初中数学竞赛集锦全面
初中中数学竞赛试题及答案
初中中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333D. √22. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或13. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形4. 一个多项式f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，它的根是：A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 1, 3, 4D. 2, 2, 35. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为4，那么直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切6. 以下哪个是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆7. 一个数列1, 3, 5, ..., 19，这个数列共有多少项？A. 10B. 11C. 12D. 138. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是：A. 29B. 32C. 35D. 389. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长增加2米，宽增加1米，面积增加8平方米，求原长方形的宽是多少？A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米10. 一个分数的分子与分母的和是21，如果分子增加5，分母增加1，新的分数等于1，求原分数是多少？A. 3/18B. 4/17C. 5/16D. 6/15二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________。
12. 一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，即这个数是________。
13. 一个多项式f(x) = x^2 - 5x + 6可以分解为________。
14. 一个数的立方根等于它本身，这个数是________。
15. 如果一个数列的前三项是1, 2, 3，且每一项都是前一项的两倍，这个数列的第5项是________。
全国初中数学竞赛试题集锦(附解答)
全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。
七年级上册数学竞赛题和经典题
七年级上册数学竞赛题和经典题一、竞赛题与经典题。
1. （有理数运算）计算：( 2)^3+[26 ( 3)×2]÷4解析：先计算指数运算( 2)^3=-8。
再计算括号内的式子，[26-( 3)×2]=[26 + 6]=32。
然后进行除法运算32÷4 = 8。
最后进行加法运算-8+8 = 0。
2. （整式的加减）化简：3a + 2b 5a b解析：合并同类项，3a-5a=-2a，2b b=b。
所以化简结果为-2a + b。
3. （一元一次方程）解方程：3(x 1)-2(x + 1)=6解析：先去括号，3x-3-2x 2=6。
再移项，3x-2x=6 + 3+2。
合并同类项得x = 11。
4. （数轴相关）在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5，求A、B两点间的距离。
解析：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数（大数减小数）。
所以AB = 5-( 3)=5 + 3 = 8。
5. （绝对值）已知| x|=3，| y| = 5，且x>y，求x + y的值。
解析：因为| x|=3，所以x=±3；因为| y| = 5，所以y=±5。
又因为x>y，当x = 3时，y=-5，此时x + y=3+( 5)=-2；当x=-3时，y=-5，此时x + y=-3+( 5)=-8。
6. （有理数的混合运算）计算：(1)/(2)×(-2)^2-((2)/(3))^2÷(2)/(9)解析：先计算指数运算，(-2)^2 = 4，((2)/(3))^2=(4)/(9)。
然后进行乘除运算，(1)/(2)×4 = 2，(4)/(9)÷(2)/(9)=(4)/(9)×(9)/(2)=2。
最后进行减法运算2-2 = 0。
7. （整式的概念）若3x^m + 5y^2与x^3y^n是同类项，则m=_ ，n=_ 。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初中数学竞赛试题内容及答案
初中数学竞赛试题内容及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. ±4D. ±2答案：C3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C5. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 6D. 8答案：B6. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是多少？A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A8. 一个等腰三角形的底边长是10厘米，两腰相等，如果底角是45°，那么腰长是多少？A. 5B. 7.07C. 10D. 14.14答案：D9. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A10. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 4B. 1/4C. 1D. 1/2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方加上8倍这个数再加上16等于0，这个数是______。
答案：-412. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这是一个______三角形。
答案：直角13. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：814. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
