国家集训队论文分类整理
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数论
最近公共祖先 划分问题 欧几里得算法 同余方程
搜索
搜索
启发式 优化
概率
背包问题 匹配 概率 数学期望 字符串
字符串
多串匹配 后缀数组
字符串匹配
动态规划
动态规划
状态压缩 状态设计
树形 DP
优化
计算几何 立体几何 计算几何思想
2007 - 郭华阳：《RMQ 与 LCA 问题》 2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》 2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》 2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》 2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》 2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》 2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》 2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》 2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》 2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》 2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》 2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》 2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》 2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》 2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》 2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》 2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》 2006 - 王赟：《Trie 图的构建、活用与改进》 2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》 2004 - 许智磊：《后缀数组》 2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》 2003 - 饶向荣：《病毒的 DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》 2003 - 林希德：《求最大重复子串》 2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》 2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》 2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》 2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》 2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》 2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》 2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》 2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》 2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》 2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》 2003 - 陆可昱：《长方体体积并》 2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》 2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》
NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)
摘抄自C博客组合数学计数与统计2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》数位问题2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》动态统计2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》拟阵2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》线性规划2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》置换群2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》问答交互2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》猜数问题2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》数据结构数据结构2005 - 何林：《数据关系的简化》2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》结构联合2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》2005 - 黄刚：《数据结构的联合》块状链表2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》跳表2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》SBT2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》线段树2004 - 林涛：《线段树的应用》单调队列2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》Splay2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》图论图论2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》模型建立2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》网络流2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》最短路2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》欧拉路2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》差分约束系统2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》平面图2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》2007 - 古楠：《平面嵌入》2-SAT2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》最小生成树2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》二分图2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》Voronoi图2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》偶图2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》树树2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》路径问题2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》最近公共祖先2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》划分问题2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》数论欧几里得算法2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》同余方程2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》搜索搜索2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》启发式2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》优化2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》背包问题2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》匹配2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》概率概率2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》数学期望2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》字符串字符串2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》多串匹配2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》后缀数组2004 - 许智磊：《后缀数组》2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》字符串匹配2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》2003 - 林希德：《求最大重复子串》动态规划动态规划2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》状态压缩2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》状态设计2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》树形DP2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》优化2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》计算几何立体几何2003 - 陆可昱：《长方体体积并》2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》计算几何思想2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》圆2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》半平面交2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》矩阵矩阵2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》高斯消元2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》数学方法数学思想2002 - 何林：《猜想及其应用》2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》数学归纳法2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》多项式2002 - 张家琳：《多项式乘法》数形结合2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》黄金分割2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》其他算法遗传算法2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》信息论2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》染色与构造2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》一类问题区间2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》序2005 - 龙凡：《序的应用》系2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》物理问题2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》编码与译码2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》对策问题2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》优化算法优化2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》2005 - 杨弋：《从<小H的小屋>的解法谈算法的优化》2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》程序优化2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》语言C++2004 - 韩文弢：《论C++语言在信息学竞赛中的应用》策略策略2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》2008 - 肖汉骏《例谈信息学竞赛分析中的“深”与“广”》倍增2005 - 朱晨光：《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》二分2002 - 李睿：《二分法与统计问题》2002 - 许智磊：《二分，再二分！——从Mobiles(IOI2001)一题看多重二分》2005 - 杨俊：《二分策略在信息学竞赛中的应用》调整2006 - 唐文斌：《“调整”思想在信息学中的应用》随机化2007 - 刘家骅：《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》非完美算法2005 - 胡伟栋：《浅析非完美算法在信息学竞赛中的应用》2008 - 任一恒《非完美算法初探》提交答案题2003 - 雷环中：《结果提交类问题》守恒思想2004 - 何林：《信息学中守恒法的应用》极限法2003 - 王知昆：《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》贪心2008 - 高逸涵《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》压缩法2005 - 周源：《压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》逆向思维2005 - 唐文斌：《正难则反——浅谈逆向思维在解题中的应用》穷举2004 - 鬲融：《浅谈特殊穷举思想的应用》目标转换2002 - 戴德承：《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》2004 - 栗师：《转化目标在解题中的应用》类比2006 - 周戈林：《浅谈类比思想》分割与合并2006 - 俞鑫：《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》2007 - 杨沐：《浅析信息学中的“分”与“合”》平衡思想2008 - 郑暾《平衡规划——浅析一类平衡思想的应用》。
国家集训队2004论文集 朱晨光
优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化安徽省芜湖市第一中学朱晨光目录Ø关键字 (2)Ø摘要 (2)Ø正文 (2)n引言 (2)n问题 (2)n分析 (3)u算法一 (3)u算法二 (4)u算法三 (4)u算法四 (6)u小结 (7)u算法五 (7)Ø总结 (10)Ø结束语 (11)关键字优化动态规划模型摘要本文就Ural 1223 《鹰蛋》这道题目介绍了五种性能各异的算法，并在此基础上总结了优化动态规划算法的本质思想及其一般方法。
全文可以分为四个部分。
第一部分引言，阐明优化动态规划算法的重要性；第二部分给出本文讨论的题目；第三部分详细讨论这道题目五种不同的动态规划算法，并阐述其中的优化思想；第四部分总结全文，再次说明对于动态规划进行优化的重要性，并分析优化动态规划的本质思想与一般方法。
正文引言在当今的信息学竞赛中，动态规划可以说是一种十分常用的算法。
它以其高效性受到大家的青睐。
然而，动态规划算法有时也会遇到时间复杂度过高的问题。
因此，要想真正用好用活动态规划，对于它的优化方法也是一定要掌握的。
优化动态规划的方法有许多，例如四边形不等式、斜率优化等。
但是这些方法只能对某些特定的动态规划算法进行优化，尚不具有普遍的意义。
本文将就《鹰蛋》这道题目做较为深入的分析，并从中探讨优化动态规划的本质思想与一般方法。
问题有一堆共M个鹰蛋，一位教授想研究这些鹰蛋的坚硬度E。
他是通过不断从一幢N层的楼上向下扔鹰蛋来确定E的。
当鹰蛋从第E层楼及以下楼层落下时是不会碎的，但从第（E+1）层楼及以上楼层向下落时会摔碎。
如果鹰蛋未摔碎，还可以继续使用；但如果鹰蛋全碎了却仍未确定E，这显然是一个失败的实验。
教授希望实验是成功的。
例如：若鹰蛋从第1层楼落下即摔碎，E=0；若鹰蛋从第N层楼落下仍未碎，E=N。
这里假设所有的鹰蛋都具有相同的坚硬度。
给定鹰蛋个数M与楼层数N。
国家集训队2004论文集 金恺
V7
证明② 证明②
l' l
θ θ
l''
将l绕V1逆时针旋转 一个无穷小的角度θ到 l'; 将l顺时针旋转相同 的角度θ到l''; θ足够小,使旋转过 程中不碰到其它的已 知点.
单独的考虑一个已知点i(i>1)到l的距离的 改变
当αi=0时 =0时
V1
l' l l''
Vi
∵直角三角形中直角边<斜边 ∴不论直线旋转到l'还是l'',Vi到直线的距 离都严格减小了
AC BC = A′C, ′C B 则∠CA'B'=α+θ,∠CB'A'=β-θ;
A' α α+θ a θ L A
θ L'θ β-θ β B' B b
γ
C
由正弦定理:
AC BC L = = sin β sin α sin γ
A′C B′C L′ = = sin ( β θ ) sin (α + θ ) sin γ
①规定直线l经过某一个已知点. 规定直线l经过某一个已知点.
l'' 若l不经过任何已知 l' 点.设l两侧的点数分 l 别有a,b个,a≥b △ 将l往点多的一侧平 △ 移一个无穷小量△到l' 则f(l')-f(l)=b△-a△= ( )- ( ) = △ (b-a)△≤0∴f(l')≤f(l) b个点 个点 所以已知点相对于l 的位置未发生改变,即 a,b值未变. 可不断往同一个方向平移l'直至碰到一个已 知点,到l''处,同样有 f(l'')≤f(l) . l''经过某一个已知点,且费用不比l高.
