本科毕业生论文设计(数学专业)

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数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

师范大学本科毕业论文题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：教授目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)毕业论文论文正文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生..2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

李第二型曲线积分与曲面积分的计算方法李明松（渭南师范学院数学与信息科学系2006级数本2班）摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词：曲面积分；曲线积分1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线o （0，0）的弧.方法一：利用格林公式法L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,()()()()()()11sin cos sin cos xxLL xxL I e y b x y dx e y ax dye y b x y dx e y ax dy=-++---++-⎰⎰记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x xD DQ P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()22Db a dxdy a b a π=-=-⎰⎰其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0因而：()222I bx dx a b =-=-⎰ ，从而()22231222222I I I a b a a b a b a πππ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1）若 P Q y x∂∂=∂∂（与路径无关的条件），则 ()()()()1111000,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰（2） ()(),x t y t φϕ==()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt βαφϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点解： ()()()sin cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰()sin cos x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰记为12I I I =- ,对于1I ，积分与路径无关，所以()()0,02,0sin cos sin 0xx x a eydx e ydy e y+==⎰对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a ty a t=+⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()()22223230223sin sin cos sincos cos 11222Lb x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a πππ++=---++=--+⎰⎰从而 23222I a b a ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz ++⎰若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续Ldydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰若L 非闭，其参数方程为()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβα⎡⎤++⎣⎦⎰其中： ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩α，β分别为L 的起点，终点参数值.例2 计算空间曲线积分I=()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中曲线L为圆柱面222x y a +=与平面1x za h+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上三角函数的正交性.解：令 cos ,sin x a t y a t ==，则()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是I=()()()(){}()sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二：解：2dydzdzdx dxdyI dydz dzdx dxdy x y z y zz xx y∑∑∂∂∂==-++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ {}()21,1,1,0,1212xyD D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰3 第二型曲面积分例 3 计算曲面积分()2z x dydz zdxdy +-∑⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()2212z x y =+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++⎰⎰⎰⎰ ()1其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点（x ，y ，z ）处的法向量的方向余弦. 解： {},,1n x y =-，{}cos ,cos ,cos n αβγ=⎧⎫= ()()22z x dydz zdxdy z x z ds ∑∑⎡⎤+-=+-⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰222∑∑==()2221Dx x y ++=()22212D x x y dxdy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰22220cos 82r d rdr πθθπ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰方法二：分面投影法如果∑由(),z z x y =给出，则()(),,,,,xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()2如果∑由(),x x y z =给出，则()(),,,,,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()3 如果∑由(),y y z x =给出，则()(),.,,,zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面∑是由方程()()()(),,,,x x z y y y x z z z x y ===所给出的曲面上（前，右）侧，应取“+”，否则取“-”. 解：()()22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑∑+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222z x dydz z x dydz z x dydz∑∑∑=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前((22yzyzD D z dydz z dydz =--⎰⎰⎰⎰20244yzD dy π===⎰()2212xyD zdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ=-=-⎰⎰所以()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果∑的方程(),z z x y =， (),xy x y D ∈，（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数,,P Q R 在∑上连续时，则单位法向量为 n e ={}cos ,cos ,cos αβγZ ⎧⎫-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=， cos dzdx ds β=，cos dxdy ds γ=，于是得到cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdyαααγγγβββγγγ====-====-所以()()()()()()()(){}()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyx y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyP x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy∑++⎡⎤=±⋅-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=±⋅-+⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 等式右端的符号这样确定：如果∑是由方程所给出的曲面上侧，取“+”，否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时，只需注意到此时∑的法向量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：()2212z x y =+，∑在xoy 面上的投影区域：xy D =(){}22,4x y x y +≤，又∑的下侧，x z x =，故由上式可得：()()()()()2222222222222200114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdyx x y dxdyr d r rdr πθθπ∑⎧⎫⎡⎤+-=-++--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法四：高斯公式,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z =∑的上侧，则用高斯公式()1200zx dydz zdxdy dv Ω++-==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()()122z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑⎰⎰⎰⎰又()112028xyD zx dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=--=-∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰4 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）参考文献[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287.[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112.[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.The Second Type Cruve Total And Song Computing Technology That Area Divide IntoLI Ming-song(Class 2 Grade 2006, Department of Mathematic and Information Science, Weinan Teachers University)Abstract ：This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly,Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide.Key words：The area of the song is divided；The total mark of curve。

数学与应用数学专业毕业论文

数学与应用数学专业毕业论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当前的中小学数学教学中，普遍存在着学生学习兴趣不足的问题。

一方面，由于数学学科的抽象性和严谨性，使得许多学生在学习过程中感到枯燥乏味，难以产生兴趣；另一方面，教师在教学过程中往往过于关注知识的传授，忽视了激发学生的学习兴趣。

（1）课堂氛围枯燥，缺乏趣味性在传统数学课堂中，教师往往采用“一言堂”的教学方式，课堂氛围较为严肃，学生被动接受知识，缺乏积极参与和互动。

这种教学方式使得数学课堂变得枯燥无味，难以激发学生的学习兴趣。

（2）教学手段单一，缺乏创新性在教学过程中，部分教师过于依赖教材和PPT，教学手段单一，缺乏创新。

这使得学生在学习过程中感到乏味，难以产生学习兴趣。

2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于关注学生的考试成绩，导致教学过程中重视结果记忆，轻视思维发展。

（1）题海战术，忽视思维训练为了提高学生的考试成绩，部分教师采用题海战术，让学生大量做题。

这种做法虽然能在一定程度上提高学生的解题能力，但忽视了思维训练，导致学生难以形成系统的数学思维。

（2）教学过程过于关注答案，忽视思考过程在教学过程中，部分教师过于关注答案的正确性，而忽视了学生的思考过程。

这种做法使得学生在遇到新问题时，难以运用所学知识进行思考和解决。

3、对概念的理解不够深入在数学学习中，概念的理解至关重要。

然而，在当前的教学中，部分学生对概念的理解不够深入，影响了他们的数学学习。

（1）概念教学过于表面，缺乏深入剖析在概念教学中，部分教师仅仅停留在定义的层面，未能深入剖析概念的内涵和外延，导致学生对概念的理解不够深入。

（2）忽视概念之间的联系，难以形成知识体系在教学中，部分教师未能引导学生理解概念之间的联系，使得学生在面对复杂问题时，难以将所学知识进行整合，形成系统的知识体系。

二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了提高数学教学的质量，教师需要从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。

本科毕业生论文设计(数学专业)

*** 学院2016届毕业论文（设计）论文（设计）题目浅析全概率公式的简单应用及其推广子课题题目 ********** * 姓名 ******* *学号 ******** 0所属院系 *******系专业年级 ********指导教师 *******芹2016年 5 月摘要全概率公式是概率论中的一个重要公式之一，在概率论的计算中起着很重要的作用。

常用来解决“多因一果”的复杂事件的概率问题。

实际上，复杂事件分解的关键就是要寻找一个完备事件组，而完备事件组的确定在实际问题中是有一定难度的，这也是全概率公式掌握起有一定难度的原因。

在本文中，我将通过大量的实例来说明在具体问题中如何确定完备事件组，并对全概率公式的应用进行了全面的探讨，在此基础上还得到了全概率公式的一些推广，并进一步分析证明了全概率公式在解决问题时的重要性和高效性，希望利用全概率公式可以使我们更加准确便捷的选择策略和处理问题。

关键词：全概率公式；完备事件组；差分方程；全概率公式的应用AbstractTotal Probability Formula is one of the most important formula in probability theory, and plays an important role in the calculation of probability theory. It is used to solve the probability problem of complex events about "many causes and one effect". In fact, the key of decomposing complex events is to searching a complete event group. However, it is difficult to determine the complete event group in practical issues and this is the reason why it is difficult to master the Total Probability Formula. In this thesis, the author will take a lot of examples to illustrate how to determine the complete event group in concrete problems, and discuss the application of the Total Probability Formula comprehensively. The author will obtain an expanding of the Total Probability Formula on the basis and prove the importance and efficiency of solving problems by analyzing the Total Probability Formula deeply. Moreover the author hopes that people can choose strategies and solve problems easily and accurately with the help of the Total Probability Formula.Keywords:Total Probability Formula;Complete Event Group;Difference Equation;The applicatio Of Total Probability目录引言 (1)第一章全概率公式的概述 (2)1.1准备知识 (2)1.2条件概率 (3)1.3全概率公式 (4)1.3.1离散型随机变量的全概率公式 (5)1.3.2连续型随机变量的全概率公式 (5)第二章全概率公式在解题中的应用 (8)2.1古典概率问题 (8)2.2求随机变量的分布 (9)2.3求二维随机变量函数的分布 (13)2.4列出差分方程求事件概率 (14)第三章全概率公式在实际生活中的应用 (18)3.1全概率公式在产品检验上的应用 (19)3.2全概率公式在传染病诊断中的应用 (20)3.3全概率公式在经济领域中的应用 (20)第四章全概率公式的推广 (21)4.1全概率公式的推广定理1 (22)4.2全概率公式的推广定理2 (22)4.3全概率公式的推广定理3 (23)4.4贝叶斯公式 (24)4.5全概率公式推广多元分布的边际分布 (25)小结 (25)参考文献 (26)谢辞 (27)引言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科,起源于17 世纪的赌博问题。

