年广州市高三一模文科数学试卷及答案
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
二、填空题
13. 2
14. 1
2
15.
9
16.
1 8
，
1 2
1
1 2n
三、解答题 17. (12 分)
（1）解：由于 62.0,63.0内的频率为 0.075 0.225 0.5 0.15，…………………1 分
63.0,63.5 内的频率为 0.75 0.5 0.375， …………………………………2 分
的取值范围是
A. ,1
B. 0,1
C.
0,
1 ln 2
D.
1 ln 2
,
文科数学试题 第 2 页（共 5 页）
11.
已知
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2
1 a
0 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线
与 C 相交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为
2
A.
3
3
B.
3
22
C.
3
23
D.
3
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ，CC1 ，C1D1 的
中点，给出下列四个命题:
① EF B1C ;
② 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60 ;
③ 过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
P
（2）解法 1：因为 AC 3PB 2 ，
则 AC 2 ， PB 2
3
.
3
A
O
C
广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x ＜5}2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．365．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．26．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x ＜5}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，∴S∩T={x|﹣7＜x＜﹣5}．故选：A．2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之．【解答】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；故选C．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．36【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意，=6，p=12，双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），∴△PF1F2的面积为=36，故选D．5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABO），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，关于命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），将函数f（x）=sinx在[0，]，sinA+sinB+sinC，得到所求．【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC=3sin=；所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为；故选D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，•=（﹣）•（﹣）=•﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．【解答】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，∴该容器的体积为==9．故选：D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（﹣1，0），∵点C（0，﹣2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心∴=﹣1，=0∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①∵，，∴两式相减得： +=0将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，∵直线l 过AB中点（﹣，1）∴直线l的方程为y﹣1=（x+）故答案为6x﹣5y+14=0，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=0．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．故答案为：0．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．【解答】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f （x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为2π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n﹣m的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．∵最小正周期为π，即T=π，∴，可得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．此时n﹣m可得最小值为2π．故答案为2π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sinB==，sinC==所以sinBsinC=×=．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，2a n=a2n﹣1．取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴S n=2﹣．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，∴由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为==67，乙校的平均值为=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，其中2 人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，∴两人来自同一学校的概率p=．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且．∴．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，由此求得k的范围．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，即＜，求得﹣＜k＜．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x﹣6）2+y2=20，化简可得（1+k2）x2﹣12x+16=0，∴x1+x2=，x1•x2=．若=2，则x2=2x1，则x1=，x2=，∴则x1•x2=•=，∴k=±1，故直线l：y=±x．22．已知函数f （x ）=alnx +x 2﹣x ，其中a ∈R ． （Ⅰ）若a ＜0，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，结合f （x ）的定义域得出f′（x ）的符号变换情况，从而得出f （x ）的单调性；（II ）对a 进行讨论，判断f （x ）在[1，+∞）上的单调性，得出f （x ）在[1，+∞）上的最小值f min （x ），即可得出结论． 【解答】解：（I ）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）==，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，解得x 1=，x 2=，∵a ＜0，∴x 1＜0，x 2＞0，∴当0＜x ＜时，f′（x ）＜0，当x ＞时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II ）若a=0时，f （x ）=x 2﹣x ，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意．若a ＜0，由（I ）可知f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当≤1即﹣1≤a ＜0时，f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意，当＞1即a ＜﹣1时，f （x ）在[1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （）＜f （1）=0，不符合题意．若a ＞0，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，∴当△=1﹣8a ≤0即a时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．若0，则2x2﹣x+a=0有两正实数解，x1=，x2=，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∵＜1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．4月3日。
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
x
2x y 2 e 0 . （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
（二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的 第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
………………………………6 分
（2）解：从频率分布直方图中可得 80 个零件中尺寸在 63.0,64.5之外的零件共有
0.075 0.225 0.100 0.580 16 个，
…………………………………8 分
故从 80 个零件中随机抽取1个零件， 则所抽取的零件为二等品的概率为 P 16 0.2 . 80
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
23
得 ac 3 . 由于 b 2 ， 则 a2 c2 2 ac 4 ，即 a2 c2 6 .
2020年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(文科)
2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。
2019-2020学年广东省广州市高考数学一模考试(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年广东省广州市高考一模考试数学（文科）试题一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8π B．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{Sn }的前n项和Tn．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2019-2020学年广东省广州市高考一模考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣3【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x））的横坐标，进一步求得f（x）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax=﹣1，∵x0+x3+ax2=0，解得x=±1．当x0=1时，f（x）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x）=1．故选：D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8π B．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解： =（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为 3 ．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S=×2×1=1，不合题意，△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为： +1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{Sn }的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）Sn =2an﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵Sn =2an﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1，∴数列{an}是等比数列，公比为2．∴an=2n．（II）Sn==2n+1﹣2．∴数列{Sn }的前n项和Tn=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．…（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（Ⅲ）2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100…则，…因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（xP ，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直线PQ的斜率为．…所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以kPA =﹣kQA，即，①…因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化简得x 1y 2+x 2y 1+（x 1+x 2）+2（y 1+y 2）+4=0，⑥… 由①得x 1y 2+x 2y 1﹣（x 1+x 2）﹣2（y 1+y 2）+4=0，⑦… ⑥﹣⑦得x 1+x 2=﹣2（y 1+y 2）．… ②﹣③得，得．…所以直线PQ 的斜率为为定值．…解法三：设直线PQ 的方程为y=kx+b ，点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则y 1=kx 1+b ，y 2=kx 2+b ， 直线PA 的斜率，直线QA 的斜率．…因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x=2对称． 所以k PA =﹣k QA ，即=，…化简得x 1y 2+x 2y 1﹣（x 1+x 2）﹣2（y 1+y 2）+4=0．把y 1=kx 1+b ，y 2=kx 2+b 代入上式，并化简得2kx 1x 2+（b ﹣1﹣2k ）（x 1+x 2）﹣4b+4=0．（*） …由，消去y 得（4k 2+1）x 2+8kbx+4b 2﹣8=0，（**）则，…代入（*）得，…整理得（2k ﹣1）（b+2k ﹣1）=0， 所以或b=1﹣2k ．…若b=1﹣2k ，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．… 若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]=lna+1．…min当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…故当时，f（x）＞e﹣x．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．。
2019-2020学年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)(有答案)
