人教新课标A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换同步测试A卷

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高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

数学人教A版必修4自我检测：3.2简单的三角恒等变换含

自我小测1．设5π<θ<6π，cos 2a θ=，则sin 4θ等于( )．A ．2B ．2C ．2-D ．2．若 sin (α－β)cos α－cos (α－β) sin α＝45，且3π(π,)2β∈，则cos 2β为( )．A ． B. ． C ． D ．3．函数22ππcos ()sin ()11212y x x =-++-是( )． A ．周期是2π的奇函数 B ．周期是π的偶函数C ．周期是π的奇函数D ．周期是2π的偶函数4．函数y ＝2sin x ( sin x ＋cos x )的最大值是( )．A ．1+B 1-CD ．25. 22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于______． 6．(2011上海高考，理8)函数ππsin()cos()26y x x =+-的最大值为______． 7．已知θ为钝角，且ππ1cos()cos()448θθ-+=，求tan θ的值．8．已知函数2π()sin sin()2f x x x x ωωω=++ (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．参考答案1答案：D解析：由2cos 12sin 24θθ=-，得21cos 2sin 42θθ-=又5π<θ<6π，∴21cos 2sin 42θθ-=，sin 04θ<，∴sin 4θ= D. 2答案：A解析：由题意， 4sin()5αβα--=， ∴4sin 5β=-，又3π(π,)2β∈，∴3cos 5β=-，由2cos 2cos 12ββ=-，可得2311cos 15cos 2225ββ-+===. ∵3ππ2β<<，∴π3π224β<<，∴cos 02β<，∴cos 25β==- A. 3答案：C 解析：22ππcos ()sin ()11212y x x =-++- ππ1cos(2)1cos(2)66122x x +--+=+- ππcos(2)cos(2)662x x --+= ππππcos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin 66662x x x x +-+= sin 22x =.∵2ππ2=，且 sin (－2x )＝－ sin 2x .故选C. 4答案：A解析：2π2sin 2sin cos 1cos2sin 21)4y x x x x x x =+=-+=+-，∴max 1y =+ A.5答案：2 解析：原式＝π1cos()221sin 21sin 1sin 22αααα--++⋅=++-=. 612+ 解析：π1ππcos cos()cos cos(2)6266y x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦1πcos(2)426x =+-. 当πcos(2)16x -=时，max 12y =+. 7解：由条件可知1cos 24θ=. 又2θ∈(π，2π)，∴sin 2θ=，∴sin 2tan 1cos2θθθ==+8解：(1)1cos211()22cos2222x f x x x x ωωωω-==-+ π1sin(2)62x ω=-+. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2ππ2ω=，解得ω＝1. (2)由(1)得π1()sin(2)62f x x =-+. 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x-≤-≤.所以1πsin(2)126x-≤-≤.因此，π130sin(2)622x≤-+≤，即f(x)的取值范围为3 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试(II)卷

24. （5分） (2016高三上·闵行期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）的图象；
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．
25. （5分）已知关于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
.
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高一上·眉山期末) 已知α是第一象限角，那么是（）
A . 第一象限角
B . 第二象限角
C . 第一或第二象限角
D . 第一或第三象限角
13. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 已知，则（）
A .
B .
C .
D .
14. （2分）计算cos18°cos42°﹣cos72°cos48°=（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
7. （2分） (2017高一下·简阳期末) 已知cos α= ，α∈（），则cos 等于（）
A .
B . ﹣
C .
D . ﹣
8. （2分）已知f（x）=2sinωx（cosωx+sinωx）的图象在x∈[0，1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为（）

人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)

