函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
用三种方法表示二次函数习题及答案
用三种方法表示二次函数1. 函数的三种表示方法是、、 ．2. 已知点2(1)m m +，在函数22y x x =+的图像上，则m = ．3. 有三个点坐标(11)A -，-，(02)B -，，(11)C ，． （1）求经过此三个点的抛物线的函数表达式； （2）用列表法表示此抛物线； （3）由图像法表示此抛物线．4. 抛物线2y ax bx c =++与2y x =的形状相同，对称轴是直线2x =，且顶点在直线132y x =+上． 用函数表达式表示此抛物线．5. 11个人到书店去为单位买书，每人都买了若干本，其中买书最多的人买了100本书，证明这11人中必有两人，他们买的书相差不到10本．6. 有这样的算式1111111112612203042567290++++++++． 你能正确而又迅速地算出它的结果吗？7. 已知二次函数2y x bx c =++的图像过点(0)A c ，，且关于直线2x =对称，则这个二次函数的函数表达式可能是（只要写出一个可能的表达式）．8. 完成下表：9. 两个数的和为8，这两个数的面积的最大值是 ． 10. 根据表格写出y 与x 的函数关系式,并作出图像．11. 一块矩形木板长5cm ，宽4cm ，若长，宽各锯去cm x 后，剩下的木板的面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式是什么？当剩下的木板的面积为8.75cm 2时，长，宽各锯去多少？12. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(41)-，，与y 轴交于点(03)C ，，O 是原点，（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．13. 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线2x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：14. 已知二次函数22y ax =-的图像经过点（1，1-）．求这个二次函数的表达式，并判断该函数图像与x 轴的交点的个数．15. 已知抛物线的对称轴是1x =，它与直线12y x k =+相交于点(11)A -，，与y 轴相交于点(03)B ，，求解下列问题： （1）求k 的值；（2）求抛物线的函数表达式； （3）求抛物线的顶点坐标．16. 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南京市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1），在正常情况下，位于水平上的桥拱跨度为350m ，拱高为85m ．（1）在所给的直角坐标系中（如图2），假设抛物线的表达式为2y ax b =+，请你根据上述数据求出a ，b 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a ，b 的值保留两个有效数字）．（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多少大（结果保留整数）？17. 一个长方形的周长是8cm ，一边长是cm x ，则这个长方形的面积y 与边长x 的函数关系用图像表示为（ ）图1图218. 一个三角形的一边长和这边上的高的和为20cm ，则这个三角形的面积最大可达到2cm ．19. 用长为100m 的金属丝制成一个矩形框子，则该框子的最大面积是2m ．20. （1）作出下面每个图形的对角线，并完成表格：（2）如果用n 表示多边形的边数，m 表示这个多边形的对角线条数，那么m 和n 的关系如何？ 21. 二次函数图象如图所示，试写出它的代数表达式．22. 如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，P 为BC 上一点，Q 在CD 上，AP PQ ⊥，cm BP x =，cm CQ y =．求y 与x 的函数关系式，以及线段CQ 的长最大可达到多长．(1-23. 试写出一个开口向上，对称轴为直线2x =，并且与y 轴的交点坐标是(0)，3的抛物线的函数表达式．24. 已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x = ，满足y ＜0的x 的取值范围是 ，将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位，可得到抛物线962+-=x x y ．25. 已知123A A A 、、是抛物线212y x =上的三点，112233A B A B A B 、、分别垂直于x 轴，垂 足为123B B B 、、，直线22A B 交线段13A A 于点C ．（１） 如图11－1，若123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，求线段2CA 的长； （２） 如图11－2，若将抛物线212y x =改为抛物线2112y x x =-+，123A A A 、、三点 的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段2CA 的长； （３） 若将抛物线212y x =改为抛物线2y ax bx c =++，123A A A 、、三点的横坐标为 连续整数，其他条件不变，请猜想线段2CA 的长（用a b c 、、表示，并直接写出答案）．y3A 3Ayyx图11－1 图11－2 答案： 1.解析式列表法图像法2.34-3.（1）设所求抛物线的函数式为2y ax bx c =++，由121a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，，，得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，2211722248y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭． （2）略．（3）略．4.抛物线的形状与2y x =相同，1a =±．