广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤1}2．已知复数z 满足z=（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数则f （f （﹣2））的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知f （x ）=sin （x+），若sinα=（＜α＜π），则f （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10D ．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．11．已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； p 3：若，则∃x 0∈（0，+∞），f （x 0）=1；p 4：在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+8+4B ．8+8+2C ．2+2+D ． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数f （x ）=x 3﹣3x 的极小值为 ．14．设实数x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+3y 的取值范围是 ．15．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，点B （0，b ），且，则双曲线C 的离心率为 ． 16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f （α+）=sin （α++）=sin （α+）=sinαcos +cos αsin =﹣（﹣）=，故选：C ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10 D ．2n+20【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n +1，由此能求出结果． 【解答】解：∵P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点， 它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点， x 1+x 2+…+x n =10， ∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F| =（x 1+1）+（x 2+1）+…+（x n +1） =x 1+x 2+…+x n +n =n+10． 故选：A ．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，球心为O ，一个顶点为A ，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，则球心O 是O 1，O 2的中点． ∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1， ∴Rt △AO 1O 中，AO 1=1，O 1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D ．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p 3：若，则∃x∈（0，+∞），f（x）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p 3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x∈（0，+∞），f（x）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，bc 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A （﹣a ，0），F （c ，0），B （0，b ）， 可得=（﹣a ，﹣b ），=（c ，﹣b ），由，可得﹣ac+b 2=0，即有b 2=c 2﹣a 2=ac ， 由e=，可得e 2﹣e ﹣1=0， 解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC 、过A 做AE ⊥BC 、垂足为E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE 、CE 、BC 、BD ，由条件求出AD 的长．【解答】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ， ∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5， 故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n }中，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n =2log 2a n ﹣1，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2=4，所以a 3=4q ，．）因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2（a 3+2）=a 2+a 4． 即2（4q+2）=4+4q 2，化简得q 2﹣2q=0． 因为公比q ≠0，所以q=2． 所以（n ∈N *）．（Ⅱ）因为，所以b n =2log 2a n ﹣1=2n ﹣1．所以．则，①， ，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明A 1O ⊥BD ．CO ⊥BD ．即可证明BD ⊥平面A 1CO ．（Ⅱ）解法一：说明点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 通过，求解点C 到平面OBB 1的距离．解法二：连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，连接CO 1，OO 1，推出OA 1O 1C 为平行四边形．证明CH ⊥平面BB 1D 1D ，然后求解点C 到平面OBB 1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥BD ．…因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．… 因为A 1O∩CO=O，A 1O ，CO ⊂平面A 1CO ， 所以BD ⊥平面A 1CO ．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，AB=AA 1=2，∠BAD=60°， 所以OB=OD=1，．…所以△OBC 的面积为．…因为A 1O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥AO ，．…因为A 1B 1∥平面ABCD ，所以点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．… 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面A 1AC ． 因为A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥A 1A ． 因为A 1A ∥B 1B ，所以BD ⊥B 1B ．… 所以△OBB 1的面积为．…设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 因为，所以．…所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面A 1CO ， 因为BD ⊂平面BB 1D 1D ， 所以平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ．… 连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1， 连接CO 1，OO 1，因为AA 1=CC 1，AA 1∥CC 1，所以CAA 1C 1为平行四边形． 又O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点，所以OA 1O 1C 为平行四边形． 所以O 1C=OA 1=1．…因为平面OA 1O 1C 与平面BB 1D 1D 交线为OO 1， 过点C 作CH ⊥OO 1于H ，则CH ⊥平面BB 1D 1D ．… 因为O 1C ∥A 1O ，A 1O ⊥平面ABCD ，所以O 1C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以O •1C ⊥OC ，即△OCO 1为直角三角形．… 所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1（﹣2，0），点B （2，）在椭圆C 上，直线y=kx （k ≠0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a ＞b ＞0），结合已知及隐含条件列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0时，所以，即lnx 0=﹣x 0．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．… 故．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ）．… 设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，则h'（x ）=e x ﹣1．因为当x ＜0时，h'（x ）＜0，当x ＞0时，h'（x ）＞0，所以当x ＜0时，函数h （x ）单调递减，当x ＞0时，函数h （x ）单调递增． 所以h （x ）≥h （0）=0．所以e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．… 所以要证明e x ﹣lnx ﹣2＞0， 只需证明（x+1）﹣lnx ﹣2＞0．… 下面证明x ﹣lnx ﹣1≥0． 设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则．当0＜x ＜1时，p'（x ）＜0，当x ＞1时，p'（x ）＞0，所以当0＜x ＜1时，函数p （x ）单调递减，当x ＞1时，函数p （x ）单调递增． 所以p （x ）≥p （1）=0．所以x ﹣lnx ﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．… 由于取等号的条件不同， 所以e x ﹣lnx ﹣2＞0．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…（若考生先放缩lnx ，或e x 、lnx 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e x ﹣lnx ＞2．因为曲线y=e x 与曲线y=lnx 的图象关于直线y=x 对称，设直线x=t （t ＞0）与曲线y=e x ，y=lnx 分别交于点A ，B ， 点A ，B 到直线y=x 的距离分别为d 1，d 2， 则．其中，（t ＞0）．①设h （t ）=e t ﹣t （t ＞0），则h'（t ）=e t ﹣1． 因为t ＞0，所以h'（t ）=e t ﹣1＞0．所以h （t ）在（0，+∞）上单调递增，则h （t ）＞h （0）=1． 所以．②设g （t ）=t ﹣lnt （t ＞0），则．因为当0＜t ＜1时，g'（t ）＜0；当t ＞1时，g'（t ）＞0，所以当0＜t ＜1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递减；当t ＞1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递增． 所以g （t ）≥g （1）=1． 所以．所以．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 证法二：因为f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1，要证明f （x ）＞1，只需证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．… 以下给出两种思路证明me x ﹣lnx ﹣2＞0． 思路1：设g （x ）=me x ﹣lnx ﹣2，则．设，则．所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。
广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)解析版
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-2x＞0}，则A∩B=（）A. {3}B. {2，3}C. {-1，3}D. {0，1，2}2.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为x1，x2，…x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A. x1，x2，…x n的平均数B. x1，x2，…x n的标准差C. x1，x2，…x n的最大值D. x1，x2，…x n的中位数3.若复数为纯虚数，则|3-ai|=（）A. B. 13 C. 10 D.4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a8＝15-a5，则S9等于（）A. 18B. 36C. 45D. 605.已知cos（θ+）=，＜θ＜，则sin2θ的值等于（）A. B. C. D.6.若实数x，y满足，则z=y-2x的最小值为（）A. 2B. -2C. 1D. -17.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 1348.已知满足，则（）A. B. C. D.9.在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是B. C. D.A.10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）A. （2k-，2k+），k∈ZB. （2kπ-π，2kπ+π），k∈ZC. （4k-，4k+），k∈ZD. （4kπ-π，4kπ+π），k∈Z11.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A. a（1+r）17B. [（1+r）17-（1+r）]C. a（1+r）18D. [（1+r）18-（1+r）]12.已知函数f（x）=（k+）ln x+，k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y=f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A. （）B. （）C. [）D. [）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（3，-2），=（m，1）．若向量（-2）∥，则m=______．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+…+a n-1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，a n=______．15.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为______．16.已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为52π，AB=1，若△ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r1=1，则直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18.在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3=2，a1a3+2a2a4+a3a5=25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当取最大值时，求n 的值．19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且-2sin2C+2cos C+3=0．（1）求角C的大小；（2）若b=a，△ABC的面积为sin A sin B，求sin A及c的值．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．E、H分别为PA、AB的中点．（1）求证：PH⊥AC；（2）求点P到平面DEH的距离．21.已知函数f（x）=ln x-mx2，g（x）=+x，m∈R，F（x）=f（x）+g（x）．（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．23.已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由B中不等式变形得：x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={-1，0，1，2，3}，∴A∩B={-1，3}，故选：C．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由=．因为复数为纯虚数，所以，解得a=2．所以|3-ai|=|3-2i|=．故选：A．把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题.由等差数列的通项公式知a2+a8=15-a5⇒a5=5，再由等差数列的前n项和公式知S9=×2a5．【解答】解：∵a2+a8=15-a5，∴a5=5，∴S9===45．故选C．5.【答案】C【解析】解：∵cos（θ+）=-sinθ=，∴sinθ=-，∵＜θ＜，∴cosθ=-=-，∴sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×（-）=．故选：C．由已知利用诱导公式可求sinθ，根据同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：由图可知，z=y-2x在x+y=1与x轴的交点（1，0）处取得最小值，即z=0-2=-2．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得出结论．本题考查了线性规划，求最值问题，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．8.【答案】A【解析】【分析】可以看出ln x3＞0，从而得出x3＞1，又可看出，从而得出x1，x2，x3的大小关系．考查指数函数的值域，对数函数和指数函数的单调性．【解答】解：∵e-x＞0；∴ln x3＞0；∴x3＞1；又；∴x1＜x2＜x3．故选：A．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查线面平行的判定，其中分析出F落在线段HI上是解答本题的关键，属于中档题．设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点，根据面面平行的判定定理，可得平面A1BGE∥平面B1HI，结合已知中B1F∥面A1BE，可得F落在线段HI上，则答案可求．【解答】解：设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点则A1BEG四点共面，且平面A1BGE∥平面B1HI又∵B1F∥面A1BE，∴F落在线段HI上，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为a，∴HI=．即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是．