2021年中考复习 第07讲—中点五大模型

总结（题目中出现中点时）：

①倍长中线（普通的一个中点时）

②连出“三线合一”的线（出现底边上的中点时） ③连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） ④构造中位线（出现多个中点时） ⑤构造8字型全等（平行线夹中点）

模型一：倍长中线模型

【例1】如图，在ABC ∆中，6,8==AC AB ，求BC 边上的中线AD 的取值范围

解答：构造8字型全等，得证71<

【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，延长BE 交

AC 于F ，EF AF =，求证：BE AC =

解答：

①方法一：倍长中线【DG AD =构造8字型全等+集散思想】 ②方法二：类倍长中线【DE DG =构造8字型全等+集散思想】 可证

【例3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若CF BG =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线

解答：类倍长中线+集散思想，可证

模型二：平行线夹中点模型

【例1】如图，在菱形ABCD 中，

110=∠A ，F E ,分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则=∠FPC （ ）

A.

35 B.

45 C.

50 D.

55

解答：构造8字型全等【延长EF 和DC 交于点G 】，得证D

【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，AD BE AD CD ⊥=,2于点F E ,为DC 的中点，连接BF EF ,，下列结论 ①ABF ABC ∠=∠2 ②BF EF =

③EFB DEBC S S ∆=2四边形 ④DEF CFE ∠=∠3 其中正确结论有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解答：双平模型+平行线夹中点模型，得证D

【例3】如图，在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，

60=∠ABC ，点F 在AB 的延长线上，点P 是DF 的中点，连接PC PG ,，求证：PC PG 3=

解答：

①方法一：延长CP 交AB 于点E ，连接EG CG ,

②方法二：延长GP 交AD 于点E ，连接CG CE , 可证

模型三：三线合一模型

【例1】如图，在等腰三角形ABC 中，BC AC =，D 是BC 的中点，过C 作CE DE ⊥，

CF DF ⊥，且CE CF =，求证：EDA FDB ∠=∠

解答：可证

【例2】如图，在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===，M 为BC 中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 的长度（ ） A.

165 B.125 C.95 D.6

5

解答：得证B

【例3】如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BAD CAD BD BE AM BM >∠=∠==，E 为AD 延长线上一点，N 在DE 上，//MN AC ，求证：ND NE =

解答：双平模型+三线合一，可证

【例4】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：ADB CDF ∠=∠

解答：

①方法一：三线合一模型 ②方法二：十字型三垂直模型 可证

模型四：斜边中线模型

【例1】如图，在ABC ∆中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点，求证：

PM DE ⊥

解答：可证

【例2】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 是BC 中点，10AB =，求DM 的长度

解答：可证

【例3】已知，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=，如图甲，连接DE ，设M 为DE 的中点 （1）说明：MB MC =

（2）设BAD CAE ∠=∠，固定ABD ∆，让Rt ACE ∆绕顶点A 在平面内旋转到图乙位置，试问：MB MC =是否还能成立？并证明其结论

解答：

（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】 ②方法二：平行夹中点模型

③方法三：相似【作MF BC ⊥交BC 于点M 1DM BF

EM CF

==得证】 （2）成立，同理可证

【例4】已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=，

EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交,AC CB （或它们的延长线）与,E F

（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2

DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=

（2）当EDF ∠绕D 点旋转到和DE AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立,,DEF CEF ABC S S S ∆∆∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明

解答：（1）可证

（2）图2成立，同理可证；图3不成立12

DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=

模型五：中位线模型

【例1】已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，如图，,E F 是,BD AC 中点，试写出EF 与,AD BC 之间的关系

解答：

①方法一：中位线+三点共线，得证1()2

EF BC AD =- ②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证1()2EF BC AD =

- 【例2】如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，分别与CD BA ,的延长线交于点N M ,，证明：CNE BME ∠=∠

解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证

【例3】在ABC ∆中，AB AC >，D 点在AC 上，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若

60=∠EFC ，连结GD ，判断AGD ∆的形状并证明