又抛物线对称轴是直线2x =，顶点在132y x =+上，顶点为(24)，．∴所求抛物线为2(2)4y x =±-+，即248y x x =-+或24y x x =-+．5.因买书买得最多的人买了100本，所以每人买书不多于100本．把1到100这100个数分成如下的91组：{}1210，，，，{}2311，，，，{}3412，，，，{}4513，，，，，{}9192100，，，，因共有11人，故至少有两个人买书的本数在上面的同一个数组中，这两个人所买的书相差不到10本． 6.解：11111111111111126129012233491022334910191.10101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=7.24y x x =-或243y x x =-+等 8.0.04，0.09 9.1610.2y x =，图略11.2920y x x =-+，1.5cm 12.（1）21234y x x =-+（2）存在，点P 的坐标：（0，4），（0，4-），（0，9），（0，9-） 13.243y x x =-+，答案不唯一 14.22y x =-，与x 轴的交点有两个 15.（1）32k =-（2）2483y x x =-+（3）11(-)， 16.解：（1）桥拱高度85OC =m ，即抛物线过点C （0，85），所以85b =．又由已知得：350AB =m ，即点A 、B 的坐标分别为（175-，0），（175，0）．解得0.0028a ≈． 所求抛物线的表达式为：20.002885y x =-+（2）所以设DE 为水位上升4m 后的桥拱跨度， 即当4y =时，有240.002885x =-+．170x =±∴．D ∴、E 两点的坐标分别为（170-，0）、（170，0）．170170340ED ≈+=∴（m ）， 答：当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度为340m 17.A 18.50 19.62520.（1）作图略；依次填：0，2，5，9，14，20． （2）2113(3)222m n n n n =-=-． 21.设2y ax bx c =++，则09304.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，故123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，223y x x ∴=-++． 22.90APQ ∠=，90APB CPQ ∴∠+∠=．又90BAP APB ∠+∠=，BAP CPQ ∴∠=∠． 又90B C ∠=∠=，∴△ABP ∽△PCQ ．AB BP PC CQ ∴=，即88x x y =-，222111(8)(4)2888y x x x x x =-+=--=--+．故当4x =时，y 有最大值2，即线段CQ 的长最大可达到2cm ． 23.243y x x =-+ 24.3x =， 15x << 25.解：（１）方法一：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，设直线13A A 的解析式为y kx b =+．12239.3.22k k b b k b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴⎨⎨=-⎪⎪=+⎩⎪⎩，， 解得∴直线13A A 的解析式为322y x =-．23522.22CB ∴=⨯-=2222512.22CA CB A B ∴=-=-=方法二：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，由已知可得11332113311195().22222A B A B CB A B A B ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭∥，2222512.22CA CB A B ∴=-=-= （２）方法一：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =---+=-+=+-++，， 设直线13A A 的解析式为y kx b =+．221(1)(1)(1)121(1)(1)(1) 1.2n k b n n n k b n n ⎧-+=---+⎪⎪∴⎨⎪++=+-++⎪⎩，解得2113.22k n b n =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴直线13A A 的解析式为213(1)22y n x n =--+．2221313(1).2222CB n n n n n ∴=--+=-+22222213111.2222CA CB A B n n n n ∴=-=-+-+-=方法二：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、． 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =⨯---+=-+=+-++，， 由已知可得1133211331()2A B A B CB A B A B =+∥， 22111(1)(1)1(1)(1)1222n n n n ⎡⎤=---+++-++⎢⎥⎣⎦213.22n n =-+ 22222213111.2222CA CB A B n n n n ⎛⎫∴=-=-+--+= ⎪⎝⎭ （３）当0a >时，2CA a =；当0a <时，2CA a =-．。
§2-5 用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
问题研究
已知矩形周长20cm, 已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为 面积为ycm xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的而变化的规律是什么？ 随 的而变化的规律是什么 的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式， 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？ 和图象表示出来吗？
