全称命题与特称命题的否定(用)
全称命题和特称命题的否定
注意：1.全称命题的否定是特称命题．因为
要否定全称命题“ ∀x∈M ， p(x) 成立”，只需
在 M 中 找 到 一 个 x ， 使 得 p(x ) 不 成 立 ， 也 即
“∃x0∈M， ¬p(x0)成立”．
2．要证明一个全称命题是假命题，只需举
一个反例．
3．有些全称命题省略了量词，在这种情况下， 千万不要将否定写成“是”或“不是”，如第(4)
的”．
对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全 称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称 命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命 题．如：|x|≥0，实际上是指：∀x∈R，|x|≥0 其否定为：∃x∈R，|x|<0
概念理解
1．命题：“∀x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定 是( ) A．∀x∈R，都有 x2－x＋1≤0 B．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1>0 C．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1≤0 D．以上均不正确
2.特称命题的否定：
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的 否定綈p：∀x∈M， ¬ p(x)．特称命题的否定是全称 命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的
否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，
把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有
[解 ]
π 由于 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )∈[－ 2， 2]，所 4
以如果对任意的 x∈R， r(x)为假命题， 即对任意的 x∈R， 不等式 sinx＋cosx>m 恒不成立， 所以 m> 2.又对任意的 x∈R，s(x)为真命题，即对任意的 x∈R，不等式 x2＋ mx＋1>0， 所以 Δ＝m2－4<0， 即－2<m<2.故如果对任意 的 x∈R，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，应有 2<m<2.
3.2 全称命题与特称命题的否定
选修2-1 第一章编写蒋兴安班级姓名课题：§3.2 全称命题与特称命题的否定学习目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.学习重点：全称量词与存在量词命题间的转化；学习难点：隐蔽性否定命题的确定。
【自主学习】预习教材第12～13页，完成下列问题．∃1.全称命题的否定是命题.即全称命题p: ∀x∈M,p(x),它的否定非p: ∃x∈M,非p(x).2.特称命题的否定是命题.即特称命题p: ∃x∈M,p(x),它的否定非p: ∀x∈M,非p(x)..关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于4、要判定一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为；否则命题为．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合中每一个元素x，p(x)都为；要判定一个全称命题为假只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为即可．【预习自测】完成课本第14页练习题．1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0．2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【合作探究】探究1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0。
探究2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数；（2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根；（3） 存在实数x ，使x 2+1<0；（4） 有些质数是奇数。
探究3 写出下列命题的否定。
全称命题与特称命题的否定
在上面的两个例子中，要说明一个特称 命题是错误的，就要说明所有的对象都 不满足这一性质。 也就是说： 特称命题的否定是全称命题。
例2、对下列特称命题进行否定。 (1) 某些平行四边形是矩形。 否定：所有的平行四边形都不是矩形。 (2)有些四边形的四个顶点共圆。 否定：所有的四边形的四个顶点都不共圆。
判断下面命题是全称命题，还是 特称命题，并判断其真假。 10,100,1000中有一个能被3整除 此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:10,100,1000每一个都不能被3整除
判断下面命题是全称命题，还是 特称命题，并判断其真假。 x2-4x+3=0中有一个根是2 此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:x2-4x+3=0中的每一个根都不是2
练习4、写出下列命题的否定形式。 ⑴三角形的两边之和大于第三边。 有些三角形的两边之和小于或等于第三边。 ⑵直角相等。 有些直角不相等。 ⑶△ABC的内角中必有一个锐角。 △ABC的所有内角都不是锐角。
命题的否定形式有：
是 都是 > 至少有 一个 不 不 ≤ 一个也 是 都是 没有
原 语句 否定 形式
至多有 一个 至少有 两个
对任意x∈A, 使p(x)真 存在x∈A, 使p(x)假
练习5、对下列命题进行否定。 (1)我们班没有女生。 (2)中国足球国奥队至少有2个优秀前锋。 (1)我们班至少有一个女生。 (2)中国足球国奥队最多有1个优秀前锋。
小 结:
全称命题的否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
在上面的两个例子中，要说明一个全称 命题是错误的，只需要找出一个反例就 可以了。 也就是说： 全称命题的否定是特称命题。
例1、对下列全称命题进行否定。 (1) 所有的人都喝水。 否定：有的人不喝水。 (2)对所有实数
1.4.2 全称命题与特称命题的否定
温故知新
全称量词: “所有的”, “任意一个”, “一切” ,
“每一个”, “任给”……常用符号“"”表示.