故选：D．10.【答案】C【解析】【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=-，∴f（x）=sin（x-）．令2kπ-≤x-≤2kπ+，求得4k-≤x≤4k+，故f（x）的单调递增区间为（4k-，4k+），k∈Z，故选：C．11.【答案】D【解析】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，……孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数S=a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r）==[（1+r）18-（1+r）]；故选：D．根据题意，依次分析孩子在1周岁时、2周岁时、……17周岁时存入的a元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数S=a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r），由等比数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查数列的应用，涉及等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=（k+）ln x+，导数f′（x）=（k+）•--1．由题意可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．即有--1=--1，化为4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2＜（）2，∴4（x1+x2）＜（k+）（）2，化为x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=k+，k∈[4，+∞），g′（k）=1-＞0，对k∈[4，+∞）恒成立，即g（k）在[4，+∞）递增，∴g（k）≥g（4）=5，∴≤，∴x1+x2＞，即x1+x2的取值范围是（，+∞）．故选：B．求得f（x）的导数f′（x），由题意可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），化为4（x1+x2）=（k+）x1x2，因此x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=k+，k∈[4，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵向量=（3，-2），=（m，1），∴，∵（-2）∥，∴-4m=3-2m，∴m=．故答案为：．根据（-2）∥，可得方程-4m=3-2m，解方程可得m的值．本题考查平面向量的坐标运算和向量平行，考查方程思想和计算能力，属基础题．14.【答案】2n-1【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+…+a n-1（n∈N*，n≥2），则a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，，…由此可得当n≥1时，．故答案为：2n-1．根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可．本题考查了用归纳法求数列的通项公式，关键是能够根据数列的前几项分析规律，并大胆猜想，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图所示，在△ABC中，AB=30，AC=20，∠BAC=135°定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos135°=3600，所以BC=10，正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=135°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+45°）=cos∠ACB cos45°-sin∠ACB sin45°==．故答案为：．利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+45°）展开求出cosθ的值．本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．16.【答案】6【解析】解：如图，∵△ABC外接圆的圆心O1在AC上，∴O1为AC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，由半径r1=1，得AC=2，又AB=1，∴BC=．把直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体，设BB1=x，则其外接球的半径R=．又直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为52π，∴4πR2=52π，即R=．∴R==，解得x=4．∴直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为=6．故答案为：6．由题意可得，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案．本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10=0.08．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+1 30×0.008×10+140×0.004×10=102．（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n==10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m==4，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p==．【解析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图．（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分．（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n==10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m==4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率．本题考查频率、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）a1a3+2a2a4+a3a5=25，可得a22+2a2a4+a42=（a2+a4）2=25，由a3=2，即a1q2=2，①，可得a1＞0，由0＜q＜1，可得a n＞0，可得a2+a4=5，即a1q+a1q3=5，②由①②解得q=（2舍去），a1=8，则a n=8•（）n-1=24-n；（2）b n=log2a n=log224-n=4-n，可得S n=n（3+4-n）=，=，则=3++…+=n（3+）==-（n-）2+，可得n=6或7时，取最大值．则n的值为6或7．【解析】（1）由条件判断a n＞0，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=log2a n=log224-n=4-n，可得S n=，=，再由等差数列的求和公式和配方法，可得所求最大值时的n的值．本题考查等比数列的通项公式和性质，同时考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵-2sin2C+2cos C+3=0，可得：-2（1-cos2C）+2cos C+3=0，∴2cos2C+2cos C+1=0，∴cos C=-，∵0＜C＜π，∴C=．（2）∵c2=a2+b2-2ab cos C=3a2+2a2=5a2，∴c=a，∴sin C=sin A，∴sin A=sin C=，∵S△ABC=ab sin C=sin A sin B，∴ab sin C=sin A sin B，∴••sin C=（）2sin C=，∴c==1．【解析】（1）利用正弦定理和已知等式，化简可求得cos C的值，进而求C．（2）利用余弦定理可求得c与a的关系，进而求得sin C，然后利用三角形面积公式和已知等式求得c．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形的问题中应灵活运用余弦和正弦定理实现边角的转化，属于中档题．20.【答案】解：（1）证明：∵PAB为正三角形，AB=2，∴PB=AB=2，∵BC=，PC=，∴PC2=BC2+PB2∴根据勾股定理得BC⊥PB，∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，∵PB，AB⊂面PAB且交于点B，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，∵H为AB的中点，PAB为正三角形，∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PH⊥AC．（Ⅱ）解：取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），D（1，，0），A（1，0，0），E（），H（0，0，0），=（1，，0），=（），=（0，0，），设平面DEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（-，1，），∴点P到平面DEH的距离d===．【解析】（1）推导出PB=AB=2，BC⊥PB，BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，进而面PAB⊥面ABCD，PH⊥AB，PH⊥平面ABCD，由此能证明PH⊥AC．（Ⅱ）取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面DEH的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）定义域为（0，+∞），f′（x）=-2mx=，①当m≤0时f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值，②当m＞0时令f′（x）＞0，∴0＜x＜，令f′（x）＜0，∴x＞，所以函数f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，所以当x=时，有极大值，极大值为-（ln2m+1），无极小值，（2）：由F（x）≤mx-1恒成立知m≥恒成立，令h（x）=，则h′（x）=，令φ（x）=2ln x+x，因为φ（）=-ln4＜0，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数．故存在x0∈（，1），使φ（x0）=0，即2ln x0+x0=0，当0＜x＜x0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．所以h（x）max=h（x0）==，而x0∈（，1），所以∈（1，2），所以整数m的最小值为2．【解析】（1）求导后，根据m取值的情况分类讨论；（2）利用分离参数法，利用函数的最大值进行求解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数不等式问题，属于高档题目，有一定难度．22.【答案】解：（Ⅰ）由x2+y2=（cosα+sinα）2+（sinα-cosα）2=4，得曲线C：x2+y2=4．直线l的极坐标方程展开为ρcosθ-ρsinθ=2，故l的直角坐标方程为．（Ⅱ）显然P的坐标为（0，-4），不妨设过点P的直线方程为（t为参数），代入C：x2+y2=4得t2-8t sinα+12=0，设A，B对应的参数为t1，t2所以|PA|•|PB|=|t1t2|=12为定值．【解析】（Ⅰ）由x2+y2=（cosα+sinα）2+（sinα-cosα）2=4可得曲线C的直角坐标方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）若m=2时，|x-1|+|2x+2|≤3，当x≤-1时，原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-，所以，当-1＜x＜1时，原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0，所以-1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x，即|2x+m|≤2-x，故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x，又由题意知：（-x-2）min≤m≤（2-3x）max，即-3≤m≤2，故m的范围为[-3，2]．【解析】本题考查解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力，属于中档题.（1）通过分段讨论去掉绝对值符号解不等式，最后将每一段的解集并在一起即可；（2）当x∈[0，1]时，转化为|2x+m|≤2-x有解，即-x-2≤m≤2-3x在x∈[0，1]时有解，即（-x-2）≤m≤（2-3x）max，可求解实数m的取值范围．min。
2020年广东广州高三一模文科数学试卷答案
【答案】 ①④
【解析】 ①∵
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ①正确．
②∵ ， 平面 ，
∴或
，
∴ 未必成立． ②错误．
③同理 ， 均是 ， 位置关系中的一种情况，但由题目中条件 ， 可成任
意夹角，
∴②③均错．
④∵ 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，故④正确．
⑤当平面 与平面 成锐角时，交线为 ，
由
，同理求得
，
所以
，
所以 的值为
．
19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 天到第 天的日产卵数据： 第天
日产卵数 （个）
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
此时∵ 平面 ，
∴，
但 并不平行于 ，
∴⑤错误，
综上，正确答案为①④．
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
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，所以
在
中，
，
，
在
和
中，因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
（ 2 ）方法一：因为
，
所以
，
， ，
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
广州市高三“一模”数学试题及解答（文科）
秘密★启用前广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科）．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,22．已知3cos 5α=，则cos2α的值为A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为A ．33B ．2πC ．3πD ．4π正(主)视图 左(侧)视图俯视图4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、205．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =A ．1-B 2C ．1-2D ．1或2-6．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a >8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．14次 B ．13次 C ．9次 D ．8次10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．0 1 2 3 4 1 1 2 0 1 03 58 7 8 9 7 5 6 4 3 2 9 6 1 甲 乙 图212．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ．（注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率．17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值．18．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作图3开始 0k =21x x =+1k k =+结束 输入x是 否输出x ,k115?x >Q1B 1C1A 1A '1B1C1AP Q1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C A C B D C 10．由PA PB PC AB++=，得PA PB BA PC +++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，BCA P则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()313612P A ==． 答：事件“3x y +≤”的概率为112． （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件． ∴()82369P B ==． 答：事件“2x y -=”的概率为29．17．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即310,21.b a ⎧+=⎪⎪=⎩ 解得1,3.a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）由（1）得()sin 3f x x x =132sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+， 即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A ''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A ''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BCBB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=．（2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+．∴13533228λλλ+++=+． 解得，1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+．∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=． ·············· ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点， ∴216160k ∆=->，解得1k >或1k <-． 故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞．（2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴21142x PM x -=．同理，可得22242x PN x -=．∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---（12x x ≠）．故PM PN =．解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根， ∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=． ∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭． 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==．∴点P 是线段MN 的中点． 故PM PN =．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵()1xf x e '=-，令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n ke n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---，∴ 1211n nnnn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