数学毕业论文

数学毕业论文数学毕业论文（精选7篇）数学毕业论文篇1设计计划学是一门新兴的综合性边缘学科，它研究的是如何保证设计的优良度和高效性，以及如何指导设计的展开。

在设计需要科学计划这一概念已成为现代设计界共识的情况下，我国业界内部对设计计划学的认识与研究，还没有跟上设计发展需要的步伐。

针对我国设计教育现状，本书将就该学科的教学方面，提出一套科学的行之有效的设计计划方法。

以期为设计类学生深入理解设计，更好地掌握设计的方法提供必要的指导。

选题依据计划在今天已逐渐成为一门显学，大至国家事务，小至个人日常生活，社会各个领域都离不开计划，各类大大小小的成功项目，很大程度上都自觉或不自觉地导入，实施了相应的计划活动。

计划学的兴起是知识经济时代资源整合化的大势所趋。

而反映到艺术设计学的领域，我们可以发现，计划同样有极大的发展空间：如何设计，如何保证优良的设计，这都需要科学的调查研究，需要精准的分析定位，需要详实的设计依据，需要合理的组织安排，这些与我们通常理解的形式，风格的赋予层面的设计相异而相成的工作，就是设计计划的内容。

而如何正确进行设计计划，存在着一个方法论的问题。

在学科间的交叉融合成为当前学术主流的大环境下，设计计划应该可以打通各设计专业间的藩篱，为取得成功的设计提供行之有效的方法上的支持。

在设计先进国家，对设计计划方面已有一定程度的研究。

尤其在设计方法研究方面，已取得比较成熟的结果，出现了一些有效的方法，如技术预测法，科学类比法，系统分析设计法，创造性设计法，逻辑设计法，信号分析法，相似设计法，模拟设计法，有限元法，优化设计法，可靠性设计法，动态分析设计法，模糊设计法等。

这些方法侧重于不同的专业设计方向，而设计计划面临不同设计专业，更需要的是一种整合的灵活的解决问题的计划方法。

这就需要我们针对计划自身的学科特点，从现有的成型的方法群中进行提炼，总结出一套适应现在情况的设计计划方法来。

创新性及难度本文致力于从简明实效的角度，为设计计划人员提供易于操控，而且便于和各个专业设计师进行沟通、交流的方法。

数学专业大学论文1000字范文

数学专业大学论文1000字范文数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

下文是店铺为大家搜集整理的关于数学论文的内容，欢迎大家阅读参考!数学论文1000字篇1浅谈提高课堂的有效性思维的策略有效的课堂教学是通过课堂教学活动,让学生在认知和情感上均有所发展。

从事小学数学教学的过程中,对于其有效性有以下几点思考:一、重视情境创设充分调动学生有效的学习情感构建良好的师生关系,调动有效的学习情感,对于维持学生的学习兴趣和注意力至关重要。

调动有效的学习情感,既能培养学生的学习信心,调动其学习的主动性,又能切实提高课堂教学的有效性。

在情境创设中,应注意以下几点:1、情境创设应目的明确每一节课都有一定的教学任务。

情境的创设,要有利于学生数学学习,有利于促进学生认知技能、数学思考、情感态度、价值观等方面的发展。

所以,教学中既要紧紧围绕教学目标创设情境,又要充分发挥情境的作用,及时引导学生从情境中运用数学语言提炼出数学问题。

如果是问题情境,提出的问题则要具体、明确,有新意和启发性,不能笼统地提出诸如“你发现了什么”等问题。

?2.教学情境应具有一定的时代气息作为教师,应该用动态的、发展的眼光来看待学生。

在当今的信息社会里,学生可以通过多种渠道获得大量信息,教师创设的情境也应具有一种时代气息,让他们学会关心社会,关心国家发展。

如教学《百分数的应用》,创设了中国北京申奥成功的情境:出示第二轮得票统计图(北京56票,多伦多22票,巴黎18票,伊斯坦布尔9票)请学生根据统计图用学的百分数知识来提出问题,解决问题。

?3.情境的内容和形式应根据学生的生活经验与年龄特征进行设计?教学情境的形式有很多,如问题情境、故事情境、活动情境、实验情境、竞争情境等。

情境的创设要遵循不同年龄儿童的心理特征和认知规律,要根据学生的实际生活经验而设计。

对低、中高年级的儿童,可以通过讲故事、做游戏、直观演示等形式创设情境,而对于高年级的学生,则要创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境,用数本身的魅力去吸引学生。

数学本科毕业论文

数学本科毕业论文数学本科毕业论文数学作为一门精确而又抽象的学科，一直以来都是人们认为最难以理解的学科之一。

然而，对于数学专业的本科生而言，毕业论文是他们学术生涯的重要一环。

本文将探讨数学本科毕业论文的主题、研究方法以及一些值得注意的事项。

首先，选择一个合适的毕业论文主题是至关重要的。

数学领域的研究范围广泛，可以涉及纯数学、应用数学以及统计学等多个方向。

在选择主题时，学生应该根据自己的兴趣和擅长领域进行选择，同时也要考虑到导师的研究方向和实际可行性。

例如，一个对概率统计感兴趣的学生可以选择研究某种概率分布的性质或者应用统计方法解决实际问题。

其次，研究方法在数学本科毕业论文中起着重要的作用。

数学研究通常需要严密的逻辑推理和数学证明。

因此，学生在论文中应该清晰地描述研究问题、提出假设，并通过严格的数学推导和证明来验证假设。

同时，学生还可以运用数学建模、计算机模拟等方法来验证理论结果的正确性。

在研究方法的选择上，学生应该根据研究问题的性质和可行性进行权衡，并充分利用导师和同学的指导和讨论。

除了研究方法，数学本科毕业论文的撰写也需要一定的技巧。

首先，学生应该清晰地阐述问题陈述，并在引言部分对相关的背景知识进行介绍。

其次，学生应该逐步展开自己的研究思路，清晰地叙述每一步的推导和证明过程。

同时，学生还应该注意论文的结构和逻辑，确保每一部分都能够紧密衔接，形成一个完整的论证体系。

最后，在论文的结论部分，学生应该总结自己的研究成果，并对未来的研究方向提出一些建议。

除了论文的撰写，数学本科毕业论文的答辩也是一个重要的环节。

在答辩中，学生需要向评委会展示自己的研究成果，并回答评委们提出的问题。

因此，学生在答辩前应该充分准备，对自己的研究内容和方法进行深入理解，并思考可能的问题和解决方案。

此外，学生还应该注意表达清晰、语言流畅，以及展示自己的研究成果的可视化展示。

总而言之，数学本科毕业论文是学生学术生涯的重要一环。

在选择主题、研究方法和论文撰写上，学生应该认真思考和准备，并充分利用导师和同学的指导和讨论。

本科数学专业毕业论文

本科数学专业毕业论文和中学数学相比较,大学数学内容多,抽象性和理论性强,很多学生对于大学数学的学习不能适应。

下面是店铺为大家整理的本科数学专业毕业论文，供大家参考。

本科数学专业毕业论文范文一：大学数学数学文化渗透思考摘要：大学教育中非常重要的一门基础学科就是数学，学好数学有利于大学生培养逻辑思维能力，提高创新意识。

在大学数学教学中渗透数学文化，能够让大学生对于数学知识有更加深刻的理解，激发大学生探究数学知识的兴趣，在学习中发现数学的乐趣，养成用严谨的态度看待周边的事物，为大学生今后步入社会做好准备。

关键词：大学数学;教学;渗透;数学文化一、数学文化的具体含义数学文化是指数学的思想、精神、观点、语言以及它们的形成和发展，还包含了数学家、数学史、数学教育和数学发展中的数学与社会的联系，数学与各种文化的关系等。

我国数学文化最早在孙小礼和邓东皋等人共同编写的《数学与文化》中被提及，这本书浓缩了许多数学名家的相关理论学说，记录了从自然辩证法角度对数学文化的思考。

数学不单单是一种符号或者是一种真理，其内涵包含了用数学的观点来观察周边的现实，构造数学模型，学习数学语言、图表和符合的表示，进行数学的沟通。

数学文化可以在具体的数学理念和数学思想、数学方法中揭示内涵。

数学从本质上与文学的思考方式是共通的，数学文化中的逻辑思维、形象思维、抽象思维等在文学思考方式中也有体现。

但是数学文化与其他文化相比较，也有其本身的独特性。

数学在历史发展的长河中不断改变和融合，现在已经成为世界上的一种通用语言，不再受到不同国家文化、语言的束缚，受到了各国人民的推崇和发展，数学文化利用科学的方式对人类生活中的其他文化的本质进行了深刻的揭示，是其他文化发展的基础。

二、教学中渗透数学文化的意义大学数学中综合了物理、计算机、电子等知识，教学课程包含了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等，大学开展数学课程符合时代的发展潮流。

在大学数学教学中渗透数学文化，能够使学生在对数学进行系统化的学习之前，充分理解数学文化的内涵，发现数学文化与其他各种文化间的紧密联系，使大学生能够在数学教学的学习中提高数学学习能力，发展独立发现问题和解决问题的能力，开发大脑的潜能，树立正确的数学学习观念，通过学生深入了解数学的内容，从不同的角度对数学人文、科学方面等知识进行分析和理解。

