M5A422 分数与循环小数的互化
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
无限循环小数和分数的互化ppt
• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化 成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之 九化成0.09
• 分母不是10，100，1000......的：分子除以 分母。一个最简分数，如果分母分解质因 数只含有2、5的，可以化成有限小数；如 果含有2、5以外的质因数，就不能化成有 限小数，但绝对能化成循环小数。附加： 如果分母分解质因数不- 含有2、5，只含有2、
• 小数化分数
• 有限小数化分数：小数表示的就是十分之 一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以 化成十分之六，约分成五分之三。
• 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数 部分循环节如果是一位分母为9，两位为99， 三位为999......如0.2525......可以化成九十九 分之九十九，能约分的要约分。
无限不循环小数 如3.14159265358979323846……
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（循环符号如果循
环节只有一个数字， 无限纯循环 如0.333……，2.567567567……
•
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无限循环小数
0 . 3 2.5 6 7
就在这个数字上加 • 无限混循环 如0.5666…… 0 . 5 6
一个圆点， 如果• 0.1777…… 0 . 1 7
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分析
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• 首先明确一点 无限不循环小数 是不能转化 成分数的 那么无限循环小数又是如何化分 数的呢？由于它的小数部分位数是无限的， 显然不可能写成十分之几、百分之几、千 分之几……的数。其实，循环小数化分数难 就难在无限的小数位数。所以我就从这里 入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾 巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环 小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“大
把循环小数化成分数的方法
把循环小数化成分数的方法循环小数是指小数部分有无限循环的数字。
例如，0.3333...就是一个循环小数，因为小数部分永远都是3无限循环。
循环小数有时候会给我们带来麻烦，特别是在数学中。
但是，将循环小数转换成分数是一个简单而有效的方法，可以让我们更方便地进行计算和理解。
本文将介绍如何将循环小数转换成分数的方法，包括使用长除法和使用公式的两种方法。
这些方法都是非常简单易懂的，无需高深的数学知识，只需要一些基本的算术技巧和耐心。
使用长除法转换循环小数成分数长除法是一种基本的算术技巧，可以帮助我们将循环小数转换成分数。
下面是一个例子，演示了如何使用长除法将循环小数转换成分数：例如，将0.6666...转换成分数。
首先，让分数x等于0.6666...，然后将x乘以10，这样小数点右移一位，得到6.6666...。
接下来，将6.6666...减去0.6666...，得到6。
然后将6除以10，得到0.6。
现在，让分数x等于0.6。
将x乘以10，得到6，将6减去0.6，得到5.4。
将5.4除以10，得到0.54。
现在，让分数x等于0.54，将x乘以10，得到5.4，将5.4减去0.54，得到4.86。
将4.86除以10，得到0.486。
现在，让分数x等于0.486，将x乘以10，得到4.86，将4.86减去0.486，得到4.374。
将4.374除以10，得到0.4374。
以此类推，我们可以一直进行下去，直到我们得到一个分数为止。
在这个例子中，我们不断地将x乘以10，然后从中减去之前的结果，直到得到一个不再循环的小数。
这个不再循环的小数就是我们想要的分数。
在这个例子中，我们得到的分数是2/3。
使用公式转换循环小数成分数除了长除法外，我们还可以使用公式来将循环小数转换成分数。
这个公式是：x = a + b/(c-1)其中，a是循环小数的整数部分，b是循环小数的非循环部分，c 是循环节的长度。
下面是一个例子，演示了如何使用公式将循环小数转换成分数：例如，将0.3333...转换成分数。
无限循环小数和分数的互化PPT课件
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1
小数
有限小数 如0.6，6.78，10.168 （小数部分位数有限）
无限小数 如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……， （小数部分位数无限）
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2
无限小数
无限循环小数 如0.333……，2.567567567…… 0.5666…… 0.1777……
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20
• 小数化分数
• 有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千 分之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三。
• 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节如果是
一位分母为9，两位为99，三位为999......如0.2525......可以化 成九十九分之九十九，能约分的要约分。
小数
无限小数 如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……，
（小数部分位数无限）
（小数部分位数无限）
