第讲对数函数与相关复合函数
专题06 对数与对数函数及其复合函数题型归纳
专题06 对数与对数函数及其复合函数综合问题重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N Ma a a log log log -=； ③M n M a n a log log =(n ∈R)； ④b nm b a ma n log log =.(3)换底公式：abb c c a log log log =(a ，b 均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1-1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a =5b =225，则+=（ ）A.B.C. 1D. 2【解析】则，故选：A ． 例1-2．（1）（2020·成都市·成都实外高一月考）()()()4839log 3log 3log 2log 2lg100+⋅+⋅【解析】()4839(log 3log 3)(log 2log 2l 10)g 0+⋅+⋅2233111(log 3log 3)(log 2log 2)2232=++⨯23532log 3log 262=⨯⋅5lg 3lg 25lg 2322lg =⨯⨯= （2）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一期中）332922log log log 3log 4.39--⋅【解析】原式()33222log 21log 22log 302log 3=----⋅=．【变式训练】（1）()281lg500lglg 64lg 2lg552+-++ 【详解】由对数的运算性质，可得原式=12lg 5lg100lg8lg 5lg 641++--+ =lg100lg8lg81+-+=2lg101213+=+=.（2）（2019·成都七中实验学校高一期中）计算：22log 5log 10+lg2-log 483log 23+．1a 1b121435225a b ==35log 225,log 225a b ∴==225225225111log 3log 5log 152a b +=+==【详解】22log 5log 10+lg2－log 483log 23+=lg5+lg2－32+2=1－322+=32． （3）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）已知323,18.ab log ==（1）求()2a b -的值；（2）求214ba -+⨯的值.【解析】()1由23a =得，2log 3a =.所以()()()232332log 32log 18log 3log 9log 18a b -=⋅-=⋅-()23323log 3log 18log 9log 3log 21=-⋅-=-=-；()2由3log 18b =得318b =，所以()221442ba a -+⨯=⋅24336=⨯==【变式训练2】（1）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=， 2540M MN N-+=（）, 解得=1（舍去），=4，故选B.（2）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）AB ．10C ．20D ．100【解析】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，210m ∴=，0m >，∴m =A （3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）若2312a b ==，则21a b+=________．【解析】由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==， 所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 重难点2 对数函数图像例2.（1）（2018·四川省新津中学高一开学考试）当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -= 与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.（2）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是（ ）A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<< 【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c << （3）（恒过定点问题）（2020·四川高一期中）函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(3,1)C ．(4,0)D ．(3,0)【解析】函数log (3)1a y x =-+,(0a >且1a ≠).∴令31x -=,解得4x =当4x =,1y =，∴ 函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点(4,1)P . 故选:A ．【变式训练】（1）（2020·绵阳·三台中学实验学校高一期末）函数()2log 21xf x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】()()()222log 12,0log 21log 21,0x x xx f x x ⎧-<⎪=-=⎨->⎪⎩，由复合函数的单调性可知，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，排除B 、C 选项.当0x <时，021x <<，则0121x <-<，此时()()2log 120x f x =-<，排除D 选项.故选：A.（2）（2019·四川遂宁市·高一期末）已知函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．【详解】由题意，函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，可得1a >，又由函数1()log 1af x x =-满足101x >-，解得1x >，排除C 、D 项， 又由函数1()log log (1)1aa f x x x ==---， 根据复合函数的单调性，可得函数()f x 为单调递减函数.故选：B .（3）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.【解析】函数log (25)1a y x =--，当3x =时, log (235)11a y =⨯--=-，所以定点坐标为()3,1-，故答案为: ()3,1-重难点3 对数函数定义域例3.（1）（2019·四川泸州市·高一期中）函数()()21log 2f x x =-的定义域为_____________【解析】由()2log 2020x x ⎧-≠⎨->⎩得23x x >≠且，所以函数()()21log 2f x x =-的定义域为{}|23x x x >≠且.（2）（2020·四川绵阳市·高二期末（文））已知函数()f x =()f x 的定义域为______. 【解析】21log 0x x x >⎧⇒≥⎨≥⎩，所以函数()f x 的定义域为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞（3）（2019·四川高一期末（文））已知函数()2()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围为_____．【解析】函数()2()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R 等价于对于任意的实数R x ∈，230mx mx m --+>恒成立，当0m =时成立当0m ≠时，等价于20120()4(3)05m m m m m >⎧⇒<<⎨∆=---+<⎩，综上可得120,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【变式训练】（1）（2019·四川成都市·川大附中分校高一期中）函数()1lg 3y x =-的定义域是______．【解析】要使函数有意义，需满足()103030x x lg x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得12x ≤<或23x <<，故答案为[)()1,22,3⋃（2）（2020·四川眉山市·仁寿一中高一期中）函数y =）A ．（0，1]B ．45⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．415⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．415⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由函数y =0541x <-≤，解得415x <≤.故选：C（3）2020·四川成都市·成都七中高一期中）函数()ln f x x = ） A ．[0,2]B ．(0,2]C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞【解析】由题意得，函数的定义域需满足020x x >⎧⎨-≥⎩，解得：02x <≤所以函数的定义域是(]0,2.故选:B.（4）函数()2()lg 2f x x x a =++，若它的定义域为R ，则a ____．【解析】函数()2()lg 2f x x x a =++的定义域为R ，则220x x a ++>恒成立，故440a ∆=-<，即1a >；重难点4 对数函数单调性例4.（1）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知函数()f x =该函数的单调递减区间是（ ） A ．RB ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数()f x =则()0.5431log 430430430x x x x -≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨->->⎩⎩，解得314x <≤，即函数的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦，因为43t x =-在3,14⎛⎤⎥⎝⎦上递增，0.5log u t =在()0,∞+递减，y =[)0,+∞递增，所以()f x =3,14⎛⎤⎥⎝⎦上递减，故选：C. （2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．()2,5B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．(),2-∞【解析】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∵245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵13log y t =在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选：A.（3）（2019·四川省泸州高级中学校高一月考）已知函数log (1)a y ax =-在()1,2上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．[]1,2C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】∵log (1)a y ax =-在()1,2上是增函数，∵0a >，∵函数1t ax =-在()1,2上是减函数，∵01a <<．再根据0112010a a a <<⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，求得102a <≤，故选：D ．（4）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．[)4,4-D ．()[),42,-∞--+∞【解析】函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则内函数23x a a u x --=区间(],2-∞-上是减函数，且0>u 在区间(],2-∞-上恒成立，所以24224(2)230a a a a a ⎧≥-≥-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-+->⎩，所以实数a 的取值范围是[)4,4-.选：C. （5）（2020·四川省绵阳南山中学高一期中）已知函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩满足12x x ≠时恒有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．51,4⎛⎤⎥⎝⎦ C ．()1,+∞ D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为函数()f x 满足12x x ≠时恒有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，所以()201233log 1a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--+≤⎩，解得5,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D.【变式训练】（1）（2020·四川攀枝花市·攀枝花七中高三月考（理））函数f （x ）=ln （223x x --）的递增区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(1,3)【解析】求得函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，设内函数223,t x x =--(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，外函数为ln y t =，外函数在(0,)∞单调递增，内函数在(3,)x ∈+∞单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以函数f(x)在区间(3,)x ∈+∞上单调递增，选C.