全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.
全称命题格式为: 对M中任意一个x,有p(x)成立.
符号语言表示为: "x∈M,p(x).
温故知新
存在量词:“存在一个”, “至少有一个”,“有
7．(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是 ．．． A. $x R, lg x 0 C. B. $x R, tan x 1 D. "x R, 2x > 0
"x R, x3 > 0
一不变：元素的性质不变.
练习: 写出下列命题的否定 . (1) p: $x0∈R, x02 + 2x0 + 2 ≤ 0； (2) p: 有的三角形是等边三角形； (3) p: 有一个素数含三个正因数 . 注意： 特称命题的否定是全称命题.
写出下列命题的否定:
(1) p: ∃x0∈R , x02 + 2x0 + 2 ≤ 0；
p:每一个平行四边形都不是菱形．
( 3)$x0 R, x + 1 < 0 .
2 0
p : "x R , x 2 + 1 0 .
特称命题的否定
特称命题: p: $x0∈M , p(x0) ﹁ p: "x∈M , ﹁ p(x) 特称命题的否定： 注意事项:
三变：更换量词,否定结论,给元素去下标;
∀x∈M，¬ p(x)
课堂小结
1、全称量词、全称命题的定义. 2、全称命题的符号记法. 3、判断全称命题真假性的方法. 4、存在量词、特称命题的定义. 5、特称命题的符号记法. 6、判断特称命题真假性的方法. 7、含有一个量词的否定.
高考数学复习点拨：全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。
高中数学北师大版选修21课件：第一章3.3 全称命题与特称命题的否定
解析：(1)命题 p 是一个全称命题，其否定为：存在 x1，x2∈R， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0. (2)这是一个全称命题，其否定为：存在一个向量与零向量不 共线．
特称命题的否定
写出下列特称命题的否定． (1)存在 x∈R，x＋1x＋2＜0； (2)存在一个向量与任意向量垂直； (3)存在实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根都是正数． (链接教材 P14 例 2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析：(1)该命题的否定“对任意的 x∈R，都有 x2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，即 Δ＝m2－4(2m－3)≤0，得 m∈[2，6]． (2)该命题的否定“存在实数 x，使得 x2＋2x＋a≤0”为真命 题，即 Δ＝22－4a≥0 得 a≤1.
易错警示
因否定不全面致误
解：p
的否定为：“对任意
x∈[1，＋∞)，log12x≥0
或1无 log2x
意义”．
1．命题“对任意的 x∈R，sin x>0”的否定是( A ) A．存在 x∈R，sin x≤0 B．对任意的 x∈R，sin x≤0 C．存在 x∈R，sin x<0 D．对任意的 x∈R，sin x<0 解析：这是一个全称命题，其否定为：存在 x∈R，sin x ≤0.
[解] (1)其否定为：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)其否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)其否定为：存在 x∈Z，x2 的个位数字等于 3.
[方法归纳] (1)对全称命题否定的两个过程是：一是把全称量词转换为存 在量词，二是把 p(x)加以否定； (2)对省略全称量词的全称命题可先补上全称量词，再对命题 否定．
2．“命题‘存在 x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－ 16≤a≤0”的( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
含有一个量词的命题的否定(整理)
“特称命题”是指含有“存在量词”的命题。
小结
含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有：
“x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)”。
即“全称肯定”的否定是“特称否定” ，另外“全称否定”的定是“特称肯定”. 反过来也一样.
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二
对于下列命题：
想一想？
所有的人都喝水； 2 存在有理数，使 x 2 0； 对所有实数都有 | a | 0 。
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写 出下列特称 命题 的否定： 1）p:x R,x2 +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
全称命题与特称命题
全称命题与特称命题【教学目标】知识目标能力目标情感目标【教学重、难点】教学重点：教学难点：【教学模式】【技术运用】【教学过程与情境设计】1、全称命题：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号：(),x M p x ∀∈2、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃含有存在量词的命题，叫做特称命题. 符号：()00,x M p x ∃∈3、全称命题与特称命题的否定：全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数（质数）都是奇数；（假，反例：2）⑵2,11x x ∀∈+≥R ；（真）⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；）⑷每个指数函数都是单调函数. （真）（教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x ∈R ，使0213x +=；⑷至少有一个0x ∈Z ，0x 能被2 和3 整除.（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题，其原因是加入了量词（学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线； ⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0.（教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆；⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数；⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）下列全称命题的否定中，假命题的个数是（ B ）(1)所有能被3整除的数能被6整除 ；(2)所有实数的绝对值是正数；(3) x ∀∈Z ，2x 的个位数字不是2A.0B.1C.2D.4（07琼、宁）已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x ≥B. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥C. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x >D. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x >（07鲁）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>（2009天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
高中数学全称命题与特称命题的否定精品课件
（2）数列1,2,3,4,5 … 的每一项都是偶数.
