圆锥曲线几何性质总汇
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
圆锥曲线的经典性质总结
圆锥曲线的经典性质总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--椭圆 必背的经典结论1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线常用知识归类
圆锥曲线常用知识归类1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
椭圆的参数方程可以表示 为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$， 周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决 定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛 物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何 性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的 轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆， 其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准 线处的曲率最小。抛物线的离心率等 于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联 系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程 为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
高三数学圆锥曲线知识点总结大全
高三数学圆锥曲线知识点总结大全在高三数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解数学的几何性质和关系。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结和归纳，希望可以帮助大家更好地掌握这一部分的内容。
一、什么是圆锥曲线圆锥曲线是以两条总称为焦点的直线为边界的平面曲线。
根据焦点的相对位置和离心率的不同，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和圆。
二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆可由平面内的一动点 M 和两焦点 F1、F2的距离之和等于常数 2a 的点的轨迹定义。
2. 椭圆的性质：- 椭圆的离心率 e 小于 1，且焦点位于长轴上。
- 椭圆的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。
- 椭圆的离心率越小，形状越趋于圆形。
- 椭圆的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。
三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线可由平面内的一动点M 和两焦点F1、F2 的距离之差等于常数 2a 的点的轨迹定义。
2. 双曲线的性质：- 双曲线的离心率 e 大于 1，且焦点位于长轴上。
- 双曲线的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。
- 双曲线的离心率越大，形状越扁平。
- 双曲线的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。
四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线可由平面内的动点 M 和直线 l 的距离点 F 的距离等于焦距 PF 点的轨迹定义。
2. 抛物线的性质：- 抛物线的焦点位于焦线的中垂线上。
- 抛物线的顶点为最低点或最高点，轴称为准线，焦距 PF 的两倍称为参数。
- 抛物线的标准方程为 y² = 2px。
五、圆1. 圆的定义：圆可由平面内的一动点 M 到定点 O 的距离等于定长 r 的点的轨迹定义。
2. 圆的性质：- 圆的离心率 e 等于 0，焦距为零。
- 圆的半径为定长 r，焦距为零。
- 圆心到任意点的距离都相等，这个距离称为半径 r。
总结：通过以上对圆锥曲线的介绍，我们可以发现每一种曲线都有各自的定义和性质。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线总结
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不可无视。
假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P 〔x ,y 〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答2〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 〔0a b >>〕，焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1〔0a b >>〕。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 〕。
如〔1〕方程12322=-++k y k x 表示椭圆，那么k 的取值范围为____〔答：11(3,)(,2)22---〕； 〔2〕假设R y x ∈,，且62322=+y x ，那么y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2〕〔2〕双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1〔0,0a b >>〕。
圆锥曲线知识点归纳汇总 - 双曲线
双曲线1．双曲线定义定义1（教材定义）：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．定义2（补充定义）：平面内到定点F 的距离与到对应定直线l 的距离之比为定值e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线．这个定点叫做双曲线的焦点，对应的定直线叫做双曲线的准线，定值e 叫做离心率 集合S ＝）（12>=e e PQPF ， 其中直线l 1、l 2叫做对应准线，F 1，F 2叫做对应的焦点。
2．双曲线的标准方程和几何性质(教材定义)标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) 学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)3．双曲线的标准方程和几何性质（含补充）以焦点在x 轴为例：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)1）渐近线：y ＝±ba x2）准线：ca x l c a x l 2221=-=：，右准线：左准线3）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为ab 22MN =）4）焦点到渐近线距离为b PF =25）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与双曲线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为()212212212411x x x x k x x k AB -++=-+=或者()21221221241111y y y y ky y k AB -++=-+=4．双曲线的重要二级结论（补充）1）焦点三角形周长如图一所示：过其中一个焦点F 2构成的弦长PQ 与另外一个焦点F 1围成的三角形的周长为：L △PQF 1=4a+2PQ 当PQ=通径时取最小值 推导：由PF 1-PF 2=2a ,QF 1-QF 2=2a 可知 PF 1+QF 1-PF 2-QF 2=PF 1+QF 1-PQ =4a所以L △PQF 1=PF 1+QF 1+PQ =PF 1+QF 1-PQ +2PQ =4a +2PQ2）焦点三角形面积如图二所示：双曲线上一动点P 与左右焦点F 1、F 2围成的三角形的面积为：），（其中212221PF F θθtanb S F PF ∠==∆推导：设PF 1=m ，PF 2=n 则PF 1-PF 2=m -n =2a ①在三角形PF 1F 2由余弦定理可知：212122212212PF F PF PF PF PF F F ∠-+=cos所以：mncos θn m c 24222-+= ②①2化为mn n m a 24222-+= ③②-③=()2412b cos θmn =- 即22412212b θsin mn =⎪⎭⎫⎝⎛-+从而得出222b θsin mn = ④又因为222222121221θtanθsin mn θcos θsin mn mnsin θS F PF ⋅=⋅==∆，代入④式可得2221θtanb SF PF =∆3）过双曲线上异于左右顶点A 1、A 2两点的任意一点P ，直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为定值。
