高考数学函数知识点汇总

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提示：换元法，替换一次式——令
例 1：2014 年江苏——已知函数
，若关于 的不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
例 2：2009 年全国卷——若
，求函数
（5）线性规划 （6）韦达关系 （7）消元 （8）最值相加/各值关系——对称中心关系 （9）所有零点之和 （10）均值不等式——异次
的最大值.
在
上的最大值.
（2）比较大小时
例 1：
在
上的最小值.
例 2:（2012 年山东卷）若函数
在
上的最大值为 ，最小值为 ，且
函数
在
上是增函数，则
.
（3）写进限定（导数）
20
，
均有
，
则
.
（2）规律——轴、中心、周期、凸凹、延续性 例 ：（ 2009 年 四 川 卷 ） 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 实 数 都 有
，则
.
（3）常见函数的抽象写法
一次函数：
二次函数：
指数函数：
；
对数函数：
；
幂函数：
三角函数：
代数原则 4. 对称轴
的零点
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尝试画图估零点：
⑤方程与零点的几何意义——距离差
举例说明：
，转化为方程即
，还原到函数中得
13. 求解析式 （1）待定系数法 例 1：一次函数 满足
解：设
，求 的解析式.
化简得
例 2：已知幂函数图像过点
，求该幂函数解析式.
解：设幂函数
，
， ，所以幂函数解析式为
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（2）复合函数 例 1：已知
注：任何函数和常数函数的集合都是可解的，例：
（2）超越方程——不同类型函数的集合——转化为函数求交点 ①估解区间
②估解个数
，
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
1234
尝试估解：
，
③个别特解
，
（3）零点：函数图像与 轴交点的横坐标
①
②一个零点 满足
且
③估零点范围 ④通过方程转换求零点
， 是函数
若点 ， 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为
.
三角换元求值域的题目，直接用技巧公式口算答案（选择填空）
求
的值域.
图像上一动点，
（13）求导 3. 抽象性——没有解析式
（1）代数 ①出现相关数 ②凑数
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例：定义在 上的函数 ，它同时满足下列性质：
第一：对任何
，均有
；
第二：对任何
3
④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪由⑦推出换底公式 ⑫对数合并利用⑨：
（2）图像
6 4 2
-6 -4 -2 -2 -4 -6
2
4
6
4
（3）对数，指数的公式计算练习——先写公式，再计算 ①
②
③
，用 表示
④
，求 （提示：和积共存时，等式两边同除积）
⑤
5
6. 对勾函数
8 4
-8
-4
-4
-8
4
8
7. 幂函数
口越小）小（开口越大）决定开口大小.
②
图像对称轴为 轴
③
图像过坐标原点
（9）一元二次方程求根
①求根公式：
②配方分解：
,
,
,
因式分解公式：
，对称轴 ，顶点 .
③十字相乘法：
,
,
，
2
4. 指数函数
（1）了解符号含义： ，
（2）运算法则
①
，
②
③
④
⑤
⑥ （3）图像
5. 对数函数 （1）运算法则 ①内积外和 ②内商外差 ③
、 ——把 轴下方图像翻折到 轴上方.
②轴对称
—— 轴左侧图像去掉，把 右侧图像对称到左侧.
③
——令绝对值等于零得对称轴.
④
——以 轴为界左右互换
⑤
——以 轴为界上下互换
（3）部分含有绝对值——分类讨论去绝对值 例 1.
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例 2.
12. 方程与零点（学会画图解题） （1）简单方程——同类型函数的集合——可直接解的
1. 定义域——函数自变量 的取值范围
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （6）括号范围相等：
的定义域： ，求
的定义域
的定义域：
，求
（7）复合函数的定义域
的定义域.
2. 值域（9 种命题角度，4 大求值域方法）
高中数学问题——求结果问题
（1）单调性——一次（一次函数，对数函数，指数函数，反比例函数） 直接代入 （2）非单调性——二次函数，对勾函数，三角函数 ①极值处——图像拐弯处，在不在已知 的范围内 ②边界
5. 偶函数——认识，应用，证明 当函数图像对称轴在 轴时，函数为偶函数
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6. 对称中心
多值相加题 7. 奇函数
当函数图像关于坐标原点对称时，函数为奇函数
补充：特别注意，奇函数或偶函数的定义域也是对称分布的.
例如：定义在
的函数为偶函数，则有
8. 单调性
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已知函数
，求满足
的 的取值范围.
总结：当不等式中同时出现 或 时，一般考虑此三种情形
换元——还原
解：令
，则
，求 的解析式. ，所以
例 2：已知
，求 的解析式.
解：令
，
，
（3）方程式
与 ； 与 ；奇偶共存
例 1：已知
，求
变换倒数——联立方程组——配系数
的解析式.
