论述向量在中学数学中的应用l
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
唐咸桂 1- b , b =
2
由 ¹ º 可得 m = n, 则 a = 即 a2 + b 2 = 1- b 2 + 1- a2 . _ a 2 + b 2 = 1.
1- a ,
2
点评 : 向量的数量积除用来证明等式外, 还可以 用来证明不等式, 一般比用常规方法证明来得简明. 二、 求函数最值问题
已知 a, b I R, 且 a
2
1- b + b
2
2
1- a
2
2
=例 2> 值.
求函 数 f ( x ) =
5x +
6- x 的最 大
= 1, 求证: a + b = 1. 证明: 构造向量 m = ( a, 1- a ) , n= (
2
1- b ,
解: 令 a= ( 5, 1 ) , b= ( x , x = 5
图 1- 2 由已知3DH , DA 4= 60 b, _ DA # DH = | D A | # | DH | cos3 DH , D A 4, 即 2m = 2 , 1) . 2 2 2 @ 0+ @ 0+ 1 @ 1 2 2 ( 1 ) 因为 co s3H D, CCc4= 1@ 2 = 2 , 所以3DH , DCc4= 45b, 即 DP 与 CCc所成的角 2 为 45 b. ( 2) 平面 A AcDcD 的一个法向量是 DC = ( 0, 1, 0) . 2 2 @ 0+ @ 1+ 1 @ 0 2 2 因为 cos 3DH , DC 4= = 1@ 2 1 , 所以3DH , DC4= 60b, 可得 D P 与平面 A A cDcD 2 所成的角为 30 b. 点评: 本例用向量方法求立体几何中/ 线线角 0 、 / 线面角0 的优势十分明显 , 避开了找角的麻烦 , 更使 运算趋于简单. 另外求二面角也可以通过法向量转化 为/ 线线角0 来解决. 四、 解决解析几何中有关角度的问题 2 m 2 + 1 , 解得 m = 2 2 , 所以 DH = ( , 2 2
新教材中向量的地位和作用
浅议新教材中向量的地位和作用高中新教材刚刚在内蒙古开始实施，在新教材的实施过程中引起了人们的广泛关注，特别是作为一线教师，在教学中得到更深的体会，新教材中向量具有广泛的应用。
研究向量的地位和作用，研究向量与其他数学内容的关系，对全面把握教材有十分重要的意义。
同时要正确把握向量的教学，还必须全面认识、深入研究向量与其他教学内容的关系，把握向量的地位和作用，也有助于我们全面把握新教材的教学，下面以普通高中课程标准实验教科书数学人教b 版来研究向量与其他数学内容的关系。
一、向量与平面几何的关系我们必须充分认识到平面几何是学习平面向量的重要载体，没有平面几何的载体，很难让学生简单明了地理解向量的一些概念，同时，简单的平面几何问题又是向量很好的训练载体。
1.向量的概念是由平面几何引入的，向量的定义、表示、线性运算等基本概念都是由平面几何引入的。
数量积定义、运算等也是如此，可以说平面几何是向量的基础，使向量更加形象直观，易于接受，灵活多变。
2.用平面向量证简单平面几何问题在必修4教材的104页例2证明三点共线及111页的例2，113页的例2、例3、例4用数量积证明垂直问题、夹角问题中，让学生初步体会向量法证明的特点，也为《2.4向量的应用》中的向量在平面几何中的应用做了铺垫，体现了“螺旋上升”的理念，教师在教学中要正确认识教材的编写意图。
用向量法证明平面几何问题，在教材117页给出了3个例题，分别是解决全等平行、互相平分、垂直等问题，并运用了向量的线性运算、定理及数量积。
由此可见，用向量证明平面几何问题主要是深入地掌握平面向量的概念，其次才是初步体会向量方法的运用，不能用向量法证明过多、过难的平面几何问题，否则会导致学生负担过重，使教学效果适得其反，一定要把握“用平面向量方法证几何问题”的度。
二、向量与解析几何的关系“向量的坐标表示”使向量与解析几何建立了一定的联系。
从而使向量和解析几何得到了相互促进和发展。
向量在中学数学中的应用
2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业作业——试论述向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”一、向量在几何中的应用：平行四边形性质的证明：设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222ADAD AB AB BD +⋅-=)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)二、向量在不等式中的应用：柯西不等式的证明：设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得ac+bd ≤2222d c b a ++所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。
三、向量在函数中的作用：函数最值的计算：求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。
解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。
