高考数学函数知识点汇总

8
（3）分式——反比例变形——值域，图像，分离常数
反比例函数的综合形式： ①值域，反函数在连续区间内具有单调性，求值域只需考虑边界值 极限思维：
②图像
（需代值验证）
9
画图像：
；
③分离常数——分子含有分母的一部分时——分子配出分母
（4）分式——对勾变形——换元
变形：
，
①大多数变形都转化为对勾函数
②极少部分转化为双刀函数
口越小）小（开口越大）决定开口大小.
②
图像对称轴为 轴
③
图像过坐标原点
（9）一元二次方程求根
①求根公式：
②配方分解：
,
,
,
因式分解公式：
，对称轴 ，顶点 .
③十字相乘法：
,
,
，
2
4. 指数函数
（1）了解符号含义： ，
（2）运算法则
①
，
②
③
④
⑤
⑥ （3）图像
5. 对数函数 （1）运算法则 ①内积外和 ②内商外差 ③
在
上的最大值.
（2）比较大小时
例 1：
在
上的最小值.
例 2:（2012 年山东卷）若函数
在
上的最大值为 ，最小值为 ，且
函数
在
上是增函数，则
.
（3）写进限定（导数）
20
对于“构造新函数”解题步骤举例：
尝试构造新函数化简
：
补充：复合函数求单调区间（非求导）——负号，分母， ，绝对值——同增异减 9. 周期性——认识，应用
同号作差得周期，变形要加倍 练习：
14
应用：
（半周期） （半周期）
半周期应用
10. 凹凸性
11. 图像平移和变换 （1）平移
左加右减
、
15
上加下减 （2）变换 ①下翻上
，
均有
，
则
.
（2）规律——轴、中心、周期、凸凹、延续性 例 ：（ 2009 年 四 川 卷 ） 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 实 数 都 有
，则
.
（3）常见函数的抽象写法
一次函数：
二次函数：
指数函数：
；
对数函数：
；
幂函数：
三角函数：
代数原则 4. 对称轴
（3）指数不等式——当 时，不等号变向：
（4）对数不等式——当 时，不等号变向：
（5）绝对值不等式——绝对值系数为正，大于取两边，小于取中间.
（6）分式不等式——分母含有自变量次不等式计算 16. 参数讨论
参数在什么情况下需要进行讨论？ （1）影响单调性时
例：
解答：
（4）条件式（函数性质，或函数特征） 例 1：已知奇偶性.
赋值计算——一般代入
计算，证明时带
例 2：已知对称轴. 赋值计算——根据对称轴代入对称数
对称轴 ，
例 3：已知对称中心 赋值计算——根据对称中心代入对称数
对称中心
，
（5）区间式 设未知点——找已知关系——用未知表达已知——代入已知函数求解 ①周期——加减周期代入
，令
，极大值点
6
，极小值点
（1） （2） （3） （4） （5）
关于幂函数，幂函数未知项系数一定等于 1. 对于幂函数 ①
有如下结论：
② 是偶数，则
③ 是偶数，则函数 为偶函数
④ 为奇数，则函数 为奇函数
8. 三角函数 9. 分段函数 10. 复合函数 11. 构造函数 12. 新定义函数
2009 年全国卷：用
10
提示：换元法，替换一次式——令
例 1：2014 年江苏——已知函数
，若关于 的不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
例 2：2009 年全国卷——若
，求函数
（5）线性规划 （6）韦达关系 （7）消元 （8）最值相加/各值关系——对称中心关系 （9）所有零点之和 （10）均值不等式——异次
的最大值.
表示
最大值.
中的最小值，设函数
1. 写法（结构） （1）等号左边——函数名 ，
函数的意义
，，
7
，求 的
（2）一般等号右边——解析式 （3）对应法则——运算过程
（4） 两个变量由等号相连， 叫做自变量， 叫做因变量
，
，
，
，
2. 函数图像 3. 函数与方程或不等式的互化
4. 构造新函数 ，
；
，令
，
16 个性质（图像——单调——值域）
， 是函数
若点 ， 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为
.
三角换元求值域的题目，直接用技巧公式口算答案（选择填空）
求
的值域.