假命题，只需说明“数列1,2,3,4,5…中有一项
全 称 命 题 特 称 命 题
不是偶数”即可.
（3）集合﹛-2，-1,0,1,2﹜中的数都大于0. 假命题，只需说明“集合﹛-2，-1,0,1,2﹜中 有一个数不大于0”即可. 请同学们对上述例子进行概括总结.
抽象概括： 在上述例子中，要说明一个特称命题“存在一些对 象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不 满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否定是 全称命题 正确的.不难发现特称命题的否定是_________. 含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
（1）存在量词变全称量词；
（2）再否定命题的结论.
抽象概括： 在上述例子中，要说明一个全称命题是错误的， 只需找出一个反例就可以了.实际上是要说明这个全 称命题的否定是正确的.不难发现全称命题的否定是 特称命题 _________. 含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
（1）全称量词变存在量词.
（2）再否定命题的结论.
练一练：
写出下列全称命题的否定： （1）所有的人都喝水. （2）我们班每个同学的身高都超过1.85 m. （3）每个指数函数都是单调函数.
探究点1 全称命题的否定 思考1:命题“所有的平行四边形是矩形”是全称命题吗？ 它的否定是什么? 命题：“所有的平行四边形是矩形”（假命题）
“不是所有的平行四边形是矩形”
“至少存在一个平行四边形，它不是矩形” “存在一个平行四边形不是矩形”（真命题）
思考2：判断下列命题的真假，如何进行说明？ （1）所有的奇数都是素数. 假命题，只需指出“有一个奇数不是素数”即可.
思考2 判断下列命题的真假，如何判断？
高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定课件北师大选修21101504107
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2.设x∈Z，集合 A是奇数集，集合 B是偶数集.若命题p：任意x∈A,2x∈B， 则( D ) A.綈p：任意x∈A,2x∈BB.綈p：任意x∉A,2x∉B C.綈p：存在x∉A,2x∈BD.綈p：存在x∈A,2x∉B 解析 命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为 存在x∈A,2x∉B，选D.
自主学习
重点突破
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
全称命题的否定
全称命题p：任意x∈M，p(x)， 它的否定綈p： 存在x0∈M，綈p(x0) . 知识点二 特称命题的否定 特称命题p：存在x0∈M，p(x0)， 它的否定綈p： 任意x∈M，綈p(x) . 知识点三 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是 特称 命题. 特称命题的否定是 全称 命题.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
解析答案
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.
第一章 §3 全称量词与存在量词
3.3 全称命题与特称命题的否定
学习 目标
1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称命题与特称命题的否 定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的 否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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全称命题与特称命题的否定
探究
写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃0 x ∈M, p(x0)” 命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对 值是正数”,即 所有实数的绝对值都不是正数; 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱 形”,即 每一个平行四边形都不是菱形; 命题(3)的否定是“不存在x∈R, x²+1<0”,也 就是说, ∀x∈R, x²+1≥0
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”, 也就是说,
存在一个素数不是奇数
∃x0∈R, x0² -2x0+1<0
命题(3)的否定是“并非所有的x∈ R, x² -2x+1≥0”, 也就是说,
这三个全称命题的否定都变成了特称命题.
全称命题的否定，一般是在全 称量词前加“并非”，或者把全 称量词改成存在量词的同时对结 论进行否定。
例题
例3 :写出下列特称命题的否定： （1）p： ∃x0∈R, x0² +2x0+2≤0;
（2）p：有的三角形是等边三角形;
（3）p：有一个素数含三个正因数. 答:（1）ㄱp： ∀x0∈R, x0² +2x0+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数.