四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用洛宁一高 吴怡静摘要 向量知识在代数、几何、三角、复数等数学分支中有着非常广泛的应用,利用向量知识可以巧妙而简捷地处理多种问题.文章主要讨论了向量知识在中学数学解题应用中一些新颖而独特的应用. 关键词 向量 数量积 向量法引言向量知识是解决数学问题的重要工具, 用向量法解题，方法新颖、思路清晰、运算简便、提高做题速率，是学生常用的解题方案之一。
下面举例分析向量在中学数学中的一些应用。
1. 向量在代数中的应用向量知识在中学教材中是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
下面就介绍这方面的应用。
1.1 等式证明证明等式用常规方法则运算比较繁琐，如果能用向量知识解答运算则就较为简捷。
例1 已知11122=-+-a b b a ，求证a 2+b 2=1.证 设)1(2a a m -=，，()b b n ，21-= ,n 与m 的夹角为θ，][πθ，0∈.则1cos =⋅=⋅θn m n m, 又1==n m,所以cos θ＝1，θ＝0. 所以m //n.因此01122=-⋅--b a ab , 移项然后两边平方，整理得a 2+b 2=1.例2 已知（x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)=(ax+by+cz)，且x ，y ，z ，a ， b ，c 为非零实数，求证cz b y a x ==. 证 构造向量()()c b a n z y x m ,,,,,==. m 与n 的夹角为θ，[]πθ，0∈，则()()()1cos 222222222=++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=c b a z y x cz by ax n m n m θ, 由此得πθθ==或0,所以m //n.因此cz b y a x ==.1.2 不等式证明证明不等式主要依据有关向量的性质公式，如b a b a ⋅≤⋅.例3 已知a ，b ，c R ∈，且a+2b+3c=6，求证a 2+2b 2+3c 3≥6.证 构造向量()c b a m 32，，=,()321，，=n ,所以6=⋅n m,32132222++⋅++=⋅c b a n m.由向量不等式得32132326222++⋅++≤++=c b a c b a ,即 632222≥++c b a .例4 已知：a,b *∈R ,a+b=1.求证：221212≤+++b a . 证 构造向量()1,1=m，()1212++=b a n ， .则1212+++=⋅b a n m,2=m,2=n .由 n m n m⋅≤⋅ ,得221212≤+++b a .1.3 解方程用向量法解方程，则可使问题得到巧妙而简便的解答。
向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)
向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。
由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。
近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。
Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra目录引言 (4)1、平面几何 (6)1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)2、立体几何 (9)2.1、利用向量解决平行问题 (9)2.2、利用向量解决垂直问题 (10)2.3、利用向量来求空间角问题 (11)2.4、空间距离 (13)2.4.1、两点距离 (13)2.4.2、点到直线距离 (13)2.4.3、点到平面距离 (14)2.4.4、异面直线距离 (14)3、代数 (15)3.1、不等式问题 (15)3.2、求最值问题 (16)3.3、三角函数中的应用 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (18)引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
谈高中教材中的“向量”内容
谈高中教材中的“向量”内容邹琼艳一、向量内容引入的意义1、从中学几何教材的演变看“向量”引入的意义欧几里得(Euclid约公元前330—前295)的《几何原本》问世至今已两千三百年了,《几何原本》对世界几何教育产生了极其深远的影响。
上世纪末希尔伯特(Hilbert1862—1943)发表《几何基础》,建立了完善的欧氏几何公理体系。
但无论是《几何原本》还是《几何基础》,都不是为初学者所写。
勒让德(Legendre1752—1833)1794年为学生写的新几何教材广为流传(一百多年发行33版)。
在此基础上各国编写了各自的几何课本。
我国现行中学几何教材的基础是解放初参照前苏联几何课本和其他几何课本编写而成的。
四十多年来虽然经过多次修改，但基本上是欧氏几何传统内容，解题方法主要是欧氏几何的综合方法。
随着时代的变迁，数学的方法发生了变化。
因此，传统的欧氏几何作为现代中学的课本显然是不适宜了，但若把欧氏几何完全拒之于中学门外，也是不正确的。
如何把欧氏几何中具有较高教育价值的部分与现代社会的需求有机地结合而编写出新的几何教材是数学新教材解决的问题。