（2）（2019·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 【解析】()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，复合函数的单调性得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，，故选：D ．（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[2，)+∞C ．[2，3)D ．(1,3)【解析】若01a <<，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为增函数，不可能，舍去；若1a >，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为减函数，且0t >,12120aa ⎧≥⎪∴⎨⎪-+>⎩23a ∴≤<即a 的取值范围是[)2,3.故选：C.（4）（2020·四川绵阳市·高一期末）已知0a >，且1a ≠，若函数()()2log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)3,+∞ C ．(]10,1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【解析】令2()21t g x ax x ==-+（0a >，且1a ≠），则()0>g x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，11321093a a ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪-+>⎪⎩或139610a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或11331210a a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得：1a >，所以外层函数log a f xt 在定义域内是单调增函数，若函数()()2log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则内层函数221t ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，113a ∴≤，且1a >，解得3a ≥，实数a 的取值范围为[)3,+∞，故选：B ． （5）（2019·四川省南充高级中学高一月考）已知函数()()()21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()()21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，所以21001log 12(21)aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩，即120l 25a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎩，解得205a <≤，故选：B重难点5 对数函数值域例5.（1）（2011·四川攀枝花市·高二月考（理））函数212()log (32)f x x x =--的值域为 （ ）A ．[2,)-+∞B ．[)1-+∞， C ．(0,)+∞ D ．[1,0)-【解析】由2032x x -->得31x -<<或1x >，所以函数212()log (32)f x x x =--的定义域为()3,1-， 当()3,1x ∈-， (]2232(1)40,4y x x x =---∈=++又12log y x =在()0,∞+上单调递减，min 12log 42y ==-， 所以函数212()log (32)f x x x =--在()3,1-上的取值范围是[)2,-+∞.故选A. （2）（2019·四川成都市·树德中学高一月考）已知()2()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．()1,+∞ C ．[1,1]-D ．[0,1]【解析】因为()2()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，所以函数22y ax x a =-+可以取到任意的正实数，若0a =，该式为2x ，符合题意，若0a ≠，则2440a a >⎧⎨∆=-≥⎩， 解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]，故选：D. 【变式训练】（1）（2018·成都市·成都外国语学校高一月考）若函数22()log (1)f x ax ax =++的值域为R 的函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞【详解】设y=ax 2+ax+1，根据题意（0，+∞）∵{y|y=ax 2+ax+1}；∵2040a a a ⎧⎨=-≥⎩＞；解得a≥4；∵实数a 的取值范围为[4，+∞）．故选C ． （2）函数()2()lg 2f x x x a =++，若它的值域为R ，则a _______．【解析】函数()2()lg 2f x x x a =++为R ，则()0,∞+是函数22y x x a =++值域的子集，则440a ∆=-≥，即1a ≤.故答案为：1≤. 重难点6 对数函数最值例6.（1）（2020·四川宜宾市·高一期末）若函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间[]2,4上的最小值为2，则实数a 的值为（ ）A．2BC ．2D或2【解析】由题：函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间[]2,4上的最小值为2， 当1a >时，()log a f x x =在[]2,4单调递增，所以最小值()2log 22a f ==，解得a =01a <<时，()log a f x x =在[]2,4单调递减，所以最小值()4log 42a f ==，解得2a =，不合题意，所以a =故选：B（2）（2020·南昌市第三中学高一期中）已知03x <≤，求函数1122()log log 4x f x x =⋅的最小值为________． 【详解】函数11111112222222()log log log log log 4log log 4032,xf x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<≤， 令1122log log 3,t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()()212211,log 3,h t t t t t ⎡⎫=+=+-∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以当1t =-即2x =时，函数()h t 的最小值为1-，即()f x 的最小值为1-，答案为：1-.【变式训练】（1）（2020·眉山市·仁寿一中高一期中）已知函数()122()log 238f x x x =-+.求函数()f x 在1[,2]2上的值域；【解析】()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）（2019·四川遂宁市·高一期中）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,1416x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围； （2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值. 解析：（1）[]214,log 4,162x t x ≤≤∴=∈-. （2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++223132+24t t t ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，32t ∴=-，可得23log 2x =-，解得322x -=时，()min 14f x =-，当2t =即4x =时，()max 12f x =.重难点7 比较大小例7-1.图中曲线是对数函数log ay x =的图象，已知a 43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )A 43，35，110B 43，110，35B ．C ．4335，110D ．43110，35 【解析】由已知中曲线是对数函数log ay x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ，由a 43，35，110四个值，故1C ，2C ，3C ，4C 的a 43，35，110，故选：A ．例7-2．（1）（2021·四川遂宁市·高一期末）已知3412a b ，log a c b =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【解析】因为3412ab ，所以3332log 9log 12log 273a =<=<=，4441log 4log 12log 162b =<=<=，所以23a <<，12b <<，所以log log 1a a c b a =<=，所以c b a <<.故选：B（2）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知2log 0.8a =，3log b π=，7log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【详解】22log 0.8log 10a =<=，即0a <；33log log 31b π=>=，即1b >；7770log 1log 6log 71<=<=，即01c <<，所以a c b <<.故选：C【变式训练】（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）已知3log 5a =，23log 2b =，0.25c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解析】因为33log 5log 31a =>=，2233log 2log 10b =<=，0.200551c -<=<=，所以a c b >>，故选：A（2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）已知3log 0.3a =，0.13=b ，30.1=c ，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【详解】由函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，0.31<，∵33log 0.3log 10a =<=； 由函数3xy =在R 上单调递增，0.10>，∵0.10331b =>=；由指数函数0.1xy =在R 上单调递减，30>，∵3000.10.11c <=<=； ∵01a c b .故选：C.例7-3.（2021·四川省成都市玉林中学高一期末）已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解析】因为奇函数()f x 在R 上是减函数. 若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222>>>，∵()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【变式训练】（1）（2018·四川成都市·双流中学（理））若定义在(),-∞+∞上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解析】()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，()()1222log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，4421log 7log 9log 32,<<=< 1.622>， 1.6442log 9log 7∴>>,偶函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，∴()f x 在(],0-∞上是增函数， 所以()4log 7f <12log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<()1.62f ，即a b c <<，故选D.（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又xy 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.重难点8 对数型复合函数的应用例8．已知，函数.（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.【解析】（1）由题意得：，解得 因为，所以；故的定义域为（2）因为，所以，，因为，所以，即2a >()()()44log 2log f x x a x =---()f x 4a =()()253f x f -≤200x a x ->⎧⎨->⎩2x x a >⎧⎨<⎩2a >2x a <<()f x ()2,a 4a =()()()4425log 27log 92f x x x -=---()443log 1log 10f =-=()()253f x f -≤()()44log 27log 920x x ---≤，从而，解得故不等式的解集为. 【变式训练】已知函数（，且）在上的最大值为2.