全称命题的否定，一般是在全称量 词前加“并非”，或者把全称量词改 成存在量词的同时对结论进行否定。
总结:
二、特称命题 p: ∃x0∈M ,p(x0)， 它的否定ㄱp: ∀ x∈M,ㄱp(x)， 特称命题的否定是全称命题 特称命题的否定，一般在存在量 词前加“不”或者把存在量词改为全称 量词的同时对结论进行否定。
用1.4.3含有一个量词的命题的否定
若存在 x0∈R， 使
ax2 则实数 0＋2x0＋a＝0，
a 的取值范围是________．
－1<a<1
[解析] 当 a＝0 时，x0＝0 满足题意． 当 a≠0 时，由题意知方程 ax2＋2x＋a＝0 有实数根，
a≠0 ∴ 2 Δ ＝ 4 － 4 a ≥0
【要点探究】
知识点 全称命题与特称命题的否定 1.对全称命题的否定以及特点的理解 (1)全称命题的否定,实际上是将量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称 命题的否定的等价形式就是特称命题； 将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能 认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有 一个量词的命题的否定仍是一次否定. (2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命 题,再写出命题的否定命题. 2.对特称命题的否定以及特点的理解 (1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与¬p互为否定,所以特称命题的 否定就是全称命题. (2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命 题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断 命题的真假.
2.特称命题的否定 特称命题p ∃x0∈M,p(x0) ¬p 结论 ∀x∈M, ¬p(x) 特称命题的否定是 全称 _____________
命题
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.( ) (2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.( ) (3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(
1.4.3
含有一个量词的命题的否定
1.全称命题的否定是什么命题?特称命题的否 问题 引航 定是什么命题? 2.全称命题的否定∀x∈M,p(x) ¬p 结论 ∃x0∈M, ¬p(x0) 全称命题的否定是 特称 _______________ 命题
全称命题与特称命及否定
全称命题p: x M , p( x),
它的否定 p: x0 M , p( x0 )
它的否定 p:x M , p( x), 4.复合命题的否定 特称命题p: x0 M , p( x0 )
例4:写出下列命题的否定形式: (1)3是6的约数或15的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分 (1)3既不6的约数,也不是15的约数. (2)菱形的对角线不互相垂直或不互相平分
例1:判断下列全称命题的真假 假 (1)所有的素数是奇数; (2) x (5, ), f ( x) x 2 4 x 2 0 真 (3) n N 点 pn (n, an ) 都在直线y=2x+1上,则 an 是等差数列 真 2:存在量词 x 与(3),(2)与(4)之间有 问题2:下列语句是命题吗?(1) 什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除. (3)存在一个 x0 R 使 2 x0 1 3 (4)至少有一个 x0 Z x0 能被2和3整除 短语“至少有一个” “存在一个” “某些” “有一个” “对 某个” “有的”等在逻辑中通常叫做存在量词.并用符号
特称命题“存在M中元素x0,使p(x0)成立”
可以有符号简记为 x0 M , p( x0 ) 例2:判断下列特称命题的真假 2 假 (1) x0 R, x0 2x0 3 0 (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线.假 (3) a Z , a 2 3a 2 真 3.全称命题与特称命题的否定 例3:写出下列命题的否定,并判断真假: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2) x R, x 2 2x 1 0 (3)有些实数的绝对值是正数; (4) x0 R, x0 2 1 0
D．x R, sin来自x tan x4．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根， 则“非p”形式的命题是（ B ） A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
高中数学 选修1-1 08.全称命题和特称命题的否定
8.全称命题和特称命题的否定
教学目标 班级____姓名________
1.掌握全称命题和特称命题否定的写法.
2.能熟练运用全称命题和特称命题的否定解题.
教学过程
一、全称命题的否定：
1.全称命题p ：)(,x p M x ∈∀.
2.全称命题的否定p ⌝：)(,00x p M x ⌝∈∃.
3.规律：全称命题的否定是特称命题，并将结论否定.
4.应用：恒成立问题.
二、特称命题的否定：
1.特称命题p ：)(,00x p M x ∈∃.
2.特称命题的否定p ⌝
：)(,x p M x ⌝∈∀.
3.规律：特称命题的否定是全称命题，并将结论否定.
4.应用：存在性问题或恒成立问题.
三、例题分析.
1.全称命题和特称命题否定的写法.
例1：写出下列命题的否定.
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每个质数都是奇数；
（3）012,2≥+-∈∀x x R x ；
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）01,200<+∈∃x R x .
2.含一个量词命题的否定的应用.
例2：已知命题p ：02,0200≤++∈∃a ax x R x .若命题p 是假命题，求a 的取值范围.
练2：已知命题“]2,1[0∈∃x ，使02020≥++a x x ”为真命题，求a 的取值范围.