国家集训队2004论文集 黄源河
浅谈图论模型的建立与应用广东省中山市第一中学黄源河【关键字】图论模型、建立、转化【摘要】在近几年的信息学竞赛中，图论题目层出不穷。
图论作为一个新生的数学分支，相比其他数学分支来说，具有许多自有的特性。
利用图论解题，通常具有高效、简洁的便利。
有了这门工具，并不意味就能很好地解决问题，还在于我们能否熟练地识别与建立一系列的图论模型。
本文通过一些实例，简单地介绍一下图论建模的方法。
【正文】引言应用数学知识解题时，首先要通过对实际问题的分析，研究组建用以描述这个问题的数学模型。
使用数学的理论和方法对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实的实际问题。
图论模型是一类特殊的数学模型，建立图论模型，就是要从问题的原型中，抽取对我们有用的信息和要素，把问题抽象为点、边、权的关系。
经过图论建模之后，杂乱无章的信息变得有规可寻，要素的内在联系体现在了点、边、权的关系。
有不少经典的图论模型可以直接用特定的算法解决，一些复杂的问题，只要能认清问题的本质，把握问题的关键，建立合适的图论模型，往往能转化为我们熟悉的经典问题。
本文要写的，正是我在图论建模方面的一点心得与认识。
例题分析〖例题1〗Place the Robots (ZOJ)[问题大意]有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型之一：空地、草地、墙。
机器人只能放在空地上。
在同一行或同一列的两个机器人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。
问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们不能互相攻击。
[分析]在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。
因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到下面的这个图：那么，问题转化为求图的最大独立集问题。
众所周知，这是NP-完全问题。
看来，建立这样的模型，没有给问题的求解带来任何便利，我们必须建立一个行之有效的新模型。
国家集训队2002论文集-李睿
二分法与统计问题淮阴中学李睿[关键字]线段树二叉树二分法[摘要]我们经常遇到统计的问题。
这些问题的特点是，问题表现得比较简单，一般是对一定范围内的数据进行处理，用基本的方法就可以实现，但是实际处理的规模却比较大，粗劣的算法只能导致低效。
为了解决这种困难，在统计中需要借助一些特殊的工具，如比较有效的数据结构来帮助解决。
本文主要介绍的是分治的思想结合一定的数据结构，使得统计的过程存在一定的模式，以到达提高效率的目的。
首先简要介绍线段树的基础，它是一种很适合计算几何的数据结构，同时也可以扩充到其他方面。
然后将介绍IOI2001中涉及的一种特殊的统计方法。
接着将会介绍一种与线段树有所不同的构造模式，它的形式是二叉排序树，将会发现这种方法是十分灵活的，进一步，我们将略去对它的构造，在有序表中进行虚实现。
目录一线段树1.1 线段树的构造思想1.2 线段树处理数据的基本方法1.3 应用的优势1.4 转化为对点的操作二一种解决动态统计的静态方法2.1 问题的提出2.2 数据结构的构造和设想2.3 此种数据结构的维护2.4 应用的分析三在二叉排序树上实现统计3.1 构造可用于统计的静态二叉排序树3.2 进行统计的方法分析3.3 一个较复杂的例子四虚二叉树4.1 虚二叉树实现的形态4.2 一个具体的例子4.3 最长单调序列的动态规划优化问题[正文]一 线段树在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在OX 轴上的线段。
由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。
一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。
1.1线段树的构造思想线段树处理的是一定的固定线段，或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。
处理问题的时候，首先抽象出区间的端点，例如说N 个端点ti(1≤i ≤N)。