3.2 简单的三角恒等变换自主学习知识梳理1．半角公式(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2＝________； (3)T α2：tan α2＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．自主探究1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2.2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.对点讲练知识点一半角公式的应用例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2的值．回顾归纳在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.知识点二利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．回顾归纳研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．知识点三三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．回顾归纳利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2确定)进而研究函数f (x )性质．如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为( ) A ．－105 B.105C ．－155 D.1553．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4二、填空题6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题9．已知向量a ＝(sin(π2＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32，求角A 的值．10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．§3.2 简单的三角恒等变换答案知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 自主探究1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2② 由①②得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 对点讲练例1 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 又5π4<θ2<3π2. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2.变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213. ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又∵π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ，解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得y ＝f (x )的单调增区间是 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1.例3 解在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<5π6，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 变式训练3 解如图所示，连OC ，设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12 ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12(m 2)．课时作业1．C 2.C3．C [由题可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .]4．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.] 5．B [f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12.∴T ＝π.] 6. 3解析 (1)y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y 有最大值 3. 7．－π6解析 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.∴φ＝－π6. 8．π解析由a ＋1＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝－3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴T ＝π. 9．解 (1)由题意知，f (x )＝sin x cos x ＋32＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)＋32 2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 最小正周期为π，单调增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f (A )＝32，∴sin(2A ＋π3)＝0，又∵A ∈(0，π)，∴π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π或2π， ∴A ＝π3或5π6. 10．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b ＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵a >0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝4b －a ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.。

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试C卷

A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2018高一下·新乡期末) 设，，，则，，的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）函数（）
A . 在单调递减
B . 在单调递增
C . 在单调递减
D . 在单调递增
11. （2分） △ABC中，角A,B,C成等差数列是成立的（）
23. （5分） (2018高一下·栖霞期末) 已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，若的终边分别于单位圆相交于两点，且；
（1）求的值，并确定点所在的象限；
（2）若点的坐标为，求的值.
24. （5分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．
B . E＞F＞G
C . F＞E＞G
D . F＞G＞E
二、填空题 (共5题；共5分)
16. （1分） (2018高三上·山西期末) 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ________．
17. （1分）已知，且，则的值为________．
14-1、
15-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、解答题 (共5题；共25分)
21-1、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、
24-1、
25-1、
人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试C卷

贵州省人教新课标A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换同步测试

19. （1分） (2016高一下·辽宁期末) 已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan =________．
20. （1分）已知α、β均为锐角，且tanβ= ，则tan（α+β）=________
三、解答题 (共5题；共25分)
21. （5分）已知sinα= ， sin（α+β）= ， α与β均为锐角，求cos ．（cos = ）
（Ⅰ）求函数 f（x）最的小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[ ， ]上的最小值和最大值．
25. （5分） (2018高一上·海安月考) 已知sinα+cosβ= ，cosα+sinβ= ，求：
（1） sin(α+β)的值；
（2） cosα sinβ的值．
参考答案
一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15、答案：略
二、填空题 (共5题；共5分)
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、解答题 (共5题；共25分)
21-1、
22-1、
22-2、
23-1、
24-1、
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2020·丹东模拟) 已知当时，函数取得最小值，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017·榆林模拟) 已知cosα=﹣ ，且α∈（，π），则tan（α+ ）等于（）

人教新课标A版高中数学必修4：第三章三角恒等变换单元同步测试(含解析).doc

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】第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34D ．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2解析在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45D.65解析原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.答案 D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为()A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1C．tan A·tan B＝1 D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tan A>0，tan B>0，tan C<0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0， ∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13， ∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12. 答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29， ∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43. ∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9. ∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx . 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2 ＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4(2021年整理)

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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。