我国《新大纲》中向量的引入，用向量作为工具处理立体几何问题，正是适应这一改革趋势的一项重大举措。
初中采用传统的欧氏几何方法,有利于继承欧氏几何中具有较高教育价值的部分。
如：(1)欧氏几何的鲜明的几何直观与严谨精确的语言的训练；(2)欧氏几何的综合方法对培养学生的逻辑思维能力的训练。
通过初中阶段的学习,基本掌握综合方法后，在高中立体几何中便可以从新的高度上用向量的方法去解决问题，同时利用向量作为工具处理立体几何问题，也即把空间结构系统代数化,把空间的研究从“定性”推向到“定量”的深度,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,既直观又容易接受。
2、从学生学习课程的安排上看高中教材向量引入的意义向量的引入除在立体几何中产生较大影响外，对于中学教材的其它一些内容，也可促进改善教材结构，优化教材内容，简化解题方法。
中学数学教学中的向量
是相 同的． 而按我们 的说 图１ Ａ Ｂ ， Ｃ Ｏ是 法， 则 只看到两个有 向线 同样的向且 段， 其大小与方向虽相同， 起点则不同． 所以我们只能说， 它们包含了相同的 向量 ｖ （ 什么叫包含下面要细说） ， 作为自己的成份． 这样做有什么好处？ 首先， 它避免了上面的前 两个怪论． 其次， 由此继续讲向量的运算之几何意 义最为方便． 可是最重要的是： 它最便于建立向量 的第二种表述： 坐标描述（ 或称Ｒ ０ 描述． 以下我们只 讨论Ｒ ３ ， 即讨论三维空间中的向量， 但是结果对于 平面向量也成立． ） 因为一方面， 若取基底向量１ ， ｊ ，
是ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ （ ａ ｘ ｉ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ｂ ｙ ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ． 这种给
定义的方式在１ ９ 世纪后半叶才出现， 标志数学极大 ｖ ＝ｖ ＝ ｉ ＋心 十ｖ ． ｋ （ １ ） 的进步． 在中学教材中则是第一次出现， 因此老师 而且这种表示是唯一的． 于是三维空间当选定
教材的主体很难融合． 近年来， 因为参与了中学数学教材的编写工 作， 与负责数学‘ 课标’ 、 教材的编审的同志以及中 学老师有不少接触， 与近年高考命题阅卷的老师也 有一些接触． 各个初等数学教学刊物几乎每期都有 与向量有关的文章． 根据这些信息， 写了下面的文 章， 抛砖引玉， 以 供切磋． 先把我处理向量这一部分教材“ 总结” 出来的 几条“ 原则” 提出来， 可能有助于读者评论作者的想 法和写法． 在文中 来再详细解释它们． （ １ ） 先用其“ 意” ， 慎用其“ 词” ． 把哪些是“ 意” ， 哪些是“ 词” 各作适当处理． 避免以“ 词” 害“ 意” ． 也 避免用“ 词” 不准确引起误解． ・ （ ２ ） 从删繁就简进到化繁为简． （ ３ ） 把“ 数形结合” 这个笛卡儿等大师们研究数 学的重大创造， 转化为我们“ 教” 数学和“ 学” 数学的
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量知识在几何、代数、三角、复数等数学分支中有看十分广泛的应用,利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型.向量法解题,可激发学生学习兴趣,拓宽学生的思维,培养学生的创新意识和能力.向量兼有数与形两大特征，向量的三种运算又能有效、简捷地描述图形中的数量关系和图形之间的位置关系，加之向量与坐标系具有天然的联系，所有这些得天独厚的特性使得向量成为解决中学数学有关问题的强有力工具。
一、向量与图形概括起来，运用向量方便、简洁地解决的图形问题大致有以下几类：（1）比例的有关问题；（2）平行与垂直的有关问题；（3）角度与距离的有关问题。
由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。
一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。
究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。
下面举例说明之。
例1 已知P、Q过△OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n, 求证：1m+1n=3。
分析这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。
图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量→OA、→OB为基向量，其它有向线段用基向量线性表示。
设→OA=a，→OB =b，则→OD=12( a+b),→OG=13( a+b)，→OP=m→OA,→OQ=n→OB。
→PG=→OG-→OP=(13-m) a+13b,→PQ=→OQ-→OP= n b –m a。
∵P、Q、G共线，∴存在λ，使→PG=λ→PQ，即(13-m) a +13b =λ（n b –m a ）。
整理，得(13-m+λm)a +（13–λn ）b =0，于是，13-m+λm=0，13–λn=0，消去λ，得1m +1n=3。