广东省广州市高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|x＞0}，则（）A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.已知a为实数，若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数，则a＝（）A. -2B.C.D. 23.已知双曲线的一条渐近线过点（b，4），则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.，为平面向量，己知=（2，4），=（0，8），则，夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.5.若sinα＞sinβ＞0，则下列不等式中一定成立的（）A. sin2α＞sin2βB. sin2α＜sin2βC. cos2α＞cos2βD. cos2α＜cos2β6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为（）A. B. C. D.8.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A. B.C. D.9.函数最大值是（）A. 2B.C.D.10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B. 7πC.D. 8π11.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1212.已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x1＜0，x2＜0，都有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x3+a log3x，若f（2）=6，则=______．14.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=3，C=2B，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n+b n}的前n项和．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，cos∠BPD=，求三棱锥A-BCD的体积．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这（）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断99.9%附：，n=a+b+c+d20.已知椭圆的一个焦点为F（1，0），点在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M的坐标：若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=e x-1+a，g（x）=ln x，其中a＞-2．（1）讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，设直线y=t与的数y=f（x）和y=g （x）的图象分别交于点P，Q．证明：|PQ|＞a+1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-2x＜0，得：0＜x＜2，则集合A={x|0＜x＜2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题.根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【解答】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．3.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e===．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积和向量的夹角求法，属于基础题．由题意利用向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．【解答】解：己知=（2，4），=（0，8），∴=[-（-2）]=（1，-2），∴•=2-8=-6．设，夹角为，又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ，∴10cosθ=-6，∴cosθ=-，故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，∵sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β＞0，-2sin2α＜-2sin2β，则1-2sin2α＜1-2sin2β，即cos2α＜cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题.由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则C（0，2，0），E（2，1，0），D1（0，0，2），F（1，2，0），=（2，-1，0），=（1，2，-2），设直线CE与D1F所成角的大小为θ，则cosθ==0，∴θ=．∴直线CE与D1F所成角的大小为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵sin（x+）=sin（+x-）=cos（x-），∴f（x）=sin（x+）+cos（x-）=sin x cos+cos x sin+cos x cos+sin x sin=（sin+cos）sin x+（sin+cos）cos x，∵sin+cos=sin（+）=sin=．∴f（x）=sin x+cos x=sin（x+）．∴f（x）的最大值为．故选：C．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f（x）即可得出结论．本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+=3（x2+），∴x1=3x2+3∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=，x2=，∴|AB|=（x1+）+（x2+）=8．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度．．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，据此可得：2axe x+1≥0，即恒成立，令g（x）=xe x（x＜0），则g'（x）=e x（x+1），据此可得函数g（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，据此可得：实数a的取值范围是．故选：A．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．根据题意，由f（2）的值分析可得f（2）=8+a log32=6，变形可得a log32=-2，则有则=（）3+a log3=-a log32，代入计算可得答案．【解答】解：因为f（x）=x3+a log3x，所以f（2）=8+a log32=6，所以a log32=-2，所以=+a log3=-a log32=.故答案为．14.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5【解析】解：根据题意，设圆C的半径为r，以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则有r==，则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5．根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得r==，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15.【答案】（]【解析】解：作出x，y的不等式组，对应的平面如图：C（-m，-2），A（-m，1-2m），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使该平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）在直线x-2y=2的下方或在该直线上，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线x-2y=2的上方或在该直线上，可得1-2m≥-1，解得m，综上，m的取值范围为（-∞，]．故答案为：（-∞，]．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．画出可行域，C（-m，-2），A（-m，1-2m），由题意得点C（-m，-2）在直线x-2y=2的下方或在该直线上，并且A在直线x-2y=2的上方或在该直线上，由此可解.16.【答案】【解析】解：∵b=2，c=3，C=2B，∴由正弦定理，可得：，可得：==，∴可得：cos B=，可得：sin B==，∴可得：sin C=sin2B=2sin B cosB=，cos C=cos2B=2cos2B-1=，∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C==，∴S=bc sin A==．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin C，cos C的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lg a1=0，lg a4=1．则：，解得：d=3所以：a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：，又a k=3k-2>0，即3k-2=4，解得k=2，所以等比数列{b n}的公比为q==4．所以．则，故：==．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（Ⅰ）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．18.【答案】解：（1）证明：如图所示，因为△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，所以Rt△ABD≌Rt△BCD，可得AD=CD，又因为点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，又PD∩PB=P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以平面ACD⊥平面BDP；（2）设AB=a，在Rt△ABD中，BD=，则AD==；在等边△ABC中，BP=AB=a，在等腰△ACD中，DP===；在△BPD中，由cos∠BPD=，得sin∠BPD=；由余弦定理得BD2=BP2+DP2-2•BP•cos∠BPD，即6=a2+6-a2-2×a××（-），解得a=2；所以△BPD的面积为S=•BP•DP•sin∠BPD=，所以三棱锥A-BCD的体积为V=•AC•S△BPD=×2×=．【解析】（1）证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A-BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为=（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P==．（3）依题意得2×2列联表如下则=≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．（3）完成2×2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）由题意可得c=1，点在C上，∴+=1，又a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为+=1，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），由，消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0，△=64m2-28（4m2-12）=16（21-3m2）＞0，解得m2＜7，∴x1+x2=-，x1x2=，∴x0=-=-，y0=x0+m=，∴N（-，），依题意有AM⊥BM，MN⊥l，由MN⊥l，可得×1=-1，可得t=-，由AM⊥BM可得•=-1，∵y1=x1+m，y2=x2+m，代入上式化简可得2x1x2+2（m-t）（x1+x2）+（m-t）2=0，则-（）2+（）2=0，解得m=±，当m=时，点M（0，-）满足题意，当m=-时，点M（0，）满足题意【解析】（1）先求出c的值，再根据+=1，又a2=b2+c2=b2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM⊥BM，MN⊥l，即可求出m的值，可得点M的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点个数即方程e x-1+a=ln x根的个数，设F（x）=e x-1+a-ln x，x＞0．则在（0，+∞）上单调递增，且F’（1）=0．当x∈（0，1）时，F’（x）＜F’（1）=0，则F（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，F’（x）＞F'（1）=0，则F（x）在（1，+∞）上单调递增．所以，当x=1时，F（x）min=F（1）=l+a．当a+1＞0，即a＞-1时，函数F（x）无零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点；当a=-1时，函数F（x）有一个零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象有一个交点；当-2＜a＜-1时，．又F（1）=1+a＜0．F（3）=e2+a-ln3＞e2-2-ln3＞e2-4＞0，所以F（x）=e x-1+a-ln x在（e a，1）和（1，3）上分别有一个零点．所以，当-2＜a＜-1时，F（x）有两个零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点．综上所述：当a＞-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为0；当a=-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为1；当-2＜a＜-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为2．（2）由（1）可知，当函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点时，a＞-1．设P（m，t），Q（n，t），由得m=1+In（t-a），由ln=t得n=e t，|PQ|=|n-m|=|e t-ln（t-a）-1|．设h（t）=e t-ln（t-a）-1，先证明不等式e t≥1+t，再证明t-In（t-a）≥a+1，t∈（a，+∞）．设p（t）=e t-1-t．则p’（t）=e t-1．当t∈（0，+∞）时，p’（t）=e t-1＞0，p（t）=e t-1-t在（0，+∞）上单调递增，当t∈（-∞，0）时，p’（t）=e t-1＜0，p（t）=e t-1-t在（-∞，0）上单调递减，所以p（t）≥p（0）=0，即e≥1+t．设q（t）=t-ln（t-a）-a-1．则．当t∈（a，a+1）时，q’（t）＜0，q（t）单调递减：当t∈（a+1，+∞）时，q’（t）＞0，q（t）单调递增．所以q（t）≥q（a+1）=0，即t-1n（t-a）≥a+1．所以h（t）=e t-ln（t-a）-1≥1+t-ln（t-a）-1=t-ln（t-a）≥a+1．因为t=a+1时，t-ln（t-a）≥a+1中等号成立，t=0时，e t≥l+t中等号成立，而t=a+1＞0，所以等号不能同时成立．所以h（t）=e t-ln（t-a）-1＞a+1．所以IPQl＞a+1．【解析】（1）原问题等价于求解方程e x-1+a=ln x根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点时，a＞-1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2023年高中毕业班广州高考一模数学答案