（1）求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围. 【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，因此，解得时，函数在上单调递减，因此， 解得.综上可知：. （2）由不等式，即，又，根据对数函数的性质，可得，即，解得.二、课堂定时训练（45分钟）1.（2020·四川成都市·高一期中）设2log 3a =，则6log 12可表示为（ ）A ．12aa++ B ．21aa++ C ．12aa+ D ．21aa+ 【解析】2 log 3a =，∴2226222log 12log 3log 42log 12log 6log 2log 31a a ++===++.故选B.2．如果,0log log 2121<<y x 那么( )A ．1y x <<B ．1x y <<C ．1x y <<D ．1y x <<【解析】根据对数函数的性质得1x y >>．3.在同一直角坐标系中，函数，(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) ()()44log 27log 92x x -≤-2709202792x x x x->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩742x <≤()()253f x f -≤7,42⎛⎤⎥⎝⎦()log a f x x =0a >1a ≠1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 01a <<(()2)0f f x ->x 1a >()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦max ()(2)log 22a f x f ===a =01a <<()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14max 1()()log 24a f x f ===12a =a =12a =(()2)0f f x ->log (()2)log 1a a f x ->01a <<0()21f x <-<122log 3x <<1184x <<1x y a =1(2log )ay x =+【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.4．（2013·雅安市·高三月考（文））1(0,)2x ∈时，4log xa x <恒成立，则a 取值范围是_______【解析】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数4xy =的图象如下图所示：因为对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log x a x <恒成立，则y log a x =的图象恒在4x y =的上方，因为y log a x =与4xy =的图象相交于1,22⎛⎫⎪⎝⎭时代入对数函数，求得2a =所以此时a的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭01a <<xy a =(0,1)1xy a =(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1(,0)21a >xy a =(0,1)1xy a =(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1(,02）5．（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0.30.20.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【解析】0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.b c a ∴<<.故选：B.6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭，()2log 5b f =2log 5214=-=， ()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选C ．7．（2020·四川省江油市第一中学高一期中）设()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上是单调递增，若(2)0f =，则使12(log )0f x <成立的x 的取值范围是（ ）A．4⎫⎪⎪⎝⎭B ．104⎛⎫⎪⎝⎭，C．14⎛ ⎝⎭D ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上是单调递增函数，且(2)0f =， 所以()f x 在()0∞-,上是单调递减函数，(2)0f -=， 由12(log )0f x <，得122log 2x x -<<⎧⎪⎨⎪>⎩解得144x <<.故选：D8．2019·四川遂宁市·高一期中）已知函数()213()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[)1-+∞，B ．(]，-1-∞C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【详解】已知函数()213()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，13log y t =单调递减，则t ＝x 2﹣ax -a 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，又t ＝x 2﹣ax -a>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭恒成立，故1221042aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得112a -≤≤ ，故选：C 9.（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∵22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D 10.（2020·四川师范大学附属中学高一期中）若函数22()log (23)f x x ax =-++在区间内单调递减，则a 的取值范围是____________．【解析】函数开口向下，对称轴是直线x=a,所以要使函数22()log (23)f x x ax =-++在区间内单调递减，需有且,解得．11．（2020·河北省沧州市高三一模）已知函数()1ln 1x f x ax-=-为奇函数，则a =______. 【解析】由于函数()1ln1x f x ax-=-为奇函数，则()()f x f x -=-，即111ln ln ln 111x x ax ax ax x ----=-=+--，1111x ax ax x ---∴=+-，整理得22211x a x -=-，解得1a =±。
第4_4_2对数函数的图象和性质优质教学课件PPT
令t=x2-2x-8,则y=ln t(t>0).
∵要求f(x)的单调递增区间,且y=ln t是增函数,
∴根据复合函数的单调性可知,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间即
可.
∵x∈(4,+∞)时,t=x2-2x-8为增函数,
∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( B )
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
思路点拨 可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单 调性来判断. 解析 解法一:首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧, 从而排除A,C, 然后,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.故选B. 解法二:若0<a<1,则函数y=ax在其定义域上单调递减且图象过点(0,1),而函数y=loga (-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件; 若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定 义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
函数y=logax与y= log1x的图象关于③ x轴 对称
a
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数④ y=logax(a>0,a≠1) 互为反 函数.它们的定义域与值域正好互换. 互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
对数函数与相关复合函数
考点1：对数的性质1．对数的概念一般地，如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a2．对数恒等式与对数的性质对数恒等式：log a N a N =．对数log a N （0a >且1a ≠）具有下列性质： ⑴ 零和负数没有对数，即0N >； ⑵ 1的对数为零，即log 10a =；⑶ 底的对数等于1，即log 1a a =．3．常用对数与自然对数：对数log a N （0a >且1a ≠）， ⑴ 当10a =时，叫做常用对数，记做lg N ；⑵ 当e a =时，叫做自然对数，记做ln N ．e 为无理数，e 2.71828≈．对数式与指数式的关系及相互转换底数(a >0且a ≠1)对数真数幂指数log a N=bN>0a b =N利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题．求下列各式中的x暑假知识回顾知识点睛6.1对数与对数运算第6讲 对数函数与相关复合函数⑴82log 3x =-；⑵3log 274x =；⑶25log (log )0x =；⑷3log (lg )1x =【解析】 ⑴14；⑵81；⑶5；⑷1000．【例1】 ⑴在对数式(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或2a <B ．25a <<C ．23a <<或35a <<D ．34a << ⑵若()()()()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===，则x y z ++=（ ）A ．50B ．58C ．89D ．111⑶ ①设2log 3x =，则332222x xx x---=-_______；②设log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=_______． 【解析】 ⑴C ；⑵C ；⑶ ①199；②12；考点2：对数的运算1．对数的运算性质：如果0a >，且100a M N ≠>>，，，那么： ⑴ log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log ()log log log a k a a a k N N N N N N ⋅⋅⋅=+++．⑵ log log log a a a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶ log log ()a a M M ααα=∈R （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）2．换底公式：log log log a b a NN b=（010a b a b N >≠>，，，，）．换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．【教师备案】换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=；还有一个比较常用的变形公式是：lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===．暑假知识回顾知识点睛经典精讲1．下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（ ）A．()22lg (lg )lg 0x x y x =+> B．(()22lg (lg )lg 2lg 0x x y z x =++>C．(()2lg 2lg lg 2lg 0x x y z x =+-> D．(()21lg 2lg lg lg 02x x y z x =++>【解析】 D2．求下列各对数值⑴41log 8；⑵13log ； ⑶522log 253log 648ln1+-【解析】⑴32-；⑵32-；⑶22．3．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）A ．a b -B ．abC ．abD ．a b + 【解析】 C4．若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则（ ）A ．a b =B ．1a b =C ．a b =或1a b= D ．a 、b 为一切非1的正数【解析】C【例2】 ⑴求下列各值 ①221log 36log 32-； ②22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+； ③222lg5lg8lg5lg20lg 23++⋅+；④23lg 3lg 955lg81lg 27++-⑵按照要求填空① 已知lg2a =，lg3b =，则12log 15=______（用a ，b 表示）． ②计算：5757log log 91log log 3=⋅_______．【解析】 ⑴ ①1；② 1；③3；④ 115；⑵ ①12b a a b -++．