，及
解：
例 2：已知
求， 的解析式.
变换相反数——联立方程组——配系数
解：
例 3：已知 是偶函数， 是奇函数，
赋值
——变形——联立方程组
12 种函数类型
1. 常数型 ， 2. 一次函数
（1）斜率 （衡量一次函数图像的倾斜程度）
（2）截距 （函数图像与 轴交点的纵坐标），特别地当截距 （3）图像过定点 ①系数：对于式子 ， 是 的系数，反过来 是 的系数.
②让未知项的系数消失，即让含有未知项的式子等于 .
③其他类型函数图像过定点总结：
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②对称——轴的二倍减未知项代入 ③偶函数——添一次负号
④奇函数——添两次负号
，
⑤关于 对称，对称点 互换
⑥关于
对称，对称点 互换，再变号
14. 复杂图像分析 15. 所有方程和不等式的解法
方程： （1）一次方程 （2）二次方程——配方，十字相乘，配方 （3）指数方程——见指取对 （4）对数方程——见对取指 （5）绝对值方程——去绝对值 （6）分式方程——化成整式计算 （7）超越方程 不等式： （1）一次不等式 （2）二次不等式——让二次项系数为正，大于取两边，小于取中间.
在
上
例：（2013 年重庆）
，求
的最小值.
的最大值为
.
（11）分离常数——齐次（反比例函数） 分子凑分母，把常数项从分子或分母中分离出去
例 1：当
，求
的范围.
例 2：求
的最小值.
例 3：求
的取值范围.
（12）换元/三角换元——低次代高次（对勾函数）
例：（2013 年江苏卷）在平面直角坐标系中，设定点
指数函数
让 消失.
对数函数
让 消失.
时，
图像经过坐标原点.
（4）斜率 的取值范围
1
3. 二次函数 （1） 决定开口方向 （2） 轴上的截距 （3）对称轴 （4）判别式
（5）韦达关系
（6）求根公式 （7）根的分布：设
有两根
（8）二次函数常见类型
①
图像过坐标原点，且对称轴为 轴； 的正（上）负（下）决定图像开口方向， 的大（开
对于“构造新函数”解题步骤举例：
尝试构造新函数化简
：
补充：复合函数求单调区间（非求导）——负号，分母， ，绝对值——同增异减 9. 周期性——认识，应用
同号作差得周期，变形要加倍 练习：
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应用：
（半周期） （半周期）
Βιβλιοθήκη Baidu半周期应用
10. 凹凸性
11. 图像平移和变换 （1）平移
左加右减
、
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上加下减 （2）变换 ①下翻上
（3）指数不等式——当 时，不等号变向：
（4）对数不等式——当 时，不等号变向：
（5）绝对值不等式——绝对值系数为正，大于取两边，小于取中间.
（6）分式不等式——分母含有自变量的式子——
移项——通分——乘积——转化为二次不等式计算 16. 参数讨论
参数在什么情况下需要进行讨论？ （1）影响单调性时
例：
解答：
（4）条件式（函数性质，或函数特征） 例 1：已知奇偶性.
赋值计算——一般代入
计算，证明时带
例 2：已知对称轴. 赋值计算——根据对称轴代入对称数
对称轴 ，
例 3：已知对称中心 赋值计算——根据对称中心代入对称数
对称中心
，
（5）区间式 设未知点——找已知关系——用未知表达已知——代入已知函数求解 ①周期——加减周期代入
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（3）分式——反比例变形——值域，图像，分离常数
反比例函数的综合形式： ①值域，反函数在连续区间内具有单调性，求值域只需考虑边界值 极限思维：
②图像
（需代值验证）
9
画图像：
；
③分离常数——分子含有分母的一部分时——分子配出分母
（4）分式——对勾变形——换元
变形：
，
①大多数变形都转化为对勾函数
②极少部分转化为双刀函数
，令
，极大值点
6
，极小值点
（1） （2） （3） （4） （5）
关于幂函数，幂函数未知项系数一定等于 1. 对于幂函数 ①
有如下结论：
② 是偶数，则
③ 是偶数，则函数 为偶函数
④ 为奇数，则函数 为奇函数
8. 三角函数 9. 分段函数 10. 复合函数 11. 构造函数 12. 新定义函数
2009 年全国卷：用
表示
最大值.
中的最小值，设函数
1. 写法（结构） （1）等号左边——函数名 ，
函数的意义
，，
7
，求 的
（2）一般等号右边——解析式 （3）对应法则——运算过程
（4） 两个变量由等号相连， 叫做自变量， 叫做因变量
，
，
，
，
2. 函数图像 3. 函数与方程或不等式的互化
4. 构造新函数 ，
；
，令
，
16 个性质（图像——单调——值域）