，都存在极限点在该空间中。
3. 什么是紧算子？请举例说明。
答案：紧算子是将任意有界集映射为相对紧集的线性算子。
例如，定义在L^2空间上的卷积算子就是紧算子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 设线性算子A: L^2[0,1]→L^2[0,1]定义为(Af)(x)=∫₀¹f(t)dt，求A的谱。
泛函分析习题
泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。
2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())()bax t k t s x s ds t λϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。
泛涵分析考试题及答案
泛涵分析考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子？A. 线性变换B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性映射答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个是完备的内积空间？A. 有限维欧几里得空间B. 无限维欧几里得空间C. 有界序列空间D. 所有实数序列空间答案：A3. 泛函分析中的紧算子是指什么？A. 有界算子B. 线性算子C. 将有界集映射到相对紧集的算子D. 将有界集映射到紧集的算子答案：D4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. 开映射定理B. 闭图定理C. 赫尔德不等式D. 里斯表示定理答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子的值域是整个空间，则称该算子为________。
答案：满射2. 泛函分析中的________定理是研究线性算子有界性的重要工具。
答案：一致有界性3. 希尔伯特空间中的________定理说明了每一个有界线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
答案：里斯表示4. 如果一个线性算子是连续的，并且它的逆算子也是连续的，则称该算子为________。
答案：有界可逆三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。
答案：在泛函分析中，弱收敛是指序列在空间中任意连续线性泛函下收敛，而强收敛则是指序列在空间的范数下收敛。
弱收敛是比强收敛更弱的收敛形式，它不要求序列的范数收敛到极限的范数，只要求序列在每一个连续线性泛函下收敛到极限。
2. 请解释泛函分析中的巴拿赫空间和希尔伯特空间的区别。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，它要求空间中的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。
而希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊形式，它除了满足巴拿赫空间的性质外，还具有内积结构，使得空间中的向量可以进行内积运算，并且内积诱导了一个范数。
希尔伯特空间中的内积结构使得它在研究线性算子和泛函时具有更多的性质和工具。
应用泛函试卷A
1………订……………………………线…………………………《泛函分析》试题（A ）一、填空题（在下列空格处填 是，不是，每小空4分，共20分）1．在定义在空间C[a, b]的从a 到b 的定积分______一种泛函。
2．n R 欧氏空间___________一种距离空间。
3． Hilbert 空间 _____________度量 空间4．空间C[a, b] _____________可分的空间5．不同的函数视为不同的元素意义下，区间[a, b] 上的P 方可积函数全体构成的空间在范数ppbap dt t f f 1)|)(|(||||⎰=下_____________赋范线性空间（规定函数加法与数乘与通常的函数空间的相同）二、计算题（每小题10分，共30分）1．求 C[-2,2]上的 线性泛函dt t x dt t x x f )()()(22⎰⎰-=- 的范数2．设 .)())((1dt t e s A t s ϕϕ⎰+=求A 的特征值与特征函数。
（ 提示： 记 .)(1dt t e c t ϕ⎰=）3． 设2l X =，) , , , , , () , , , ,(13221 n n x x x x x x A Ax ==，试求)(A σ三、(本题25分)1. (10分) 试证自伴算子的相应于不同特征值得特征向量是彼此正交的22. (15分) 证明Hilbert 空间X 中算子P 有下列性质并叙述投影算子P 的定义 10P 是有界线性算子，并且当像空间不为{0}时， ||P||=120 设Y 是投影算子P 的像空间，则PX=Y , PY=Y , PY ⊥={0} 30P 2=P, P 2=P ∙P 四、（本题25分）1. （10分）设{ , ,21x x }是内积空间X 中有限或者可数个线性无关的向量， 证明必有X 中的规范正交系{ ,,21e e }使得 对任何正整数n, 有 span{n e e e ,,,21 }=span{n x x x , , ,21 }2. （15分） 设X 是赋范线性空间，0 ,00≠∈x X x ，则必存在X 上的有界 线性泛函)(x f , 使得||f||=1,并且 )(0x f =||0x || 。
泛函分析试题及解答
∞
一 (X, ρ)是完备的距离空间，Ωn ⊂ X 列紧，n = 1, 2,…，问 Ωn 是
n=1
否列紧？若不列紧，如何增加条件使之列紧？
设 xn = Cn · e + yn，要证 x = C · e + y，y ∈ X0。
d(xn, xm) = xn − xm = (Cn − Cm)e + (yn − ym)
=| Cn − Cm | ·
e
+
yn Cn
− −
ym Cm
d | Cn − Cm |
其中 d = d( e, X0) > 0。 所以 | Cn − Cm |−→ 0。Cn −→ C，yn −→ y ∈ X0（ X0 闭）。
要证明 E 中有界集是列紧集，由 Arzela-Ascoli 定理，只需要证明一
致有界和等度连续即可。只证等度连续：对于 ∀f (x) ∈ E, x, y ∈ [0, 1]，都
有
| f (x) − f (y) |=|
y x
f
(t)dt
|
y x
|
f
(t)
|
dt。那么只需证
f
(t)
有界即
可。
考虑等价范数 f C1[0,1]= f C[0,1] + f C[0,1]，由 (E , · C1 ) 和 (E , · C[0,1]) 的完备性，知 f (t) 有界。
f1 与 f2 结合为 f ，由 三 知 f 连续。
五 设 X 是 B 空 间 ，A, B ∈ L(X)， 若 AB = BA， 则 对 ∀λ，Eλ = ker(λI − B) 一定是 A 的不变子空间。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。
答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。
答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。
答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。
答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。
答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。
答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。
答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。
答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。
(完整word版)泛函分析题目集
