第一章习题答案

习 题

1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不

跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：

)sin()(ϕω+=t a t u

对物体分离作受力分析: Fs mg t u

m -=)( 要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t u

m ≤)( 也就是2max )(ωa t u

g =≥ m f

g g

a 0099.042

2

==

≤

∴πω

1-2 求简谐运动u t t 1540()cos =和u t t 2339()cos =合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其

拍频和周期。 解：最大振幅为8

最大振幅为2

1-4 图中简支梁长l =4m 、抗弯刚度EI =⨯1961062.Nm ，

且k =⨯49105.N /m ，m =400kg 。分别求图示两种系统的固有频率。

题1-4图

解：简支梁的等效刚度 m N l

EI

k e 53107.1448⨯==

左图系统等效于弹簧并联：

m N k k k e 51106.19⨯=+=

系统固有频率为：

s rad m

k n /701

==

ω 右图系统等效于弹簧串联：

m N k k kk k e

e

68.32=+=

系统固有频率为： s rad m

k n /3.302

==

ω 1-5 钢索的刚度为4105⨯N /m ，绕过定滑轮吊着质量为1000kg 的物体以匀速0.5m /s 下

降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。 解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动

固有频率s rad m

k

n /20==

ω 初始条件是：s m u

u 5.0)0(,0)0(== 则系统的振幅025.0)0()0(2

22

=+

=n

u

u a ω

故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 4

21102⨯=+=+=

1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为δs 。现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给

予向上的初速度 u

0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。

s

n g

m k δω=

=

初始条件是：0)0(,)0(u U

U s -=-=δ 则系统的振幅2

22

)0()0(n

u

u a ω +

=

初相位⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=00u u artg ωϕ 那么系统的位移响应为)sin()(ϕω+=t a t u 系统首次经过平衡位置，也即0)(=t u ，于是有： ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=

00u u artg g t s ωπδωϕπ 1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。

证明：1=ε时

t

n -21t)e a (a u(t)ω+=

式中0 t

n e

ω-，而t a 21a +单调，故对任意21,a a ，也即任意初始条件u(t)至

多 有一次过平衡位置；

1 ε时

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=+=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-2121112112222)(a e a e

e

a e

a t u t

t

t

t

n n n n ωξζωξζωξζωξζ

式中012 t

n e

ωξξ⎪⎭

⎫ ⎝⎛---，而21

212a a e

t n +-ξω单调，故对任意21,a a ，也即任意

初

始条件u(t)至多有一次过平衡位置；

1-8 一单自由度阻尼系统，m =10kg 时，弹簧静伸长δs =001.m 。自由振动20个循环后，

振幅从64103.⨯-m 降至16103.⨯-m 。求阻尼系数c 及20个循环内阻尼力所耗能量。 解：静平衡时：

s k δ=mg m N k /104

= 系统固有频率s rad g m k s

n /6.31===

δω 自由振动20个循环有：

4ln 10

161064ln A A ln 203

3

201=⨯⨯==--δ 此时0729.0=δ

又πξδ2=，ξωn m c 2=

则s m N m c n ⋅=⨯⨯==97.714.3/0792.06.3110/πδω 20个循环内阻尼力所耗能量 J kA kA k 192.02

1212221=-=

∆ 1-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m =175.kg 、k =7000N /m ，求该系统

在零初始条件下被简谐力o ()52.5sin(1030)N f t t =-激发的响应。 解：系统的运动方程为：

()()()mu t ku t f t ωϕ+=-

初始条件是：0)0(,0)0(==u

u 令方程特解为：)sin()(ϕω-=*

t B t u d 其中)

()(2

2

20

ωωc m k f B d +-=

由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为：

)3010sin(01.0)3010sin(10

5.1770005.52)sin()(0

02

20-=-⨯-=--=

*t t t m k f t u ϕωω

1-10 质量为100kg 的机器安装在刚度k =⨯9104N /m 和阻尼系数c =⨯24103.Ns /m 的隔