y = x − 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么? 1.自变量x的取值范围是什么? 自变量 ∵x表示任意一个数 ∵x表示任意一个数 自变量x的取值范围是: ∴自变量x的取值范围是: 或y = ( x − 1) − 1. 全体实数
例3、如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正 、如图，有一座抛物线型拱桥， 常水位AB时宽为 时宽为20米 水位上升3米就达到警 常水位 时宽为 米，水位上升 米就达到警 戒线CD，这时水面宽度为10米 戒线 ，这时水面宽度为 米. (1)在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式; 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 (2)若洪水到来时 水位以每小时 米的速度上升 若洪水到来时,水位以每小时 米的速度上升, 若洪水到来时 水位以每小时0.2米的速度上升 从正常水位开始,再持续多长时间 会达到共拱顶? 再持续多长时间,会达到共拱顶 从正常水位开始 再持续多长时间 会达到共拱顶
函数的表示方法及图像画法
y 2 x, (0 x 10)
练一练
画出函数 y 1 x, x z 的图象
-3 4 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1 3 -2 y
解:列表: x
想一想：
1.画函数图像时是否可以把每一个点都画 在坐标纸上？ 2.如果不能，是否能选择一些合适的点， 使我们通过一定数量的点的位置，估计出 这个图像的形状和变化趋势？你怎样选取 这些合适的点？
函数的表示方法 --图像法
表示函数的方法
• 解析法 • 列表法 • 图像法
二．例题讲解：
例1 ．一种豆子每千克售2元，所售豆子不超 过10千克，则豆子总的售价是y（元）与所售豆 子的数量X(千克）之间何关系？ 分别用解析法、列表法表示上述函数关系。
解：（1）解析法：由于所售豆子不超过10千克，则X的定
函数的图象
x
把一个函数在定义域内的一个自变量 的值，和它对应的因变量的值分别作为一 个点的横坐标和纵坐标，就能在直角坐标 系内描出相应的一个点，由所有这样的点 组成的图形，就是这个函数的图象
y
(x,y)
画函数的图象的步骤
列表、描点、连线
函数的定义域范围。 根据已描出的点判断图像是直线还是曲线。
尝试画图：
优点 解析法
缺点
简明、全面地概括变量间 不够形象、具体 的关系，方便计算出任意 一个自变量的值所对应的 函数值
列表法
每个自变量对应的因变量 变化规律不是很明显， 一目了然，一看就知道结 不能或者不太好推出 果 任意一个自变量时的 因变量的值
能够很直观的感受到整个 具体数值却不能一下 函数的变化情况 子看出来
义域为0≤x≤10；则f(x)=2x,(0≤x≤10) （2）列表法：
1函数的表示法3种表示法和分段函数
此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
会员免费下载 顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
三种表示方法举例：
(1).解析法: y kx (k 0) , h 1 gt2
2
(2).列表法:
国内生产总值（单位：亿元）
年份
1990
1991
1992 1993
生产总值 18598.4 21662.5 26651.9 34560.5
(3).图象法:
我国人口出生率变化曲线Fra bibliotek例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次 数学测试的成绩及班级平均分表：
(1)求f{f[f(－2)]} ;
(2)当f (x)=－7时,求x ;
解 （1） f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f{1} =0 (2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与
f (x)=－7相符，由
2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=-5
思考
x+2, (x≤－1)
120
100
80 王伟
60
张城
赵磊
班平均分 40
（2）请你对这三位同学在高一学年度
20 的数学学习情况做一个分析，
0 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
例3 . 画出函数y | x | 的图象.
13.1.3画函数图像
函数的三种表示方法：
1.函数的三种表示方法，各有利弊，合理选 择或综合使用。 2.解析法类似于应用题。关键在于找准数量 关系，列出两个变量的等式。注意，一般 用自变量的式子表示函数。 3.对于图像法中图像信息的获取主要来源于 关键点和分段趋势。
小结
1.画函数图象的方法：描点法 2.画函数图象的步骤。
蒙城中学
吴广波
复习回顾
1. 在某个变化过程中，数值保持不变的量， 叫做（ 常量 ），可以取不同数值且变 化的量叫做（ 变量 ）。
2. 一般地,在某个变化过程中,设有两个变 量 x, y,如果对于 x 的每一个确定的值, y 都 有唯一确定的值, 那么就说 y 是 x 的 （ 函数 ）,其中 x 是（自变量 ）,y是 （因变量）。
2. 有一个角为600的平行四边形，它 的周长为m,如果它的一边长为x，那 么相邻的另一边长y与x之间的函数关 系式
B(14,10)
·
· C( t,T)
· A(4,-2)
气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子． 图像能后清晰的反映出温度与时间的函数关系。 那么如何作出函数的图像呢？
图像法：用图像来表示两个变量的 函数关系的方法。 在函数中，自变量x的每一个确定 的值，可以得出对应函数的唯一值，从 而形成了一对有序实数对(x，y) 。 它与平面直角坐标系中的点(x，y) 是一一对应关系。因此我们可以再平断下列变量关系y是不是x的函数 (1) 3x-2y=5 (2) 2x-y2=10 (3) y x
注：判断是不是函数，主要看两个变量之间的关 系是否满足函数的概念.