答案：515. 如果一个分数的分子是7，分母是14，化简后是______。
答案：1/216. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±517. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
江苏数学竞赛初中试题及答案
江苏数学竞赛初中试题及答案试题一：代数基础题题目：已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 - b^2 = 21 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
答案：根据差平方公式，\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)。
已知\( a^2 - b^2 = 21 \)，我们可以将21分解为两个因数的乘积，即\( 21 = 3 \times 7 \)。
考虑到 \( a \) 和 \( b \) 是正整数，我们可以得出 \( a = 7 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，求这个三角形的三个角度数。
答案：设较小的锐角为 \( x \) 度，则较大的锐角为 \( 2x \) 度。
根据直角三角形的性质，三个角的和为180度，因此有 \( x + 2x + 90 = 180 \)。
解这个方程，我们得到 \( 3x = 90 \)，所以 \( x = 30 \)。
因此，较小的锐角是30度，较大的锐角是60度，直角是90度。
试题三：数列题题目：一个数列的前三项为 \( 2, 4, 7 \)，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求第10项的值。
答案：根据题意，数列的前几项为：2, 4, 7, (2+4+7), (4+7+13), ...即：2, 4, 7, 13, 24, 41, 75, 130, 231, ...第10项的值为 \( 231 \)。
试题四：逻辑推理题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人从每个盒子里都拿了一个球，但没有人拿到两个相同数量的球。
每个人拿的球的总数都是6个。
问每个人分别从哪些盒子里拿球？答案：设5个人分别为A、B、C、D、E。
根据题意，每个人拿的球的总数都是6个，且没有人拿到两个相同数量的球。
我们可以列出以下可能的组合：- A: 1, 2, 3- B: 1, 3, 4- C: 1, 4, 5- D: 2, 3, 5- E: 2, 4由于每个人拿的球的总数都是6个，我们可以排除E的组合，因为2+4=6，没有第三个球。
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
数学竞赛初中试题及答案
数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：C4. 如果一个数的平方是36，那么这个数是？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B5. 以下哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：B6. 一个等差数列的第一项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A7. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5，宽为3的矩形D. 底为6，高为2的三角形答案：B8. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案：A9. 一个数的立方根是2，那么这个数是？A. 6B. 8C. 2D. 4答案：D10. 下列哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。
答案：2213. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是________。
讲解初中数学竞赛试题及答案
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
初三数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题及答案一、选择题1. 已知平面内一直线L的倾斜角为α，斜率为k，若点A(-1,2)在L 上，则直线L的方程为：A. y-2 = k(x+1)B. y+2 = k(x-1)C. y-2 = k(x-1)D. y+2 = k(x+1)答案：A2. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c 是一个减函数，那么a, b, c的关系是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c < 0C. a < 0, b < 0, c < 0D. a < 0, b > 0, c > 0答案：D3. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，末项为an，且an =3a1，若a4 = 7，则d的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 在ΔABC中，∠A=60°，AC=2AB，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°答案：D5. 若直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题1. 已知ABC是一个等边三角形，AB的边长为5，则三角形ABC 的面积为______。
答案：(25√3)/42. 若一组数据中50%的数据小于等于10，25%的数据大于15，中位数为12，则这组数据的总个数为______。
答案：83. 若甲数是乙数的8倍，且甲数减去乙数等于30，则甲数的绝对值为______。
答案：404. 已知某数的60%等于120，这个数是______。
答案：2005. 若甲数是乙数的1/5，乙数是丙数的1/3，则甲数与丙数之和的三倍为______。
答案：28三、解答题1. 一条细长导线的电阻率R为ρ，长度为l，截面积为A。
如果将导线的长度翻倍，截面积减半，则新的导线的电阻率是多少？答：R2. 已知函数f(x)满足f(x+1) = 2f(x) - 1，且f(2) = 3，求f(5)的值。