非线性方程求解的不动点算法及研究数学专业设计大学本科毕业论文

长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY 本科生毕业论文摘要非线性方程在工程实践、经济学信息安全和动力学等方面的大量实际问题中有着极为广泛的应用，而不动点迭代算法作为数学研究的一个新方向，是求解非线性方程问题的一个最基本而又重要的方法.本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其研究，首先，综述了非线性方程求解的不动点算法的研究背景、并阐述了本文的主要工作以及介绍了误差、有限差等基本知识；然后，详细介绍了不动点迭代算法的基本思想、在什么条件下方程存在不动点的收敛定理、不动点的收敛阶定理和Atiken加速公式；最后，考虑到方程可能会不满足不动点迭代收敛定理的两个条件的情况提出了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.关键词：非线性方程，不动点原理，迭代法ABSTRACTA large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of applications.As a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research background of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords:Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method目录摘要 (I)ABSTRACT (I)第1章绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 预备知识 (2)1.2.1 误差 (2)1.2.2 有限差 (3)第２章非线性方程求解的不动点迭代算法 (5)2.1不动点迭代算法的基本思想 (6)2.2 不动点迭代算法的收敛性 (7)2.3 不动点迭代算法的收敛速度 (11)2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性 (12)第3章非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较 (14)3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法 (15)3.1.1 反函数法 (15)3.1.2 牛顿迭代法 (15)3.1.3 Steffensen迭代法 (15)3.1.4 松弛法 (16)3.2 数值实例 (17)结论 (21)参考文献 (23)附录 (24)致谢 (35)第1章绪论1.1 研究背景非线性数值解的问题是现代数学的主要研究课题之一，这不仅是由于科学技术发展的需要，而且也是由于计算技术的高速发展提供了解决这类问题的可能，利用计算机解决非线性问题时，最终总是将其化成为有限维非线性问题，或称为非线性代数问题．对于求解非线性方程，无论从理论上还是从计算机上，都比解线性问题要复杂的多，一般的非线性方程是很难求出精确解的，往往只能求出近似解、数值解，而长期以来，人们为了得到满足条件的近似值，许多计算工作者致力于研究求解非线性方程的有效方法，尤其是计算机出现后函数方程求根的数值解法得到了蓬勃发展，十七世纪，微积分出现时，Newton和Halley发明了各自的新的数学工具去解非线性方程，十八世纪，随着微积分的快速蓬勃发展，Euler和Lagrange分别找到了一个无穷级数来表示方程解，并以各自的名字来命名，十九世纪，人们开始注重问题分析的严密性，柯西建立了优级数技巧，该技巧不断的被以后的事实证明对于研究方程近似解序列的收敛性是很有成效的，在分析严密性发展的时代，Ostrowski对Newton迭代法的收敛性问题规定了一个合理的假设和一个令人满意的解法，在软件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的结果推广到Banach空间，从而使许多用硬分析去做非常棘手的有关问题被轻轻松松地推论中得到了令人满意的解决，等等，总之，这些方法不断地被后人完善，但在目前，实际问题中可能还需要求方程的负根，求非线性方程（组）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法还需要更深入的研究，同时意味着迭代法的发展空间将会更广阔．本文将着重介绍求解非线性方程的不动点算法，其中文献[3]是由王则柯先生于1988年总结的单纯不动点算法，他简述了不动点在非线性方程数值解、微分方程初值问题、边值问题、分支问题等许多应用问题方面的十多年的发展，以及对单值连续映射的不动点或零点问题进行了讨论，在文献[4]中，许炎先生简单的阐述了国内外有关不动点理论的发展状况，并主要讨论了L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近定理，[3][4]这两篇文献都总结出了不动点问题的研究和解决在实际问题中起到了至关重要的作用，这一系列的文献还有[5][6][7][8]，而秦小龙先生在文献[9]中介绍了迭代法的发展情况以及相关定理，为本篇论文提供了大量的基础信息，王公俊先生在文献[10]中分别介绍了常用的求解非线性方程的方法以及收敛性，在文献[11]中，张卷美主要研究了一类不动点迭代法的求解，在迭代格式不满足迭代条件的情况下，运用的几种处理方法，并且用Ｃ语言编程上机进行了计算，对迭代收敛结果进行了分析和比较，为本文提供了大量的信息，另外，本文还借鉴了2本不同出版社的《数值分析》教材的大量内容．本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其应用，第一章为绪论部分，主要介绍了为什么要研究本文的一些原因、目的，以及价值，也准备了一些预备知识作为对正文的补充；第二章介绍迭代法与不动点的相关思想原理、定理以及迭代法的收敛条件，是本文的一个主要章节和工作重心，并且举出了几个实例来辅助证明了运用不动点迭代法求解非线性方程的方便以及准确性；第三章作为对第二章节的一个完善，非常具有实用性，主要讨论了非收敛不动点迭代格式的几类处理方法，并通过数值实例给予了证明.1.2 预备知识1.2.1 误差误差的来源有多个方面，主要有模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等．例1.1 可微函数)(x f 用泰勒(Taylor)多项式 ,!)0(...!2)0(!1)0()0()()(2n n n x n f x f x f f x p +''+'+= 近似代替，则数值方法的截断误差是 ,)!1()()()()(1)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R ξ ξ在0与x 之间．也就是说，截断误差就是近似值与精确值之间的误差．例1.2 用3.14159近似代替π，表示舍入误差..0000026.014159.3⋅⋅⋅=-=πR同样，可以定义舍入误差是指由于计算机字长有限在表示时产生的误差．定义1.1[1] 设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差．然而，在实际中，人们是无法准确计算出误差*e 的精确值的，一般是根据需要估计出误差的绝对值不超过某正数*ε，也就是误差绝对值的一个上界，*ε叫做近似值的误差限，它总是正数．对于一般情形，**||ε≤-x x ，即,****εε+≤≤-x x x (1.1)这个不等式有时也表示为.**ε±=x x (1.2)误差的大小有时还不能完全表示近似值的好坏，例如，有两个量110±=x ，51000±=y ，则.5,1000;1,10****====y x y x εε虽然*y ε是*x ε的5倍，但是%5.0**=y y ε比%10**=xx ε小得多，这就说明了*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度要好得多，因此，除了需要考虑误差的大小之外，还应该考虑准确值本身的大小．我们把近似值的误差*e 与准确值x 的比值 ,**xx x x e -= (1.3) 称为近似值*x 的相对误差，记作*r e ．在实际计算中，由于真值x 总是不知道的，通常取 ,*****xx x x e e r -== (1.4) 作为*x 的相对误差，条件是***xe e r =较小，此时 ,)(1)()()()(**2*****2*******x e x e e x x e x x x x e x e x e -=-=-=- (1.5) 是*r e 的平方项级，故可忽略不计．相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即 .||***x r εε= (1.6) 根据定义，上例中 %10||**=x x ε与%5.0||**=y y ε分别为x 与y 的相对误差限，很显然*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度好得多．在实际运算中，为了避免误差危害，数值计算中通常不采取数值不稳定算法，在设计算法是应该尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两个相近数字相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数．1.2.2 有限差定义1.2[2] 分别称),()()(x f h x f x f -+=∆ (1.7) ),()()(h x f x f x f --=∇ (1.8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22)(h x f h x f x f δ (1.9)为函数)(x f 在点x 的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分，或者分别简称为一阶前差，一阶后差，一阶中心差，统称为(一阶)有限差，其中)0(>h 表自变量的有限增量，称为步长，∇∆,和δ分别成为(一阶)前差算子、(一阶)后差算子和(一阶)中差算子，统称为(一阶)有限差算，仿此，可以定义高阶有限差，例如，二阶前差记作)(2x f ∆，定义为[]).()()()(2x f h x f x f x f ∆-+∆=∆∆=∆ (1.10) 于是，有).()(2)2()(2x f h x f h x f x f ++-+=∆ (1.11) n 阶前差记作)(x f n ∆，定义为[]).()()()(111x f h x f x f x f n n n n ---∆-+∆=∆∆=∆ (1.12) 同样，二阶后差)(2x f ∇和n 阶后差)(x f n ∇分别定义为[])()()()(2h x f x f x f x f -∇-∇=∇∇=∇ (1.13)和[]).()()()(111h x f x f x f x f n n n n -∇-∇=∇∇=∇--- (1.14) 二阶中心差 )(2x f δ 和n 阶中心差)(x f n δ分别定义为[],22)()(2⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==h x f h x f x f x f δδδδδ (1.15)和[].22)()(111⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+==---h x f h x f x f x f n n n n δδδδδ (1.16)我们规定0()()f x f x ∆=, 0()()f x f x ∇=, 0()()f x f x δ=.有限差有下列一下性质：（1）常数的有限差恒为零．（2）有限差算子为线性算子，即对任意的实数α,β恒有()),()()()(x g x f x g x f ∆+∆=+∆βαβα (1.17) ()),()()()(x g x f x g x f ∇+∇=+∇βαβα (1.18)()).()()()(x g x f x g x f βδαδβαδ+=+ (1.19)（3）用函数值表示高阶有限差：()),)((1)(0h i n x f C x f ni in i n -+-=∆∑= (1.20)()),(1)(0ih x f C x f n i in i n --=∇∑= (1.21)()),)2((1)(0h i hx f C x f n i i n i n -+-=∑=δ (1.22)其中 .!)1()1(i i n n n C i n +-⋅⋅⋅-= （4）用有限差表示函数值 .)()(0∑=∆=+n i i i nx f C nh x f (1.23)第２章非线性方程求解的不动点迭代算法2.1不动点迭代算法的基本思想首先讨论解非线性方程)(x g x = (2.1) 的问题. 方程(2.1)的解又称为函数g 的不动点. 为求g 的不动点，选取一个初始值0x ，令⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k (2.2) 已产生序列}{k x . 这一类迭代法称为不动点迭代. )(x g 又被称为迭代函数，很显然，若迭代序列}{k x 收敛，即有,lim p x k k =∞→ (2.3) 且)(x g 连续，则p 是g 的一个不动点．例2.1[2] 方程042)(23=-+=x x x f 在区间[]2,1中有唯一跟. 我们可以用不同的方法将它化为方程：（1）;42)(231+--==x x x x g x（2）;22)(212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x g x （3）;22)(2133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x g x （4）;212)(214⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x x g x （5）,4342)(2235xx x x x x g x +-+-== 等等.取初始值5.10=x ，分别用式(2.2)的迭代格式计算，结果如下表．表2.1 例2.1迭代公式计算结果从表2.1中可以看到，选取迭代函数为)(4x g ，)(5x g ，分别12次和4次，得到方程的近似根1.130395435．若选取)(3x g 作为迭代函数，则k 为奇数时迭代子序列单调增加，k 为偶数时迭代子序列单调减小，迭代120次得到近似根1.130395436．若选取)(1x g 作为迭代函数，则迭代序列不收敛，若选取)(2x g 为迭代函数，则出现了负数开方，因而无法继续进行迭代．2.2 不动点迭代算法的收敛性通过例2.1，可以总结出，对于同一个非线性方程的求解问题，在转化为迭代方程时应该要使其解的迭代次数达到最小，且得到的解应该最精确. 在选择迭代函数)(x g 的基本原则是，首先必须保证不动点迭代序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,21k x x x 在)(x g 的定义中，以使迭代过程不至于中断；其次要求迭代序列}{k x 收敛且尽可能收敛得快.定理2.1[2] 假设)(x g 为定义在有限区间[]b a ,上的一个函数，它满足以下条件（1）对任意[]b a x ,∈有[];,)(b a x g ∈ (2.4) （2）)(x g 的导数)(x g '在[]b a ,上有界，且存在正数1<L 使得对一切[]b a x ,∈有 ,1|)(|<≤'L x g (2.5) 那么对于任意初始值[]b a x ,0∈由不动点迭代(2.2)产生的序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，并且有误差估计式|,|1||01x x LL e kk --≤,1≥k (2.6) 其中p x e k k -=.