图像上一动点，
（13）求导 3. 抽象性——没有解析式
（1）代数 ①出现相关数 ②凑数
11
例：定义在 上的函数 ，它同时满足下列性质：
第一：对任何
，均有
；
第二：对任何
19
②对称——轴的二倍减未知项代入 ③偶函数——添一次负号
④奇函数——添两次负号
，
⑤关于 对称，对称点 互换
⑥关于
对称，对称点 互换，再变号
14. 复杂图像分析 15. 所有方程和不等式的解法
方程： （1）一次方程 （2）二次方程——配方，十字相乘，配方 （3）指数方程——见指取对 （4）对数方程——见对取指 （5）绝对值方程——去绝对值 （6）分式方程——化成整式计算 （7）超越方程 不等式： （1）一次不等式 （2）二次不等式——让二次项系数为正，大于取两边，小于取中间.
5. 偶函数——认识，应用，证明 当函数图像对称轴在 轴时，函数为偶函数
12
6. 对称中心
多值相加题 7. 奇函数
当函数图像关于坐标原点对称时，函数为奇函数
补充：特别注意，奇函数或偶函数的定义域也是对称分布的.
例如：定义在
的函数为偶函数，则有
8. 单调性
13
已知函数
，求满足
的 的取值范围.
总结：当不等式中同时出现 或 时，一般考虑此三种情形
12 种函数类型
1. 常数型 ， 2. 一次函数
（1）斜率 （衡量一次函数图像的倾斜程度）
（2）截距 （函数图像与 轴交点的纵坐标），特别地当截距 （3）图像过定点 ①系数：对于式子 ， 是 的系数，反过来 是 的系数.
②让未知项的系数消失，即让含有未知项的式子等于 .
③其他类型函数图像过定点总结：
、 ——把 轴下方图像翻折到 轴上方.
②轴对称
—— 轴左侧图像去掉，把 右侧图像对称到左侧.
③
——令绝对值等于零得对称轴.
④
——以 轴为界左右互换
⑤
——以 轴为界上下互换
（3）部分含有绝对值——分类讨论去绝对值 例 1.
16
例 2.
12. 方程与零点（学会画图解题） （1）简单方程——同类型函数的集合——可直接解的
换元——还原
解：令
，则
，求 的解析式. ，所以
例 2：已知
，求 的解析式.
解：令
，
，
（3）方程式
与 ； 与 ；奇偶共存
例 1：已知
，求
变换倒数——联立方程组——配系数
的解析式.
，及
解：
例 2：已知
求， 的解析式.
变换相反数——联立方程组——配系数
解：
例 3：已知 是偶函数， 是奇函数，
赋值
——变形——联立方程组
注：任何函数和常数函数的集合都是可解的，例：
（2）超越方程——不同类型函数的集合——转化为函数求交点 ①估解区间
②估解个数
，
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
1234
尝试估解：
，
③个别特解
，
（3）零点：函数图像与 轴交点的横坐标
①
②一个零点 满足
且
③估零点范围 ④通过方程转换求零点
在
上
例：（2013 年重庆）
，求
的最小值.
的最大值为
.
（11）分离常数——齐次（反比例函数） 分子凑分母，把常数项从分子或分母中分离出去
例 1：当
，求
的范围.
例 2：求
的最小值.
例 3：求
的取值范围.
（12）换元/三角换元——低次代高次（对勾函数）
例：（2013 年江苏卷）在平面直角坐标系中，设定点
的零点
17
尝试画图估零点：
⑤方程与零点的几何意义——距离差
举例说明：
，转化为方程即
，还原到函数中得
13. 求解析式 （1）待定系数法 例 1：一次函数 满足
解：设
，求 的解析式.
化简得
例 2：已知幂函数图像过点
，求该幂函数解析式.
解：设幂函数
，
， ，所以幂函数解析式为
18
（2）复合函数 例 1：已知
1. 定义域——函数自变量 的取值范围
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （6）括号范围相等：
的定义域： ，求
的定义域
的定义域：
，求
（7）复合函数的定义域
的定义域.
2. 值域（9 种命题角度，4 大求值域方法）
高中数学问题——求结果问题
（1）单调性——一次（一次函数，对数函数，指数函数，反比例函数） 直接代入 （2）非单调性——二次函数，对勾函数，三角函数 ①极值处——图像拐弯处，在不在已知 的范围内 ②边界
3
④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪由⑦推出换底公式 ⑫对数合并利用⑨：