作业：已知命题)(x p ：m x x >+cos sin ；)(x q ：012>++mx x .如果对R x ∈∀，)(x p 为假命题且)(x q 为真命题，求m 的取值范围.。
否定命题与命题的否定
否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如：命题: 若，则．命题的否命题：若，则．命题的否定即:若，则．全称命题与特称命题的否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；（3）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定；“p且q”的否定3．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数（2）：若且，则．解析：(1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）；的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）；(2) ：若且，则（假命题）；的否命题是：若或，则（假命题）.5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假。
（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）；（5）。
解析：（1）是全称命题且为真命题。
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题。
（2）是全称命题且为假命题。
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题。
（3）是特称命题且为真命题。
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题。
（4）是全称命题且为真命题。
由于都有，故，为真命题；：，为假命题（5）是特称命题且为假命题。
因为不存在一个实数，使成立，为假命题；6．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
解析：q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m＞0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m＞0)的解集的子集。
全称命题与特称命题的否定教学课件.
一真一假.
4. “非”命题：对常见的几个正面词语的否定.
关键词 否定词 关键词
等于 不等于 至少有一个
例例21 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x2 +2x+3=0成立；假命题 2）存在两个相交平面垂直同一条直线；假命题 3）有些整数只有两个正因数. 真命题
请举出一些全称命题和特称命题。
例3 判断下列命题哪些是全称命题，哪 些是特称命题：
（1）奇数是整数； 全称命题 （2）偶数能被2整除；全称命题 （3）至少有一个素数不是奇数. 特称命题
若x∈A,则p(x)成立
有一个x∈B,使q(x)成立
本节主要学习了全称命题和特称命题 的否定，本质上它们是互为否命题.
练习 P 15 作业 P 15 习题1-3第2-5题.
数学（选修2-1） 第一章 常用逻辑用语
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
复习回顾
判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出 它的真假。
否定 (1)三个给定产品至少有一个是正品； (2)方程x2-8x+15=0每一个根都不是偶数.
例4 写出下列命题的否定，并判断真假： （1）p:任意两个等边三角形都是相似的； （2）p:x R,x2+2x+2=0；
否定 (1)存在两个等边三角形不相似； 假 (2)对于任意实数x，x2+2x+2≠0. 真
（7）对任意的n∈Z，2n是偶数；全称命题
（8）如果两个数的和为负数，那么这两个数
中至少有一个是负数；
特称命题
2.若命题p：“存在m∈R，使 4x2x+1+m=0(x ∈ R)”是真命题，求实 数m的取值范围.
3.3全称命题与特称命题的否定(可编辑修改word版)
3.3 全称命题与特称命题的否定明目标、知重点通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1.要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正确的．2.全称命题的否定是特称命题．3.要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称命题的否定是正确的．4.特称命题的否定是全称命题．探究点一全称命题的否定思考1 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)三个给定产品都是次品．答(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)三个给定产品中至少有一个是正品．思考2 全称命题的否定有什么特点？答全称命题的否定是特称命题．例1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3 整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2 的个位数字不等于3.解(1)存在一个能被3 整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x0∈Z，x 20的个位数字等于3.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否跟踪训练1 写出下列命题的否定：(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(2)任意a，b∈R，方程ax＝b 都有惟一解；(3)可以被5 整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(2)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b 的解不惟一．(3)是全称命题，其否定：存在被5 整除的整数，末位不是0.探究点二特称命题的否定思考怎样对特称命题进行否定？答对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，2x＋y≠3”．由于当x＝0，y＝3 时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．反思与感悟特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定：(1)存在一个x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解(1)对任意的x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．探究点三特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p 的取值范围．在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0 的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0 恒成立．又由二次函数的图像特征可知，Error! 即Error!3即Error!∴p≥ 或p≤－3.23故p 的取值范围是－3<p< .2反思与感悟通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．跟踪训练 3 若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x 是单调减函数，则 a 的取值范围是．答案(－2，－1)∪(1，2)解析依题意有0<a2－1<1⇔Error!⇔Error!⇔－2<a<－1 或1<a< 2.1.下列4 个命题：1 1p1：存在x∈(0，＋∞)，( )x<( )x；2 31 1p2：存在x∈(0,1)，log x>log x；2 31 1p3：任意x∈(0，＋∞)，( )x>log x；2 21 1 1p4：任意x∈(0，)，( )x<log x.3 2 3其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D1 1 1解析取x＝，则log x＝1，log x＝log32<1.p2正确．2 2 31 1 1当x∈(0，)时，( )x<1，而log x>1，p4正确．3 2 32.对下列命题的否定说法错误的是( )A.命题：能被2 整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2 整除的数不是偶数B.