错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。

错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。

错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。

2020-2021学年人教A版高中数学必修4：3.2简单的三角恒等变换

课时分层作业(二十八)(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 D [原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12(1－sin 2x ) ＝12－12sin 2x ，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝( ) A ．－19 B.19 C ．－13D.13A [sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝－19.]3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在B [∵2sin α＝1＋cos α，∴当cos α≠－1时，tan α2＝sin α1＋cos α＝12，当cos α＝－1时，α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )∴α2＝k π＋π2(k ∈Z )，这时tan α2不存在，故选B.]4．将函数y ＝f (x )sin x 的图象向右平移π4个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝2sin xB [y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴对称的曲线是y ＝－cos 2x ，向左平移π4得y ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，∴f (x )＝2cos x ．]5．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B [∵f (x )＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，得f (x )的单调减区间为 3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，得f (x )的一个单调减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8，故选B.]二、填空题6．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α＝3，则tan α＝ .－2 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α＝tan 34π＋tan α1－tan 34π·tan α＝3，即－1＋tan α1＋tan α＝3，解得tan α＝－2.] 7．若cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝ . 12 [cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35②，解①②可得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.] 8．函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是．[－5,3] [f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )取得最大值3，当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值－5，所以函数f (x )的值域为[－5,3]．] 三、解答题9．求证：tan 3x 2－tan x2＝2sin xcos x ＋cos 2x .[证明] 法一：(由左推右)tan 3x 2－tan x2 ＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2 ＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.法二：(由右推左)2sin xcos x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x2. 10．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．[解] (1)原式＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m ，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.1．(多选题)下列计算正确的选项有( ) A ．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1 B ．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1 C.1＋tan15°1－tan15°＝ 3D ．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－ 32CD [对于A ，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A 错误；对于B ，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B 错误；对于C ，1＋tan15°1－tan15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3，故C 正确；对于D ，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－32，故D 正确．故选CD.]2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin αcos α＝cos β1－sin β，则( )A ．2α＋β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．α＋2β＝π2D ．α－2β＝π2B [由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β， sin α＝cos(α－β)， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos(α－β)．∵π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴π2－α＝α－β或π2－α＋α－β＝0(舍去)， ∴2α－β＝π2.]3．(多选题)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( ) A ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到 D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2] AB [函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，B 正确；由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ，因此由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．故选AB.]4．若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝ . ±35[由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725，由cos 2θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.]5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2(sin 2 x －1) (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间和对称轴；(2)若不等式f (x )＋1＜m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上有解，求m 的取值范围．[解] (1)由题意f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2(sin 2x －1) ＝32 sin 2x ＋12cos 2x ＋1－cos 2x －2 ＝32sin 2x －12 cos 2x －1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z . 整理，可得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z .又∵2x －π6＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋π3，∴函数y ＝f (x )的对称轴方程为：x ＝k π2＋π3，k ∈Z . (2)f (x )＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵0≤x ≤π3， ∴－π6≤2x －π6≤π2， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.