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就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大 尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数 扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循 环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同， 然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！
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• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数， 如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09
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（2）解： 0.33……×10=3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即：9×0.33……=3 那么：0.33……=3/9=1/3
循环小数与分数的互化以及分数的应用
分数的应用【知识点讲解】类型一：循环小数与分数的互化例题1：将下列分数化成循环小数：338)1( 125)2( 600832)3( 例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
★巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414… 循环小数：____________________________ 非循环小数：_____________ ________2、循环小数 4.25656…的循环节是________，用简便方法写作____________保留三个小数写作_________________.3、分数化为循环小数： 15141________. 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是____ ,排在末位的是_____.5、循环小数4832.0 与427.0 在小数点后面第_________位时，在该位上的数字都是4.类型二：应用问题解答应用题的步骤：1、 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。
读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。
也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
2、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。
从题目中告诉什么，要从什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
3、检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。
如果发现错误，马上改正。
★例题分析：例1、一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。
现在甲做4天，乙做3天，分别完成这项工程的几分之几？巩固练习：1、甲32小时生产60个零件，乙每小时生产60个零件。
五下数学分数和小数的互化
五下数学分数和小数的互化
《五下数学分数和小数的互化》
一、分数转成小数
1. 把一个分数转成小数，首先要了解分数，尤其是分母（底数）的意义。
2. 将分数的分子（被除数）除以分母（除数）得到小数，即可求出分数对应的小数。
3. 如果分母（除数）不是2的整数次幂，则该分数的小数形式是无限循环小数。
二、小数转成分数
1. 把一个小数转成分数，首先要把小数分解成有限部分和无限循环部分。
2. 把小数的有限部分写成分数，分子就是有限部分，分母就是10的多少次方。
3. 把小数的无限循环部分分解成分数，将无限循环部分的单个数字做分子，把9乘以这个数字，再乘以前几个数字（不包括本数字），作为分母，即可求出无限循环小数对应的分数。
4. 最后把上面的分子相加，分母相乘，得到小数对应的分数。
注：如果分子分母都很大，可以进行约分以方便计算。
- 1 -。
循环小数化分数
循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：(1)0.6(2)3.1022、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2把混循环小数化分数（）（）10.215 2 6.353及时练习：1、化纯循环小数为分数。
（）（）10.23 20.1072、化下列混循环小数为分数。
（）（）（）10.312 20.003 30.2316二、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3计算下面各题：（）（）-12.45+3.13 22.6091.32⨯÷(3)4.3 2.4 (4)1.240.3三、循环小数作加法循环小数能直接作加法运算吗？（1）有限小数加循环小数考察下面的例子。
计算：++0.40.320.20.3+0.280.7+0.60.38++0.6780.540.980.45（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。
考察下面的一些例子。
235+=+==0.20.30.5999123405528+=+==0.1230.4050.52899999999936+=+=0.30.6199875+=+==0.80.7 1.699358491070.580.49 1.08+=+==9999999785841562+=+==0.9780.584 1.563999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。
循环小数和分数间的转换
循环小数和分数间的转换
在数学中，循环小数和分数之间有着密切的关系。
虽然它们两者看
起来非常不同，但是我们可以用一些简单的方法来把它们之间的转换
流程做清楚。
一，把循环小数转换成分数：
1. 确定循环小数的重复部分，即循环节。
2. 将循环小数转化成留有循环节的小数，该小数的小数位数比循环节
的长度多1位。
3. 把小数按照10的N次方的方式化成分数的形式，N的值等于前面的
小数位数。
二，把分数转换成循环小数：
1.把分子和分母分别拆分，把被除数分解成多个与它的余数有关的因子的乘积的形式。
2.判断所有因子是否恰好为被除数的约数，如果是，那么该分数就是有限小数；如果不是，则把不是约数的因子全部列出来，即为循环小数