证明首先证明g 的不动点存在且唯一. 令 ).()(x g x x h -= (2.7)据条件(1),0)()(≤-=a g a a h .0)()(≥-=b g b b h又据条件(2)，在)(x g '上存在，因此)(x g 在[]b a ,上连续，从而)(x h 在[]b a ,上也连续，因此方程0)(=x h 在[]b a ,上至少有一个跟．现假设方程0)(=x h 在[]b a ,上有两个根q p q p ≠,,，则由Lagrange 中值定理知，在p 与q 之间存在ξ使得|,||)(||))((||)()(|||q p g q p g q g p g q p -'=-'=-=-ξξ 再由(2.5).|||||||)(|q p q p L q p g -<-≤-'ξ这就得到矛盾式：.||||q p q p -<- 因此q p =，即0)(=x h 在[]b a ,中的根是唯一的．其次证明由不动点迭代格式(2.2)产生的序列}{k x 是收敛于p 的．根据定理条件(1)[]b a x k ,∈，⋅⋅⋅=,2,1,0k ，因此不动点迭代过程不会中断．由(2.5)式有).()(1p g x g p x k k -=-- (2.8) 应用Lagrange 中值定理，并根据(2.5)式有|||||)(||)()(|||111p x L p x g p g x g p x k k k k -≤-'=-=----ξ.||0p x L k -≤⋅⋅⋅≤ (2.9) 因为10<<L ，所以,0||lim ||lim 0=-≤-∞→∞→p x L p x k k k k即.lim p x k k =∞→ (2.10)最后，推导估计式(2.6)．应用收敛性的证明过程，有|||)()(|||111-++-+++++-≤-=-j k j k j k j k j k j k x x L x g x g x x|,|01x x L j k -≤⋅⋅⋅≤+ (2.11) 于是()∑∑-=+++-=++++-≤-=-11101||m j j k j k m j j k j k k m k x x x xx x||1)1(||010110x x LL L x x Lm k m j jk ---=-≤∑-=+.||101x x LL k--≤ (2.12)在上式中令∞→m ，得.1||||01x x L L p x e kk k --≤-= (2.13) (2.6)式得证．例2.2[2] 讨论例2.1中不动点迭代⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--,2,1,22)(213113k xx g x k k k (2.14) 的收敛性. 为使解的近似值的误差不超过810-，试确定迭代次数．解迭代法(2.14)的迭代函数为.22)(2133⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x g )(3x g 的定义域为]4,(3-∞．取初始值5.10=x ，由不动点迭代(2.21)得559016994.01=x ，因此取区间[][]5.1,5.0,=b a ．由于,02243)(22133<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='-x xx g [],5.1,5.0∈x 因此)(3x g 在[]5.1,5.0上单调减小．而[],559.0)5.1()(min 335.1,5.0≈=∈g x g x[],399.1)5.0()(max 335.1,5.0≈=∈g x g x于是，当[]5.1,5.0∈x 时，[]5.1,5.0)(3∈x g ，但,04432243)(232333<⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=''-x x x xx g [],5.1,5.0∈x )(3x g '在[]5.1,5.0上单调减小，因此 [][]{}3330.5,1.50.5,1.5max |()|max |(0.5)|,|(1.5)|x x g x g g ∈∈'''=.019.3)5.1(3≈'=g 因此，定理2.1的条件(2)不成立．从表2.1看到，取133074649.130=x 作为初始值0x ，128116321.131=x 作为1x ．当[]3031,x x x ∈时，[]303132,31,x x x x ∈从而[]30313,)(x x x g ∈．又由于[]313033,|()|max |()|x x x g x g x ∈''≤{}331330max |()|,|()|g x g x ''= ,1853541077.0)(303<=≈'=L x g因此定理2.1的条件成立．故迭代过程收敛[]3031,x x 中任意取初值，为使解p 的近似值k x 的误差不超过810-，根据误差估计式(2.6)|,|1||01x x L L p x kk --≤- 只要.10||1801-<--x x L L k因此，k 应取为810||lg10lg1lg x x L k L ---->853541077.0lg 146458923.0128116321.1133074649.1lg 8⎪⎭⎫⎝⎛---≈.69977.137≈取138=k ．于是迭代138+30=168次必可使近似解的误差不超过810-．实际上，从表2.1中可以看到，只要迭代110次便可达到所要求解的精度．(2.6)式右端是最大可能的误差界．就本例来说，估计的迭代次数偏大了.2.3 不动点迭代算法的收敛速度定理2.2[2] 在定理2.1的假设条件下，再设函数)(x g 在区间[]b a , 上)2(≥m 次连续可微，且在方程(2.1)的跟p 处,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m (2.15) 则不动点迭代为m 阶收敛.证明据定理2.1知，方程（2.1）在[]b a ,上有唯一根p ．且对任意初始值[]b a x ,0∈，不动点迭代序列{}k x 收敛于p 由于),()()()(11p g e p g p g x g p x e k k k k -+=-=-=++ (2.16) 据Taylor 公式和定理条件有()mkk k m m k m k k k e e p g m e p g m e p g e p g e )(!1)()!1(1)(!21)()(1121θ++-+⋅⋅⋅+''+'=--+ ,)(!1)(mk k k m e e p g m θ+=其中10<<k θ. 易知，对于充分大的k ，若 01≠-k e ，则 ),1,(0⋅⋅⋅+=≠k k i e k ，从而()).(!1lim 1p g m e e m m k k k =+∞→ (2.17）故证得不动点迭代为m 阶收敛．关于不动点的迭代，还有下面的局部收敛定理.定理2.3[2] 设p 是方程(2.1)的一个根，)(x g 在p 的某领域内m 次连续可微，且 ,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m ),2(≥m则当初始值0x 充分接近p 时（存在正数r ，对一切[]r p r p x +-∈,0），不动点迭代序列{}k x 都收敛于p ，且收敛阶数为m .证明由于假设()x g '在p 的某领域内连续且()0='p g ，因此必存在0>r 使得对一切[]r p r p x +-∈, 有.1|)(|<≤'L x g 又据Lagrange 中值定理，有),)(()()(p x g p g x g -'=-ξ ξ在x 与p 之间，从而,|||||)(||)()(|r p x p x g p g x g ≤-<-'=-ξ 即.|)()(|r p g x g <- (2.18) 因此当[]r p r p x +-∈,时，[]r p r p x g +-∈,)(．据定理2.2和定理2.3知，对于任意初始值[]r p r p x +-∈,0，不动点迭代收敛，且收敛阶数为m ．2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性一个收敛的迭代过程将产生一个收敛序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，如p x n n =∞→lim ．这样，只要迭代足够多次，即n 充分大时，如m n =，则可取m x p ≈．但若迭代过程收敛缓慢，则会使计算量变得很大，因此需要加速收敛过程．假设一个序列{}n x ：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，线性收敛于p (收敛缓慢)，即有λ=--+∞→p x px n n n 1lim ().0≠λ (2.19) 于是当n 足够大时，有,121px px p x p x n n n n --≈---++ 即),)(()()221p x p x p x n n n --≈-++亦即.)(22222121p p x x x x p p x x n n n n n n ++-≈+-++++ (2.20) 解得nn n n n n x x x x x x p +--=++++12212222221121222n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x ++++++-+--=-+.2)(1221nn n n n n x x x x x x +---=+++ 定义⋅⋅⋅=+---=++++,2,1,0,2)(~12211n x x x x x x x nn n n n n n ， (2.21)(2.21)称为Aitken 加速公式（方法）．Aitken 加速方法得到的序列{}n x ~：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,~,,~,~21n x x x 较原来的序列{}n x 更快地收敛于p . 有下面的定理．定理 2.4[2] 设序列}{n x 是线性收敛于p 的，并且对于所有足够大的整数n 有0))((1≠--+n n x p x ，则由Aitken 加速方法(2.21)产生的序列{}n x ~有.0~lim 1=--+∞→p x px n n n (2.22) 证明由假设序列}{n x 线性收敛于p ，即有,lim 1λ=--+∞→p x px nn n ，0≠λ.记,1λ---=+px px q n n n (2.23) 则有 0lim =∞→n n q ，0lim 1=+∞→n n q ．据(2.21)式，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=--++++p x x x x x x p x p x p x nn n n n n n n n 1221121~2121()1()(2)n n n n n n x x x p x x x +++-=---+21221212111[()]()1()[2()]111..21n n n n n n n n n n n n n n n x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p ++++++++----=-----+-⎡⎤-=--⎢⎥-⎡⎤---⎣⎦-+⎢⎥---⎣⎦ .1)(2))((1)1(112++-++⋅-+-=+λλλλn n n n q q q q (2.24)因此有.012)1(1~lim 221=+---=--+∞→λλλp x p x nn n在绪论中有讲到一阶前差：,1n n n x x x -=∆+ ⋅⋅⋅=,2,1,0n 二阶前差：,2)(122n n n n x x x x x +-=∆∆=∆++ .,2,1,0⋅⋅⋅=n 于是，Aitken 加速公式(2.21)可改写成,)(~221n n n n x x x x ∆∆-=+ .,2,1,0⋅⋅⋅=n (2.25)由于这个缘故，Aitken 加速方法又称为Aitken 2∆加速方法．例2.3[2] 设nx n 1cos =，则1lim =∞→n n x . 由于,111cos 111cos lim 11lim 1=--+=--∞→+∞→nn x x n n n n 因此序列{}nx 收敛于1．由序列{}nx 应用Aitken 加速方法计算得{}nx ~的开头几项列表如下（表2.2）．{}n x ~确实比{}n x 更快的收敛于1．第3章非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较在第2章中主要介绍了求解非线性方程的不动点迭代法，其要求是迭代函数要满足收敛定理假定条件，而在现实生活中，明确满足这些条件的迭代函数是很少见的，本章对于迭代函数不满足收敛条件的情况，提出了几类处理方法.3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法一个方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收敛的，其收敛性取决于迭代函数)(x g 和初值0x ，关于不动点迭代函数的收敛性，上一章已经进行了讨论，但假若[]b a x ,∈时，1)(>≥'L x g ，就不满足定理2.1的条件(2)了，于是下面分别介绍了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.3.1.1 反函数法因为)(x g x =，有[])(1)(1x g x g '='-，则当[]b a x ,∈时，[]11)(1<≤'-Lx g ，所以方程)(x g x =可写成等价形式)(1x g x -=，从而构造迭代格式)(11k k x g x -+=, ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.1) 很明显，)(11k k x g x -+=满足收敛条件.对于)(x g 简单情况, 其反函数)(1x g -容易得到.3.1.2 牛顿迭代法对于迭代格式)(x g x =的情形，采用Newton 迭代格式有 ,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+ ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.2)3.1.3 Steffensen 迭代法根据Aitken 加速算法，对迭代格式)(1k k x g x =+,),1,0(⋅⋅⋅=k ，进行如下修改：),(k k x g y = ),(k k y g z =[]kk k k k k k k k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+)(2))(()())(())((2)(221 (3.3)其中⋅⋅⋅=,1,0k .3.1.4 松弛法将)(x g x =化成等价形式)()1(x wg x w x +-= , 称w 为松弛因子, 从而构造迭代格式),()1(1k k k x wg x w x +-=+ (3.4)其迭代函数为)()1()(x wg x w x g +-= . 记)(min minx g g bx a '='≤≤，)(max max x g g bx a '='≤≤，得到如下结论:（1）当1)(>≥'L x g 时，w 取01)(2max <<-'-w x g 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（2）当1)(-<-≤'L x g 时，w 取)(120minx g w '-<< 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（3）当1)(<≤'L x g 时，w 取)(1)(11minminx g x g w '-'+<< 时，迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快．