∴要使不等式有解，必须m ＞－12. ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教版高中数学高一A版必修4同步优化训练 3.2简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，|a|≤1，则sin 4θ的值等于( ) A.21a +-B.21a-- C.21a +- D.21a --解析：∵5π＜θ＜6π， ∴25π＜2θ＜3π，45π＜4θ＜23π. ∴sin4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D2.函数y=cosx+cos(x+3π)的最大值是______________. 解析：方法一:y=cosx+cos(x+3π)=cosx+cosxcos 3π-sinxsin 3π=cosx+21cosx-23sinx=23cosx-23sinx=3cos(x+6π)，函数的最大值是3.方法二:y=cosx+cos(x+3π)=2cos23cos 2)3(ππ--++x x x x=2cos(x+6π)cos 6π=3cos(x+6π)，函数的最大值是3. 答案：3 3.化简αααcos )30sin()30sin(-︒+︒+得___________________.解析:方法一:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos sin 30cos cos 30sin 30sin cos 30cos sin ︒=︒-︒+︒+︒=1.方法二:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos 23030cos23030sin2︒=+︒-︒+-︒+︒+=1.答案：14.已知tan2α=2,则sinα的值为__________，cosα的值为__________，tanα的值为________. 解析：由万能代换，可得sinα=542tan 12tan22=-αα,cosα=532tan 12tan 12-=+-αα,tanα=2tan 342tan 12tan22-=-αα. 答案：54 -53 34- 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=54且β在第三象限，则cos 2β为( ) A.55-B.±55C.552- D.±552 解析：由题意知sin(α-β-α)=54,即sin(-β)=54，∴sinβ=54-. ∵β是第三象限角，∴cosβ=-53，且2β是二、四象限角.∴cos2β=±2cos 1β+=±2531-=±55.答案:B2.设α、β为钝角，且sinα=55,cosβ=10103-，则α+β的值为( ) A.43π B.45π C.47π D.45π或47π解析：由题意知cosα=552-，sinβ=1010,∴cos(α+β)=552-×(10103-)-55×1010=22.∵2π＜α＜π，2π＜β＜π,∴π＜α+β＜2π. ∴α+β=47π.答案：C 3.若tan(α+4π)=223+，则αα2sin 2cos 1-=_______________.解析：原式=αααcos sin 2sin 22=tanα.由tan(α+4π)=223tan 1tan 1+=-+αα,解得tanα=22. 答案：224.已知sinα=43，且α为第二象限角，则tan 2α的值为_________. 解析：∵α为第二象限角，∴cosα=4131631-=--. tan2α=33934434131sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2+=+=-==ααααααα.答案：33934+5.设25sin 2x+sinx-24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值. 解：因为25sin 2x+sinx-24=0，所以sinx=2524或sinx=-1. 又因为x 是第二象限角，所以sinx=2524，cosx=-257.又2α是第一或第三象限角，从而cos2x =±2cos 1x +=±22571-=±53. 6.求函数y=4sinx·cosx 的最值和周期.解：∵y=4sinx·cosx=2sin2x ，∴y max =2，y min =-2，且T=π. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知π＜α＜2π，则cos2α的值等于( ) A.2cos 1α+-B.2cos 1α-C.2cos 1α+D.2cos 1α-- 解析：∵π＜α＜2π，∴2π＜2α＜π，cos 2α＜0, cos2α=2cos 1α+-.答案：A 2.sinα+sinβ=33(cosβ-cosα)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α-β等于( ) A.-32π B.-3π C.3πD.32π 解析：由已知得2sin2βα+cos2βα-=33·2sin 2βα+sin 2βα-. ∵0＜2βα+＜π，-2π＜2βα-＜2π，∴sin 2βα+＞0.∴tan 2βα-=3.∴2βα-=3π，α-β=32π.答案：D3.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β等于( ) A.-m B.m C.-4m D.4m 解析：cos 2α-cos 2β=21(1+cos2α)21-(1+cos2β)=22cos 2cos βα- =-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.答案：B4.已知sinθ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ的值为________________. 解析：因为sinθ=-53，3π＜θ＜27π，∴cosθ=54-，且23π＜2θ＜47π.∴tan2θ=θθcos 1cos 1+--=-3.答案：-35.若25π＜α＜411π，sin2α=-54，求tan 2α. 解：∵25π＜α＜411π，∴45π＜2α＜811π，5π＜2α＜211π，即2α、2α是第三象限角，α是第二象限角. 又sin2α=-54，∴cos2α=-53.∴cosα=253122cos 1--=+-α=-55.∴tan 2α=2155555551551cos 1cos 1+=-+=-+=+-αα. 6.求证：2sin(4π-x)·sin(4π+x)=cos2x. 证明：左边=2sin(4π-x)·sin(4π+x)=2sin(4π-x)·cos(4π-x)=sin(2π-2x)=cos2x=右边.7.在△ABC 中，已知cosA=Bb a b B a cos cos •--•，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22. 证明：∵cosA=B b a bB a cos cos •--•，∴1-cosA=B b a B b a cos )cos 1()(•--•+，1+cosA=Bb a B b a cos )cos 1()(•-+•+.∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +•--•+=+-.而2cos 22sin 2cos 1cos 122A AAA =+-=tan 22A ，B B cos 1cos 1+-=tan 22B ， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即ba b a B A -+=2tan 2tan 22. 8.求证：4cos(60°-θ)cosθcos (60°+θ)=cos3θ. 证明：左边=2cosθ［cos120°+cos(-2θ)］=2cosθ(21-+cos2θ) =-cosθ+(cos3θ+cosθ)=cos3θ=右边. 9.已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=32，求tan(α+β)的值. 解：322cos cos sin sin -++βαβα，由和差化积公式得2cos2cos 22cos2sin2βαβαβαβα-+-+=3，∴tan2βα+=3，从而tan(α+β)=4331222tan 12tan222-=-⨯=+-+βαβα. 10.已知f(x)=21-+2sin225sinx x，x ∈(0，π). (1)将f(x)表示成cosx 的多项式； (2)求f(x)的最小值.解：(1)f(x)=2sin2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx xx x x x =-=2cos 23x cos 2x=cos2x+cosx=2cos 2x+cosx-1.(2)∵f(x)=2(cosx+41)2-89，且-1≤cosx≤1， ∴当cosx=41-时，f(x)取得最小值89-.快乐时光误人子弟督学到某学校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这个地球仪为何会倾斜23.5度？”学童甲惶恐地答道：“不是我弄歪的！”督学摇摇头，转问学童乙.学童乙双手一摊，说道：“您也看见了，我是刚刚才进来的！”督学疑惑地问教师怎么回事.教师满怀歉意地说：“不能怪他们，这地球仪买回来时已经是这样的了.”校长见督学的脸色越来越难看，忙解释：“说来惭愧，因为学校经费有限，我们买的是地摊货.”。