的循环节。
3.把被除数和因子一起放到分数的分子分母中，完成了循环小数的形成。
总的来说，把循环小数和分数之间的转换，主要有以上两个步骤，首
先确定小数的循环节，然后有了循环节就可以完成循环小数和分数之
间的转换了。
最后，我们希望通过本文能够帮助大家多多了解循环小数和分数之间的转换流程，期待你在数学学习中有收获吧！。
循环小数与分数的互化及分数的应用
分数与循环小数的互化及分数的应用学生情况及其分析：学生是上海六年级的学生，目前分数的加减及乘除大致已经学完，学校里学习的内容已经基本属于奥数的难度了，学生很活跃（上课对于会的题目会踊跃回答，且会提出自己的解题方法，且易于接受），对于分数部分的基础及稍微提高些的计算都已经掌握的都非常好了。
教学目的：本节课的内容主要是将分数与循环小数的互化步骤熟练掌握；分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律。
在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。
教学设计：1、循环小数与分数的互化（1）纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
练习：（1）（2）（2）混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2把混循环小数化分数。
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
练习：（3）循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3计算下面各题：试一试：计算下面各题分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。
（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。
2、分数的应用：实际上分数应用题涉及的知识面广，数量关系变化多端，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，通过分析推理，弄清量与分率的对应关系，将复杂的分数应用题转化为上述三种类型，然后依据有关的数量关系解答应用题。
五年级下学期奥数班第21讲 分数与循环小数的互化
分数与循环小数的互化月 日 姓 名【知识要点】纯循环小数化分数的方法：这个分数的分子是一个循环节所表示的数：分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数。
混循环小数化分数的方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
【典型例题】例1 将下列循环小数化成分数。
=∙7.0=∙∙860. =∙∙570. =∙∙54370.=∙310. =∙540.=∙∙8746.=∙∙546534.例2 计算：0.1∙2+0.2∙3+0.3∙4+0.4∙5+0.5∙6+0.6∙7+0.7∙8+0.8∙9（1）∙∙187182.2 （2）∙∙62514913.例4 设a 为一个自然数，A 是1至9中一个数字，若444a=∙∙7A 30.则a 为多少？例5 给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。
已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。
随堂小测姓 名 成 绩1．把下列循环小数化成分数 =∙∙720. =∙∙6540.=∙∙4740.=∙∙23450. =∙∙4500.=∙∙76058.2．计算（0.9∙1+0.8∙2+0.7∙3+0.6∙4）-(0.∙1+0.∙2+0.∙3+0.∙4+0.∙5+0.∙6)12 9 8 9 159 92（1）0.6727∙2∙6 （2）0.412125∙2∙14．设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a=∙∙950A .则a 为多少？5．给小数0.123456表示循环节的两个点，使其变成循环小数。
已知小数点后第100位上的数字是4，求这个循环小数。
☆6.右图中圆周上的10个数，按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数，例如：1.8929∙1592∙9。
循环小数化成分数方法
循环小数化成分数方法
循环小数是指小数部分出现重复数字的小数。
在数学中，我们经常会遇到循环
小数，如0.3333...或者0.142857142857...等。
对于循环小数，我们可以将其化成分
数形式，这样可以更方便地进行运算和比较大小。
接下来，我们将介绍几种常见的循环小数化成分数的方法。
方法一，设循环小数为x，首先将x乘以一个适当的10的幂，使得10^n x x
的小数部分和整数部分相等。
然后用10^n x x除以10^n 1，即可得到循环小数的
分数形式。
方法二，设循环小数为x，首先将x的循环部分记为y，然后将x乘以10的幂，使得10^n x x的小数部分和整数部分相等。
然后用10^n x x减去y，再除以10^n 1，即可得到循环小数的分数形式。
方法三，设循环小数为x，首先将x的循环部分记为y，然后将x乘以10的幂，使得10^n x x的小数部分和整数部分相等。
然后用10^n x x减去y，再除以10^n 1，即可得到循环小数的分数形式。
以上是几种常见的循环小数化成分数的方法，通过这些方法，我们可以将循环
小数化成分数形式，从而更方便地进行数学运算和比较大小。
希望对大家有所帮助。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的无限循环的数字。
我们常常需要将循环小数转换为分数形式，这有助于我们更好地理解和计算。
在本文中，我们将对各种循环小数化成分数的方法进行归纳和总结。
一、纯循环小数的转化方法纯循环小数是指小数部分全部为重复的数字。
对于纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，将循环部分的数字表示为x，将循环小数表示为0.x。
根据小数的定义可知，0.x = x / (10^n - 1)。
因此，纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分的数字，分母为n个9。
例如，将0.6666...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是6。
根据上述方法，我们得到0.666... = 6 / (10^1 - 1) = 6 / 9 = 2/3。