秘密★启⽤前试卷类型：A2023年⼴州市普通⾼中毕业班综合测试（⼀）数学本试卷共5⻚､22⼩题､满分150分､考试⽤时120分钟.注意事项：1.答卷前､考⽣务必川⿊⾊字迹的钢笔或签字⾊将⾃⼰的姓名､考⽣号､试室号､座位号填写在答题卡上.⽤2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考⽣号.2.作答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬选项的答案信息点涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使⽤铅笔和涂改液.不按以上要求作答⽆效.4.考⽣必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡⼀并交回.⼀､选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出复数的共轭复数及模，即可计算作答.【详解】复数，则，，所以.故选：A升学知识通2.已知集合，则集合的⼦集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】解⼀元⼆次不等式，并结合已知⽤列举法表示集合A 作答.【详解】解不等式，得，因此，所以集合的⼦集个数为.故选：C 3.函数在上的图像⼤致为（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，⽽，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；⽽当时，，排除选项A ，选项B 符合要求.故选：B4.已知为第⼀象限⻆.，则（）升学知识通A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，两边平⽅求出，判断的正负并求出，再利⽤同⻆公式计算作答.【详解】因为为第⼀象限⻆，，则，，，即，解得，，所以.故选：D5.“回⽂”是古今中外都有的⼀种修辞⼿法，如“我为⼈⼈，⼈⼈为我”等，数学上具有这样特征的⼀类数称为“回⽂数”､“回⽂数”是指从左到右与从右到左读都⼀样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回⽂数”共有（）A.100个 B.125个C.225个D.250个【答案】C 【解析】【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回⽂数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.【详解】依题意，五位正整数中“回⽂数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与⼗位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回⽂数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排⼊数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回⽂数”的个数是个，最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，不同“回⽂数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回⽂数”共有个.故选：C升学知识通6.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取⼤值为（）A.B.C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的⽅程，借助垂直关系求出抛物线⽅程及点M的坐标，再⽤斜率坐标公式建⽴函数，利⽤均值不等式求解作答.【详解】依题意，抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设的⽅程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ 的⽅程为：，点，由消去x 得：，则有，由得：，解得，于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最⼤，必有，则直线的斜率，当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的取⼤值为.故选：A7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球⾯上，，，则球的表⾯积为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】升学知识通【分析】根据给定条件，证明平⾯，再确定球⼼O 的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，⽽平⾯，因此平⾯，在等腰中，，则，，令的外接圆圆⼼为，则平⾯，，有，取中点D ，连接OD ，则有，⼜平⾯，即，从⽽，四边形为平⾏四边形，，⼜，因此球O 的半径，所以球的表⾯积.故选：A 8.已知均为正实数，为⾃然对数的底数，若，则下列不等式⼀定成⽴的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利⽤特殊值法当时，，排除选项A ，B ，C ；再证明选项D 成⽴.【详解】已知均为正实数，,当时，，满⾜成⽴，升学知识通对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误；对于C ，，故C 错误，对于D ，由已知，则，.由则，所以，即，得，，即.下⾯证明，.设，，所以在区间上单调递增，所以>，即.所以，故D 正确，故选：D.⼆､多选题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校随机抽取了100名学⽣测量体重，经统计，这些学⽣的体重数据（单位：kg ）全部介于45⾄70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直⽅图，则（）A.频率分布直⽅图中a 的值为0.07B.这100名学⽣中体重低于60kg 的⼈数为60C.据此可以估计该校学⽣体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学⽣体重的平均数约为62.5【答案】AC 【解析】【分析】运⽤频率分布直⽅图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.升学知识通【详解】对于A 项，因为，解得：，故A 项正确；对于B 项，⼈，故B 项错误；对于C 项，因为，，，所以第78百分位数位于之间，设第78百分位数为x ，则，解得：，故C 项正确；对于D 项，因为，即：估计该校学⽣体重的平均数约为，故D 项错误.故选：AC.10.已知函数的图像关于直线对称，则（）A.函数的图像关于点对称B.函数在有且仅有2个极值点C.若，则的最⼩值为D.若，则【答案】ABD 【解析】【分析】利⽤函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，，即，⽽，则，，对于A ，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；对于B ，当时，，⽽正弦函数在上有且只有两升学知识通所以函数在有且仅有2个极值点，B 正确；对于C ，因为，⼜，因此中⼀个为函数的最⼤值点，另⼀个为其最⼩值点，⼜函数的周期为，所以的最⼩值为，C 错误；对于D ，依题意，，则，因此，D 正确.故选：ABD 11.已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（）A.若关于的⽅程在上⽆解，则B.存在关于直线对称C.若存在关于轴对称，则D.若存在满⾜，则【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出⽅程在上有解的a 范围判断A ；设出点的坐标，由⽅程有解判断B ；设出点的坐标，建⽴函数关系，求出函数的值域判断CD 作答.【详解】函数，对于A ，⽅程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，解得，因此关于的⽅程在上⽆解，则或，A 错误；对于B ，设点，依题意，点Q 关于直线对称点在函数升学知识通即关于t 的⽅程有解，即有解，此时，令函数，，即函数在上单调递增，，⽽函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，因此函数的值域为，⼜，于是在有解，所以存在关于直线对称，B 正确；对于C ，设点，则点P 关于y 轴对称点在函数的图象上，即，令，，即函数在上单调递减，，⼜，恒有，因此，C 正确；对于D ，令，由得，显然，且，，令，，当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，即有，，⽽，当且仅当时取等号，所以，即，D 正确.故选：BCD12.平⾯内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡⻄尼卵形线，它是1675年卡⻄尼在研究⼟星及其卫星的运⾏规律时发现的，已知在平⾯直⻆坐标系中，，，动点P 满⾜，则下列结论正确的是（）升学知识通A.点的横坐标的取值范围是B.的取值范围是C.⾯积的最⼤值为D.的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】设出点P 的坐标，列出⽅程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利⽤⼏何意义并结合求函数值域判断B ；利⽤三⻆形⾯积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点，依题意，，对于A ，，当且仅当时取等号，解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A 错误；对于B ，，则，显然，因此，B 正确；对于C ，的⾯积，当且仅当时取等号，当时，点P 在以线段MN 为直径的圆上，由解得，所以⾯积的最⼤值为，C 正确；对于D ，因为点在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，，D 错误.故选：BC【点睛】易错点睛：求解轨迹⽅程问题，设出动点坐标，根据条件求列出⽅程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上⽽坐标不是⽅程解的点，剔出不在轨迹上⽽坐标是⽅程解的点.升学知识通三､填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.已知向量与共线，则__________.【答案】.【解析】【分析】运⽤平⾯向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.【详解】由题意知，⼜因为，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.14.已知，将数列与数列的公共项从⼩到⼤排列得到新数列，则__________.【答案】【解析】【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利⽤裂项相消法可求得的值.【详解】因为数列是正奇数列，对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；当为偶数时，设，则为奇数，所以，，则，因此，.故答案为：.升学知识通15.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x 的不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，再利⽤函数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，，因此，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：16.在棱⻓为1的正⽅体中，点分别是棱的中点，是侧⾯上的动点.且平⾯，则点的轨迹⻓为__________.点到直线的距离的最⼩值为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据给定条件，作出平⾯截正⽅体所得截⾯，再确定点的轨迹，计算⻓度即可；再建⽴空间直⻆坐标系，利⽤空间向量求出点到直线的距离作答.【详解】在正⽅体中，连接，如图，对⻆⾯矩形，升学知识通因为点分别是棱的中点，则，⽽，即平⾯截正⽅体所得截⾯为梯形，显然过点与平⾯平⾏的平⾯交平⾯、平⾯分别于，因此，连，平⾯、平⾯与平⾯分别交于，，因此，⽽，即四边形为平⾏四边形，于是，即点M 为的中点，同理为中点，，因为动点始终满⾜平⾯，于是平⾯，⼜在侧⾯上，所以点的轨迹是线段，轨迹⻓为；以点D 为原点建⽴空间直⻆坐标系，则，则，令，则有，，于是点到直线的距离，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最⼩值为.故答案为：；【点睛】⽅法点睛：作截⾯的常⽤三种⽅法：直接法，截⾯的定点在⼏何体的棱上；平⾏线法，截⾯与⼏何体的两个平⾏平⾯相交，或者截⾯上有⼀条直线与⼏何体的某个⾯平⾏；延⻓交线得交点，截⾯上的点中⾄少有两个点在⼏何体的同⼀平⾯上.四､解答题：本题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明.证明过程或演算步骤.升学知识通17.已知数列的前项和为，且（1）求，并证明数列是等差数列：（2）若，求正整数的所有取值.【答案】（1），证明⻅解析（2）【解析】【分析】（1）根据证明为定值即可；（2）先根据（1）求出，再利⽤错位相减法求出，从⽽可得，再根据函数的单调性即可得解.【⼩问1详解】由，得，当时，，所以，当时，，两式相减得，即，所以，所以数列是以为⾸项，为公差的等差数列；【⼩问2详解】由（1）得，所以，，，两式相减得，所以，则，由，升学知识通得，即，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，由，，则当时，，所以若，正整数的所有取值为.18.记的内⻆、、的对边分别为、、.已知.（1）证明：；（2）若，，求的⾯积.【答案】（1）证明⻅解析（2）【解析】【分析】（1）利⽤三⻆恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成⽴；（2）利⽤平⾯向量数量积的定义可得出，结合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的⾯积.【⼩问1详解】因为，则，即，由正弦定理可得，升学知识通因此，.【⼩问2详解】因为，由正弦定理可得，由平⾯向量数量积的定义可得，所以，，可得，即，所以，，则，，所以，，则为锐⻆，且，因此，.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直⻆三⻆形，（1）求证：；（2）求平⾯PAB 与平⾯ABCD 交⻆的正弦值.【答案】（1）证明⻅解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，可证明，，进⽽可证平⾯，则结论成⽴；（2）过做平⾯，过做于，则为平⾯PAB 与平⾯所成⻆，根据题中所给条件计算，的⻓，求出正切值，进⽽求出正弦值.【⼩问1详解】取中点，连接，因为，且，所以四边形为平⾏四边形，即，升学知识通因为，所以；因为△PAD 是以AD 为斜边的等腰直⻆三⻆形，所以；，所以平⾯，平⾯，所以.【⼩问2详解】过做平⾯，过做于，则为平⾯PAB 与平⾯所成⻆，由（1）可知：平⾯，平⾯，所以平⾯平⾯，平⾯平⾯，则直线，由题意可知，，⼜，所以，在直⻆三⻆形中，，所以，，过做于，则，在中，，，则，，所以，所以，，则.20.为了拓展学⽣的知识⾯，提⾼学⽣对航空航天科技的兴趣，培养学⽣良好的科学素养，某校组织学⽣参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学⽣答题若⼲次，答题赋分⽅法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上⼀次答题得分的两倍，答错得10分.学⽣甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；（2）记甲第i 次答题所得分数的数学期望为.①写出与满⾜的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i 的最⼩值.【答案】（1）；升学知识通（2）①，，且；②5.【解析】【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对⼀次的事件，再利⽤相互独⽴事件概率的乘法公式计算作答.（2）①求出，再分析、写出与满⾜的等量关系式作答；②利⽤构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.【⼩问1详解】甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对⼀次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.【⼩问2详解】①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，则，显然，，甲第次答题所得分数的数学期望为，因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，于是甲第i 次答题所得分数的数学期望为，所以与满⾜的等量关系式是：，，且；②由①知，，当时，，⽽，因此数列以为⾸项，为公⽐的等⽐数列，，升学知识通于是，由得：，显然数列是递增数列，⽽，则有正整数，所以i 的最⼩值是5.21.已知椭圆的离⼼率为，以C 的短轴为直径的圆与直线相切.（1）求C 的⽅程；（2）直线：与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平⾏线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为（O 为坐标原点），△APQ 的⾯积为.的⾯积为，若，判断是否为定值？并说明理由.【答案】（1）；（2）定值，.【解析】【分析】（1）利⽤椭圆离⼼率及圆的切线性质，建⽴关于的⽅程组，解⽅程组作答.（2）由给定的⾯积关系可得直线PQ 平分，进⽽可得直线的斜率互为相反数，再联⽴直线与椭圆⽅程，利⽤⻙达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.【⼩问1详解】由椭圆的离⼼率为得：，即有，由以C 的短轴为直径的圆与直线相切得：，联⽴解得，所以C 的⽅程是.【⼩问2详解】为定值，且，因为，则，升学知识通因此，⽽，有，于是平分，直线的斜率互为相反数，即，设，由得，，即有，⽽，则，即于是，化简得：，且⼜因为在椭圆上，即，即，，从⽽，，⼜因为不在直线上，则有，即，所以为定值，且.【点睛】⽅法点睛：求定值问题常⻅的⽅法有两种：（1）从特殊⼊⼿，求出定值，再证明这个值与变量⽆关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从⽽得到定值．22.已知，函数.（1）若，证明：当时，：（2）若函数存在极⼩值点，证明：【答案】（1）证明⻅解析；（2）证明⻅解析.【解析】【分析】（1）把代⼊，构造函数，借助导数确定升学知识通单调性推理作答.（2）由给定条件确定a 取值范围，再分段讨论函数的极⼩值点及极⼩值推理判断作答.【⼩问1详解】若，则，设，，设，，则在上单调递增，，即，于是在上单调递增，，即，所以当时，.【⼩问2详解】函数，其定义域为，，由（1）知在上单调递增，，当时，，当时，，则由，解得或，其中且，即且，否则恒有，则在上单调递增，函数⽆极值点，不符合题意，若，即，当时，，当时，，则上单调递增，在上单调递减，因此是的极⼩值点，，若，即，当时，，当时，，则在上单调递增，在单调递减，因此是的极⼩值点，，⼜，于是，升学知识通综上所述，函数存在极⼩值点.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.升学知识通。