高中数学人教A版必修四课时训练：3.2 简单的三角恒等变换 3.2 Word版含答案.docx

§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12C ．2D ．－2题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32B ．－32C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等． §3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x － 2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。

高中数学第三章三角恒等变换测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

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第三章三角恒等变换一．选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.15sin 951852-等于（） A 。

185 B.365C 。

3635 D.18352。

已知m A A =+tan 1tan ，则A 2sin 的值为 ( ） A 。

21mB.m 1C.m 2 D 。

m 23．sin 12π—3cos 12π的值是（）A ．0B ． —2C ． 2D ． 2 sin 125π4.已知3cos ()52x x ππ=-<<，则sin 2x =（）A.55B.55-C.255- D.2555．若△ABC 中，sin B·sin C＝cos 2错误!，则△ABC 的形状为( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6。

函数sin 3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是（）A 。

x =113π B.x =53π C 。

53x π=- D 。

3x π=-7.已知α为锐角，且cos 错误!＝错误!，则cos α的值为( )A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!8。

函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ )A 。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc

13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ；（２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-；（４）75sin 212-．（5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试(I)卷

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）已知α为钝角，β为锐角，且sinα=，sinβ=，则的值为（）A . -7B . 7C . -D .2. （2分）在锐角中,设x=sinAsinB,y=cosAcosB,则x,y的大小关系为（）A .B .C . x>yD . x<y3. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) （）A .B .C .D .4. （2分）(2017·榆林模拟) 已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+ ）等于（）A . ﹣B . ﹣7C .D . 75. （2分）函数的图像的一条对轴方程是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·东北三省模拟) 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A .B .C .D .7. （2分）函数的一个单调递减区间是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为π的偶函数D . 最小正周期为的偶函数9. （2分）已知sinα-cosα=则cos(-2α)=（）A . -B .C . -D .10. （2分）已知锐角α满足cos2α=cos（-α），则sin2α等于（）A .B . -C .D . -11. （2分）下列各式中正确的个数为（）①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=②sin220°+cos250°+sin20°cos50°=③sin215°+cos245°+sin15°cos45°=④sin280°+cos270°-sin80°cos70°=A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分）已知，则tanα的值是（）A . -B . -C .D .13. （2分）函数在区间上的最大值是（）A . 1B .C .D .14. （2分）将函数的图像按向量平移，得到函数，那么函数可以是（）A .B .C .D .15. （2分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A . ,B . ,C . ,D . ,二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ=________17. （1分）已知，且，则的值为________．18. （1分） (2018高一下·庄河期末) 已知，则的值为________19. （1分） (2016高一下·辽宁期末) 已知ta nα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan =________．20. （1分）已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=________三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．22. （5分）(2018·黄山模拟) 已知函数 .（1）求的单调递增区间；（2）设的内角的对边分别为，且，若，求的值．23. （5分） (2015高一下·兰考期中) 已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且| |=| |，求角α的大小；（2）若⊥ ，求的值．24. （5分）(2017·绍兴模拟) 已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．25. （5分） (2018高一下·平顶山期末)（1）不查表求的值；（2）求证： .参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7、答案：略8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、。