圆锥曲线知识点汇总
圆锥曲线知识点汇总在数学的世界里，圆锥曲线如同璀璨的明珠，闪耀着独特的魅力。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学、物理以及工程等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入探索圆锥曲线的奥秘。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
椭圆的标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）表示椭圆的长半轴，＼（b\）表示椭圆的短半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
椭圆的性质包括：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leqb\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线是平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
双曲线的标准方程也有两种形式：焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）表示双曲线的实半轴，＼（b\）表示双曲线的虚半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
圆锥曲线经典性质总结及证明
方程 y 2 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ p ,0），它的准线方程是 x p ；
2
2
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他
几种形式： y 2 2 px ，x 2 2 py ，x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
y2 b2
1的方程里，对称轴是 x, y 轴，所以
令y
0 得 x a ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A
(a,0)
A2
(a,0)
，他们是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1的顶点。
令 x 0，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x2 a2
a2，
x a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。
②对称性：双曲线 x 2 y 2 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 a2 b2
双曲线 x 2 y 2 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a2 b2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x 2 a2
圆锥曲线复习提纲(全)
圆锥曲线复习提纲椭圆双曲线平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在1.椭圆的性质：椭圆方程（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性：图象关于y 轴对称，图象关于x 轴对称，图象关于原点对称。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，。
叫椭圆的长轴，长为2a ，叫椭圆的短轴，长为2b 。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
（）O 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆.(5)点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-.,F F 21,F F 21F F a c a c a c )0(122>>=+b a by a x b y b a,x a ≤≤-≤≤-b y ±=±=a ，x )0,a (A ),0,a (A 21-)b ,0(B ),b ,0(B 21-21A A 21B B ace =⇒2)(1a b e -=10<<e(6)点P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，∠F 1PF 2取最大值.S △F 1PF 2=b 2tan θ2(θ=∠F 1PF 2). (7)椭圆的第二定义：当平面内点M 到一个定点F(c,0)(c >0)的距离和它到一条定直线l ：x =a 2c的距离的比是常数e =ca (0<e <1) 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率. 2、点与椭圆位置关系 点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)位置关系：（1）点P(x 0,y 0)在椭圆内⇔x 02a 2+y 02b 2<1 （2）点P(x 0,y 0)在椭圆上⇔x 02a 2+y 02b 2=1 （3）点P(x 0,y 0)在椭圆外⇔x 02a 2+y 02b 2>13、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法（2）弦长公式：设直线y =kx +b 交椭圆于P 111222则|P 1P 2|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 或|P 1P 2|=√1+1k 2|y 1−y 2|=√1+1k 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0).✧ 焦点弦：AB 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的弦，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点M(x o ,y o ),则有：弦长|AB |=2a ±e (x 1+x 2)=2a ±2ex o ,|AB |min =2b 2a（此时AB 垂直于x 轴，为通径）.（3）弦AB 中点相关：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的弦AB 的斜率存在且为k, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点M(x o ,y o ),则有：➢ k ∙k OM =−b 2a 2=e 2−1, k OM =y ox o .➢ 直线AB 的方程：y − y o =−b 2a 2x oy o(x −x o ).➢ 线段AB 的垂直平分线方程：y − y o =a 2b 2yo x o(x −x o ).4、双曲线的几何性质：（1）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a ，a 叫做实半轴长。
高中数学圆锥曲线总结
数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
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,.圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF C a =<2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ•b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F <中 ∵ 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅∴ ()21212122cos 2PF PF PF PF PF PF θ⋅=+-⋅-∴ 21221cos b PF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =max 122c h bc ⨯⨯= （3 ()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ xx,.当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a - 即∠F 1PF 2最大3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2证明：延长1F M 交2FP 于F ，连接OM由已知有 1PF FP = M为1F F 中点 ∴ 212OM FF ==()1212PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。