那么对于任何一个要处理的线段（区间）[a,b]来说，总可以找到相应的i,j ，使得ti=a,tj=b,1≤i ≤j ≤N 。
国家集训队2005论文集 杨俊
浅谈二分策略的应用华东师大二附中杨俊【摘要】本文着重讨论三种不同类型的二分问题，意在加深大家对二分的认识。
它们所考虑的对象从一般有序序列，到退化了的有序序列，最后到无序序列。
事实上它们也正代表了二分策略的三种不同应用。
【关键字】二分、序、应用【正文】“二分”，相信这个词大家都再熟悉不过了。
二分是一种筛选的法则，它源于一个很简单的想法——在最坏情况下排除尽可能多的干扰，以尽可能快地求得目标。
二分算法的高效，源于它对信息的充分利用，尽可能去除冗余，减少不必要的计算，以极大化算法效率。
事实上许多二分问题都可以用判定树或其它一些定理来证明，它达到了问题复杂度的下界。
尽管二分思想本身很简单，但它的扩展性之强、应用面之广，或许仍是我们所未预见的。
大家也看到，近年来各类竞赛试题中，二分思想的应用不乏令人眼前一亮的例子。
下面是作者归纳的二分思想的三种不同类型的应用，希望能让读者有所收获。
类型一：二分查找——应用于一般有序序列申明：这里所指的有序序列，并不局限于我们通常所指的，按从小到大或是从大到小排好序的序列。
它仅包含两层意思：第一，它是一个序列，一维的；第二，该序列是有序的，即序列中的任意两个元素都是可以比较的。
也就是拥有我们平时所说的全序关系。
虽说二分查找大家都再熟悉不过了，但这里还是先简要地回顾一下二分查找的一般实现过程：（1）确定待查找元素所在范围（2）选择一个在该范围内的某元素作为基准（3）将待查找元素的关键字与基准元素的关键字作比较，并确定待查找元素新的更精确的范围（4）如果新确定的范围足够精确，输出结果；否则转至（2）让我们看一个经典问题——顺序统计问题[问题描述]给定一个由n个不同的数组成的集合S，求其中第i小的元素。
[分析]相信大家对这个问题都很熟悉，让我们回顾一下二分查找是如何应用于该问题上的。
（1）确定待查找元素在S中（2）在n个元素中随机．．取出一个记为x，将x作基准（3）设S中比元素x小的有p个。
国家集训队2007论文集3.郭华阳《RMQ与LCA问
更重要的是，我们也已经得到了所有询问的回答！
重要引理的发现
对Kruskal过程仔细思考，我们得出关键： 引理二： 任意两点u、v间最短路径的关键边，为执行 Kruskal算法中第一次将此两点连通的树边！
Kruskal生成顺序森林
如何适当的应用引理二呢？所有的树边和结点需要被有 机的结合起来，这里我们使用Kruskal生成顺序森林 （简称顺序森林） 仍然考虑下图：
RMQ&LCA算法关系图
一般RMQ问题
ST算法
O(N)
LCA问题
O(N)
Tarjan算法
±1RMQ问题 ±1RMQ算法
III. 问题的应用
问题的应用
RMQ&LCA问题在算法研究及信息学竞赛中都发 挥着十分重要的作用，它主要是以一种经典算法 及解题思想的形式出现
本文主要以讨论一道例题： 水管局长（2006年冬令营试题）
LCA向RMQ的转化
对有根树T进行DFS，将遍历到的结点按照顺 序记下，我们将得到一个长度为2N – 1的序列， 称之为T的欧拉序列F
每个结点都在欧拉序列中出现，我们记录结点 u在欧拉序列中第一次出现的位置为pos(u)
1
深度0
2
3
4
深度1
5
6
深度2
欧拉序列F：1 深度序列B：0
2 1
5 2
算法名称 ST算法
针对问题 一般RMQ问题
时间消耗 O(Nlog2N)-O(1)
空间消耗 O(Nlog2N)
Tarjan算法
LCA问题
O(Na(N) + Q)
O(N)-O(1)
O(N)
国家集训队2007论文集8.陈瑜希《多角度思考
多角度思考创造性思维----运用树型动态规划的解题思路和方法的探析关键字树结构动态规划信息学奥赛摘要在近几年信息学竞赛中，需要运用树型动态规划解决的问题频繁出现，这些问题变化繁多、各类思想精华渗透其中，对选手分析问题的能力和解题创造性思维有着较高的要求，因此它在竞赛中占据了重要地位。
本文将分析近几年国际比赛、全国比赛中的树型动态规划问题，重点探讨几种树型动态规划问题的解法，并从这些问题的分析过程中，提炼出解决这类问题的思想方法——多角度思考，创造性思维。
旨在论述解决问题的思维过程，而不仅仅是解题方法。
正文信息学竞赛中通常会出现这样的问题：给一棵树，要求以最少的代价（或取得最大收益）完成给定的操作。