②32-；经典精讲6.2对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0)+∞，，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：函数logy x =（且）的图象特征和性质．【说明】对数函数log a y x =的底a 越大，函数图象在x 轴上方部分越偏居右侧，如图所示．考点3：对数函数的图象【例3】 ⑴若函数log ()a y x b =+（0a >，1a ≠）的图象过两点(10)-，和(01)，，则a =______， b =_____．⑵设0a >且1a ≠，函数()()log 211a f x x =-+的图象恒过定点P ，则P 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()11-，D ．()11--，⑶在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）经典精讲知识点睛【解析】 ⑴22，．⑵ A ； ⑶ D ；考点4：对数值的大小比较⑴ 若两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1a >为增函数；01a <<为减函数）比较． ⑵ 若两对数的底数不同而真数相同，如1log m y x =与2log n y x =的比较（0m >，1m ≠，0n >，1n ≠）． ① 当1n m >>时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <． ② 当01m n <<<时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <．⑶1．比较大小（填“>”，“<”或“=”）．① 20131log 2012____20131log 2011； ② 0.1log 2012____0.1log 2013；③ 1.5log 2013____2log 2013； ④ 0.51log 2013____0.81log 2013．【解析】 ①<；②>；③>；④<．2．若ln πa =，lg6b =，0.2log 8c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【解析】 A ．经典精讲暑假知识回顾知识点睛B ACD【例4】 ⑴（2012北京西城高三一模理6）若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<⑵若01a b <<<，则在log log b a a b a b b a ，，，这四个数中最大的一个是_________． ⑶① 若log 0.8log 1.3a a >，则a 的取值范围为_______；② 若log 4log πa a >，则a 的取值范围为__________；③ 若0.50.5log log 3a >，则a 的取值范围为__________；④ 若3log 14a <，则a 的取值范围为_________．【解析】 ⑴ D⑵ log b a ； ⑶ ①01a <<；②1a >； ③03a <<；④304a <<或1a >．【拓展】若()log 2log 20011a b a b a b <>>≠≠，，，，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．1a b >> B ．1a b >> C ．01a b <<< D ．01b a <<<【解析】 D【备选】求不等式2log (583)2x x x -+>的解集．【解析】 不等式的解集为133252⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【点评】 对于含有参数的两个对数值的大小比较，除了要注意挖掘隐含条件外，还需要对a 进行讨论．不过对于这一类的大小比较问题，并不是底数为参数时，就一定要讨论，而应遵循的原则是：尽量回避讨论，尽量推迟讨论．考点5：对数函数与指数函数的关系⑴ 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量时，而 这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．⑵ 对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称．【教师备案】因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域为(0)+∞，，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．知识点睛1．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）A ．2log xB ．12x C ．12log x D ．22x -【解析】 A ；2．已知函数x y a b =+的图象过点()14，，其反函数的图象过点()20，，则a = ，b = ． 【解析】 31a b ==，．【例5】 ⑴将2xy =的图象关于直线y x =对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解析 式是（ ）A ．()2log 1y x =+B ．()2log 1y x =-C ．2log 1y x =+D ．2log 1y x =-⑵函数()f x 的图象与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称，则|()|f x 的单调减区间为（ ）A ． (,1)-∞B ． [1,)+∞C ． (0,1]D ． [1,2)⑶若函数2log 2y x =+的反函数定义域为()3+∞，，则此函数的定义域为 ．【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶()2+∞，．考点6：对数函数相关的定义域、值域问题1． ①函数y = ）A ．()3+∞，B ．[)3+∞，C ．(]4-∞，D ．(]04，②函数y 的定义域为 ．③函数=y ___________．【解析】 ① D ；②(1,2]；暑假知识回顾6.3与对数函数相关的复合函数的性质经典精讲暑假知识回顾③[)22log 33--，；2．求下列函数的值域①2log (1)y x =+；②22log (1)y x =+；③121log 1y x =-；④212log (23)y x x =-+； ⑤()2log 31x y =+．【解析】 ①R ；②[)0+∞，；③R ；④(]1-∞-，；⑤(0)+∞，．【例6】 ⑴求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值．⑵已知()32log ([19])f x x x =+∈，，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值与最小值． ⑶已知函数()()2log 23=-+a f x x x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值比最小值大2，求a ．【解析】 ⑴max 10=y ，min 132=y ．⑵ 1x =时，y 有最小值6；3x =时，y 有最大值13．点评：本题易错点容易忽略定义域．⑶；【例7】已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++． ⑴若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； ⑵若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ a 的取值范围是(]513⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，．⑵ a 的取值范围是513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．考点7：与对数函数有关的单调性问题1．函数212()log (1)f x x =+的增区间为___________；减区间为____________．【解析】 (]0-∞，，[0)+∞，；暑假知识回顾经典精讲2．函数22()log (23)f x x x =--的增区间为_____________；减区间为____________．【解析】 (3)+∞，，(1)-∞-，．3．函数212log (32)y x x =+-的增区间为 ，减区间为 ．【解析】 [)13，，(11]-，． 易错点：容易忽略函数的定义域．由2320x x +->解得函数212log (32)y x x =+-的定义域是{}|13x x -<<．函数212log (32)y x x =+-是由对数函数12log y u =和二次函数232u x x =+-复合而成，求其单调区间及值域时，应从232u x x =+-的单调性、值域入手，并结合12log y u=的单调性统筹考虑．【方法总结】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是注意其定义域；二是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；三是运用复合函数性质来判断其单调性．【例8】 ⑴判断下列函数的单调性：①()222()log 2log =-f x x x②()23()log =-f x x ⑵函数212log (23)y x mx =-+在(1)-∞，上为增函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ⑴①在[)2+∞，上单调递增，在(]02，上单调递减． ②在(]01，上单调递增，在[)1+∞，上单调递减． ⑵ 12m ≤≤．考点8：对数函数的综合问题【例9】 ⑴若定义在()0+∞，的函数()f x 单调递减，且123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求不等式8(log )2f x >的解集．⑵若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是________．⑶解下列不等式①2log 2log x x >；②()10.50.51log 21log 222x x -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭≤．【解析】 ⑴ {}12x x <<．经典精讲经典精讲⑵ 1a >或10a -<<． ⑶①()10022⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪，．②22[log31log 5]-，．若1x 满足225x x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，求12x x +的值．【解析】 由题意知()111111115322521222x x x x x x --+=⇒+=⇒-+=．22222log (1)5x x +-=2225log (1)2x x ⇒+-=()22231log (1)2x x ⇒-+-=22log (1)223log (1)22x x -⇒-+=．所以22log (1)x -、11x -均满足方程322t t +=．由函数图象法易知322t y y t ==-，有且只有一个交点，所以方程322t t +=有唯一实根．所以221log (1)1x x -=-．所以()2122231(1)(1)log (1)2x x x x -+-=-+-=，即1272x x +=．也可令112211t x t x =-=-，，得到11322t t =-，2223log 2t t =-；2x y =与2log y t =的图象关于y x =对称，故它们与32y x =-的图象的交点（结合图象知，都存在且都唯一）也关于y x =对称，从而关于32y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩的交点3344⎛⎫⎪⎝⎭，对称，即1232t t +=，从而1237222x x +=+=．【演练1】计算: 21log 32.51log 6.25lg e 2100+++． 【解析】 132．【演练2】已知函数12()2(1)2xx f x f x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，≥，，则函数2(log 3)f 的值为________． 实战演练【解析】 16【演练3】若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）．A ．22m n >B ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n > 【解析】 D【演练4】⑴函数y =的定义域为 ． ⑵ 函数212log (4)y x x =-的值域是（ ）A ．[2)-+∞，B ．RC ．[0)+∞，D ．(04]，【解析】 ⑴()()[)1132-∞---+∞，∪∪，．⑵ A【演练5】已知()1log 1a x f x x+=-（0a >且1a ≠）， ⑴ 求()f x 的定义域；⑵ 求使()0f x >的x 的取值范围．【解析】 ⑴ 定义域为()11-，． ⑵ 当1a >时，所求范围为{}01x x |<<；当01a <<时，所求范围为{}10x x |-<<．【演练6】函数212log (5)y x mx =-+在[)1-+∞，上为减函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 62m -<-≤．（2009福建高一数学竞赛第11题）设[]x 是不超过x 的最大整数，则[][][][]3333log 1log 2log 3log 500++++=＿＿＿＿＿．【解析】 2142记3[log ]x n =（n ∈N ），则3log 1n x n <+≤，133n n x +<≤．若0n =，则0133x <≤，符合条件的整数x 有2个；若1n =，则1233x <≤，符合条件的整数x 有6个；若2n =，则2333x <≤，符合条件的整数x 有18个；若3n =，则3433x <≤，符合条件的整数x 有54个；若4n =，则4533x <≤，符合条件的整数x 有162个；若5n =，则5633x <≤，结合500x ≤知，符合条件的整数x 有258个．∴333[log 1][log 2][log 500]0216218354416252582142+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 大千世界。