2. 对于循环部分长度大于1的纯循环小数，我们可以类似地转化为分数形式。
例如，将0.1414...转化为分数形式。
循环部分的长度为2，循环的数字是14。
根据上述方法，我们得到0.1414... = 14 / (10^2 - 1) =14 / 99。
二、非纯循环小数的转化方法非纯循环小数是指小数部分既有循环的部分，又有非循环的部分。
对于非纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，不循环的部分长度为m，将循环小数表示为0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字)。
根据小数的定义可知，0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字) = abcd...(n个循环部分的数字) / (10^n - 1) + m位非循环部分的数字 / 10^m * (10^n - 1)。
因此，非纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分与非循环部分的组合，分母为循环部分的长度与非循环部分长度的组合。
例如，将0.3141592653...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是3；非循环部分的长度为9，非循环的数字是141592653。
循环小数与分数互化
循环小数与分数互化1. 循环小数的定义循环小数是指小数部分存在重复数字或数字序列的小数形式。
例如，0.3333...即为一个循环小数，其小数部分数字3无限重复。
循环小数可以表示为有限小数，或者用括号把重复的数字或数字序列标记出来。
2. 循环小数转分数的方法要将循环小数转化为分数，我们可以利用以下简单的方法：2.1 设循环小数为x，循环节长度为n，去掉循环部分，设为y；2.2 将x与y相减，得到一个n位的0.9999...的无穷数；2.3 将无穷数除以10的n次方减1，即(10^n - 1)，得到转换结果。
3. 实例演示以循环小数0.3333...为例来演示转换为分数的过程：3.1 将0.3333...设为x，去掉循环部分得到y=0.33；3.2 x - y = 0.3333... - 0.33 = 0.0033... = z；3.3 z除以10的2次方减1，即(10^2 - 1)，得到z/(10^2 - 1) = 0.0033... / 99 = 1/30。
通过以上演示，我们可以得出结论，循环小数0.3333...可以转换为分数1/30。
4. 分数转循环小数的方法与循环小数转分数不同，分数转循环小数的方法相对复杂，但我们可以通过除法来实现。
下面是一个具体的分数转循环小数的步骤：4.1 将分数的分子除以分母，得到整数商和余数；4.2 将余数乘以10，然后再除以分母，得到下一个商和新的余数；4.3 重复以上步骤，直到出现与之前相同的余数，即可确定循环节。
举个例子来说明分数转循环小数的过程：将分数1/7转换为循环小数的步骤如下：4.1 1除以7，得到商0和余数1；4.2 余数1乘以10，再除以7，得到商1和新的余数3；4.3 余数3乘以10，再除以7，得到商4和新的余数2；4.4 余数2乘以10，再除以7，得到商2和新的余数6；4.5 余数6乘以10，再除以7，得到商8和新的余数4；4.6 余数4乘以10，再除以7，得到商5和新的余数5；4.7 余数5乘以10，再除以7，得到商7和新的余数1，与之前的余数相同。
初中六年级数学《循环小数与分数的互化》精品教学案（整理含答案）
初中六年级数学《循环小数与分数的互化》精品教学案（整理含答案）初中六年级数学循环小数与分数的互化学习目标1、了解什么叫循环小数？循环节是什么？2、明确哪些分数能化成循环小数？3、掌握纯循环小数和混循环小数的概念，熟练掌握它们各自化成分数的方法。
4、分数与小数的比较。
核心知识一、循环小数与分数的互化1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。
2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。
5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
二、分数与小数的大小比较比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
例题1：将下列分数化成循环小数：338)1( 125)2( 600832)3( 解：（1）42.0 （2）641.0 （3）3138.2例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
解：从左到右依次是：333 86,9953,95例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
解：22179907659907772277.0 49957519990150299990115033051.0 9906239906629926.0巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？0.333，0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…，0.2020020002…，14.141414…循环小数：0.567567…，2.0123123…，14.141414…非循环小数： 0.333，4.18576…，0.2020020002…2、循环小数4.25656…的循环节是_56___，用简便方法写作652.4 保留三个小数写作4.257.3、分数化为循环小数： 1514139.1 . 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是619.0 排在末位的是0619.05、循环小数4832.0 与427.0 在小数点后面第___12___位时，在该位上的数字都是4.当堂总结1、循环小数与分数的互化2、分数与小数的互化1、将下列分数化成小数：74， 45， 1312 ， 724 解：从左到右依次是：128574.3,623079.0,871425.02、将下列循环小数化成分数：8.0 ?8.1 78.0 7823.0 解：从左到右依次是：825197,9987,917,983、用“<”符号连结下面一组数中的各个数.58.0 ，85，58.0 ，8049. 解：8049<85<58.0 <58.04、在234.0,500117,2.1,722.0,722.0,32.1,225,911 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来. 解：234.0500117,722.0225,2.19115、把小数0.987654321变成循环小数.(1)如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几？(2)如果要使第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？解：（1）∵（200-9）÷7=27 (2)∴是6（2）循环节肯定包括5∵100-9=91 91÷5=18 (1)∴循环节的两个点加在5和1上面。