推导如下：（1）当1)(>≥'L x g 时，由01)(2max<<-'-w x g 得到2)(max->-'w x g w ，其迭代函数为)()1()(x wg x w x f +-=．因为()()()()()()()max1111111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x g ，从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（2）当1)(-<-≤'L x g 时, 由)(120min x g w '-<<得到2)(min->'+-x g w w . 因为()()()()()()()min111,1111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x f , 从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（3）当1)(<≤'L x g 时, w 取)(1)(11min minx g x g w '-'+<<，由1>w 得到[]0)(1)1(<'--x g w ,()()()()()1(1)1f x w wg x w g x g x g x '''''=-+=--+<⎡⎤⎣⎦ 由)(1)(1minminx g x g w '-'+<得到0)()(1min min>'+-'+x g w w x g .()()min()11f x w wg x w wg x '''=-+≥-+()()()()minmin 1w wg x g x g x g x ''''≥-++->-所以有)()(x g x f '<', 从而迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+ 比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快.3.2 数值实例通过以上四种方法都可以解决非收敛不动点迭代格式的问题，现对上述四种给出几个不满足不动点迭代收敛定理的实例，并对结果进行分析和比较. 例3.1 求方程033=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-．解对于方程033=--x x ，将它化为33-=x x ，所以3)(3-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，不满足定理2.1的条件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式计算.下面分别用反函数方法、牛顿（Newton ）迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法对迭代函数进行修改，得到相应新的迭代函数，并用C 语言编程上机计算. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 即.)3(311+=+k k x x 取初值5.10=x ，运用程序见附录1．(2)牛顿（Newton ）迭代法：迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+即.133231)3(23231-+=----=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运用计算程序见附录二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y = ),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+即,33-=k k x y,3)3(33--=k k x z[].)3(23)3()3(3)3(3)3(3332333331kk k k kk k x x x x xx x +-----------=+ 取初值5.10=x ，运用如下程序可以得到结果： (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 即),3()1(31-+-=+k k k x w x w x当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，且3)(min='x g ，12)(max ='x g ，所以w 的取值范围为01122>>--w ，现取5.10=x ，15.0-=w ，运用C 语言编程可得到起结果．以上这四种方法的计算结果见表(3.1)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快.例 3.2 求方程0124=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-.解对于方程0124=--x x ，将它化为21214-=x x ，所以2121)(4-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件，为求此次方程的解，下面同样分别用本章介绍的四种方法求解此方程. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 将方程变为迭代格式为().12411+=+k k x x取初值5.10=x ，运行附录5的相应程序即可得计算结果. (2)牛顿（Newton ）迭代法:迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+代人例题中的数据.12212321212134341-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运行附录6的程序即可的计算结果. (3)Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y =),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+代入例题中的数据有,21214-=k k x y ,2121212144-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x z.2121221212121212121212121212121214442444441k k k k k k k x x x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ 取初值5.10=x ，运行附录7即可算得计算结果. (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 代入例题中的数据有.2121)1(41⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+x w x w x k k当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，13224)(3max>=⨯='x g ，所以w 取值在01322<<--w ，现取05.0-=w ，初值5.10=x ，运行附录8的程序即可得到计算结果.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．例3.3 求方程032=-+x e x 在区间[]1,0内的根，要求精度为510-.解将方程化为等价形式x e x 23-=，那么此时x e x g 23)(-=.当[]1,0∈x 时，12)(>-='x e x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件.按下面这四种方法处理可以得到近似解.(1)反函数法：首先由反函数处理方法可得到迭代格式,223ln 1⎪⎭⎫⎝⎛-=+k k x x取初值5.00=x ，运用程序见附录9.(2)牛顿（Newton ）迭代法：由牛顿迭代法得到迭代格式,21321kk x x k k k e e x x x +-+-=+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录10.(3)Steffensen 迭代法：由Steffensen 迭代法得到迭代格式,23k x k e y -= ,2322⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k x e k e z()()[](),)23(223232323223231kx e e e k x e e e e x kkx kx kx +------=---+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式为(),23)1(1x k k e w x w x -+-=+当[]1,0∈x 时，122)(-<-≤-='x e x g ，e x g 2)(min-='，所以w 取ew 2120+<<之间的值，现取2.0=w ，初值5.00=x ，运用程序见附录12.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件定理的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．结论非线性代数问题的解法是现代计算数学的一个重要研究课题，而不动点迭代算法是求解非线性方程近似根的一个重要方法.本文通过搜集大量资料了解了非线性方程求解的不动点迭代算法的的研究背景，以及研究价值，然后通过介绍不动点迭代法的基本思想，对不动点迭代法的收敛性、收敛速度以及加速不动点迭代算法的收敛性进行了研究，并结合实例经行了比较分析，对于不满足收敛条件的情况，本文通过翻阅大量资料和文献，归纳总结出了四种处理方法，分别为反函数法、牛顿（Newton)迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法，使得不满足收敛不动点迭代格式的非线性方程的求解得到了解决，同样也给出了相关实例进行了比较和验证.具体来说，对于一般的非线性方程，只要满足第2章定理2.1中的条件(1)和条件(2)，那么对于任意的初始值[]b a x ,0∈，则由不动点迭代⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k 产生的迭代序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，那么要考虑的是光是收敛还不能很好的解决一个迭代效率问题，于是本文还致力研究了不动点迭代法的收敛速度，以及加速不动点迭代法.而对于一般不满足第2章定理2.1中的条件（1）或者条件（2）的情况，那么有不动点迭代算法产生的迭代序列不是收敛的，就不能求出函数的近似解，那么本文通过阅读大量的资料以及文献，总结出了四种比较好用的处理方法，并且通过3个实例，可以发现这几种方法不仅能得到收敛的迭代序列，而且收敛的速度也比较快，通过分析比较这四种方法，牛顿迭代法的迭代效果最好.这也是本文的亮点所在.由于诸多条件限制，本文也有很多不足之处，比如说没有足够多的实例来充分的证明第2章的定理2.2与定理2.3，并且对于第3章给出的3个实例中的精度要求较低，有待于继续研究，若有条件，可以更深层次的研究非线性方程组的不动点算法及其应用.参考文献[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008,32(2)：3-8[2] 林成森.数值分析[M].北京：科学出版社，2007,18(1):133-135,255-265[3] 王则柯．单纯不动点算法[J]．广州：中山大学数学系，1988,12(12)：113-127[4] 许炎．Banach空间中的不动点迭代逼近[J]．苏州：苏州科技学院数理学院，2010，13(2)：1-44[5] 李素红．非线性算子的不动点迭代逼近[J]．天津工业大学学报，2006，16(1)：51-58[6] 孙俊萍，徐裕生．非线性算子的不动点定理[J]．长春大学学报，2000，10(5)：30-31[7] 宋娜娜．几类非线性算子的不动点定理[J]．长春工程学院学报（自然科学版），2003,4(3)：1-4[8] 段华贵．几类非线性算子的不动点定理及应用[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2004，20(4)：31-33[9] 秦小龙．非线性算子方程的迭代算法[J]．科学技术与工程研究简报，2010，10(13)：3169-3170[10] 王公俊．非线性方程的迭代法研究[J]．河北大学学报（自然科学版），2000，20(3)：228-231[11] 张卷美．一类不动点迭代法的求解[J]．燕山大学学报，1998，22(2)：140-142[12] 高尚.不动点迭代法的一点注记[J]．大学数学．2003,19(4):30-37[13] 代璐璐．非线性方程组的迭代解法[J]．合肥工业大学学报，2012，5(4):1-57[14] Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis.Nearest common root of polynomials,approximate greatest common divisor and the structured singular value[J].IMA Journal of Mathematical Control & Information,2013，30(4)：423-442附录附录1（反函数处理法）：%main()为主函数%用途：用反函数法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut (double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=pow(x+3,1.0/3.0);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录2（牛顿(Newton)迭代法）：%main()为主函数%用途：用牛顿(Newton)迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=x-(pow(x,3)-x-3)/(3*pow(x,2)-1);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录3（Steffensen迭代法）：%main()为主函数%用途：用Steffensen迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x ,int k){double f,f1,f2;Int i;for(i=0;i<k;i++){f1=pow(x,3)-3;f2=pow(f1,3)-3;f=f2-(pow(f2-f1,2)/(f2-2*f1+x);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf(“\n input k(k>0):”);scanf(“%d”,&k);for(i=1;i<=k;i++){printf(“\n x=%6.5lf\n”,solut(x0,i);}｝附录4（松弛法）：%main()为主函数%用途：用松弛法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>。

