梯度、散度、旋度表达式推导

r r a • dr ∫
所以
lim
s →0
L
S
i r ∂ = ∇× a = ∂x ax
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
k ∂ ∂z az
即
rotn a = lim
s →0
r r a • dr ∫
L
S
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 曲线坐标的引进， 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由 （x, y, z） 三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
H 1 , H 2 , H 3 称为拉梅系数
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式
∂r 考虑到 ∂qi 的大小和方向后，可得下式：
r r r dr = H 1dq1e1 + H 2 dq2 e2 + H 3 dq3e3
这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们 在坐标轴上的投影分别是：
L
S
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
证明如下： 因为： L
r r ∫ a • dr =
∫ (a dx + a dy + a dz)
x y z L
3．旋度 ．
b. 旋度 2) 表示形式 再由线积分转化为面积分可得： 上式=
∫ [(
L
∂a y ∂ax ∂a ∂a ∂az ∂a y − ) nx + ( x − z ) n y + ( − )n y ]dS ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
球坐标中的形式为：
r 1 ∂ (r 2 ar ) 1 ∂ (sin θ aθ ) 1 ∂aλ diva = 2 + + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂λ
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式： 旋度在曲线坐标系中的表达式： 在如上图的单元体中，我们首先计 算矢量 沿 MM2N1M3 的环量： 此时取 n 为 q1 的正方向；则：
球坐标中的形式：
∂ϕ r 1 ∂ϕ r 1 ∂ϕ r gradϕ = er + eθ + eλ ∂r r ∂θ r sin θ ∂λ
4. 曲线坐标系
d. 散度在曲线坐标中的表达式 经过六个面的总通量为：
r ∂ (a1 H 2 H 3 ) ∂ (a2 H 3 H1 ) ∂ (a3 H1 H 2 ) r ∫ an • dS = ∂q1 + ∂q2 + ∂q3 dq1dq2 dq3 s
表示矢量 a 在法线方向上的投影。
2. 散度
a . 通量 定义 an dS 为矢量 a 通过面积元 d S 的通量，将
∫a 之沿面积 S 积分得
s
n
dS
。 称为矢量 a 通过 S 面的
通量。 定义面积矢量 d S 大小为 d s,方向为法线正方向 的量，即
dS = dsn
2. 散度
b. 散度 1）.定义
dr = ∂r ∂r ∂r d q1 + dq2 + d q3 ∂ q1 ∂q2 ∂q3
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的 表达式
∂r ∂ qi
的大小是：
∂r ∂x ∂y ∂z = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = H1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂r ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 = ( ) +( ) +( ) = H2 ∂q2 ∂q2 ∂q2 ∂q2 ∂r ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 = ( ) +( ) +( ) = H3 ∂q3 ∂q3 ∂q3 ∂q3
ds1 = H1dq1 , ds2 = H 2 dq2 , ds3 = H 3 dq3
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 各面的侧面积为：
dσ 1 = H 2 H 3 dq2 dq3 dσ 2 = H 3 H1dq3 dq1 dσ 3 = H1 H 2 dq1dq2
r diva = ∇ • a = lim
v →0
r r ∫ a • dS V
注：1. S 面为封闭曲面 2. V 的界面为 S
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
r diva = ∇ • a = lim
v →0
r r ∫ a • dS V
∂ax ∂a y ∂az ∂ai = + + = ∂x ∂y ∂z ∂xi
3．旋度 ．
b.旋度 旋度 1) 定义： 矢量 a 的矢量旋度 在 n 方向的投影
rota
rotn a = lim
s →0
r r ∫ a • dr
L
S
注意：1）L 为封闭曲线，即积分为封 积分 2）S 的界面为 L
3．旋度 ．
b.旋度 旋度 2) 表示形式
rotn a = lim
s →0
r r ∫ a • dr
r r 3 ∫ a • ndS ≠ r ∫ (a • ∇)dV
3．旋度 ．
a.环量 环量 给定一矢量场 a(r, t),在场内场内 任取一曲线 L，作线积分
r r ∫ a • dr = ∫ (ax dx + ay dy + az dz )
L L
称之为矢量 a 沿曲线 L 的环量。若 L 是一封闭曲线，我们在积分号中加一 小圆圈 ∫ ，并称之为矢量 a 沿封闭回 线 L 的环量。
2. 散度
a . 通量 给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以 是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元 素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线， 令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点 上的矢量函数的值，则
an = a • n = ax cos(n, x) + ay cos(n, y) + az cos(n, z)
六面体的体积为： 在柱坐标系中 在球坐标系中
dV = H1 H 2 H 3 dq1dq2 dq3
H1 = 1, H 2 = r , H 3 = 1
H1 = 1, H 2 = r , H 3 = r sin θ
4. 曲线坐标系
c. 梯度在曲线坐标系中的表达式 根据梯度的性质，gradϕ 在曲线坐 标轴上的投影分别是该方向上的方向
再根据散度的定义可得：
r ∂(a1 H 2 H 3 ) ∂(a2 H 3 H1 ) ∂(a3 H1H 2 ) 1 diva = + + ∂q1 ∂q2 ∂q3 H1 H 2 H 3
4. 曲线坐标系
柱坐标中的形式为：
r 1 ∂ ( ra r ) 1 ∂ aθ ∂ a z diva = + + r ∂r r ∂θ ∂z
∂ax ∂a y ∂az + + )dV ∂a ∂a y ∂az r ∂a ∂x ∂y ∂z = x+ + = ∇•a = i V ∂x ∂y ∂z ∂xi
2. 散度
b. 散度
3）面积分与体积分的转换
r r r ∫ n • adS = ∫ ∇ • adV
注意点：1.
r n 必须在最前面
2. 封闭积分
ϕ ( M ') − ϕ ( M )
（条件：因为 MM ' 极小，所以等值线可近似看作与法线垂 直）
1.梯度 梯度
d. 梯度概念 梯度： gradϕ = ∇ϕ = e. gradϕ , 所以 ∇ϕ 是个矢量，其方向为 ϕ 等值面的法线方向
∇ϕ 表示场的变化率
∂ϕ r n ∂n
均匀场 ∇ϕ = 0 注意：若定常场的梯度为零，则其为均匀场。
r a
∫
MM 2 N1M 3
r r a • dr =来自∫MM 2r r a • dr +
∫
M 2 N1
r r a • dr −
∫
MM 3
r r a • dr −
∫
M 3 N1
r r a • dr
∂ (a3 H 3 ) ∂ (a2 H 2 ) = − dq2 dq3 ∂q3 ∂q2
1.梯度 梯度
c.方向导数 r s 方向上得方向导数为：
lim M ' M →0
ϕ ( M ') − ϕ ( M )
M 'M
=
∂ϕ ∂s
M 处法线方向上的方向导数：
∂ϕ ϕ (M1 ) − ϕ (M ) ϕ ( M ') − ϕ ( M ) = Mlim0 = Mlim0 'M→ 'M→ ∂n M 1M MM 'cos θ ∂ϕ r r = Mlim0 r r = ∂s cos(n , s ) 'M→ MM 'cos(n , s )
∂ϕ r r ∂ϕ (n , x ) = ∂n ∂x ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r 所以 ∇ϕ = ∂x i + ∂y j + ∂z k
上式即为 ∇ϕ 在直角坐标系中的表示。 h. 性质
r ∇ϕ • dr = dϕ
r ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ϕ • dr = • dxi = dx + dy + dz 证明： ∂xi ∂x ∂y ∂z
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式： 旋度在曲线坐标系中的表达式： 根据旋度的定义可得 在 q1 轴上 的投影：
r rota