2020年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
5．如果函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，则ω的值为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．
【解答】解：函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，
∴T=2× = ，
A． B．﹣ C． D．
9．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（ ）
A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+20
10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
15．已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且 ，则双曲线C的离心率为．
16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC， ，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）
A．8+8 +4 B．8+8 +2 C．2+2 + D． + +
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．
广东省高三模拟考试(文科)数学试卷-附参考答案与解析
广东省高三模拟考试(文科)数学试卷-附参考答案与解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知12i +是关于x 的方程()20,R x px q p q ++=∈的一个根，i 为虚数单位，则i p q +=（ ）A ．23i --B ．52i +C ．25i -+D ．25i +2．已知集合{}Z 33U x x =∈-<<和{}2,1A =-与2,2B ，则()U B A ⋃=（ ） A ．{}2,1,2- B ．2,0,2C ．{}2,1,0,2--D ．{}2,1,2--3．若326n n A C =，则n =（ ）A ．5B ．3或4C ．4或5D ．44．如图，在ABC 中点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（ ）A ．1233AB AC +B ．2133AB AC +C ．1433AB AC -+D ．1433AB AC -5．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E 、F 、G 、H 分别为所在棱的中点6cm AB BC ==和14cm AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）A ．118.8gB ．108gC ．97.2gD ．86.4g6．已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ） A．(-∞ B ．(],2-∞ C．(,1-∞D ．(],3-∞7．已知a=0.60.6，0.2log 3b =和c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<cD ．b<c<a8．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，则2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94- B ．32-C ．74D ．52二、多选题9．有一组成对样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，由这组成对样本数据得到的经验回归方程为y bx a =+，则（ ）A ．在点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅中至少有1个点在经验回归直线y bx a =+上B ．若点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅都在经验回归直线y bx a =+上，则样本的相关系数r 满足1r =C ．若1nii xx n==∑，1nii yy n==∑ 则y bx a =+D ．若成对样本数据()22,x y 的残差为t ，则在这组成对数据中必有成对样本数据的残差为t -10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则下列说法正确的是（ ）A ．直线1A G 与平面AEF 平行B ．直线1DD 与直线AF 垂直C ．异面直线1A G 与EFD ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9211．已知0ω>，函数()πcos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（ ）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，则函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos2g x x =的图象C ．若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦12．已知函数2()ln af x b x x cx x=+++（a ，b ，c ∈R ），则（ ）三、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知49S =，47152a a += 则{}n a 的通项公式为______. 14．若π1sin 73α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3πsin 214α⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．15．已知函数()e ln xf x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是__________．四、双空题16．已知函数()21f x x =+，记()()()()()2221143f x f f x x x ==++=+为函数()f x 的2次迭代函数，()()()()()()3421387f x f f f x x x ==++=+为函数()f x 的3次迭代函数，…，依次类推，()()()()()()n n f x f f f f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个为函数()f x 的n 次迭代函数，则()()nf x =______；()()10032f 除以17的余数是______．五、解答题17．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC 区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角4π,ACB CBA ∠∠=为锐角，假设墙,CA CB 的可利用长度（单位：米）足够长．(1)在ABC 中若BC 边上的高等于14BC ，求sin CAB ∠；(2)当AB 的长度为6米时，则求该活动区域面积的最大值．18．已知数列{}n a 为等差数列13a =，2418a a +=数列{}n b 满足3n n n b a n=(1)求证：数列{}n b 为等比数列； (2)求数列{}n n a b +的前n 项的和n T ．19．如图，在四棱锥P -ABCD 中△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形 ,,224,BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥(1)求证：AD PB ⊥(2)求平面PAB 与平面ABCD 交角的正弦值.20．2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：其中(]50,70称为合格，(]70,90称为中等，(]90,110称为良好，(]110,130称为优秀，(]130,150称为优异． (1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）； (2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k 个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k 的值．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2c ，左右焦点分别为1F 和2F ，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为14-．(1)求椭圆E 的方程；(2)若1m =，试问E 上是否存在P 、Q 两点关于l 对称，若存在，求出直线PQ 的方程，若不存在，请说明理由．22．已知函数2()(1)2x x b af x x e +=+-． （1）当0a =且1b =时，则证明()1f x ≤；（2）当0a ≥且0b =时，则证明()f x 只有一个零点．参考答案与解析1．C【分析】将12i +代入原方程并化简，进而解出p ,q ，最后求得答案.【详解】根据题意()()()212i 12i 024i 30p q p p q ++++=⇒+++-=，所以2402305p p p q q ⎧+==-⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以+i 25i p q =-+.故选：C. 2．C【分析】先化简U ，再求出UA ，进而求出()U AB 即可.【详解】解：因为{}{}Z 332,1,0,1,2U x x =∈-<<=-- {}2,1A =- 所以{}1,0,2UA =-，所以(){}2102U AB ,,,=--.故选：C 3．A【分析】利用排列与组合数公式，进行化简计算即可．【详解】∵326n n A C =∴()()()11262n n n n n ---=⨯ 化简得23n -= 解得5n =． 故选：A ．【点睛】本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题． 4．B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.【详解】在ABC 中点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC =所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+.故选：B 5．A【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差，再由体积求出模型的质量. 【详解】由题意得 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=四棱锥O −EFGH 的高3cm ∴31123123O EFGH V cm -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=所以该模型体积为32114412132V V V cm =-=-=其质量为0.9132118.8g ⨯=． 故选：A 6．D【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠ 则有222||MN a b ab =++ 显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++ 当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN d λ≤恒成立，则3λ≤所以λ的取值范围是(,3]-∞. 故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 7．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】0.600.61a <=<，0.2log 30b =<和0.61.51c =>，所以b a c <<. 故选：C.8．D【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+ 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．[方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+ 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 9．BC【分析】根据回归方程的性质及相关系数的概念判断即可；【详解】解：由线性回归方程的性质可知回归直线ˆˆˆybx a =+必经过样本中心点(),x y ，即y bx a =+，但是可能不过样本中的任何一点，故A 错误，C 正确；若点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅都在经验回归直线y bx a =+上，则说明为函数关系，所以样本相关系数1r =，故B 正确；若成对样本数据()22,x y 的残差为t ，未必有成对样本数据的残差为t -，故D 错误. 故选：BC 10．ACD【分析】连接AD 1，FD 1，GF ，BC 1，证得EF//AD 1，利用平面AEFD 1逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中连接AD 1，FD 1，GF ，BC 1，如图：因点E ，F 是BC ，CC 1中点，则EF//BC 1，而正方体1111ABCD A B C D -的对角面ABC 1D 1是矩形，则AD 1//BC 1//EF 连GF ，因G 是棱BB 1中点，则GF//B 1C 1//A 1D 1，且1111GF B C A D ==，即四边形A 1GFD 1是平行四边形，A 1G//D 1F 1D F ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，于是A 1G//平面AEF ，A 正确； 因1DD ⊥平面ABCD ，而AE ⊂平面ABCD ，即有1DD ⊥AE ，若1DD ⊥AF ，必有1DD ⊥平面AEFD 1，1DD ⊥AD 1，与145AD D ∠=矛盾，B 不正确；因EF//AD 1，A 1G//D 1F ，则异面直线1A G 与EF 所成角是1AD F ∠或其补角作1FM AD ⊥于M ，显然1AE D F ==AEFD 1是等腰梯形 12AD EF ==112AD EF D M -==111cos D M AD F D F ∠== C 正确；FM =AEF 截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD 1 等腰梯形AEFD 1的面积为1922AD EF S FM +=⋅=，D 正确. 故选：ACD. 11．ACD【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A 正确；利用三角函数的图象变换，可判定B 错误；根据()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组，求得ω的范围，得到当0k =时，则不等式有解，可判定C 正确；由()f x 在区间()0,π上只有一个零点，列出不等式组，求得ω的范围，可判定D 正确． 【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得2π2T ω==，得πω=，所以A 正确；当2ω=时，则可得()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()ππππcos 2cos 23333f x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 错误；若()f x 在区间2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2ππ2π33,Z ππ2π2π3k k k ωπω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩ 解得5132,Z 3k k k ω+≤≤+∈又因为0ω>，所以只有当0k =时，则此不等式有解，即513ω≤≤，所以C 正确； 若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ππ32π3π32πωπω⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1766ω<≤，所以D 正确．