有很多问题都是在树和最优性的基础上进行了扩充和加强，从而变成了棘手的问题。
这类问题通常规模较大，枚举算法的效率无法胜任，贪心算法不能得到最优解，因此要用动态规划解决。
和一般动态规划问题一样，这类问题的解决要考虑3步。
1、确立状态几乎所以的问题都要保存以某结点为根的子树的情况，但是要根据具体问题考虑是否要加维，加几维，如何加维。
2、状态转移状态转移的变化比较多，要根据具体问题具体分析，这也是本文例题分析的重点。
3、算法实现由于树的结构，使用记忆化搜索比较容易实现。
由于模型建立在树上，即为树型动态规划。
顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划。
大部分动态规划题都是线性的，线性的动态规划有二种方向，既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法，既顺推与逆推。
而树型动态规划是建立在树上的，也相应的有两个方向：1． 根—>叶：既根传递有用的信息给子节点，完后根得出最优解的过程。
2． 叶－>根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。
这类的习题比较的多，应用比较广泛当然，还有一类问题，同时需要两种遍历方向，本文的第一题就属于这类。
问题描述Chris 家的电话铃响起了，里面传出了Chris 的老师焦急的声音：“喂，是Chris 的家长吗？你们的孩子又没来上课，不想参加考试了吗？”一听说要考试，Chris 的父母就心急如焚，他们决定在尽量短的时间内找到Chris 。
国家集训队2004论文集_汪汀
可知如果(+a1,-b2)和(+a2,-b1)都是 T 的可行交换，则有ω(b2)≤ω(a1),ω(b1)≤ω (a2)，故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2); 否则，或者(+a1,-b2)或者(+a2,-b1)不是 T 的 可行交换，根据引理 1，T’=T+{a1,a2}-{b1,b2}仍然是 T 的 k 度限制生成树，则ω (T)≤ω(T’),故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2)。 ⑵充分性
综上，求最小 k 度限制生成树算法总的时间复杂度为 O(Vlog2V+E+kV)。
3、次小生成树
3.1、次小生成树的定义
设 G=(V,E,w)是连通的无向图，T 是图 G 的一个最小生成树。如果有另一棵树 T1，满 足不存在树 T’,ω（T’）<ω（T1） ，则称 T1 是图 G 的次小生成树。
3.2、求解次小生成树的算法
通过上述定理，我们就有了解决次小生成树问题的基本思路。 首先先求该图的最小生成树 T。时间复杂度 O(Vlog2V+E) 然后，求 T 的邻集中权值和最小的生成树，即图 G 的次小生成树。 如果只是简单的枚举，复杂度很高。首先枚举两条边的复杂度是 O(VE)，再判断该交换是否 可行的复杂度是 O(V)，则总的时间复杂度是 O(V2E)。这样的算法显得很盲目。经过简单的 分析不难发现，每加入一条不在树上的边，总能形成一个环，只有删去环上的一条边，才能 保证交换后仍然是生成树，而删去边的权值越大，新得到的生成树的权值和越小。我们可以 以此将复杂度降为 O(VE)。这已经前进了一大步，但仍不够好。 回顾上一个模型——最小度限制生成树，我们也曾面临过类似的问题，并且最终采用动态规 划的方法避免了重复计算，使得复杂度大大降低。对于本题，我们可以采用类似的思想。首 先做一步预处理，求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边，然后，枚举图中不在
国家集训队2004论文集 韩文韬
类型 双目 双目 双目 双目 双目 双目 双目 双目 单目 双目 双目 双目 双目 双目 单目
作用 arg1 == arg2 arg1 != arg2 arg1 > arg2 arg1 < arg2 arg1 >= arg2 arg1 <= arg2 arg1 && arg2 arg1 || arg2 !arg arg1 + arg2 arg1 - arg2 arg1 * arg2 arg1 / arg2 arg1 % arg2 -arg
更多关于迭代器的信息
指针类型就是一种特殊的随机迭代器类型. 对于一般的迭代器,这些功能都是通过操 作符重载来实现的.