3.求下列函数自变量的取值范围（使函数式 有意义）：
（1）y＝3x－1； （2） y
x2
1 （3）y x2
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
表示函数的方法[精练习题]
![表示函数的方法[精练习题]](https://img.taocdn.com/s3/m/ea944f1bf18583d0496459ab.png)
表示函数的方法，常用的有解析法、图象法和列表法三种.常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法等等。
例1． 已知f (2x +1)=3x -2，求函数f (x )的解析式。
例2． 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17，求函数f (x )的解析式。
例3． 已知2211()f x x x x +=+，求函数f (x )的解析式例4． 已知函数f (x )满足1()2()f x f x x -=，求函数f (x )的解析式。
例5． 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f例6． 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例7．已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f例8．已知定义在R 上的函数满足，求的解析式。
例9．设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f基础达标1．函数f (x )= 2(1)x x x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3． 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是4．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q +5．函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于 6．已知函数(),m f x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 . 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ；若00()8,f x x ==则 . 8．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于9．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.10．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式11、已知二次函数的二次项系数为a ，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。
人教版中职数学3.1.3函数的表示方法(含3.2.1函数的图像)
解 设表示购买的铅笔数x（支），表示应付款额y（元）,则函数的定义域 为{1,2,3,4,5,6}．
（1）根据题意得，函数的解析式为? （2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函 数的列表法表示．
函数
函
函数
数
函数
3.1.3 函数的表示方法
1．函数的定义是什么？ 2．你知道的函数表示方法有哪些呢？
解析法、列表法、图象法．
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解析法 例如：y = 60x； y = x 2 ；S=100 t2 (2<t <9)．
列表法
恩格尔系数
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图象法Biblioteka 1000009000080000
70000
（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依 次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5， 0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．
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归纳
由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函 数图像”的具体步骤：
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函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种.
(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列 车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.
用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的
值相对应的函数值.
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描点法作图
描点法作函数图象的步骤： 取值列表 描点 连线
中职数学基础模块上册《函数的表示法》
（3）恩格尔系数 （列表法）
1.2.2 函数的表示法 三、3种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间 的关系；可以通过用解析式求出任意一个自 变量所对应的函数值。
但不够形象、直观、具体，而且并不是所 有的函数都能用解析式表示出来
列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值。
三、求解函数解析式的方法：代入法、配凑法、换元法 。
2.1.2 指数函数及其性质 八、作业
谢谢！
1.2.2
函数的表示法
1.2.2 函数的表示法
一、温故而知新
1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
做题步骤：整体代入→化简
五、如1.2何.2根函据数已的知表条示件法求函数 的解析式
一、换元法和配凑法求解析式 类型二：已知f[g(x)] 的表达式，求f(x)的表达式
例2 已知f(x+1) ＝3x＋5，求f(x)的解析式
练习：1、已知f(x＋1)＝x2＋2x，求 f(x)．
2、若f (x 1) x2 x 1，求f (x 1)的解析式
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
用解析式法可将函数y=f（x）表示为 y=5x，x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=f（x）表示为
注一：
解析法：必须 注明函数的定 义域
笔记本数 x
1
2
3
45
钱数y 5 10 15 20 25
2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析
函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。
解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。
2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。
题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。