分数循环小数互化
分数循环小数互化
循环小数互化是一种流行的数值运算方法，经常用于精确计算及时间分析应用中。
从正式学术论文到日常应用中，循环小数互化都受到广泛的应用。
其定义是把一个十进制小数转换成二进制或者其他底数的循环小数。
循环小数的发展可以追溯到古希腊的历史，在数学史上，古希腊数学家欧几里
得及其学生西克塞宾，就曾尝试利用循环小数求解数学问题。
尽管在历史上古人已经提出了循环小数的概念，但该概念被压抑了一段时间，直到十九世纪才再次被关注。
此外，在现代，循环小数被用于一些特定的科学计算应用，如空间库兹涅佐夫
尺度，熵立体几何等。
在通用计算领域，循环小数的作用更加显著。
举例，在工程计算中，循环小数可以用来模拟复杂的误差模型；在统计分析中，循环小数可以用来消除偏差及失真；在银行行业，循环小数可以清晰地估计交易成本及转换率。
简而言之，循环小数互化是一种准确而可靠的数值处理方法，由于它在精度、
准确性及时间效率等方面都有出色表现，因此在各种行业应用中得到了广泛的使用。
因此，在学习及应用上，都能够受益良多，可谓是数值处理的不替代利器。
无限循环小数转分数的技巧
无限循环小数转分数的技巧
将无限循环小数转换成分数的技巧可以通过以下步骤实现：
1. 将无限循环小数的循环部分表示为x。
2. 将循环部分的长度表示为n。
3. 将循环部分的每一位数乘以10的n次幂，将结果记为y，即y = x * 10^n。
4. 计算y - x，将结果记为z，即z = y - x。
5. 通过z / (10^n - 1)将z除以一个由n个9组成的数字。
6. 最终的分数为z / (10^n - 1)。
例如，对于无限循环小数0.333...，循环部分为3，循环部分的长度为1，将循环部分的每一位数乘以10的1次幂，得到y = 3/10。
然后计算y - x，得到z = (3/10) - 0.333... = 3/10 - 1/3 = 1/30。
最终的分数为1/30。
通过使用这个技巧，可以将任何无限循环小数转换成分数，并得到最简形式的结果。
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第二十二节分数与循环小数的互化
【知识要点】
纯循环小数化分数的方法：
（1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。
（2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。
纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。
混循环小数化分数的方法：
（1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。
（2）分母是由数字9后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。
混循环小数化成分数后，能约分的要约分。
【经典例题】
例1 把下列循环小数化为分数：
（1）0.•
7（2）0.
•
•
86（3）6.4
•
•
8
7（4）6.42
•
1
例2 计算：0.•
1
•
1+0.
•
2
•
1+0.
•
3
•
1+ 0.
•
4
•
1 +0.
•
5
•
1+0.
•
6
•
1+0.
•
7
•
1+0.
•
8
•
1+0.
•
9
•
1
例3 计算：0.1•2+0.2•3+0.3•4+0.4•5+0.5•6+0.6•7+0.7•8+0.8•
9
例4 设a 是一个自然数，A 是1至9中一个数字，若444a =0.••73A ,则a= 。
例 5 真分数7
a 化成小数后，在小数点后1994个数位上的数字之和为8972，求a= 。
【小试锋芒】
1．将下列循环小数化为分数：
（1）
•
•
5
8
4.（2）
•
•
3
41
76.（3）0.29
•
5
•
4（4）0.4
•
18
•
9
2．计算（0.9•
1+0.8
•
2+0.7
•
3+0.6
•
4）-(0.
•
1+0.
•
2+0.
•
3+0.
•
4+0.
•
5+0.
•
6)
3．在下列混循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能大：
（1）2.7182•
8
•
1（2）0.6727
•
2
•
6（3）0.412125
•
2
•
1
4．划去小数0.57383622981后面的连续若干位数字，再添上表示循环节的两个圆点，
得到一个循环小数，例如：0.57383•
622
•
9。
请找出这样的小数中最大的和最小的。
5．给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。
已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。
6．已知7
1=0.•14285•7，问：最少从小数点右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于2000？
【大显身手】
1．计算0.0•
2+0.1
•
3+0.2
•
4+0.3
•
5+0.4
•
6+0.5
•
7+0.7
•
9
2．纯循环小数
•
•
C
B
A.0化成最简分数时，分子与分母的和是149，这个循环小数是
几？
3．在下列四个数的数字上加上循环点，使不等式能够变正确： 0.9195＜0.9195＜0.9195＜0.9195
4．在下列混合循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能小：
（1）1.100901•
•
3（2）2.65685
•
6
•
9（3）0.412125
•
2
•
1
5．划去小数0.38492617后面的连续若干位数字，再添上表示循环节的循环点，得
到一个循环小数。
例如：0.38•
49
•
2，请写出这样的循环小数中最大的和最小的。
6．在循环小数0.•
123456
•
7中，移动循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100
位数字是5，新的循环小数是几？。