数学与应用数学专业大学毕业论文

数学与应用数学专业大学毕业论文一、引言数学与应用数学专业涵盖了数学理论和数学应用的学习，旨在培养学生在数学理论和方法上的深入理解和应用能力。

本次毕业论文旨在探究数学与应用数学的重要性以及其在现代社会中的应用。

二、数学的重要性1. 数学理论的推动作用数学理论作为科学发展的基础，对现代科学和技术的发展起到了重要的推动作用。

通过深入理解数学的基本原理和概念，学生可以在未来的职业生涯中运用数学方法解决实际问题。

2. 数学在科学研究中的应用数学在自然科学和社会科学等领域中起到了重要的作用。

在物理学、化学、生物学等自然科学领域，数学模型被广泛运用于预测、解释以及模拟实验。

在经济学、管理学、社会学等社会科学领域，数学方法可以用来分析数据、描述现象以及推理推论。

3. 数学教育的培养能力数学学科的学习不仅仅是为了培养学生的数学知识和技能，更重要的是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、创造力以及解决问题的能力。

这些能力在学生的终身学习和职业发展中都起到了重要的作用。

三、数学与应用数学的应用领域1. 工程与技术领域数学在工程和技术领域中应用广泛。

在电子工程、计算机科学和信息技术等领域，数学方法被用于设计和优化算法、模拟和分析电路，以及解决不同领域的工程问题。

2. 金融与经济领域数学在金融与经济领域中起到了重要的作用。

通过建立数学模型和运用数学方法，可以预测市场走势、风险管理和投资决策。

金融数学和金融工程等学科的发展也证明了数学在金融领域中的重要性。

3. 自然科学领域数学在自然科学领域中也有广泛的应用。

在物理学、化学、天文学等领域中，数学方法被用于解决实验数据分析、数值计算和模拟实验等问题。

数学模型和方程式可以帮助科学家理解和解释现象，指导实验和观测。

4. 社会科学领域社会科学领域也离不开数学的应用。

例如，在心理学、社会学和统计学等领域中，数学方法可以帮助研究者分析数据、探索关联性以及验证假设。

数学模型的运用可以揭示出隐藏在数据背后的规律和趋势。

数学与应用数学本科毕业范文范德蒙行列式及其应用

本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、范德蒙行列式定义及性质 (2)三、范德蒙行列式的应用 (3)（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (3)（二）范德蒙行列式对整除问题的应用 (5)（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用 (6)（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (7)（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (8)（六）范德蒙行列式在微积分中的应用 (10)（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用 (13)参考文献 (16)范德蒙行列式及其应用摘要:行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；线性变换；多项式Application of Vandermonde’s DeterminantAbstrac t：The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries,but the days up to now the theoretical in determinant was far used in lots of domains.Vandermonde’s determinant is regarded an a kind of special determinant,which not only have the special form but also have the extensive application.The article inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space, linear transformation,polynomial theories and determinant’s calculation of application. Keywords:Vandermonde’sDeterminant;vectorspace;lineartransformation,polynomial theories; determinant’s calculation of application.一引言在高等代数中，行列式计算及其相关的证明是一个重点，也是难点.它最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛，它是后期学习和应用线性方程组，向量空间，矩阵和线性变换的基础.正确而快速的解决行列式问题是其他一切工作的前提，也是科研工作中最为关键的一步.行列式的计算有一定的规律性和技巧性，掌握行列式的规律性有助于我们高效准确的解决科研工作中遇到的行列式问题.而范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.二范德蒙行列式定义及性质1. 范德蒙行列式的定义形如12222121111211 (1)n nn n n nx x x x x x x x x ---的行列式，称为1x ,2x ,…n x 的n 阶范德蒙行列式，记作 n V （1x ,2x ,…n x ）.下面以递推法为例介绍范德蒙行列式的计算n V （1x ,2x ,…n x ）=21311222221331111111122133111111000n n n n n n n n n n n x x x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=21()x x -31()x x -…1()n x x -n-1V （2x ,…n x ）.仿上做法有n-1V （2x ,…n x ）=3242223()()n n n x x V x x --（x -x ）(x -x ).再递推下直到11V =，故n V （1x ,2x ,…n x ）=21()x x -31()x x -…1()n x x -.32422()n x x -（x -x ）(x -x )(1n n x x --).1=1i j j i nx x ≤<≤-∏. 有以上的计算易得，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1n nn n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -). 有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.三范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证不妨设n>0, 如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明：设()12121n n n n f x c x c x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.（二）范德蒙行列式对整除问题的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以用范德蒙行列式的性质讨论某些多项式或者整数的整除题. 例4 设121(),(),(),n f x f x f x -是n-1个复系数多项式，满足 11n x x ++++2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++,证明121(1)(1)(1)0n f f f -====.证设2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++=1()(1)n p x x x -+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得 212122(2)1211(1)(2)121(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωωωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这个关于1(1)f ，2(1)f ，1(1)n f -的齐次线性方程组的系数行列式，因此21(,,,)0n V ωωω-=.例5 设12,,n a a a 是正整数，证明()12,,n V a a a 能被()()2121221n n n n ----整除.证明由()()()111222111111n nn n a a a a aa I aa a --=-1!2!!n =111222112111211121n n n a a a n a a a n a a a n ---. 知()12,,n V a a a 能被1!2!!n =()()2121221n n n n ----整除.（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 6 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解，即2,,b Ab A b 线性无关.例 7 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11j r r A x x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例8 设12,,,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是n 维向量空间的一组基.证令21111121222221111n n n n nnn a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,,n a a a 线性无关.例 9 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取()2111,2,2,,2n α-=，()()()2222121,2,2,2n α-=，()()()211,2,2,2mmm n m α-=，令()()()()()()111222212121122212221222nnnk k k n k k k n n k k k n D ---=，121n k k k m ≤≤≤≤≤，()()()()()()111222212121122212221222n nnk k k n k k k n n k k k n D ---=是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以12,,,n k k k ααα线性无关.例 10 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n>1时，令12,,,n ααα是V 的一个基，设}{112n n n S k k k F V ααα-=+++∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.令112:,n n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n,否则，若,1,2,j i V j n β∈=111121112,.n n n nn n n k k k k βαααβααα--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩则由,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在1ti i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1,ti i x V =∉即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙地利用范德蒙行列式来解决这类题目. 例11 如果12,,,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,,)i i V s λα∈，则当120s ααα+++=时，必有12s ====0ααα.证明注意到(1)I i i i s αλαΛ=≤≤，对等式120s ααα+++=两边逐次作用，得112222211221111220,0,0.s s s ss s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 用矩阵表示为()()111122121110,0,,01s s s s s s λλλλαααλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)矩阵1111221111s s s s s B λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙行列式，由于12,,,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵.在(1)式两边右乘1B -，得12s ====0ααα.例12 数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,n λλλ，则1）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,n e σσσ-的线性组合，这里e 为恒等变换.2）21,,,,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件为1,ni i αα==∑这里()i i i σααλ=，1,2,i n =证明：1）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,,i i i i n σαλα==则 }{i i V k k F λα=⎪∈是δ的不变子空间.令21121n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,,i i i k i n σαα==，则由以下方程组21111211121212221221121,,.n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且()1ij j i nD λλ≤<≤=-∏，所以方程组（1）有唯一解，故δ是21,,,n e σσσ-的线性组合.2)充分性因为1ni i αα==∑，所以()()()()111112212111,,,,,,1n n n n nn λλλλασασααααλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并且()111122111101n i j j i nn nn λλλλλλλλ--≤<≤-=-≠∏，所以1111221111n n nn λλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα是V 的一组基，()()1,,,n ασασα-线性无关.3)必要性设12,,,n e e e 是分别属于1,,,n λλλ的特征向量，则12,,,n e e e 构成V 的一个基，因而有1122n n k e k e k e α=+++.