官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。
根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。
2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。
设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。
3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。
设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。
根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。
4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。
根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。
5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。
根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。
6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。
根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
函数的几种表示方法
1.2.2 函数的表示方法第一课时函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数【教学过程】一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=π2r，S=2rlπ,y=a2x+bx+c(a≠0),y=2-x(x≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
初二数学函数的表示法试题
初二数学函数的表示法试题1. 在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）B ．v=m 2﹣1C ．v=3m ﹣3D ．v=m+1 【答案】B【解析】一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式． 解：当m=4时， A 、v=2m ﹣2=6； B 、v=m 2﹣1=15； C 、v=3m ﹣3=9； D 、v=m+1=5． 故选B ．2. 弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：下列说法错误的是（ ）B ．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量C ．如果物体的质量为mkg ，那么弹簧的长度ycm 可以表示为y=2.5m+10 D ．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg 时，弹簧的长度为20cm 【答案】B【解析】因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的重量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；由已知表格得到弹簧的长度是y=10+2.5m ，质量为mkg ，y 弹簧长度；弹簧的长度有一定范围，不能超过．解：A ．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm ，根据图表，当质量m=0时，y=10，故此选项正确，不符合题意；B 、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；C 、当物体的质量为mkg 时，弹簧的长度是y=12+2.5m ，故此选项正确，不符合题意；D 、由C 中y=10+2.5m ，m=4，解得y=20，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B ．3. 下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ）A．b=d2 B．b=2d C．b= D．b=d+25【答案】C【解析】这是一个用图表表示的函数，可以看出d是b的2倍，即可得关系式．解：由统计数据可知：d是b的2倍，所以，b=．故本题选C．4.某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为方．月用水量不超过12方部超过12方不超过18吨部分超过18方部【答案】20【解析】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x方，水费为y元，继而求得关系式为y=39+3（x﹣18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．解：∵45＞12×2+6×2.5=39，∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x﹣18）．当y=45时，x=20，即用水20方．5.邓教师设计一个计算程序，输入和输出的数据如下表所示：那么当输入数据是正整数n时，输出的数据是．【答案】【解析】分析可得：各个式子分子是输入的数字，分母是其3倍减1，故当输入数据是正整数n 时，即可求得输出的值．解：∵各个式子分子是输入的数字，分母是其3倍减1，∴当输入数据是正整数n时，输出的数据是．6.函数的三种表示方式分别是．【答案】解析法、表格法、图象法【解析】根据函数的表示方法进行填写．解：函数的三种表示方法分别为：解析法、表格法、图象法．7. 函数的表示方法有 ．【答案】列表法，图象法，解析式法．【解析】根据常用的函数表示方法：列表法，解析式法，图象法进行填写． 解：函数的表示方法通常有三种： 列表法，解析式法，图象法．故答案为：列表法，图象法，解析式法．8. 观察下表：则y 与x 的关系式为 ．【答案】y=x 3+1【解析】由上表找出相应的常量即可求出关系式． 解：当x=1时，y=13+1=2； 当x=2时，y=22+1=9； 当x=3时，y=33+1=28； …由此可得出y=x 3+1．9. 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）与气温x （℃）之间的关系如下从表中可知音速y 随温度x 的升高而 ．在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 68.6 米．【答案】加快【解析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案． 解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快；当气温为20℃时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点343×0.2=68.6米．10. 据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年，我国各项税收收入合计见表．从表中可以得出：新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是 ，其中， 年与增长百分数最大； 年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了 倍（保留一位小数）．