对数函数及其性质PPT课件(1)
a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲 对数与对数函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
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第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
2.2.2 第2课时 对数函数的性质应用--第二章基本初等函数(I)《新课程同步进阶攻略(人教A版必修一》
第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三 反函数[填一填]函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a >1时同为增函数，0<a <1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543.法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 (1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解． [解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域： (1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]． [分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域． [解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 12 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)． (2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]． ∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ， 则y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)． 当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12. 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12. 类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围． [解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12 u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎨⎧a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g (x )的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g (x )>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝g (x ).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g (x )为增函数；若一增一减，则y ＝log a g (x )为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1，43 C.⎣⎡⎭⎫43，4D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y .∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x <0.∴log y 3<log x 3.∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x 的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x 的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12 (x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12 u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 12 8＝log 12 23＝log 12⎝⎛⎭⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0. ∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x ∈(－1,1)时，u 是x 的增函数，y 是ln u 的增函数，故函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递减区间是(1,3)． 5．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)使f (x )＝log a (a x －1)有意义，则a x －1>0，即a x >1.当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0，∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．(2)①当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a <1时，设x 1<x 2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________． 解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二 对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)． 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <b B.a <b <c C ．b <c <aD.c <a <b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)(3)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，n ＝4x ，则log 4m ＝________；满足log n m >1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c <b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________． 解析：由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <c B.b <a <c C ．b <c <aD.c <a <b解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去， 当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根． 设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18， 解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。
初中数学知识点指数函数与对数函数的运算与复合函数
初中数学知识点指数函数与对数函数的运算与复合函数初中数学知识点：指数函数与对数函数的运算与复合函数在初中数学中，指数函数和对数函数是非常重要的数学概念。
本文将详细介绍指数函数与对数函数的运算以及复合函数的相关知识。
一、指数函数的定义和性质指数函数是以一个常数为底数的幂函数，其定义如下：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
1. 指数函数的性质：（1）指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
（2）当底数a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
（3）指数函数在原点处的函数值为1，即f(0) = 1。
（4）指数函数的图像在x轴正半轴无渐近线。
二、对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的逆运算，其定义如下：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
1. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。
（2）当底数a>1时，对数函数是递增函数；当0<a<1时，对数函数是递减函数。
（3）对数函数在底数为1时，函数值为0，即log1(x) = 0。
（4）对数函数在x轴正半轴有一条纵轴为x=1的渐近线。
三、指数函数和对数函数的运算1. 指数函数的运算：（1）指数函数的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数函数的除法：a^m / a^n = a^(m-n)（3）指数函数的幂运算：(a^m)^n = a^(m*n)2. 对数函数的运算：（1）对数函数的乘法：loga(x) + loga(y) = loga(x * y)（2）对数函数的除法：loga(x) - loga(y) = loga(x / y)（3）对数函数的幂运算：loga(x^n) = n * loga(x)四、复合函数的定义和性质复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，其定义如下：f(x) = g(h(x))，其中h(x)为内函数，g(x)为外函数。
高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版知识精讲
2高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版【本讲教育信息】 教学内容： 复合函数的导数、对数与指数函数的导数 1. y u2. 本周教学重、难点： 复合函数的求导法则 设u (X )在点x 处有导数u x (x)， y f (u)，则f( (x))在点x 处也有导数，且y x 对数函数的导数 1 f (u)在点x 的对应点u 处有导数 u x 或 f x ( (x)) f (u)(x)y u 3. (1) (lnx) x指数函数的导数 (1) (e x ) e x(2) (log a x) -log a e x (a x ) In a 【典型例题】 ［例1］求下列函数的导数 (1)(4) (x 2 2x)3 1(sin x 2)3 (2) (5) (6) x 3log 3 x(7)e 54x 2 (3) y 3 ax 2 bx c解: (1) (2) 3uue (3)u23u3(x 25 4x 2e (4)y u u v V x(5)(6) (7)ln(x .1cos5x sin2xx 2)22x) (2x 2)6(x8x1(2(ax31 u 3x .1 x 2(x 13x 2 log 31)(x 2 2x)22bx c) 3 (2ax b)23cosv (2x)訥X2)2cosx 2x2x cosx 223(si nx 2)31 x 2)12、1 ^W 1_1_ ■- 1 x 2—(1 2xx 2)]启) ^log 3e x (cos5x) sin 2x cos5x(sin 2x)(1 x 3 2呱儆3) (cos5x )sin 2x5sin5x sin 2x 2cos5x cos2x2(sin 2x)(sin 2x)［例4］曲线y e 2x cos3x 在(o , 1)处的切线与I 的距离为一 5,求I 的方程。
解：y (e 2x ) cos3xe 2x (cos3x)2e 2x cos3x 3( sin 3x)e 2x2e 2x cos3x 3e 2x sin3x•曲线在(0, 1)处的切线的斜率 k y l x 0 2 •切线方程为y 1 2x、 、Im 1| 厂设I 的方程为y 2 x m • d — v 5 • m 4或6当m 4时，I 为：y 2x 4 当m 6时，I 为：y 2x 6其速度为4m 3/min ，设锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ,3hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为 hm ，41 32这时水的体积为V -(3h)2 h 3 8由于水面高度h 随时间t 而变化，因而h 是t 的函数h h(t)由此可得水的体积关于时间 t 的导数为V t V h h t(3h 3) h t 9h 2h t6464由假设，注水速度为 4m 3/min92 4 64［例2］若 f (x)x In( x 5)，g(x)In (x1 1解 :f (x)1 g (x)x 5x 1f (x)g(x )111x 5 x 1x 5或 x 1•'两函数定义域为1)解不等式f (x) g (x) . (x 3)2"(x 5)(x 1)x 5 0••• x 5x 1 0解集为(5,)［例3］设曲线y 求切线I 的方程。
23.知识讲解_对数函数及其性质_基础
解法 1：当 a 1 时， y loga x 在(0，+∞)上是增函数，且 4.2<4.8，所以， loga 4.2 loga 4.8 当 0 a 1时，y=logax 在(0，+∞)上是减函数，且 4.2<4.8，所以， loga 4.2 loga 4.8
【变式 1】求函数 y
3 x3 1
的定义域.