故选：ACD ． 12．ACD【分析】对于A ，(1)3()()(1)3f f x f x f =''−−−→→=−−−−−→求导导数的几何意义切线方程对于B ，()()()f x f x f x '−−−→→求导在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性1(1)3f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭−−−−→得解 对于C ，()(1,2)2()()f x f x f x a x x '−−−→−−−−−−−−→≤+求导在区间上单调递增在区间(1,2)上恒成立a −−−−−−−→二次函数的图象与性质的取值范围对于D ，()(0,)22ln ()()ln g x xf xg x x cx c x +∞→=-+−−−−−−−−−−−→=在区间内存在两个不同的零点在区间(0,)+∞内存在两个不同的根2ln ()xh x x=−−−−→令函数()h x 和y c =的图象有两个不同的交点，()h x 的单调性→作出()h x 和y c =的大致图象−−−−→数形结合得解以B 不正确.由图可得10,2e c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：ACD. 13．22n n a +=【分析】运用等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式的基本量代入计算即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+- 1(1)2n n n S na d -=+ 4114711134692151362922S a d a a a a d a d a d d ⎧=+==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨+=+++=+=⎪⎪=⎩⎪⎩所以312(1)222n n a n +=+-⨯=. 故答案为：22n n a +=.14．79【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案. 【详解】∵π1sin 73α⎛⎫+= ⎪⎝⎭23ππ2π2ππ17sin 2sin 2cos 212sin 12.14277799αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：7915．(],e -∞【分析】求出函数的导函数，依题意()=0f x '存在唯一的变号正实根，即()()1e 0xx ax -=-存在唯一的变号正实根，当0a ≤符合题意，当0a >时参变分离可得e 0xa x-=没有除1之外的正实根，构造函数()e x g x x =，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a 的取值范围； 【详解】解：因为()e ln xf x a x ax x=+-，()0,x ∈+∞所以()()()()221e 1e x x x x a f x a x xa x x --'=-+-=依题意可得()=0f x '存在唯一的变号正实根即()()1e 0xx ax -=-存在唯一的变号正实根当0a ≤时e 0x ax ->，方程只有唯一变号正实根1，符合题意 当0a >，方程e 0xax -=，即e 0xa x-=没有除1之外的正实根令()e x g x x =，则()()21e x xx g x -'=，所以当01x <<时()0g x '<，当1x >时()0g x '> 即()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 所以()()min 1e g x g ==，所以0e a <≤ 综上可得(],e a ∈-∞； 故答案为：(],e -∞【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．16． ()211nx +- 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出()()n fx 的表达式；第二空，将()()10032f 化为()25331711⨯--，利用二项式定理展开，化简即可求得答案. 【详解】由题意()()()12122222221112n n nn n n nfx x x x --⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+=+=+- ⎪-⎝⎭所以()()()251001002532332133161331711f =⨯-=⨯-=⨯--()25252424232322221252525252533C 17C 17C 17C 17C 1711=-+-++-- ()25252424232322221252525252533C 17C 17C 17C 17C 1734=-+-++-()2524242323222221125252525251733C 17C 17C 17C 17C 2⎡⎤=-+-++-⎣⎦又()25242423232222211252525252533C 17C 17C 17C 17C 2-+-++-为正整数所以()()10032f除以17的余数为0故答案为： ()211;0nx +-【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将()()10032f利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.17．(2)9+【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ．设AD x =，则CD x = 334BD BC x == 在ABD △中求得sin ,cos CBA CBA ∠∠，由()sin sin CAB CBA ACB ∠∠∠=+计算即可得解；（2）设π02CBA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则6cos BD θ= 6sin CD AD θ==从而得出()16sin 6cos 6sin 2ABC S θθθ=⨯⨯+，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．【详解】（1）过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ．设AD x =米 0x > 则CD x =米 334344BD BC x x ==⨯=米．在ABD △中sin CBA CBA ∠∠===．故())sin sin sin cos CAB CBA ACB CBA CBA ∠∠∠∠∠=+=+==⎝⎭（2）设π02CBA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则6cos BD θ=米 6sin CD AD θ==米()()216sin 6cos 6sin 92sin cos 2sin 2ABC S θθθθθθ=⨯⨯+=+()9sin21cos29π24θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2,44ππ4θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以当3π2,42π8πθθ-==时，则该活动区域的面积取得最大值，最大值为9+ 18．(1)证明见解析； (2)()22133932n n T n n +=+-+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式化简条件求d ，由此可求数列{}n a 的通项公式，再由等比数列定义证明数列{}n b 为等比数列； （2）利用组合求和法求数列{}n n a b +的前n 项的和n T . 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d 因为13a = 2418a a += 所以11318a d a d +++=所以3d =，所以()3313n a n n =+-= 所以1333nn n b n n+==所以211333n n n n b b +++== 所以数列{}n b 为等比数列；（2）由(1) 133n n n a b n ++=+所以112233n n n T a b a b a b a b =++++++⋅⋅⋅++234133639333n n T n +=++++++⋅⋅⋅++ 234136933333n n T n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()91333213n n n nT -+=+-()22133932n n T n n +=+-+ 19．(1)证明见解析；【分析】（1）取AD 中点E ，连接,BE PE ，可证明BE AD ⊥，PE AD ⊥，进而可证AD ⊥平面PEB ，则结论成立；（2）过P 做PO ⊥平面ABCD ，过O 做OH AB ⊥于H ，则PHO ∠为平面PAB 与平面ABCD 所成角，根据题中所给条件计算PO ，OH 的长，求出正切值，进而求出正弦值. 【详解】（1）取AD 中点E ，连接,BE PE 因为//BC AD ，且12BC AD ED ==，所以四边形EBCD 为平行四边形，即//C BE D 因为CD AD ⊥，所以BE AD ⊥；因为△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，所以PE AD ⊥；PE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面PEB ，PB ⊂平面PEB ，所以AD ⊥PB .（2）过P 做PO ⊥平面ABCD ，过O 做OH AB ⊥于H ，则PHO ∠为平面PAB 与平面ABCD 所成角 由（1）可知：AD ⊥平面PEB ，AD ⊂平面ABCD ，所以平面PEB ⊥平面ABCD ，平面PEB 平面ABCD BE = 则O ∈直线BE ，由题意可知2PE =，2BE =又PB =120PEB ∠=，在直角三角形PEO 中60PEO ∠=，所以PO =1OE =过E 做EF AB ⊥于F ，则//OH EF在AEB △中BE AE ⊥ 2BE AE ==则AB =12EF AB ==所以23EF BE OH BO ==，所以OHtan PHO ∠=则sin PHO ∠=.20．(1)95.4分；(2)来自线下考试的可能性大，理由见解析； (3)2k =.【分析】（1）由直方图求线上、线下同学的平均分，进而求所有同学的平均分； （2）根据直方图求出线上、线下成绩良好的人数，进而比较所占比例，即可得结论；（3）由题意得抽到k 个学生的成绩为中等的概率10309010120C C ()C k kP X k -==，110k ≤<且*N k ∈，结合()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =>=-⎧⎨=>=+⎩即可求参数值. 【详解】（1）线上同学平均分(600.005800.01751000.021200.0051400.0025)2093⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分； 线下同学平均分(600.0075800.01251000.0151200.011400.005)2097⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分； 又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60% 所以所有200名同学的平均分9320040%9720060%95.4200⨯⨯+⨯⨯=分.（2）线上同学成绩良好人数为0.022020040%32⨯⨯⨯=人 线下同学成绩良好人数为0.0152020060%36⨯⨯⨯=人 所以抽取数学成绩为良好，且3236200200<，故线下的可能性大. （3）由线下成绩中等同学人数为0.01252020060%30⨯⨯⨯=人，其它同学90人所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k 个学生的成绩为中等的概率10309010120C C ()C k k P X k -==，110k <<且*N k ∈要使()P X k =最大，则()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =>=-⎧⎨=>=+⎩，即101113090309010101201201019309030901010120120C C C C C C C C C C C C k k k kk k k k----+-⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ 所以22228042341403008281k k k k k k k k ⎧+<-+⎨-+<++⎩，则219341122122k <<，故2k =. 21．(1)2214x y +=；(2)存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．【分析】（1）由椭圆定义知2a 为两圆半径之和，由点差法可得22OM AB b k k a⋅=-，求出2b ，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y x t =-+，根据PQ 中点在直线l 上求得t 值，注意检验直线PQ 与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，所以213a =+2a =设()11,A x y 和()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y22112222222211x y a b x y a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①－② ()()01201222220x x x y y y a b --⇒+= 201220120y y y b a x x x -⇒+⋅=-22OM AB b k k a ⇒⋅=- 222114b b a⇒-=-⇒=则椭圆E 的方程：2214x y +=（2）假设存在P 、Q 两点关于l 对称，设直线PQ 的方程为y x t =-+()33,P x y 和()44,Q x y ，PQ 中点(),N N N x y 22225844044y x tx xt t x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩ ()226420440t t ∆=-->t ⇒<<34425N x x t x +==，5N t y =即4,55t t N ⎛⎫⎪⎝⎭由N 在l 上451553t t t =+⇒=-，此时(t ∈故存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）当0a =且1b =时，则1()x x f x e+=，利用导数判断函数的单调性，可得()(0)1f x f ≤=即可证得结果；（2）当0a ≥且0b =时，则21()(1),()(1)2x x x a f x x f x x a e e ⎛⎫=+-='--⎪⎝⎭观察可知()f x 在(0,)+∞上没有零点，讨论0a =，10a e <<和1a e =，1a e>四种情况下函数的单调性，计算可得()0,(1)0f a f -<>，可证得结果.【详解】证明：（1）当0a =且1b =时，则1(),()x xx xf x f x e e ='+-= 由()0f x '>，得0x <；由()0f x '<，得0x >；()f x 在(,0)-∞上递增、在(0,)+∞上递减故()(0)1f x f ≤=；（2）因为0a ≥且0b =，故21()(1),()(1)2x x x a f x x f x x a e e ⎛⎫=+-='-- ⎪⎝⎭显然()f x 在(0,)+∞上没有零点； 若0a =，则()xxf x e =只有一个零点0x =； 若10a e <<，由()0f x '>，得1x <或1ln x a>；由()0f x '<，得11x a <<； 故()f x 在(,1)-∞上递增； 而()2()2122a a f a a a e -=++- 记2()212,0x g x x x e x =++->，则()222x g x x x e +-'= 由（1）知11x x e+≤，即1x x e +≤，故()2220x g x x x e =+-≤'恒成立 ()g x 在(0,)+∞上单调递减()(0)1g x g <=-，即()2()21202a a f a a a e -=++-< 结合1(1)f e=，知()f x 只有一个零点； 若1a e =，则11()(1)0x f x x e e ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭'，()f x 单调递增结合()0,(1)0f a f -<>，知()f x 只有一个零点；若1a e >，由()0f x '>，得1ln x a <或1x >；由()0f x '<，得1ln 1x a <<；故()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增、在1ln ,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减故1()0,ln (1)0f a f f a ⎛⎫-<>> ⎪⎝⎭，知()f x 只有一个零点．综上所述，当0a ≥且0b =时，则()f x 只有一个零点．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合应用，不等式的证明，函数的零点问题利用导数证明不等式的策略为：利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得函数的取值范围；关于函数的零点问题，一般用零点存在定理结合函数的单调性进行解决.。
2020年3月广州市高考一模数学(文)试卷附答案解析
6．已知偶函数 f x 满足 f x x 2 x 0 ，则 x f x 2 1 （ ） x
A．x x 4 或 x 0
B．x x 0 或 x 4
C．x x 2 或 x 2
D．x x 2 或 x 4
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为 f |x 2| f (2) 1 ，则有 |x 2 | 2 ，求解即
（2）若 C1 与 C2 相交于 A ， B 两点，且 AB 2 ，求 sin 的值.