例1也可以通过建立坐标系，运用向量的坐标运算来解决，读者不妨一试。
向量能在初中的运用
向量可以应用于初中数学中的几何和代数学科。
以下是一些初中数学中的向量应用：向量加法和减法：向量可以进行加法和减法运算，这在初中数学中通常被用于计算几何问题，例如计算两个点之间的距离或找到平面图形的中心点。
向量的模和单位向量：向量的模是其长度，而单位向量是具有相同方向但长度为1的向量。
这些概念在初中数学中用于计算向量的大小和方向。
向量的坐标表示：向量可以用坐标来表示，在初中数学中通常被用于计算平面或空间中的向量。
向量的点积和叉积：向量的点积和叉积可以用于计算向量之间的夹角和方向，这在初中数学中被用于计算角度和解决几何问题。
向量在中学数学知识体系中应用论文
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
谈高考中向量运用的技巧
谈高考中向量运用的技巧向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，同时又是数形结合思想运用的典范。
向量作为代数对象，它可以运算；作为几何对象，它有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；它有长度，可以刻画距离、面积、体积等几何度量问题。
正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁和纽带。
因此，在历年全国各个省市的高考中都是一个必考点。
在高考中，它不但可以单独成题，着重考查向量本身的基础知识和方法；且常与其他知识（如平面几何、解析几何、三角函数与解三角形、数列等）一起进行综合考查，侧重考查学生的综合能力。
在新课改中，更加突出了向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值。
因此，在新课改条件下的高考中与其他知识一起进行综合考查更加频繁，它能很好地考查学生的应用能力、探究能力、创新能力，充分体现新课改精神，深受命题专家青睐。
正因为向量成为联系多项内容的桥梁和纽带，所以高考中常以向量为载体，结合其它知识考查，或以向量为工具巧解其它难题，它灵活多变，不能掌握它的技巧，学生一遇到这样的题型找不到抓手和解题的支点，从而无处下手。
下面就几个例题谈谈有关运用向量解题的几个技巧。
一、明修栈道，暗度陈仓例1：设为抛物线y2=4x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若■+■+■＝0，则|■|+|■|+|■|=（b）。
a.9b.6c.4d.3解析：设f为抛物线y2=4x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若■+■+■＝0，则f为△abc的重心，∴a、b、c三点的横坐标的和为f点横坐标的3倍，即等于3，∴|fa|+|fb|+|fc|=（xa+1）+（xb+1）+（xc+1）=6，选b。
点评：注意满足■+■+■=0，则f为△abc的重心，表面上是向量的模长和，实际为抛物线上的点到焦点的距离和问题就不难解决了。
二、拨云现日例2：设o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三点，动点p满足o■=oa+λ（■+■），λ∈[0，+∞）则p点的轨迹一定通过△abc的（b）。
《毕业论文《向量》》word版
摘要向量在中学教学和研究中占有比较重要的地位，如何用向量的知识去解决平面几何问题是比较重要的利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从证明线段平行，证明垂直问题，求夹角问题，求长度问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.关键词向量平面几何方法Abstract vector occupy an important position in middle school teaching and research, knowledge of how to use vector plane geometry to solve problems using vector to solve some mathematical problems is more important, will greatly simplify the problem-solving steps, enable students to master a proven mathematical tools. First of all, this article reviews some basic properties of vector, then proof from line segments parallel to prove that the vertical issues, angle problems, and the length problem summary application of vector in solving a series of mathematical problems faster, and gives examples of using vector and intuitive solution to some of the more complex mathematical problems.Keywords vector, plane geometry, method目录前言 (3)1 向量基本性质回顾 (3)1.1向量的概念 (3)1.2向量的几何表示 (3)1.3相等向量与共线向量 (3)1.4向量的运算 (4)1.5向量的数量积 (5)1.6平面向量的基本定理 (5)2 证明线段平行问题 (6)3 证明垂直问题 (7)4 求夹角问题 (8)5 求线段的长度 (9)结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (14)前言向量作为中学数学的必修内容，在知识体系中占的比例也较大，在中学平面几何中有着广泛的应用.