七年级数学竞赛题目
七年级数学竞赛题目一、有理数运算类。
1. 计算：(-2)+3-(-5)- 解析：- 根据有理数的加减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数。
- 所以(-2)+3 - (-5)=(-2)+3+5。
- 先计算(-2)+3 = 1，再计算1 + 5=6。
2. 计算：-1^4-(1 - 0.5)×(1)/(3)×[2-(-3)^2]- 解析：- 先计算指数运算，-1^4=-1，(-3)^2 = 9。
- 再计算括号内的式子，1-0.5 = 0.5=(1)/(2)。
- 然后计算乘法，(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(6)，2 - 9=-7。
- 接着计算(1)/(6)×(-7)=-(7)/(6)。
- 最后计算-1-(-(7)/(6))=-1+(7)/(6)=(1)/(6)。
二、整式运算类。
3. 化简：3a + 2b-5a - b- 解析：- 合并同类项，对于a的同类项3a和-5a，3a-5a=-2a。
- 对于b的同类项2b和-b，2b - b=b。
- 所以化简结果为-2a + b。
4. 先化简，再求值：(2x^2 - 3xy+4y^2)-3(x^2 - xy+(5)/(3)y^2)，其中x = - 2,y = 1- 解析：- 先去括号：- 原式=2x^2-3xy + 4y^2-3x^2+3xy - 5y^2。
- 再合并同类项：- (2x^2-3x^2)+(-3xy + 3xy)+(4y^2-5y^2)=-x^2 - y^2。
- 当x=-2,y = 1时，代入可得：- -(-2)^2-1^2=-4 - 1=-5。
三、一元一次方程类。
5. 解方程：3x+5 = 2x - 1- 解析：- 移项，将含x的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到3x-2x=-1 - 5。
- 合并同类项得x=-6。
6. 某班有学生45人会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的多5人，两种棋都会下的有20人，问会下围棋的有多少人？设会下围棋的有x人，则可列方程为？- 解析：- 会下象棋的人数为x + 5人。
历年初中数学竞赛真题库（含答案）
历年初中数学竞赛真题库（含答案）1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀、选择题本题共有8个⼩题，每⼩题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有⼀个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成⽴，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）．⽅程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是⾃然数）．那么nx x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）．若M n1210099321= ，其中Ｍ为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤的⾃然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满⾜c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最⼤值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）．如图，正⽅形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的⾯积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正⽅形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）11=S．在锐⾓ΔABC 中，1=AC ，c AB =，60=∠A，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤21；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）⼆、填空题１．Ｅ是平⾏四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对⾓线BD 于G ，如果ΔBEG 的⾯积是１，则平⾏四边形ABCD 的⾯积是．２．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了⼆次项系数，误求得两根为２和４；⼄由于看错了某⼀项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为⾮负数，且对⼀切x >０，q pnm x x x x )1(1)1(+=-+恒成⽴，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第⼆试x + y ， x － y ， x y ， y x四个数中的三个⼜相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．⼆、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正⽅形ABCD 分割为 2n 个相等的⼩⽅格（n 是⾃然数），把相对的顶点A ，C 染成红⾊，把B ，D 染成蓝⾊，其他交点任意染成红、蓝两⾊中的⼀种颜⾊．证明：恰有三个顶点同⾊的⼩⽅格的数⽬必是偶数．120 1351992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀.选择题本题共有8个题,每⼩题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有⼀个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满⾜1=+-ab b a 的⾮负整数),(b a 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是⼀元⼆次⽅程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=?