若0,1,2,i k i n ≠=，则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立.若存在}{1,2,,j n ∈，使0j k ≠，不妨设12,,,r k k k 去不为零，而120r r n k k k ++====，因而有1122r r k e k e k e α=+++则()()()()()111111112222212121,,,,,,,,,n n n r r n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασαλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 利用范德蒙行列式可知A 有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而()()()1,,,n r ασασα-=,又因为r n <线性无关，所以()()()1,,,n ασασα-线性无关，矛盾.从而1,ni i αα==∑1,2,i n =.（六）范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.例13 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明a x b <<上有()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-，这里(),c a b ∈.特别的，存在,(,)c a b ∈，使()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=. 证在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F x x x f x b b f b =，为范德蒙行列式，则()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数.因()()()0F a F x F b ===，故有中值定理，存在12a x x x b <<<<，使()()12''0F x F x ==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()''0F c =，即()()()()()''2''22002111f c a a f a F c x x f x b b f b ==0 . 展开行列式即得()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-. 特别的，取2a bx +=，则有相应的()',c a b ∈，使上式成立，即()()()()212"22a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--=+-，化简即得()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=.反复利用微分中值定理，可以类似的证明下面更一般的结论：设()f x 在[],a b 内存在n-1阶导数，12n a x x x b <<<<=.证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏. 例 14 设()f x 在区间I上n 阶可导()2n ≥，若对()()()()00,,,,n n n x I f x M f x M M M ∀∈≤≤为正常数，证明：存在n-1个正常数121,,,n M M M -使对x I ∀∈，有()()()1,2,1.k k f x M k n ≤=-证明：设121,,n a a a I -∈，且()0,i i j a a a i j ≠≠≠，由泰勒公式，对于1,2,,1i n =-，有()()()()()11!!n xn k ni i i k f f f x a f x a a k n ξ-=+=++∑，有此得 ()()()()()11!!n xn kn i i i k f f a f x a f x a k n ξ-==+--∑，因此 ()()()()()1012!!!nx n k n i i i n k f f A a f x a f x a M M k n n ξ-=≤+++≤+∑，其中11max ni i n A a ≤<-=，令()()()11,,1,2,,1!x n ki i k f a A x x I i n k -==∈=-∑,则()()02,1,2,,1!i n AA x M M x I i n n ≤+∈=-，由于方程组的系数行列式D 为()()()2311111231222223111112!3!1!2!3!1!2!3!1!n n n n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n ---------=-=()211112122212121111111!21!1n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a -------=-！，其中后面的行列式为121,,,n a a a -范德蒙行列式，由()i j a a i j ≠≠及0i a ≠知0D ≠，故由克莱姆法则知，存在于X无关的常数()()()()()()121,,k k k n λλλ-，使得：()()()()()11n k k i i i f x A x λ-==∑，(),1,2,,1x I i n ∀∈∀=-，由此推得,1,2,,1x I k n ∀∈∀=-，有()()()()()()()110112!n n k k k i n k i i i i A fx A x M M M n λλ--==⎡⎤≤≤+=⎢⎥⎣⎦∑∑.例15 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数，且()()()()'00,00,,00n f f f ≠≠≠.若121,,,n c c c +为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n i i i f c h f λ-=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件可得，()()1,2,1i f c h i n =+在0x =处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：()()()()1100!k k nk nk h c f c h f h k ==+ο∑，()()()()2200!k k nk n k h c f c h f h k ==+ο∑，当0h →时，若()()110n i i i f c h f λ-=-∑为比n h 高阶的无穷小.则121112211222112211112211++=1,++=0,++=0,++=0.n n n n n nn nn n c c c c c c c c c λλλλλλλλλλλλ++++++++⎧⎪+⎪⎪+⎪⎨⎪⎪⎪+⎪⎩ 这是以121,,,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式为：()121222121111211110n n ijj i n nn n n c c c D c c c c c c c c ++≤<≤++==-≠∏.故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n iii f c h f λ-=-∑是比nh高阶的无穷小.（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用行列式的计算是高等代数的重点内用之一，在一些行列式的求解问题中，常可见到范德蒙行列式的踪影，此时提示我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算.例16 122222221211112111=nn n n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.解将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式122222221211112111110000nnn n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=++++++. 然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i a i n -=加到第i+1行可得12222212121111n nnnn n na x x x D a x x x a x x x -=--=1222212122111000n nnn n nx x x x x x x x x -12222212121111n nnnn n na x x x a x x x a x x x =()()()121112nn ijiijj i ni j i nx x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤•----∏∏∏.例 17 设0x y z >>>，试证明:()2221,,0xx yz f x y z y y xz xy yz xzz z xy=<++. 证明：()()()()222222312222xx yz x x yz x y z x x D yy xz c x y z c c y y xz x y z y y zz xyzz xy x y z z z +++-=+++-+++-+++- ()()()()222x x xy yz xzy y xy yz xz xy yz xz y x z x z y zz xy yz xz++=++=++---++故()2221,,x x yzf x y z y y xz xy yz xzzz xy=++=()()()y x z x z y ---. 由已知0x y z >>>，有()0y x -<，()0z y -<，()0z x -<，所以有(),,0f x y z <例18 计算行列式()()()()()()()()()0001010111101n nnn n nnn n nn nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b +++++++=+++解：设01000111101n nn n n n n n n n n nn n n n nC C a C a C C a C aD C C a C a =，01111012111n nn n n n n nb b b b b b D ---=，对2D 进行各行依交换，就可以得到范德蒙行列式，于是()()0010112112112011111111nnn n nn n n nnnnn n nnn a a b b b a a D D D C CC b b b a a ++=•=•-=12n n nnC C C()0ijj i na a ≤<≤-∏()()121n n +-()0ijj i nb b ≤<≤-∏.参考文献[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）[2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).[3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999[5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.[6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223.[7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253.[8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176.[9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.[10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：学院名称：专业：学生姓名：学号：指导教师：年月日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表指导教师意见评阅人意见答辩委员会意见学院学位分委员会意见山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：（章）系别：专业：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：。

数学系优秀毕业论文（通用12篇）

数学系优秀毕业论文（通用12篇）数学系优秀毕业论文（通用12篇）难忘的大学生活将要结束，同学们毕业前都要通过最后的毕业论文，毕业论文是一种有计划的检验学生学习成果的形式，那么问题来了，毕业论文应该怎么写？下面是小编精心整理的数学系优秀毕业论文（通用12篇），欢迎大家分享。

数学系优秀毕业论文篇1摘要：《数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。

关键词：应用数学；走进生活；数学活动《义务教育数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

引领学生通过自主探究、合作交流等实践活动，发现、理解、掌握数学知识，并在运用所学知识解决实际问题的过程中形成技能，提升能力。

下面结合自己的教学实践，谈几点粗浅做法与思考。

一、走进生活，应用有价值的数学知识数学来源于生活，离开了生活，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的。

同样，生活离开了数学，那将是一个无法想象的世界。

因此，在教学中，应从学生的生活经验和已有知识出发，巧妙创设真实的生活场境，提供大量的数学信息。

这样，既让学生感受到了数学与生活的密切联系，又彰显了数学鲜活的生命力，促使学生萌生主动运用数学解决实际问题的意识。

（一）课前调查，萌发应用意识教师要善于把日常生活中遇到的问题呈现在学生面前，引领学生用数学的眼光观察生活，为数学知识的学习收集素材，让学生在生活的每个角落都感受到数学的存在，切实体会到数学渗透在我们生活的方方面面，促使学生自觉地将数学与生活联系起来，萌发应用意识。