更多关于迭代器的信息
各种迭代器类型之间的关系:
输出迭代器 前向迭代器 输入迭代器 双向迭代器 随机迭代器
迭代器的作用
访问元素 算法与容器之间的纽带
模板类pair
template<class T1, class T2> struct pair { typedef T1 first_type; typedef T2 second_type; T1 first; T2 second; pair() : first(T1()), second(T2()) { } pair(const T1& x, const T2& y) : first(x), second(y) { } template<class U, class V> pair(const pair<U, V>& p) : first(p.first), second(p.second) { } };
国家集训队2000论文集 高寒蕊论文
递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用安徽高寒蕊(芜湖一中，安徽，241000)【关键字】递推关系建立应用【摘要】世界上的一切事物都在不经意之中变化着，在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的。
这种规律往往呈现出前因和后果的关系，故我们可以运用递推的思想去研究这些变化。
本文着重说明了递推关系的建立，并在此基础上简略介绍求解递推关系的方法。
接着，阐明递推关系与动态规划之间的关系，并比较了一般递推关系与动态规划之间的异同，同时举例说明递推关系在竞赛中的应用。
在文章的最后，总结出学好递推关系，不仅可以提高我们的数学素质，对信息学竞赛更是大有帮助。
目录【正文】第02页一、引论第02页二、递推关系的定义第02页三、递推关系的建立第02页⒈五种典型的递推关系第03页⒉递推关系的求解方法第06页四、递推关系的应用第06页五、总结第10页【附录】第10页【参考书目】第12页【程序描述】第12页【正文】一、引论瞬息变幻的世界，每一件事物都在随时间的流逝发生着微妙的变化。
而在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系。
即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。
所谓“三岁看老”，说的就是这个道理。
这一道理也正体现了递推的思想。
递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在一切向“更快、更高、更强”看齐的当今信息学奥林匹克竞赛中更因简洁高效而显示出其独具的魅力。
在递推关系发挥重要作用的今天，深入研究其性质、特点便成为一件十分必要的事情。
本文就将围绕着递推关系的三大基本问题中的如何建立递推关系展开论述，并通过例题说明递推关系在当今信息学竞赛中的应用。
二、递推关系的定义相信每个人对递推关系都不陌生，但若要说究竟满足什么样的条件就是递推关系，可能每个人又会有不同的说法。
为了更好地研究递推关系，首先让我们明确什么是递推关系。
【定义1】给定一个数的序列H0,H1,…,H n,…若存在整数n0，使当n≥n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将H n与其前面的某些项H n(0≤i<n)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。
国家集训队2009论文集浅谈如何解决不平等博
2
IOI2009 冬令营论文 方展鹏
正文
一、引言
在信息学竞赛中，博弈问题十分常见，下面就是一个例子： 引例：Green Hackenbush（经典问题） 给出 n 棵竹子，高度分别为 a1, a2 … an，玩家 L 和 R 打算在这些竹子上面玩 砍竹子游戏，规则如下： 1、两人轮流操作，玩家 L 先手； 2、对于每次操作，先选定一棵高度不为 0 的竹子，然后砍掉该竹子的某一 段，并且将与竹子底部不相连的部分也去掉； 3、最先无法进行操作的人输。 假设玩家 L 和 R 都采取最优策略，请问对于给出的局面谁会获胜。
关键字
不平等博弈问题 Surreal Number 局面分析 递推 迭代
目录
摘要................................................................................................................................ 1 关键字............................................................................................................................ 1 目录................................................................................................................................ 1 正文................................................................................................................................ 3 一、引言................................................................................................................ 3 二、另辟蹊径........................................................................................................ 4 2.1 Surreal Number 介绍 .......................................................................... 4 2.1.1 Surreal Number 的构造 ........................................................... 4 2.1.2 Surreal Number 的一些基本定理........................................... 6 2.1.3 Surreal Number 的运算法则................................................... 6
国家集训队2009论文集浅析竞赛中一类数学期
浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法福建省福州第八中学汤可因摘要期望在我们生活中有着十分广泛的应用，而对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
本文对于竞赛中涉及求离散型随机变量的数学期望的题目所使用的常用方法归纳成为两大类，并进行了总结与分析。
关键字期望递推动态规划方程组目录引言 (3)预备知识 (3)一、期望的数学定义 (3)二、期望的线性性质 (3)三、全概率公式 (4)四、条件期望与全期望公式 (4)一、利用递推或动态规划解决 (4)例题一：聪聪与可可 (5)分析 (5)小结 (6)例题二：Highlander (6)分析 (6)小结 (8)例题三：RedIsGood (8)分析 (8)小结 (9)二、建立线性方程组解决 (10)引入 (10)分析 (10)需要注意的地方 (12)例题四：First Knight (12)分析 (12)例题五：Mario (15)分析 (15)总结 (16)参考文献 (17)引言数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。
例如要设计一个彩票或赌博游戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需要大于0。