2020年高中数学人教A版必修4 同步作业本《简单的三角恒等变换》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修4 同步作业本《简单的三角恒等变换》一、选择题1.已知sin α－cos α=－54，则sin 2α的值等于( )A.716 B ．－716 C ．－916 D.916 2.若si n(π－α)=－53且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α2)等于( ) A ．－63 B ．－66 C.66 D.633.已知450°＜α＜540°，则12＋12 12＋12cos 2α的值是( ) A ．－sin α2 B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α24.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±15.若函数f(x)=(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2，则f(x)的最大值是( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋26.使函数f(x)=sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的一个θ值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π37.如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余地方种花，BC=a(a 为定值)，∠ABC=θ，△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积S 2，当S 1S 2取得最小值时，角θ的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π12二、填空题 8.函数y=32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．9.已知sin θ2＋cos θ2=233，则cos 2θ=__________.10.在△ABC 中，若cos A=13，则sin 2B ＋C2＋cos 2A 等于________．11.设p=cos αcos β，q=cos 2α＋β2，则p 与q 的大小关系是________．12.关于函数f(x)=sin xcos x －cos 2x ，给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间(0，π8)上为增函数；③直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴；④函数f(x)的图象可由函数f(x)=22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到； ⑤对任意x ∈R ，恒有f(π4＋x)＋f(－x)=－1.其中正确命题的序号是________．三、解答题13.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？14.已知函数f(x)=(a ＋2cos 2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f(π4)=0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=－25，α∈(π2，π)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．15.如图所示，由半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.(1)设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；(2)求剪下的三角形铁皮PMN的面积的最大值．答案解析1.答案为：C.解析：由sin α－cos α=－54，(sin α－cos α)2=1－2sin αcos α=1－sin 2α=2516，所以sin 2α=－916.2.答案为：B.解析：由题意知sin α=－53，α∈(π，3π2)，∴cos α=－23.∵α2∈(π2，3π4)，∴sin(π2＋α2)=cos α2=－1＋cos α2=－66.故选B.3.答案为：A.解析：因为450°＜α＜540°，所以225°＜α2＜270°.所以cos α＜0，sin α2＜0.所以原式= 12＋121＋cos 2α2= 12＋12cos 2α =12＋12|cos α|= 12－12cos α= sin 2 α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=－sin α2.故选A.4.答案为：C.解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=sin(α＋β－β)=sin α=0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)=2sin αcos 2β=0.5.答案为：B.解析：f(x)=(1＋3tan x)cos x=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x=3sin x ＋cos x=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<23π，∴当x ＋π6=π2时，f(x)取到最大值2.6.答案为：D.解析：f(x)=sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，当θ=2π3时， f(x)=2sin(2x ＋π)=－2sin 2x 为奇函数．7.答案为：B.解析：由题意得θ∈(0，π2)，AB=acos θ，S 1=12a 2cos θsin θ=14a 2sin 2θ.