向量的加法运算与全等、平行，数量的向量积与相似，距离、夹角之间有密切的联系.因此，利用向量可以解决中学平面几何中的相关问题.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量可以解决一些数学问题，将大大化简解题的步骤，使学生掌握一些行之有效的数学工具。
浅谈空间向量在立体几何中的应用
浅谈空间向量在立体几何中的应用引言：在高中数学中，向量既有代数的抽象也有几何的直观，其中的“数”与“行”完美结合的特点使得我们可以运用向量解决立体几何中某些复杂的问题。
正因为有向量的知識，解决立体几何一类的问题的时候就可以弥补部分同学在空间想象能力不足的缺陷，这在一定程度上降低了立体几何的做题难度。
一、向量在立体几何中的作用空间向量是高中数学教材中后来添加的新内容，它的功效就在于能够取代之前在传统教材中的地位，从目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直问题，角度问题，以及法向量之间的计算应用问题等。
1.空间向量的作用（1）证明垂直，面对线面垂直以及面面垂直的问题的时候，在算出法向量的基础上，通过证明直线平行于法向量即可得出结论；还有想要证明面面垂直的结论，证明出两平面的法向量是垂直的，即可得出最终的结论。
（2）计算角度，求二面角的精髓就在于转换两个法向量之间的角度来计算；立体几何中的平行问题是通过向量的基本定理进行验证的。
2.平面法向量（1）法向量，指的是与已知平面垂直的向量值，这个是可以根据坐标位置的确定有多个的，就我们使用的经验来讲一般是选择最为方便的那个来操作的。
（2）法向量的计算，根据一般情况建立适当的平面直角坐标轴，假设所知平面的法向量为m（a，b，c），在所在平面内找到两个相交的直线S，T，同时运用法向量来定义他们。
因为法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量点乘为零列出方程组。
由于有三个未知数a，b，c，通常是假设其中一个是较特殊的值，再求出另外两个的值。
二、向量在立体几何中的实际运用空间向量作为新鲜血液，解决几何问题时更具优势，解题者思维能清晰明了。
这样的方法不仅节省时间还能够简单地解决问题。
1.立体几何的证明和计算问题主要分成二大板块：位置问题和度量问题。
位置问题就是线线，线面之间的关系等；度量关系就是线线之间，线面之间的角度问题。
（1）证明问题1）假设在一个空间里有任意的一点O点，以及和O点不共线的E，F，G三点，假如：（其中x+y+z=1），则四点M，E，F，G共面。
向量在中学中的应用
利用向量解决立体 几何问题
利用向量解决函数 最值问题
向量在平面几何中的应用：通过向量 的线性组合、数量积和向量积等运算， 可以解决平面几何中的平行、垂直、 角度和长度等问题。
向量在解析几何中的应用：通过向量 的坐标表示，可以将几何问题转化为 代数问题，从而利用代数方法解决几 何问题。
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经济学科：描述市场供需关系、消费者行为 等经济现象
生物医学：描述生物体内的生理过程、疾病 传播等生物医学现象
环境科学：描述环境中的物质流动、能量传 递等环境科学现象
向量与人工智能的结合：利用向量进行机器学习和深度学习算法的开发和应用
向量在大数据处理中的应用：利用向量进行数据分析和挖掘，提高数据处理效率
应用：点乘在物理学中有着重要的 应用，如计算向量的长度、角度、 位移等。
定义：向量的大小或长度 计算方法：使用勾股定理或欧几里得范数 性质：模长是非负的，且平行四边形的两条对角线模长相等 应用：在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用
定义：向量是 大小和方向的 量，具有加法、 减法、数乘等
运算性质
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向量在空间几何中的应用：通过向量 的线性组合、数量积和向量积等运算， 可以解决空间几何中的平行、垂直、 角度和距离等问题。
向量在中学数学中的应用：通过向量 的引入，可以帮助学生更好地理解几 何概念，提高解题能力，为后续学习 打下基础。
向量可以表示平面向量 向量可以表示点在平面中的位置 向量可以表示直线和平面的方向 向量可以表示平面中的角度和距离
向量可以用于解决代数方程 向量可以表示为有序数对
向量可以用于研究函数的导 数和积分
向量可以用于表示圆锥曲线源自确定研究系统建立坐标系
用向量方法解决数学问题
用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。