令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=-∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a+=====+ ∴IRPI= e xxyx6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
证明：令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。
∵()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =⎫⇒+=+⇒⎬=⎭()()1212122AB R e d d R e d d ==+⇒=+∵ ()1212d d d =+∵ 01e p p ∴ R d p∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A 为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则： （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣ 证明：连接11,,AP AF PF∵ ()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+- ∵ 111AF AP PF AF -≤-≤∴ 12122a AF AP PF a AF -≤+≤+xx∴ （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣8、A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则（∣PA ∣+ePF 2）min = A 到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PF PFe d d e=⇒= ∴（∣PA ∣+ePF 2）min =()minPA d+ = A 到右准线的距离.9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x=±a 上。
证明：令☉I 与⊿PF 1F 2三边所在的直线相切于M 、N 、A∵ PM PN = 22F N F A =∴111221PF PN F M F F F N F A+=+=∵ 11FM F A = ∴ 1122PF PN F F F N +=+∵ 22F N F A =∴ 121222PF PN F N F F F N F A ++=++ ∵ 22F N F A = ∴ 2222a c F A =+∴ 2a c F A =+ 即为椭圆顶点。
x∴ 焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x=±a 上10、P 是椭圆上任意一点，PF 2的延长线交右准线于E ，K 是准线 上另一任意点，连结PK 交椭圆于Q ，则KF 2平分∠EF 2Q 证明：令P ,Q 到准线的距离为12,d d2122212122222212PF e d PF QF PF d QF d d QF d PF PKe d QF QK d PKd QK ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⇒=⇒=⎬⎪⎪=⇒=⎬⎪⎭⎪⎪=⎪⎭由三角形外角平分线性质定理有KF 2平分∠EF 2Q 11、)(2112定值ba BF AF =+ 证明：令()()1122,,,A x y B x y当AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为(y k x c =-∵()22222222222222(2)0y k x c b x a k x k cx c k a b x y ab =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+⎪⎩ 22222222222()20b a k x a k cx a k c a b ⇒+-+-=∴ 22122222a k c x x b a k +=+ 2222212222a k c a b x x b a k-=+x Ex∴12121111AF a ex BF a ex AF BF a ex a ex =-⎫⎪⇒+=+⎬=---⎪⎭()()122212122a e x x a ae x x e x x -+=-++ =2222222222222222222222222222222222222222222222()a k c c a k ca e ab a k a b a k a kc a k c a b a k c c a k c a b a ae e a ae b a k b a k b a k a b a k --⋅++=---+-+++++ 32222422222242222222a k ab ak c a k a b a k c c k b c +-=+-+- ()2222224222222222222ak a c ab ak ak b a b b c k b a c-++==+-+- ()()22222121a k abb k +==+ 当AB 的斜率存在时，222112a a a AF BF b b b+=+= ∴)(2112定值baBF AF =+12、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点， 则22ab K K OPAB -=•（定值）证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y 则()1202x x x +=()1202y y y+=∵ ()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+ ∵ ()()1212AB y y k x x -=-，0OPy k x = x∴ 221ABOPb k k a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭∴ 22AB OPb k k a⋅=-13、椭圆的短轴端点为B 1、B 2，P 是椭圆上任一点，连结B 1P 、B 2P 分别 交长轴于N 、M 两点，则有∣OM ∣*∣ON ∣ =a 2 证明：()()()()()1210020,,0,,0,,,0B b B b N x P x y M x -∴ ()()()()2002210011,,,,,,B P x y b B M x b B P x y b B N x b =-=-=+=u u u u v u u u u u vu u u v u u u u v∵ 由于2B 、P 、M 共线∴ 000220x y b bx x x b y b--=⇒=--∵ 由于()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=--u u u r u u u u r 、P 、∴000110x y b bx x x b y b+=⇒=+ ∴ 222200222200x b x b OM ON AB y b y b-⋅==-- ∵ 222222220000022222201x y x b y b x a a b a b b y -+=⇒=⇒=- ∴ 2OM ON a ⋅=14、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点， 连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点， 则M 、N 与对应准线的焦点张角为900证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1,0A a - ()2,0A a∴()()100200221122,,,,,,,A P x a y A P x a y a a A M a y A N a y c c =+=-⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u ru u u u ru u u u r x∵ 由于1A 、P 、M 共线∴ 20001210()a y a x a y c y a y x a a c⋅++=⇒=++ ∵ 由于2,,A P N 共线∴ 20002220()a y a x a y c y a y x a a c⋅--=⇒=-- ∴ 22242200012222000()()a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ⋅-⋅+-==⋅-+- ∵ 22220002222201x y y b a b x a a+=⇒=--∴ 24221222b a a c y y a c -=-⋅42b c=- ∵ 21412222,,a FM c y c b FM FN y y c a FN c y c ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⇒⋅=+⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭u u u u r u u u ur u u u r u u u r∴ 0FM FN ⋅=u u u u r u u u r∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦该准线对应的焦点。