命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形C．命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形D．命题：存在x∈R，x2＋x＋2≤0；命题的否定：任意x∈R，x2＋x＋2>0答案 C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为．答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．[呈重点、现规律]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础过关1.命题“任意x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是( )A．存在x∈R，x2－x＋2≥0B.任意x∈R，x2－x＋2≥0C.存在x∈R，x2－x＋2<0D.任意x∈R，x2－x＋2<0答案 C解析“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．2.对命题：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实数根”的否定为( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实根答案 C解析若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根．3．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以“任意x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．4.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数答案 D解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．答案存在x0∈R，使得x02<0解析“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．6.若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1 或a>3.7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．二、能力提升8.下列命题中的假命题是( )A．任意x∈R,2x－2 014>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0C．存在x0∈R，lg x0<1 D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 B解析 A 中命题是全称命题，易知2x－2 014>0 恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x＝1 时，(x－1)2＝0，故是假命题；C 中命题是特称命题，当x＝1 时，lg x＝0，故是真命题；D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．9.已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否定为“”．答案存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析全称命题的否定是特称命题．10.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围是．答案3≤m<8解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m 的取值范围是3≤m<8.11.命题p 是“对某些实数x，有x－a>0 或x－b≤0”，其中a、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解(1)命题p 的否定：对任意实数x，有x－a≤0 且x－b>0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b 应满足的条件是b<a.12.已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0 成立”为真，试求参数a 的取值范围．解由已知得命题p 的否定：任意x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0 成立．∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则Error!∴Error!解得a≤－3，∵命题p 的否定为假，∴a>－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．三、探究与拓展13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a ＋3)x－3＜0.若p 和q 中具有一个真命题，求实数a 的取值范围．解若命题p 为真命题，则有Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q 为真命题，则有f(0)＜0 且f(1)＜0，可得0＜a＜4.由题设知命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以Error!或Error!解得0＜a＜1 或a＝4，故所求a 的取值范围是0＜a＜1 或a＝4.。
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例1
写出下列命题的否定:
（1）可以被5整除的数，末位是5. （2）能被3整除的数，也能被4整除.
析：(1) （2）隐含的全称量词：所有（任何一个） 解:(1) 存在可以被5整除的数，末位不是5. （2）存在能被3整除的数，不能被4整除.
注意：无量词的全称命题要先补充上量词再否 定.
只需说明：５个数{-2,-1,0,1,2}中有一个数不大于0.
1.全称命题的否定 2. 特称命题 3.真命题
1. 说明一个全称命题“所有的对象都满足某
一性质”是错误的，只要说明“存在某一个对 象不满足这一性质”．
2. 全称命题的否定是特称命题．
否定的方法：1. 全称量词变成存在量词 2. 否定结论
（ 2）否定结论
3. 原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一 性质”是错误的，只要说明？
解：只要说明所有的对象都不满足这一性质．
2.特称命题的否定是？如何否定？ 解:（1）特称命题的否定是全称命题．
（2）1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3.原命题和命题的否定的真假性有何关系？ 解：原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 说明一个特称命题“存在一些对象满足某 一性质”是错误的，只要说明所
否定的方法： 1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3. 原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 全称命题的否定是特称命题．
特称命题的否定是全称命题．
2.命题否定的方法：（1）改变量词
1.什么是全称命题?什么是特称命题?
含有全称量词的命题叫全称命题。 含有存在量词的命题叫特称命题.
2.判断下列命题是全称命题还是特称命题 (1)末位数字是0或5的整数,能被5整除; (2)棱柱是多面体; (3)有一个实数,不能作除数.
(1)(2)是全称命题,(3)是特称命题
1.判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数;
问题:
判断命题是全称还是特称命题，并指出真假．
(1)10,10 ,10 ,10 ,10 中有一个能被 3整除; (2)方程x 5 x 6 0至少有一个负实根 .
2
2
3
4
5
解：命题(1)是特称命题，且是假命题．
只需指出：这5个数中的每一个都不能被3整除. 命题(2)是特称命题，且是假命题． 只需指出：此方程的每一个根都不是负的.
全称命题 假命题
全称命题的否定
只需说明：有一个奇数不是素数.
特称命题
真
(2)数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数;
全称命题 假命题 只需说明：数列{1,2,3,4,5}中有一项不是偶数.
1.全称命题的否定 2. 特称命题 3.真命题
(3)5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0. 全称命题 假命题