又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的结果并估算出其概率，得到一个期望值而决定是否进行。
期望也许与每一个结果都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。
正因为期望在生活中有如此之多的应用，对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。
本文对于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
预备知识一、期望的数学定义如果X 是一个离散的随机变量，输出值为 x 1, x 2, ...， 和输出值相应的概率为p 1, p 2, ... （概率和为1）, 那么期望值 ∑=ii i x p X E )(。
国家集训队2000论文集 张辰论文
动态规划的特点及其应用安徽张辰【关键词】动态规划阶段【摘要】动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。
文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。
第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。
第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。
文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。
这对我们的解题实践有一定的指导意义。
【正文】动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。
最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。
因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。
要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。
首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。
§1动态规划的本质动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。
那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？§1.1多阶段决策问题说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。
[例1]多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。
仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。
我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。
这样，图中的边就被分成了三类（A→B、B→C、C→D）。
我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。
从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。
更精确的定义如下：多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。
国家集训队2004论文集_周源
浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用安徽省芜湖一中周源目录目录 (1)摘要 (2)关键字 (2)引子 (3)以形助数 (3)[例一]Raney引理的证明 (3)[题意简述] (3)[分析] (3)目标图形化 (3)小结 (4)[例二]最大平均值问题(USACO 2003 March Open) (4)[题意简述] (4)[分析] (5)目标图形化 (5)构造下凸折线 (5)维护下凸折线 (6)最后的优化：利用图形的单调性 (7)小结 (7)以数助形 (7)[例三]画室(POI oi V Stage I) (8)[题意简述] (8)[分析] (8)目标数值化 (9)动态规划解题 (9)小结 (10)总结 (10)附录 (11)关于2003年上海市选拔赛题Sequence (11)[题意简述] (11)[分析] (11)论文附件 (12)参考文献 (12)摘要数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，数形结合又是一种重要的数学思想。
本文主要以当今信息学奥赛中几道试题为例，从以形助数和以数助形两个侧重点讨论了数形结合思想在信息学竞赛解题中广阔的应用前景。
最后文章分析指出数形结合思想的两个重要特性并由此提出“数形结合”重在有机的结合，希望对同学们在实际比赛中灵活的运用数形结合思想有一些帮助。
关键字信息学竞赛数学思想数形结合思想以数助形以形助数辩证矛盾多元性个体差异性思维、编程、时间、空间复杂度引子数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，数形结合又是一种重要的数学思想。
在当今信息学竞赛中，某些纷繁复杂的试题背后，往往蕴含着丰富的几何背景，而计算几何类问题却又需要借助计算机强大的实数运算能力。
正如华罗庚先生所说的“数形结合千般好”，在算法和程序设计中，巧妙地运用数形结合思想，可以顺利的破解问题，化难为易，找到问题的解题思路。
数形结合思想常包括以形助数、以数助形两个方面。
以形助数正如前文所述，一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。
国家集训队2006论文集 王赟
它的路径字符串本身就是一个不良单词 ，或 它的路径字符串的后缀对应的结点是危险结点。
于是问题2转化为：如何求一个结点的后缀结点？
Trie图的构建（计算后缀结点）
根结点的后缀结点是它本身。 处于trie树第二层的结点的后缀结点也是根结点。 对于再往下的某个结点，设它的路径字符串的最后一个 字符为c，那么这个结点的后缀为从它在trie树中父结点 的后缀结点出发，沿标有c的边走一步后到达的结点。 （下文中称从x结点出发，沿标有字符c的边走一步到达 的结点为x的c孩子） 现在，问题2进一步转化为：如果它的父结点的后缀结 点w没有c孩子怎么办呢？我们看到，两个问题已经合而 为一了！
Trie图的活用（例2的遗留问题）
例2的字符集虽然只有26个字母，但trie图中结 点的数目可能达到1,000,000，内存复杂度太高。 这个问题留待第三部分（trie图的改进）解决。
Trie图的活用（BFS序的应用）
通过《字谜》一题我们学会了如何在trie图中记下更多的 信息。下面简述一下对BFS序的应用。 在做多模式匹配时，有时仅仅找到不良单词是不够的， 还要统计出每个单词出现的次数。进行这项工作时，我 们并不需要判断每个结点的危险性，而只需累加经过每 个结点的次数。但这时有单词对应的结点的访问次数并 不就是这个单词出现的次数，比如在图2中，单词a出现 时光标完全可能在结点ba上。因此我们自底向上地把每 个结点的访问次数加到它的后缀结点上。这样处理之后， 有单词对应的结点的访问次数就代表这个单词出现的次 数了。
Trie图的活用（例2）
【例2】字谜（题目来源：SPOJ WPUZZLES） 【题目描述】给定一个L行C列的、由大写字母构成的矩阵， 以及W个单词。每个单词可在矩阵中的任何位置朝着任 何方向出现，且仅出现一次。编程找出每个单词的首字 母在矩阵中的位置，以及单词的朝向。 【输入（标准输入）】第一行为一个整数T，表示数据的 组数。下面有T组数据。每组数据中： 第1行为三个不超过1000的整数L、C、W。 下面L行，每行C个大写字母，表示矩阵。 下面W行，每行一个单词。
国家集训队2003论文集 王知昆
浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题福州第三中学王知昆【摘要】本文针对一类近期经常出现的有关最大（或最优）子矩形及相关变形问题，介绍了极大化思想在这类问题中的应用。