log1 (x 1) 1
2
【答案】(1， 3 ) ( 3 ，2] 22
【解析】因为 lxog11 (x01) 0 ，
2
log
1 2
(
x
1)
1
x 1
所以
0
x
1
1
，
x
3
2
所以函数的定义域为(1， 3 ) ( 3 ，2]. 22
类型三、对数函数的单调性及其应用
举一反三：
【变式
1】设
a
log
1 3
2
，
b
log
1 2
3
，
c
( 1 )0.3 3
，则（
）
A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c
【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．
【答案】D
【解析】∵ a log1 2 0 ， b log1 3 0 ，
3
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值. 要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域
优先的观念. 例 3. 比较下列各组数中的两个值大小：
对数函数中的复合函数问题
对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方49)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
2022年高考数学一轮复习-第七节对数函数课件-新人教版2
并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
第三第分十三。二页十，二编页辑于，星编期辑一：于十星一期点 四二十：八二分十。 一点 三十一
[思路点拨]
第三十三页，编辑于星期四：二十一点 三十一
第三十三页，编辑于星期一：十一点 二十八分。
对数函数和指数函数是高考的常考内容，多考查指数与对 数的互化、指数函数与对数函数图象、比较大小、分段函数求
值问题，09年辽宁高考试题将指数函数、
第三第分十三。六十页六，页编辑，于编星辑期于一星：期十一四点：二二十十八一分点。三十一
对数函数与方程相结合，考查函数图象在求方程根中 的应用以及数形结合思想，是高考命题的一个新方向.
(1)计算：
2(lg )2＋lg ·lg5＋
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(3)已知2lg
＝lgx＋lgy，求log(3－ ) .
第十第九页十，编九辑页于星，期编一：辑十于一点星二期十八四分。：二十一点 三十一分。
[思路点拨]
第二第十页二，编十辑页于星，期编一：辑十于一点星二期十八四分。：二十一点 三十一分。
－2ax＋3的值域为[3－a2，＋∞)， 所以3－a2＝2，a＝±1，即实数a的值为±1.
第二十八页，编辑于星期四：二十一点 三十一
第二十八页，编辑于星期一：十一点 二十八分。
分。
1.对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调
性和对数函数的定义域是热点问题.单调性取决于底 数与“1”的大小关系.
数，记作 x＝loga，N 其中 叫做a对数的底数， 叫 N
做真数.
新高考A版讲义：初等函数 第4节 对数函数
第4节 对数函数知识点一 对数函数的概念一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数， 其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考函数y ＝log πx ，y ＝log 2x 3是对数函数吗？答y ＝log πx 是对数函数，y ＝log 2x3不是对数函数．题型一、对数函数的概念及应用例1 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③1)log ;y x =④y ＝log 3x2；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥2πlog .y x =其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥ (2)已知对数函数的图象过点M (8,3)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x ，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x ，而非常数a ，所以不是对数函数，故③⑥正确．(2)设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由图象过点M (8,3)，则有3＝log a 8，解得a ＝2.所以对数函数的解析式为f (x )＝log 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x . 跟踪训练1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 答案 －3题型二、与对数函数有关的定义域例2 求下列函数的定义域．(1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )；(2)y ＝log 2(16－4x )；(3)y ＝log 1－x 5.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3)．(2)由16－4x >0，得4x <16＝42，由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2)．(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，得x <1且x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变．跟踪训练2 求下列函数的定义域．(1)y ＝x 2－4lg (x ＋3)；(2)y ＝12－x ＋ln(x ＋1)．解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x >0，x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，∴－1<x <2.故所求函数的定义域为(－1,2)．题型三、对数函数模型的应用例3 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 解 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v 1，θ1，提速后的游速、耗氧量为v 2，θ2.由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．反思感悟 对数函数应用题的解题思路（1）依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．知识点二对数函数的图象和性质1.对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log ax与y＝1logax的图象关于x轴对称2.不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．题型一、对数函数的图象问题例1(1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象可能是下图中的()答案C(2)函数y＝log a(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．解析令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．(3)已知f(x)＝log a|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．解因为f(－5)＝1，所以log a5＝1，即a＝5，故f (x )＝log 5|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x >0，log 5(－x )，x <0.所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示． 延伸探究在本例中，若条件不变，试画出函数g (x )＝log a |x －1|的图象． 解 因为f (x )＝log 5|x |， 所以g (x )＝log 5|x －1|，如图，g (x )的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到．反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点． 跟踪训练1 (1)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1解析 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. (2)画出函数y ＝|lg(x －1)|的图象． 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 ①先画出函数y ＝lg x 的图象(如图)．②再画出函数y ＝lg(x －1)的图象(如图)．③最后画出函数y ＝|lg(x －1)|的图象(如图)．二、比较大小例2 比较下列各组数的大小：(1)log 534与log 543；(2)13log 2与15log 2；(3)log 23与log 54.解 (1)方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)由于13log 2＝1log 213，15log 2＝1log 215，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151log l .og 22< (3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a解析 ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B. (2)比较下列各组值的大小：①2233log 0.5,log 0.6;②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，所以3232log log 0.50.6.>②因为函数y ＝log 1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4. ③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57.④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8.知识点三 反函数的概念一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． (1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域． (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象 关于直线y ＝x 对称．(3)互为反函数的两个函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．一、反函数例1 函数f (x )与g (x )互为反函数，若f (x )＝201910x (x <0)．求函数g (x )的解析式，定义域、值域．解 120192019()1010xxf x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭(x <0)是增函数，所以0<1201910x⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭<100，所以0<1201910x⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<1， 故f (x )＝1201910x⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)， 所以g (x )＝2 019lg x ，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)． 反思感悟 互为反函数的常用结论(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．(2)若f (x )与g (x )互为反函数，则f (x )的定义域、值域分别为g (x )的值域、定义域． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．跟踪训练1 (1)已知函数y ＝a x 与y ＝log a x ，其中a >0且a ≠1，下列说法不正确的是( ) A ．两者的图象关于直线y ＝x 对称B ．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C ．两函数在各自的定义域内增减性相同D ．y ＝a x 的图象经过平行移动可得到y ＝log a x 的图象 答案 D(2)函数y ＝f (x )是()g x x =的反函数，则f (2)＝________.解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，f (2)＝⎝⎛⎭⎫222＝12. 题型二、解对数不等式例2 解下列关于x 的不等式：(1)7171log (4)og ;l x x >-(2)log a (2x －5)>log a (x －1)．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.(2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数，所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞)．题型三、对数型复合函数的单调性例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间．解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，当x 增大时，t 增大，12log y t =减小．所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数．即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1)．反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域．(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性． (3)判断出函数的增减性求出单调区间．跟踪训练3 已知函数f (x )＝log 2x ＋1x －1.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0.解得x >1或x <－1. 所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．所以函数的定义域关于原点对称． f (－x )＝log 2－x ＋1－x －1＝log 2x －1x ＋1＝－log 2x ＋1x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则x 2＋1x 2－1－x 1＋1x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)<0，所以x 2＋1x 2－1<x 1＋1x 1－1，所以log 2x 2＋1x 2－1<log 2x 1＋1x 1－1，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )在(1，＋∞)上为减函数．同理，f (x )在(－∞，－1)上也是减函数． 故f (x )＝log 2x ＋1x －1的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．求与对数函数有关的复合函数的值域或最值典例 求函数f (x )＝log 2(4x )·14log 2x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解 f (x )＝log 2(4x )·14log 2x ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1)＝－12[(log 2x )2＋log 2x －2]． 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]，因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12，∴函数y ＝－12(t 2＋t －2)在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98.当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.对数的概念1．给出下列函数：①y ＝223log x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解析 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 3．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x解析 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 4．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝14log xC ．y ＝12log xD ．y ＝log 2x解析 由于对数函数的图象过点M (16,4)，所以4＝log a 16，得a ＝2. 所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.5．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 解析 代入(6,3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________. 解析 由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.7．函数y ＝()12log 3x a -的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________.解析 由y ＝()12log 3x a -知，3x －a >0，即x >a 3.∴a 3＝23，即a ＝2.8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析 由题意得5＝2log 4x －2，即7＝log 2x ，得x ＝128. 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1)． 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1. 故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)． 10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解 (1)M ＝lg A －lg A 0＝lg A A 0＝lg 200.002＝lg 104＝4.即这次地震的震级为4级．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 0，8＝lg A 8－lg A 0，所以lg A 8－lg A 5＝3，即lg A 8A 5＝3.