设PS=m ，则AP=mcos θ，BP=m sin θ，由AB=AP ＋BP ，得mcos θ＋msin θ=acos θ，所以m=12asin 2θ12sin 2θ＋1，S 1S 2=14a 2sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12asin 2θ12si n 2θ＋12=14sin 22θ＋sin 2θ＋1sin 2θ=sin 2θ4＋1sin 2θ＋1.令t=sin 2θ，θ∈(0，π2)，则t ∈(0,1]，由于y=t 4＋1t ＋1在(0,1]上为减函数，因此t=sin 2θ=1，即θ=π4时，S 1S 2取得最小值．故选B.8.答案为：π；解析：y=32sin 2x ＋cos 2x=32sin 2x ＋12cos 2x ＋12=sin(2x ＋π6)＋12，其周期为T=2π2=π.9.答案为：79；解析：因为sin θ2＋cos θ2=233，所以1＋sin θ=43，即sin θ=13，所以cos 2θ=1－2sin 2θ=1－29=79.10.答案为：－19；解析：在△ABC 中，B ＋C 2=π2－A2，所以sin 2B ＋C 2＋cos 2A=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋cos 2A=cos 2A 2＋cos 2A=1＋cos A 2＋2cos 2A －1=－19.11.答案为：p≤q；解析：因为p －q=2cos αcos β－1－cos α＋β2=2cos αcos β－1－cos αcos β＋sin αsin β2=cos α－β－12≤0，所以p≤q.12.答案为：②③⑤；解析：f(x)=12sin 2x －1＋cos 2x 2=22sin(2x －π4)－12，显然①错；x ∈(0，π8)时，2x －π4∈(－π4，0)，函数f(x)为增函数，故②正确；令2x －π4=π2＋kπ，k ∈Z ，得x=3π8＋kπ2，k ∈Z ，显然x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴，故③正确；f(x)=22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到y=22sin 2(x －π8)=22sin(2x －π4)，故④错； f(π4＋x)＋f(－x)=22sin(2x ＋π4)－12＋22sin(－2x －π4)－12 =22sin(2x ＋π4)－22sin(2x ＋π4)－1=－1，故⑤正确．13.解：连接OB ，设∠AOB=θ，则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∵A ，D 关于原点对称，∴AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S=AD·AB =40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴当sin 2θ=1，即θ=π4时，S max =400(m 2)．此时AO=DO=102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.14.解：(1)因为f(x)=(a ＋2cos 2x)cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1=a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2=cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ=π2，所以f(x)=－sin 2x·(a＋2cos 2x)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0，得－(a ＋1)=0，即a=－1. (2)由(1)得f(x)=－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=－12sin α=－25，即sin α=45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α=－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3=sin αcos π3＋cos αsin π3=4－3310.15.解：(1)由题意知OM=12AD=12BC=12×2=1，∴MN=OMsin ∠MOD ＋AB=1×12＋1=32，BN=OA ＋OMcos ∠MOD=1＋1×cos 30°=1＋32=2＋32， ∴S △PMN =12MN·BN =12×32×2＋32=6＋338，即三角形铁皮PMN 的面积为6＋338；(2)设∠MOD=x,0＜x≤π2，则MN=OMsin x ＋CD=sin x ＋1，BN=OMcos x ＋OA=cos x ＋1，∴S △PMN =12MN·BN =12(sin x ＋1)·(cos x＋1)=12(sin xcos x ＋sin x ＋cos x ＋1)．令t=sin x ＋cos x=2sin(x ＋π4)，由于0＜x≤π2，所以π4＜x ＋π4≤3π4，则有22≤sin(x＋π4)≤1，所以1≤t≤2，且t 2=(sin x ＋cos x)2=1＋2sin xcos x ，所以sin xcos x=t 2－12，故S △PMN =12(t 2－12＋t ＋1)=14(t 2＋2t ＋1)=14(t ＋1)2，而函数y=14(t ＋1)2在区间[1，2]上单调递增，故当t=2时，y 取最大值，即y max =14(2＋1)2=3＋224，即剪下的三角形铁皮PMN 的面积的最大值为3＋224.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04

，π＜2α＜，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解：由于 cos2
1 cos 1
4
2
1