这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。
首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。
而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。
可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。
使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。
第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。
其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。
在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。
几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。
矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。
对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。
同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。
如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。
第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
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论述向量在中学数学中的应用
高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容，也是高考的热点。
平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。
除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。
向量的引入为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
它是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间的关系代数化。
向量的应用
1. 利用向量证明等式
对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。
例1. 已知α、β是任意角，求证：。
证明：在单位圆上，以x轴为始边作角α，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角β，终边交单位圆于B，有
所以
又有
即成立。
2. 利用向量证明不等式
当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：，构造向量解之。
例2. 是正数。
求证：。
证明：设
所以。
由数量积的坐标运算可得：。
又因为
所以成立。
3. 利用向量求值
对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。
例3. 已知，求锐角α、β。
解：由条件得
设
则
由
即
则
即
同理（因为α、β为锐角）。
4. 利用向量求函数值域
巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。
例4. 若，求的最小值。
解：构造向量
由
即
所以
当且仅当时，有最小值。
例5. 设x是实数，求的最小值。
解：因为
故可设
所以
当时等号成立。
所以当时，取得最小值。
5. 利用向量解决解析几何问题
平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
例6. 过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。
（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）是否存在这样的直线，使？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）设的方程为，代入
得
当时，设
则
设，由，
再将代入得（*）
时，满足（*）式。
当斜率不存在时，易知满足（*）式，故所求轨迹方程为
，其轨迹为双曲线。
当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）因为，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。
当k不存在时，A、B坐标分别为，不满足上式。
又
化简得
此方程无实数解，故不存在直线使OAPB为矩形。
所以，不存在满足条件的直线l。
无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。
这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。