泛函分析复习题一．选择题：1. 设 },,,,{21 n e e e 是希尔伯特空间H 上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. },,,,{21 n e e e 线性无关；B. 对任何的H x ∈，都有∑∞==122|),(|n n xe x ；C. 任意两组数N a a a ,,,21 ，N b b b ,,,21 都有 ∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛Nn n n N n N n n n n n b a e b e a 111,；D. ()⎩⎨⎧≠==ji j i e e j i ,0,1,， ,3,2,1,=j i 。
2. 下列关于p L 空间（1≥p 且2≠p ）的论述不正确的是（ ）A. pL 空间是一个赋范线性空间；B. p L 空间是完备的；C. p L 空间是距离空间；D. p L 空间是希尔伯特空间。
3. 下列关于2L 空间的论述不正确的是（ ）A. 2L 空间是一个赋范线性空间；B. 2L 空间不一定完备的；C. 2L 空间是内积空间；D. 2L 空间是可分的。
4. 设X为一个实赋范线性空间，⋅为他上面的范数，则下面不正确的是（ ）A. 对任何X x ∈，都有0≥x ，B. 对任何X x ∈，R a ∈都有x a ax ||=，C. 对任何X x ∈，X y ∈，都有222y x y x +=+， D. 对任何X x ∈，X y ∈，都有y x y x +≤+。
5. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。
6. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。
7. 下面论述正确的是（ ）A. 紧集不一定是有界的。
B. 紧集的子集一定是紧集。
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。
答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。
答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。
答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。
答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。
答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。
2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。
答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。
例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。
3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。
答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。
希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。
答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。
泛函分析考试试卷自制试卷
泛函分析考试试卷自制试卷(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--泛函分析考试试卷一、选择题。
1、下列说法不正确的是（）A、 n维欧式空间R n 是可分空间B、全体有理数集为R n 的可数稠密子集C、 l∞是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0ЄX连续的充要条件是（）A、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）B、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx0→Tx n（n→∞）C、当x0→x n（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）D、当x n→x0（n→0）时，必有Tx n→Tx0（n→0）答案：D3、在度量空间中有（）A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、L p[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间C、空间l p是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共轭算子性质描述错误的是（）A、（A+B)*=A*+B*;B、(A*)*=A**C、当X=Y时,(AB)*=B*A*D、（aA)*=a A* 答案：B二、填空题1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为。
答案：原像T-1M是X中的开集2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。
答案：连续算子。
3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切xЄX 有。
答案：（Tx，x）=04、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且⨯T T。
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1． 对于积分方程
()()()
1
t s x t e x t ds y t λ--=⎰为一给定的函数，λ为
常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。
2．
设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为
()11,21+k k
k
k k k
x y ξηρξη=-=-∑，其中，
()()
11,,,=,,n n x y ξξηη=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。
求证s 为
一完备的距离空间。
3．
在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>，
存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。
求证{}n x 收敛。
4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的*
B 空间
5．
为了()F C M ⊂使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的
且等度连续的函数族。
6． 设
()
,A x y ϕ∈，求证（1）.
1
sup x A AX
≤=，（2
）
1
sup x A AX
<=。
7．
设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数，
并存在0M
>，使得(
),a x y M x y
≤，则存在唯一的()A x ϕ∈，
使得
()()
,,a x y x Ay =且
()(),0,0
,sup
x y X X
x y a x y A x y
∈⨯≠≠=。
8． 求证()2f L ∀∈Ω，方程()
0u f u ∂Ω⎧-∆=Ω⎪⎨
=⎪⎩在内若解存在唯一。
9．
设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ∀∈≠。
求
证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()()
()02.x f x x ρρ≤。
10． 叙述开映象定理并给出证明。
11． 叙述共鸣定理并给出证明。