所以A 8A 5＝103＝1 000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．11．函数y ＝log 2(x －1)2－x的定义域是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2)．12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得，100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.13．若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________.解析 由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 14．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 解析 依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3.综上，k 的取值范围是[0,3)．15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10 C ．1 D.110解析 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0<x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L ＝5.0＋lg V .(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg 32＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lg V ，所以V ＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg 410＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V ，所以lg V ＝－1.所以V ＝0.1.所以④处应填0.1. 对照表补充完整如下：(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V 甲，所以V 甲＝10－0.5，则V 乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L 乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.对数的图像与性质1．若0<a <1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4,0)且单调递减，∴函数图象不过第一象限，故选A. 2．已知12log m <12log n <0，则( )A ．n <m <1B ．m <n <1C ．1<m <nD ．1<n <m解析 因为0<12<1，12log m <12log n <0，所以m >n >1，故选D.3．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较 解析 a ＝log 36＝log 32＋1，b ＝log 52＋1，c ＝log 72＋1， 在同一坐标系内分别画出y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，当x ＝2时，由图易知log 32>log 52>log 72，∴a >b >c .4.如图，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，355．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <c <a B ．b <a <c C ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题意知，a ＝log 45>1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a . 6．比较大小，用不等号连接起来．(1)log 0.81.5________log 0.82；(2)log 25________log 75；(3)log 34________2；(4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>7．函数y ＝log a (x －4)＋2(a >0且a ≠1)恒过定点________．解析 令x －4＝1得x ＝5，此时y ＝log a 1＋2＝2，所以函数y ＝log a (x －4)＋2恒过定点(5,2)． 8．如果函数f (x )＝(3－a )x 与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析 若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1，a >1，即1<a <2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<3－a <1，0<a <1，无解．故1<a <2.9.已知函数y ＝log a (x ＋b )的图象如图所示．(1)求实数a 与b 的值；(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？解 (1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点，所以得方程0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ， 解得a ＝2，b ＝4.(2)由(1)知，y ＝log 2(x ＋4)．函数y ＝log 2(x ＋4)的图象可以由y ＝log 2x 的图象向左平移4个单位长度得到．10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.11．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x ＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 12．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD.⎝⎛⎭⎫14x <⎝⎛⎭⎫14y解析 因为0<x <y <1，所以由函数的单调性得3x <3y ，log x 3>log y 3，log 4x <log 4y ，⎝⎛⎭⎫14x >⎝⎛⎭⎫14y，故选C.13．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________． 解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，因为log a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝log 3x . 又因为x ∈[1,3]，所以0≤f (x )≤1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋5a ，x <1，log 7x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________．解析 要使函数f (x )的值域为R ，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，log 71≤1－2a ＋5a ，即⎩⎨⎧a <12，a ≥－13，15．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象 题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，∴g (x )的图象应为D. 16．已知函数f (x )＝|12log x |.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)写出函数y ＝f (x )的单调区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤12，m 时，函数y ＝f (x )的值域为[0,1]，求m 的取值范围．解 (1)先作出y ＝12log x 的图象，再把y ＝12log x 的图象x 轴下方的部分往上翻折，得到f (x )＝|12log x |的图象如图．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (3)由f (x )＝|12log x |的图象可知f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝1，f (1)＝0，由题意结合图象知，1≤m ≤2.反函数1．函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0， ∴x ≥1，∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞)． 2．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．a >b >1D ．b >a >1解析 因为log a 2<0，log b 2<0，所以0<a <1,0<b <1，又log a 2<log b 2，所以a >b ，故0<b <a <1. 3．函数f (x )与函数g (x )互为反函数，若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 且x ∈(0，＋∞)，则函数g (x )的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．R C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析 ∵当x ∈(0，＋∞)时，⎝⎛⎭⎫12x∈(0,1)，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(0，＋∞)的值域为(0,1)， 又f (x )与g (x )互为反函数，故g (x )的定义域为(0,1)，故选C. 4．已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A ．0<a <22 B ．a >22 C.22<a <1 D ．0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22.综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 5．函数y ＝()213log 34x x -+-的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3.设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2.∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝()213log 34x x -+-的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间，∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝()213log 34x x -+-的单调递增区间为(2,3)，故选D.6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫32，23，则a ＝________.考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质解析 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ，即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2.7．函数y ＝()15log 13x -的值域为________．解析 因为3x >0，所以－3x <0，所以0<1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.∴y >08．若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________．解析 ∵f (2)>f (3)，∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2.9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域，值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，得定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，因为x ∈(－3,1)，所以t ∈(0,4]． 所以f (t )＝log a t ，t ∈(0,4]．当0<a <1时，y min ＝f (4)＝log a 4，值域为[log a 4，＋∞)．当a >1时，值域为(－∞，log a 4]．(2)y min ＝－2，由(1)及题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 4＝－2，得a ＝12.10．已知函数f (x －1)＝lg x2－x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)解关于x 的不等式f (x )≥lg(3x ＋1)．解 (1)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，由题意知x2－x >0，即0<x <2，则－1<t <1，所以f (t )＝lgt ＋12－(t ＋1)＝lg t ＋11－t ，故f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)．(2)由(1)知，f (x )＝lg x ＋11－x (－1<x <1)，所以f (－x )＝lg －x ＋11－(－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg1＋x1－x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (3)原不等式可化为lg x ＋11－x≥lg(3x ＋1)，－1<x <1， 即x ＋11－x≥3x ＋1>0，－1<x <1，解得－13<x ≤0或13≤x <1，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1.11．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析 当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12.12．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)<f (b ＋2) B ．f (a ＋1)≤f (b ＋2) C ．f (a ＋1)≥f (b ＋2)D ．f (a ＋1)>f (b ＋2)解析 由于此函数是偶函数，函数f (x )＝log a |x －b |中b ＝0，又函数在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，则0<a <1，所以有1<a ＋1<2，因为f (a ＋1)＝log a |a ＋1|，f (b ＋2)＝log a 2，且1<a ＋1<2，所以，f (a ＋1)>f (b ＋2)．13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (18log x )>0的解集为________．解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 作出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0.若f (18log x )>0，则18log x <－13或18log x >13，解得x >2或0<x <12， 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，直线y ＝a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 解析 函数f (x )的图象如图所示，要使y ＝a 与f (x )有两个不同交点，则0<a ≤1.15．若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞)考点 对数函数的单调性 题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.16．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解 y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
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第四章 指数函数与对数函数
A．指数函数 y＝2t B．对数函数 y＝log2t C．幂函数 y＝t3 D．二次函数 y＝2t2 答案：A
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第四章 指数函数与对数函数
2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来
的 2 000 元降到 1 280 元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
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第四章 指数函数与对数函数
(1)我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没 有别的变化方式？
答案：有，还有指数衰减． (2)我们知道当底数大于 1 时，对数函数的增长速度越来越慢，那 么当底数小于 1 时，对数函数的变化有何特点？ 答案：当底数小于 1 时，对数函数的递减速度越来越慢．
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第四章 指数函数与对数函数
(1)判断正误． ①实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．( × ) ②解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( × ) ③在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该 函数模型．( × ) ④对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模 拟效果越好．( √ )
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 建立拟合函数模型解决实际问题 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位： 万元)随年产值 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同 时奖金不超过年产值的 15%. (1)若某企业产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y ＝lg x＋kx＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明 原因(已知 lg 2≈0.3，lg 5≈0.7).