与平⽅式20)2(b ax M +=的关系是(A)?>M (B)?=M (C)?>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有⼀内接多边形,若它的边长皆⼤于1且⼩于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正⽐例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反⽐例函数)0(>=k x ky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ?和COD ?的⾯积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在⼀个由88?个⽅格组成的边长为8的正⽅形棋盘内放⼀个半径为4的圆,若把圆周经过的所有⼩⽅格的圆内部分的⾯积之和记为1S ,把圆周经过的所有⼩⽅格的圆内部分的⾯积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )=∠60A ,⼜E 7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,是底边AB 上⼀点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x 均为正整数,且 921x x x9x x -的最⼩值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) ⼆.填空题1.若⼀等腰三⾓形的底边上的⾼等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三⾓形的⾯积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最⼤值是__________. 3.在ABC ?中,B AC ∠∠=∠和,90的平分线相交于P 点，⼜AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=?EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(b a a b .第⼆试⼀、设等腰三⾓形的⼀腰与底边的长分别是⽅程062=+-a x x 的两根，当这样的三⾓形只有⼀个时，求a 的取值范围.⼆、如图，在ABC ?中，D AC AB ,=是底边BC 上⼀点，E 是线段AD 上⼀点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀.选择题本题共有8个⼩题,每⼩题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有⼀个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是 (A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内⾓相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内⾓相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最⼩值;Ⅱ.只有⼀个x 使y 取到最⼩值;Ⅲ.有有限多个x (不⽌⼀个)使y 取到最⼤值; Ⅳ.有⽆穷多个x 使y 取到最⼩值. 其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,xx x x x 满⾜⽅程组=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的⼤⼩顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解 (A )等于4 (B )⼩于4 (C )⼤于5 (D )等于56.在ABC ?中,BC AO O A =∠,,是垂⼼是钝⾓, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐⾓三⾓ABC 的三边是a , b , c ,它的外⼼到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)c b a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) ⼆.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最⼩值是___________.2.放有⼩球的1993个盒⼦从左到右排成⼀⾏,如果最左⾯的盒⾥有7个⼩球,且每四个相邻的盒⾥共有30个⼩球,那么最右⾯的盒⾥有__________个⼩球.3.若⽅程k x x =--)4)(1(22有四个⾮零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐⾓三⾓形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三⾓形ABC 分成三⾓形ADE 与四边形BDEC ,设它们的⾯积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第⼆试⼀.设H 是等腰三⾓形ABC 垂⼼,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A ⾄底边BC 的距离变⼩,这时乘积HBC ABC SS 的值变⼩,变⼤,还是不变?证明你的结论.⼆.ABC ?中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ?分成⾯积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最⼩长度.三.已知⽅程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<(3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第⼀试(4⽉3⽇上午8：30—9：30)考⽣注意：本试共两道⼤题，满分80分.⼀、选择题（本题满分48分，每⼩题6分）本题共有8个⼩题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有⼀个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每⼩题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过⼀个（不论是否写在圆括号内），⼀律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不⼩于0B．