23．已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1. （1）求 1 2 的最小值；
ab
（2）证明：
ab 2b a2 b2
1
5. 2
4
解析 2020 年 3 月广州市高考一模数学（文）试卷
一、单选题
x （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
22．已知曲线
C1
的参数方程为
x
y
t cos, 1 t sin ,
(t
为参数
)
，
曲线 C2
的参数方程为
x y
sin , 1 cos
2
( ,
为
参数).
（1）求 C1 与 C2 的普通方程；
3
（1）求证： AC PB ； （2）求点 C 到平面 PAB 的距离.
20．已知点
P
是抛物线
C
:
y
1 4
x2
3 的顶点，
A
，
B
是
C
上的两个动点，且
PA
PB
4
.
（1）判断点 D 0, 1 是否在直线 AB 上？说明理由；
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2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试(一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数21i+的虚部是( ）A ．2- Ｂ.1- Ｃ.1 D.2 2．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0 Ｃ.1 Ｄ.2 3．已知tan 2θ=,且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ) A.45 Ｂ．35 Ｃ．35- D ．45-４.阅读如图的程序框图. 若输入5n =,则输出k 的值为( )A ．2B ．3 Ｃ．4 Ｄ.5 ﻩ5.已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f ( )A.43 Ｂ．23C ．43- D ．3-6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上， 且12=PF , 则2PF 等于（ )A ．4 Ｂ.6 C ．8 D.107.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( ）A.14 B ．716 Ｃ．12 D.916８.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形） 和侧视图，且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是( ）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为( )A ．()0,0B ．()1,1- Ｃ．()1,1- D ．()1,1-或()1,1-1０.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==,4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面 积为（ ）A ．8π Ｂ.12π C.20π Ｄ.24π1１.已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数,直线2y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ )A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 Ｂ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 １２．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为( ) A.2016 B ．1008 C.504 Ｄ．0第Ⅱ卷二、填空题:本小题共４题，每小题5分13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -,则a b ⋅=１4.若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点,且该圆与直线3+=x y 相切,则该圆的标准方_____ 15.满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-ax y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_＿_＿＿ 1６.在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+,当ABC ∆的周长最短时，BC 的长是三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1７. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-(*N n ∈) (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T １８.(本小题满分１2分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内,则为合格品，否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图１是乙流水线样本的频率分布直方图(Ⅰ）根据图１,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;(Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品,则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(Ⅲ)根据已知条件完成下面22⨯列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中=+++n a b c d 为样本容量)()2P K k ≥ ０．１50.10 ０.05 0.025 0.01０ 0.0０5 0．001 k2.０７2 2．70６3.8４１ 5．02４ 6.63５７.87910.8２819．（本小题满分１２分）如图１，在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC ,点E 是BC 边的中点,将ABD ∆沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 (Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； ABD (Ⅱ）若1=AD ,AC 与其在平面6,求内的正投影所成角的正切值为点B 到平面ADE 的距离２0．(本小题满分１2分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点)1,2(A(Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是，求出该值;若不是,说明理由2１．（本小题满分１2分)已知函数)0(ln )(>+=a xax x f (Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)证明:当e a 2≥时，xex f ->)(请考生在第２2～２3题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分 2２．（本小题满分1０分）选修４－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:22cos .4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .(Ⅰ)若()13<f ，求实数a 的取值范围;（Ⅱ)若1,≥∈a x R ,求证:()2≥f x .甲生产线乙生产线合计 合格品 不合格品 合计E DC B A２017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一)答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分． 一、选择题（１)B （2)A （3）C （4)B （5）A (６)Ｃ（7)B (8)D (９)D （１0)C (11）D （12)B 二、填空题（13)52- （１4）()2212x y +-=（15）3 （16)12+ 三、解答题 (17） 解:（Ⅰ）当1n =时,1122S a =-，即1122a a =-, ………………………………………1分 解得12a =． ………………………………………………………2分当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ………………3分 即12n n a a -=， ………………………………………………………4分 所以数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列．……………………………………５分 所以1222n n n a -=⨯=(n ∈N *). ………………………………………………６分（Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-, ………………………………………………8分所以12n n T S S S =++⋅⋅⋅+ ………………………………………………9分2312222n n +=++⋅⋅⋅+- ………………………………………………１0分 ()412212n n ⨯-=-- (1)2242n n +=--． ………………………………………………12分(18） 解:(Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，………………………………………１分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分（Ⅱ）由甲,乙两条流水线各抽取的５0件产品可得，甲流水线生产的不合格品有１5件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………５分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙, ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯. …………………………8分 （Ⅲ)列联表：1０分则()221003506004 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分因为1.3 2.072,<所以没有８5%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ） 因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ,所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ,DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC ． …………………………………4分 （Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ,即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分依题意6tan ==∠ADCDCAD ， 因为1AD ,= 所以6=CD . …………………………6分设()0AB x x =>，则12+=x BD ,因为△ABD ～△BDC ，所以BDDCAD AB =， ………………………………7分 即1612+=x x ,解得x =3,3,2===BC BD AB . ………………………………8分由于AB ⊥平面ADC ,AB ⊥AC , E 为BC 的中点，由平面几何知识得AE 322BC ==,同理DE 322==BC ,所以22=∆ADE S . …………………………９分因为DC ⊥平面ABD ,所以3331=⋅=-ABD BCD A S CD V . ………………………１0分 设点B 到平面ADE 的距离为d ,则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ， …………………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分(2０) 解:(Ⅰ） 因为椭圆C, 且过点()2,1A , 所以22411a b+=,c a = ………………………………………………2分因为222a b c =+,解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=． ……………………………………………４分(Ⅱ)法1:因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--． 设点(),P P P x y ， (),Q Q Q x y ，由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=． ①因为点()2,1A 在椭圆C 上， 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………６分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k+-=+. ……………………………………………8分 所以21614P Q kx x k-=-+. ……………………………………………9分 又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………１0分 所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Q y y k x x -==-． …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值,该值为12． ……………………………………………1２分法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ,则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.所以PA QA k k =-， 即1112y x --22102y x -+=-, ① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=,② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=， 得()111112241y x x y -+=--+， ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+, ⑤ ………………………………………………7分由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………８分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分 ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分②-③得22221212082x x y y --+=，得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………1１分 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值. …………………………………12分法3:设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+,直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.所以PA QA k k =-， 即1112y x --2212y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=. (＊） …………………………………7分由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=， (*＊)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分代入(＊)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-． ...................................................10分 若12b k =-, 可得方程(**）的一个根为2,不合题意． (1)若12k =时， 合题意.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 (2１） 解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x-'=-=． ……………………………………1分 因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时,()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦． …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e时, 又()1ln10=+=>f a a ， 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2:函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞． 由()ln 0af x x x=+=， 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-,则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点， 则10a e <≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………５分（Ⅱ) 要证明当2a e≥时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x ax e x-+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………６分令()ln h x x x a =+， 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =时, ()min1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分 于是,当2a e≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分令()x x xe ϕ-=， 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,()0f x '<．所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分 于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e≥时, ()->x f x e . ……………………………………………………12分 (２2）解：(Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………２分由4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ， ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………５分 (Ⅱ) 法１:设曲线C上的点为()1,1ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d 分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时， max =d ………………………………………９分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为１0分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………６分 当直线l '与圆C相切时,= ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去)，所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分 所以直线l 与直线l'的距离为d == …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. ………………………………10分 (23)解:(Ⅰ） 因为()13<f ,所以123+-<a a . ………………………………………１分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ,所以203-<≤a ; ……………２分 ② 当102<<a 时,得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………３分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<； ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥.……………………………………………………………………10分。