对数函数及其性质 课件
μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
对数型复合函数的值域
求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为 R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
当
a＞1
时，函数
y＝logax
在定义域内是增函数，所以
2 loga5
＜logaa 总成立；
当
0＜a＜1
时，函数
y＝logax
在定义域内是减函数，由
2 loga5
＜logaa，得 a＜25，故 0＜a＜25.
故 a 的取值范围为 0＜a＜52或 a＞1.
对数型复合函数的单调性
讨论函数 f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性. [思路分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数 的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1 或 x< －13}．
当 a>1 时，若 x>1，∵u＝3x2－2x－1 为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若 x<－13，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， 若 x<－13，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
[规律总结] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u ＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
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第六讲、对数函数与相关复合函数板块一、对数与对数运算 知能点全解：知能点一：对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒：1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，也就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 ; 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
例 1：求下列各式中的x （1）12log 2x =-； （2）log 92x =； （3）27log 3x =解：（1）2142x -⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）29x =，又因为01x x ≠且>，所以3x =；（3）所以333x =，所以31x =，故13x =。
及时演练：1、将下列指数式化为对数式： （1）45625= （2）2139-= （3）21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭2、将下列对数式化为指数式：（1）2log 164= （2）13log 273=- （3）3log6x = （4）log 646x =-3、求下列各式中的x（1）82log 3x =- （2）3log 274x = （3）()25log log 0x = （4）()3log lg 0x =4、若7log ab c =，则,,a b c 之间满足（ B ）A 、7cb a = B 、7cb a = C 、7cb a = D 、7ab c =5、在()()2log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围为 ()()2,33,5。
6、设方程()2lg lg 2lg 3lg lg 2lg 30x x +++∙=的两个根为12,x x ，则12x x ∙的值为 16。
7、（1）若()()2221log3211x xx -+-=，则x = 2- ；（2）若()234log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则x = 64 。
8、方程()3log 12321xx -⨯=+的解x = 1- 。
9、若()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则12x-=24。
如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有： log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=-log log () n a a M n M n R =∈特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
如[]2log (3)(5)--是存在的，但[]222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==； 例 2：用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式：（1）log a xyz （2）23log a x y z解：（1）z xya log ()log a xy =log a z -log log log a a a x y z =+-（2）32log zyx a(3log log a a x y z =- 2311log log log 2log log log 23a a a a a a x y z x y z =+=+-及时演练：1、计算下列各式的值： （1）27log 9= 32；（2）43log 81= 16 ；（3）()()23log 23+-= 1- ；(4)345log 625 = 3 。
（5）0.4log 1= 0 ；（6）ln e = 1 ；（7）2log （74×52）= 19 ；（8）5lg 100= 25； 2、用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式：1.对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m NN a a m m N a=≠≠>>>2.两个常用的推论:1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a例 3：已知3log log 4a b a ∙=，求b 的值。
解：∵33lg lg lg log log log lg lg3lg3a b a bb a b a ∙=∙== ∴3log 4b =，∴4381b ==例 4：已知 2log 3a =， 3log 7b =, 用 ,a b 表示42log 56解：因为2log 3a =，则2log 13=a, 又∵73log b =, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab abN a N a =log ，log log m na a nb b m=()0,1,0,0a a b N ≠>>>例 5：求941log 1619log 274⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值解：原式()()212223114log 43323343log3log 3444161222----=++=++=++=取对数得：3lg lg k x =， 4lg lg ky =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+（2）k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x43< 又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64< ∴z y x 643<<板块二、对数函数 知能点全解：知能点一：对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。
知能点二：对数函数的图像和性质：a >101a <<图 像性 质定义域：()0,+∞值域：R过点()1,0，即当1x =时，0y =)1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y),1(+∞∈x 时0<y在()0,+∞上是增函数在()0,+∞上是减函数特别提醒：对指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在x 轴上侧，图像从左往右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图像从左往右相应的底数由小变大。
即不论在y 轴上侧还是下侧，底数按逆时针增大。
题型一：函数的定义域值域问题 例 6：求下列函数的定义域、值域：（1）y =； （2）()212log 23y x x =--解：（1）∵31log 0x -≥ ∴33log 1log 3x ≤= ∴0x <<3 所以函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥ 所以函数的值域为[)0,y ∈+∞。
（2）∵2230x x -->∴3x >或1x -< 所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈所以函数的值域为y R ∈。
()5,+∞ 、下列函数的值域为：(22log x =例 7：已知()lg f x x =，则()1y f x =-的图像是下图中的（ A ）象限；题型三：对数函数的单调性例 8：求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间解：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x > 令2253u x x =--，0.1log y u =∵对数的底数 0.11<， ∴函数0.1log y u =减函数由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可。
∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞。
知能点三：比较对数值的大小，常见题型有以下几类：1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。
例 9：比较下列各组数的大小：（1）0.3log 1.8和0.3log 2.7； （2）log 5.1a 和log 5.9(0,1)a a a >≠（3）6log 7和7log 6； （4）3log π和2log 0.8解：（1）因为函数0.3log y x =的底数00.31<<，所以它在()0,+∞上是减函数，所以7.2log 8.1log 3.03.0>；（2）当01a <<时，函数l o g a y x = 在()0,+∞上是减函数，所以log 5.1a >log 5.9a ；当1a >时，函数log a y x = 在()0,+∞上是增函数，所以log 5.1a <log 5.9a （3）16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<， ∴ 67log 7log >（4）01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<， ∴32log log 0.8π>；知能点四：对数不等式的解法：()()()()()()()()()() 1 log log 0 01log log 0a a a a f x g x a f x g x f x f x g x a f x g x f x >⎧>>⎨>⎩<⎧<<>⎨>⎩当时，与同解。