数学与应用数学专业的毕业论文

数学与应用数学专业的毕业论文数学与应用数学专业的毕业论文数学与应用数学专业是一门综合性较强的学科，它在现代科学和技术中扮演着重要的角色。

而毕业论文是数学与应用数学专业学生完成学业的重要环节之一，它不仅是对所学知识的总结与应用，更是对学生综合能力的考验。

本文将从数学与应用数学专业毕业论文的意义、选题与研究方法以及撰写技巧等方面进行探讨。

首先，数学与应用数学专业毕业论文的意义不仅在于对所学知识的运用，更重要的是培养学生的科研能力和创新思维。

在论文的选题和研究过程中，学生需要运用所学的数学理论和方法，分析和解决实际问题，这既需要扎实的数学基础，也需要学生具备独立思考和解决问题的能力。

通过论文的撰写，学生可以更好地理解和掌握所学的知识，并培养自己的科研兴趣和能力，为今后的学术研究或职业发展打下坚实的基础。

其次，选择合适的论文选题和研究方法是数学与应用数学专业毕业论文的关键。

在选题方面，学生可以结合自己的兴趣和实际需求，选择与数学与应用数学专业相关的研究领域或热点问题进行深入研究。

同时，还可以参考前人的研究成果，选择有一定研究价值和创新性的课题。

在研究方法方面，学生可以根据选题的特点和要求，选择合适的数学模型和分析方法进行研究。

例如，可以运用概率论和统计学方法来分析实际问题的概率分布和相关性，或者运用微分方程和数值计算方法来求解实际问题的解析解或数值解等。

然后，撰写数学与应用数学专业毕业论文需要注意一些技巧和规范。

首先，论文的结构应该清晰合理，包括引言、研究方法、实验结果与分析、结论等部分。

引言部分应该简要介绍研究背景和意义，明确研究目的和方法。

研究方法部分应该详细描述所采用的数学模型和分析方法，确保读者能够理解和复现实验过程。

实验结果与分析部分应该客观准确地呈现实验结果，并结合数学理论进行深入分析和讨论。

最后，结论部分应该总结研究成果，指出不足之处，并提出进一步研究的方向和建议。

此外，数学与应用数学专业毕业论文的撰写还需要注意语言表达的准确性和科学性。

数学与应用数学专业毕业论文

数学与应用数学专业毕业论文数学与应用数学专业是一门涉及广泛且充满挑战性的学科。

无论是在理论研究还是实际应用上，数学与应用数学都起着重要的作用。

在这篇文章中，我们将探讨一些与数学与应用数学专业相关的毕业论文选题。

1. 数论在密码学中的应用数论是研究整数性质及其关系的数学分支。

在当今数字化时代，安全性成为了信息交流中至关重要的一环。

密码学在保护信息安全方面发挥了重要作用。

通过研究数论中的素数分解、离散对数等算法，可以应用于密码学中的加密和解密过程中。

本论文将深入探讨数论在密码学中的应用，并就其相关算法的效率和安全性进行研究和评估。

2. 图论在社交网络分析中的应用社交网络已经成为人们日常生活中重要的一部分。

通过构建数学模型，可以揭示社交网络中个体之间的联系、影响力传播以及群体行为规律等。

图论作为研究节点和边之间相互关系的数学分支，在社交网络分析中具有重要意义。

本论文将基于图论方法，采用网络分析工具，对社交网络中的节点度中心性、聚类系数等指标进行研究，并以某社交网络为案例进行实证分析和探讨。

3. 微分方程在物理建模中的应用物理现象通常可以通过微分方程进行建模和描述。

微分方程作为研究变量之间关系的数学工具，在物理建模中广泛应用。

本论文将以某具体物理现象为例，通过选取合适的微分方程模型，进行求解和分析，并对其合理性和精确性进行讨论。

通过这一研究，可以进一步揭示微分方程在物理建模中的作用和应用价值。

4. 统计学在医学研究中的应用统计学作为研究收集整理数据方法和推断结论的学科，在医学研究中拥有广泛的应用。

通过合理设计实验、分析数据和研究结果，可以得出结论并为临床决策提供依据。

本论文将选择某一医学研究领域，结合实际案例，运用统计学方法进行数据分析，并就结果进行解读和讨论。

同时，对数据处理过程中可能存在的风险和误差进行评估和探讨。

以上只是数学与应用数学专业毕业论文选题的几个示例。

无论选择哪个选题，都需要合理设置研究目标、提出问题，并采用适当的方法和技巧进行研究。

数学毕业论文范文3篇

数学毕业论⽂范⽂3篇数学毕业论⽂写作策略1原因分析⾸先，学⽣的就业压⼒增⼤，使得学⽣思想浮躁．因连续数年⼤学维持在⼀个⾼⽔平的招⽣规模，⽽中学教师的需求量早已饱和，同时社会农民⼯的⼯资⽔平逐年提⾼，导致⾼师院校的毕业⽣处于较尴尬处境，从⽽⽆⼼学习．其次，研究⽣复试和求职与论⽂写作基本同步，因此前者挤占了论⽂写作时间．最后，学校的考核⽬标与教师的要求放松也影响了学⽣的写作态度．考研率与就业率是学校评定院系学⽣⼯作的重要指标，在此指引下，教师只能放松对学⽣的写作要求，从⽽影响了学⽣的写作态度．综上，现阶段毕业论⽂质量下滑是特定历史时期出现的问题，其根本上是由于⼤学教育的制度、管理及培养模式与社会发展形势出现脱离⽽导致的．2提⾼数学专业本科毕业论⽂写作⽔平的对策2.1加强引导，提⾼认识既然这⼀教学环节有其存在的重要意义，那么，在⽇常教学中，⽆论是学校管理者还是任课教师，都要加强对学⽣的引导，使其充分认识到撰写毕业论⽂的重要性，从主观上去认可这⼀环节．2.2完善制度，强化管理特定的社会发展形势是毕业论⽂质量下滑的根本原因，但学校管理制度的缺失和执⾏⼒度的不⾜却是论⽂质量下滑的助⼒．因此，建议学校完善制度，强化管理，采取有⼒措施来遏制学⽣的消极态度．2.3积极探索学年论⽂写作模式不可否认，考研复试与寻求就业在很⼤程度上占⽤了毕业论⽂的写作时间，⽽毕业论⽂的⽬标要求⼜不能降低，积极推⾏学年论⽂的写作模式，可以很好地解决上述⽭盾．在低年级适当地增设学年论⽂，学⽣有⾜够的时间去准备，尽管在能⼒要求上要远低于毕业论⽂，但经过多次写作，累积的训练效果完全达到毕业论⽂的最终培养⽬标．当然，学年论⽂的具体写作模式有待探索．如果每学年进⾏⼀次，势必会增加学⽣和指导教师的负担，于是部分⾼校进⾏了修改，如把每年⼀次的学年论⽂改为只在第三、五学期进⾏，这样就减少了⼀次．具体来说，在毕业论⽂之前进⾏1~2次的学年论⽂写作较合适，同时要加强对学年论⽂的要求，除篇幅可以较毕业论⽂稍短外，其它要求应接近毕业论⽂，这样才能完成毕业论⽂的培养⽬标．作者：李连兵张萍数学⾦融学毕业论⽂《研究突发事件——数学⾦融学的重要课题》论⽂范⽂由⼀世教育毕业论⽂⽹收集于⽹络，版权归作者所有，只可观摩不可抄袭，因抄袭研究突发事件——数学⾦融学的重要课题引起的版权纠纷本站概不负责，若本站对于该⽂的展⽰侵犯了您的权利，请通知我们删除。

滁州学院本科毕业设计(论文)[001]

滁州学院本科毕业设计（论文）
任务书
设计（论文）名称： Lagrange插值方法的一个推广
院(部)、专业：数学学院、信息与计算科学专业学生姓名：
指导教师：下达时间： 2011/ /
一、设计（论文）的背景和依据
Lagrange插值方法是一个最基本的多项式插值方法，而考虑插值节点处的一阶导数时就得到了Hermite插值方法。

实际上，这个插值问题可以推广到考虑节点处的高阶导数的情形。

本课题考虑带有高阶导数时的插值多项式的插值问题，运用Lagrange插值方法，给出这种情形下的多项式的构造，同时考虑该插值多项式的误差余项，最后给出几个具体例子。

通过的本课题研究，可以使得学生对多项式插值方法有个较为深入的了解和认识，科研能力得到初步的训练。

二、设计（论文）的任务和基本要求
三、设计（论文）的进程安排
四、教研室审核意见
…………..
教研室主任年月日五、院(部)意见
签章年月日
注：学生进行毕业设计（论文）前，指导教师应填好此任务书，经教研室主任签字后，正式给学生下达，学生在答辩前应将该任务书送交院（部）保存。

数学与应用数学本科毕业论文

数学与应用数学本科毕业论文数学与应用数学本科毕业论文随着科技的不断发展，数学在现代社会中的应用越来越广泛。

作为一门基础学科，数学为其他学科的研究提供了理论基础和方法论。

在数学专业的本科学习中，毕业论文是对学生综合能力的一次全面考察，也是对所学知识的应用与拓展。

本文将探讨数学与应用数学本科毕业论文的主题选择、研究方法和写作技巧。

一、主题选择数学与应用数学本科毕业论文的主题选择应该紧密结合实际应用，既要有一定的理论深度，又要有实际问题的解决方法。

可以从以下几个方面考虑：1. 数学模型与应用数学模型是将实际问题抽象化的数学描述，通过数学方法求解，得到问题的解决方案。

可以选择某个实际问题，通过建立数学模型，研究其解的存在性、唯一性、稳定性等性质。

例如，可以研究交通流量模型、生态系统模型、金融风险模型等。

2. 数学算法与计算方法数学算法是解决数学问题的具体步骤和方法，计算方法是利用数学算法解决实际问题的过程。

可以选择某个数学算法或计算方法进行研究，分析其优缺点、适用范围和改进方法。

例如，可以研究最优化算法、数值解法、数据挖掘算法等。

3. 数学与其他学科的交叉应用数学与其他学科的交叉应用是数学发展的重要方向之一。

可以选择某个学科领域，通过数学方法解决其相关问题。

例如，可以研究医学图像处理中的数学模型、物理学中的微分方程求解、经济学中的统计分析等。

二、研究方法数学与应用数学本科毕业论文的研究方法可以分为理论分析和实证研究两种。

1. 理论分析理论分析是通过推理和证明来研究问题的方法。

可以选择某个数学理论或方法，进行深入的推导和证明，分析其性质和应用。

例如，可以选择微分方程的解析解求解方法，通过推导和证明得到其解的形式和性质。

2. 实证研究实证研究是通过实际数据和实验来验证理论和方法的有效性和适用性。

可以选择某个实际问题，收集相关数据，进行统计分析和建模，验证数学方法的可行性和准确性。

例如，可以选择金融市场的波动性研究，通过收集股票价格数据，进行波动性分析和建模。