都不⼤于0C．⾄少有⼀个⼩0于D．⾄少有⼀个⼤于0〔答〕( )3．如图1所⽰，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA 相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平⾏直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所⽰的图形，则共得同旁内⾓A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐⾓三⾓形ABC的三条⾼AD，BE，CF相交于H。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学竞赛试题（中等以上）说明：I 卷的答案必须答在II 卷前的答题卡上第I 卷一、单选题（每题3分，共48分）1、与数轴上的点一一对应的数是（ ）A 、整数B 、有理数C 、无理数D 、实数2、一块矩形木板，截去一块三角板后（只切一刀）余料上角的个数是（ ） A 、5 B 、3 C 、3或5 D 、3；4或53、若m,n 为实数，则代数式n m n m ++-2)(+|nm|的值（ ）A 、大于0B 、不小于0C 、小于0D 、等于04、若两圆的半径分别为3和5，圆心距为x ，且2)3(-x =x-3,|x-4|=4-x,则两圆的公切线共有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5、已知关于x 的不等式（1-a ）x>2的解集为x<a-12,则a 的取值范围是（ ）A 、a>0B 、a>1C 、a<0D 、a<16、若α，β都是锐角，且COS α>COS β，则下列各式中正确的是（ ） A 、 α>β B 、Sin α>Sin β C 、tg α> tg β D 、ctg α> ctg β7、若实数a,b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0则代数式11--a b +11--b a 的值为（ ）A 、—20B 、2C 、2或—20D 、2或208、若三角形的三边长为Sin θ、COS θ，tg θctg θ,00<θ<900,则此三角形的内切圆半径是（ ）A 、Sin θ+COS θ—1B 、1-Sin θ-COS θC 、21（Sin θ+COS θ—1）D 、21（1-Sin θ-COS θ）9、方程x 2+3x-6=0与x 2-6x+3=0所有根的乘积是（ ） A 、-18 B 、18 C 、-3 D 、3 10、在（1）圆、（2）等腰梯形、（3）正方形、（4）正三角形这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A 、（1）（4）B 、（1）（2）（3）C 、（1）（3）D 、（1）（3）（4） 11、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A 、k<31B 、k<31<1C 、k>1D 、k>1或k<3112、两圆的半径分别是R 和r （R>r ），圆心距为d ，若关于x 的方程x 2—2rx+(R —d)2=0有相等的两实根，则两圆的位置关系是（ ）A 、内切B 、外切C 、相交D 、相切 13、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系是（ ）A 、a>b>cB 、a>c>bC 、a>b=cD 、不能确定14、半径为5、25的两圆相交且公共弦长为8则圆心距是（ ）A 、5B 、6C 、1D 、1或515、如图，P ，Q 为双曲线y=x2上的两点Rt △POM 的面积为S 1，Rt △QON 的面积为S 2，则S 1与S 2之间的关系是（ ）A 、S 1=2S 2B 、S 1+S 2<2C 、S 1=S 2=1D 、S 1+S 2>2 16、下列四个命题： （1）如果一条直线上的两个不同的点到另一 条直线的距离相等，那么这两条直线平行；（2）反比例函数的图象是轴对称图形，且只有一条对称轴；（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角等于750； （4）相等的圆周角所对的弧相等。
其中错误的命题有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个I 卷答题卡12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16II 卷二、填空题（每空4分，共40分）１７、已知a 是正数，且a —a 2=1，则a 2-24a = 。
１８、如果某商品进价降低５％，而售价不变，利润可由日前的a%增加到 （a+15）% ，则a= 。
１９、如图在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０o ∠B=900 AB=2,CD=1则ＢＣ＝２０、已知反比例函数y=xm21-的图象上两点 Ａ（x 1,y 1）,B(x 2,y 2),当x 1<0< x 2时，y 1 <y 2则m 的取值范围是２１、如图在三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是中线， 且ＡＢ＝３，ＡＣ＝５ ＡＤ＝２， 则ＢＣ＝２２、如图，圆Ａ，圆Ｂ，圆Ｃ两两不相交，且半径都是r ，则图中阴影部分的 面积为 。
２３、某县举办建党８０周年歌咏比赛，六位评委给某合唱队评分如下：９０，９６，９１，９６，９２，９４则这组数据中，众数和中位数分别是 。
２４、用长为８米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么窗户的最大透光面积是 。
２５、如果圆柱和母线长为３厘米，侧面积为１２л平方厘米，那么圆柱的底面半径是 。
２６、为了调查学生的身体状况，对某校的毕业生进行了体检，在前５０名学生中有４９名是合格的，以后每８名中有７名是合格的，且该校毕业生体检合格率在９０％以上，则该校毕业生人数最多有 名。
三、解答下列各题（共６２分） １、计算（６分）121+＋２－２＋ＣＯＳ２３０0—0.52001·22002·Sin 450２、已知a>0,b a<0 化简2)2(326---+--a b b a （６分）学校 考场 姓名 考号３、如图，△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０0。