分析了两个具有一定通用性的算法。
并通过一些例题讲述了这些算法选择和使用时的一些技巧。
【关键字】矩形，障碍点，极大子矩形【正文】一、问题最大子矩形问题：在一个给定的矩形网格中有一些障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。
这是近期经常出现的问题，例如冬令营2002的《奶牛浴场》，就属于最大子矩形问题。
Winter Camp2002,奶牛浴场题意简述：（原题见论文附件）John要在矩形牛场中建造一个大型浴场，但是这个大型浴场不能包含任何一个奶牛的产奶点，但产奶点可以出在浴场的边界上。
John的牛场和规划的浴场都是矩形，浴场要完全位于牛场之内，并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。
要求所求浴场的面积尽可能大。
参数约定：产奶点的个数S不超过5000,牛场的范围N×M不超过30000×30000。
二、定义和说明首先明确一些概念。
1、定义有效子矩形为内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的子矩形。
如图所示，第一个是有效子矩形（尽管边界上有障碍点），第二个不是有效子矩形（因为内部含有障碍点）。
2、极大有效子矩形：一个有效子矩形，如果不存在包含它且比它大的有效子矩形，就称这个有效子矩形为极大有效子矩形。
（为了叙述方便，以下称为极大子矩形）3、定义最大有效子矩形为所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。
以下简称为最大子矩形。
三、极大化思想【定理1】在一个有障碍点的矩形中的最大子矩形一定是一个极大子矩形。
证明：如果最大子矩形A不是一个极大子矩形，那么根据极大子矩形的定义，存在一个包含A且比A更大的有效子矩形，这与“A是最大子矩形”矛盾，所以【定理1】成立。
四、从问题的特征入手，得到两种常用的算法定理1虽然很显然，但却是很重要的。
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动态树
2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》
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2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》
圆
矩阵
半平面交
矩阵 高斯消元
数学思想
数学方法
数学归纳法 多项式 数形结合 黄金分割
遗传算法
其他算法 信息论
染色与构造
一类问题
区间 序 系 物理问题 编码与译码 对策问题
优化
算法优化
程序优化
语言
C++
策略
策略
2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》 2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》 2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》 2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》 2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》 2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》 2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》 2002 - 何林：《猜想及其应用》 2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》 2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》 2002 - 张家琳：《多项式乘法》 2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》 2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》 2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》 2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》 2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》 2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》 2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》 2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》 2005 - 龙凡：《序的应用》 2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》 2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》 2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》 2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》 2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》 2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》 2005 - 杨弋：《从<小 H 的小屋>的解法谈算法的优化》 2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》 2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》 2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》 2004 - 韩文弢：《论 C++语言在信息学竞赛中的应用》 2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》 2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》 2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》 2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》 2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》
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二分
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来源： 洪雁书的日志
距离 NOI 时间越来越少了，选择性地看一些集训队论文是很有必要的。
（在此给已经看过所有论文的神牛跪了= =）
所以，我在此整理了一下，供大家参考。
计数与统计
数位问题 动态统计
组合数学 博弈
母函数 拟阵 线性规划 置换群 问答交互 猜数问题
数据结构 数据结构
结构联合 块状链表
数论
最近公共祖先 划分问题 欧几里得算法 同余方程
搜索
搜索
启发式 优化
概率
背包问题 匹配 概率 数学期望 字符串
字符串
多串匹配 后缀数组
字符串匹配
动态规划
动态规划
状态压缩 状态设计
树形 DP
优化
计算几何 立体几何 计算几何思想
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