Ｏ是ＡＢ上的一点，以Ｏ为圆心ＯＢ为半径的圆交ＡＯ于点Ｅ，与ＡＣ相切于点Ｄ，若ＡＤ＝２，ＡＥ＝１。
求ＣＤ的长。
（６分）４、若x，y为正整数，且xy+x+y=23,x2y+xy2=120。
求x2+y2的值.(6分)５、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向东行进，行人速度是3.6千米／小时，骑车人的速度是10.8 千米／小时，如果一列火车从他们的背后开来，它通过行人的时间是２２秒，通过骑车人的时间是２６秒，这列火车的身长是多少米？６、已知关于x的方程x2—(3k+1)x+2k2+2k=0。
（１）求证：无论k取何实数值方程总有实数根。
（２）若等腰三角形△ＡＢＣ的一边长a=6，另两边长b，c恰好是此方程的两根，求△ＡＢＣ的周长。
（１０分）7、已知点M（a,b）第一象限，半径为r的圆M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且点M在直线y=x—2 上，点A、B分圆M的弧长之比为1:3，CD=2。
（1）求证：r=2b （2）求过M、A、B三点的抛物线的解析式。
（10分）8、如图：直角梯形ABCD与矩形EFGH的边AB、EH在直线L上，且AD=DC=EF=8cm，EH=2cm，BE=6cm，∠ABC=450。
若矩形EFGH 沿直线L以2厘米/秒的速度向左运动，设运动时间t(秒)，矩形与梯形叠合部分的面积S（cm2）,试求：当0≤t≤11时，S与t的函数关系式。
初中数学竞赛试题 2 及答案本卷共四页，共14题，满分120分；考试时间：8:30～10:30一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)1、设M ＝ b 222c b a ++，其中a 、b 为相邻的两个整数，c ＝ab ，则M( )(A) 必为偶数 (B) 必为奇数 (C) 必为无理数 (D) 以上三种都有可能2、等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6，P 为BC 上一点，且PA ＝4，则PB ·PC 的值等于( )(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 253、若x －1＝2(y ＋1)＝3(z ＋2)，则x 2＋y 2＋z 2可取得的最小值为( )(A) 6 (B) (C) (D)4、已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB ，BC 的中 点，AF 分别交DE ，DB 于G ，H 两点，则四边形BEGH 的 面积是( )(A) (B) (C) (D) 5、如图，边长为12的正三角形ABC 内接于圆，弦DE ∥BC 分别交AB ，AC 于F ，G ，若AF 长x ，DF 长y 都是正整数，则y 的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)6、己知方程x 2－x －1＝0的根是方程x ６－px ２＋q ＝0的根，则p ＝________，q ＝________.7、已知：如图，凸五边形ABCDE 中，S △ABC ＝S △BCD ＝S △CDE ＝S△DE A ＝S △EAB ＝1，则S 五边形ABCDE ＝__________.8、如图，把10个两两互不相等的正整数，a 1a 2…a 10写成下列图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如 表示a 2＝a 1＋a 5，那么， 满足该图表的a 4的最小可能值为___________.9、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝mx ＋n 的图象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数的最小值为1，则这个二次函数的解析式为_________________________.10、将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A ，则A 的最大值等于_____________. 三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分) 11、已知正实数a 、b 、c 满足方程组a ＋b 2＋2ac ＝29 b ＋c 2＋2ab ＝18 c ＋a 2＋2bc ＝25 求a ＋b ＋c 的值12、设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数1，2…，R 中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现。
试求出R 的最大值，并给出一种相应的设计.学校___________________ 姓名___________________ 考证号___________________ 试场___________________……………………装………………订………………密……………封…………………线…………………13、已知：如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的圆分别交AB，AC于点P和Q，交BC于点D和E，若BP＋CQ＝PQ，求∠DAE的度数.14、试求出所有满足下列条件的正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd－1是(a－1)·(b－1)·(c－1)·(d－1)的整数倍.试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)6、p＝8，q＝37、8、209、y＝x2＋1或y＝91(x2＋8x＋25) 10、164三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)11、解：三式相加，得：(a＋b＋c)＋(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝72 (5分)∴(a＋b＋c)2＋(a＋b＋c)－72＝0∴〔(a＋b＋c)＋9〕〔(a＋b＋c)－8〕＝0 (5分)∵a，b，c都是正实数∴a＋b＋c＋9＞0∴a＋b＋c＝8 (5分)12、解：从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法共有4＋6＋4＝14(种)。