【答案】上升；1985；1965；255.9【解析】由表中的数据，分别算出与5年前相比，增长百分数，进一步比较得出答案即可．解：（127.45﹣48.98）÷48.98≈160.2%；（203.65﹣127.45）÷127.45≈59.8%；（204.30﹣203.65）÷203.65≈0.3%；（281.20﹣204.30）÷204.30≈37.6%；（402.77﹣281.20）÷281.20≈43.2%；（571.70﹣402.77）÷402.77≈41.9%；（2040.79﹣571.70）÷571.70≈257.0%；（2821.86﹣2040.79）÷2040.79≈38.3%；（6038.04﹣2821.86）÷2821.86≈114.0%；（12581.51﹣6038.04）÷6038.04≈108.4%；（12581.51﹣48.98）÷48.98≈255.9（倍）；新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是上升，其中，1985年与5年前相比，增长百分数最大；1965年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了25587.0倍．故答案为：上升；1985；1965；255.9．。
《数学 基础模块》上册 3.2 函数的表示法
3.2函数的表示法教学目标知识目标：理解函数的三种表示方法.能力目标：通过对比三种表示方法的特点，能够选择用适当的方法表示函数.情感目标：感体会函数的三种表示方法，感悟“数形结合”.教学重点函数的表示法．教学难点利用“描点法”描绘函数图像．教学备品教学课件．课时安排1课时．教学过程知识探究归纳总结列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法。
练习：新中国成立后共进行了六次人口普查，各次普查得到的数据如下表所示年份195319641982199020002010总人口6.02 6.9510.0811.3312.6513.39数/亿试说出这个函数的定义域和值域.解：定义域{1953,1964,1982,1990,2000,2010}值域{6.02，6.95,10.08,11.33,12.65,13.39}观察探索探究新知实例3：如果弹簧原长10cm，每增加1kg的重物会使弹簧伸长0.5cm，那么怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l(单位：cm)解：关系式为：l=10+0.5m实例4：怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r？解：关系式为：S=πr2解析法：把两个变量之间的函数关系用一个等式来表示的方法.图像法：用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法.过 程意图深入对比试说出三种表示方法的特点.表示法 特点列表法 很清楚地看出自变量x 对应的y ，即定义域和值域解析法 能够简明、准确地反映出事物变化过程中两个变量之间的变量关系。
图想法很容易看出函数的变化趋势。
带领 学生 总结 函数的三 种表 示法 的特点 巩固知识 典型例题例1 某种笔记本单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y 解： 列表法：笔记本个数x/个1 2 3 4 5 钱数y/元510152025解析法：y =5x x ∈{1,2,3,4,5} 图像法：例2 画出函数f (x )=|x |的图像 解：根据绝对值的概念y ={x (x ≥0)−x (x <0)通过 例题 进一步领 会函 数三 种表 示方法的 特点xy 1 2 3 4 525 20 1510 5过 程意图运用知识 强化练习 教材 P62 1、2、3、4及时 了解 学生 知识 掌握 情况 归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ （1）本次课学了哪些内容？ （2）在学习方法上有哪些体会？培养 学生 总结 学习 过程 能力布置作业(1)书面作业： 教材P63(2)实践调查： 探究生活中函数知识的应用xy 1 2 3 44 3 2 1--3 --。
12.1-2函数的表示方法-列表法、解析法讲解
2、在匀速直线运动中，已知速度v=50（千 米/时），路程s（千米）与时间t（小时）的 函数关系式为s=50t,则函数中t的取值范围为 全体实数。你认为正确吗？若不正确，t的
取值范围应为 t 0
一个三角形的周长为y（cm），三边长分
别为7（cm），3（cm）和 x（cm）.
Ax
(1) 求y关于x的函数关系式. y=x+1
3
C
(2)分取析一：个问题你一喜：欢问的题数中作包含为了x的哪些值0变，量求？此x，时yy的B 值；7
这分些别函表数示值什都么有？ 实际意义吗？
(3) 求自变问这题种量二数x的：量x关取,系y值可之范以间围以存.什在么怎形样4式的<给数x出量<？关10系？
. 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ① 代数式有意义
1、解析式是整式时，自变量取全体实数.
2、解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0.
. 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ① 代数式有意义
1、解析式是整式时，自变量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ全体实数.
2、解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0.
3、解析式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.
(1) y 3x 1 (2) y 1
x2 (3) y x 5
x取全体实数
x2 x5
(4) y 3 2x 1
x取全体实数
(5) y x 2 x 1
x 2且x 1
. 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ① 代数式有意义
1、解析式是整式时，自变量取全体实数.
解析式是奇次根式时，自变量取全体实数.
. 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ① 代数式有意义
函数的表示法(含答案)
函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 知识点函数的三种表示方法思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈Q，1，x∈∁R Q.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1). (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).跟踪训练4 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.忽略函数的定义域致误例5 已知f (x －1)＝2x ＋x ，求f (x ). 错解 令t ＝x －1，则x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3.正解 令t ＝x －1，则t ≥－1，x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3(x ≥－1).易错警示跟踪训练5 已知f (1＋1x )＝1x 2－1，求f (x ).解 令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1).1.已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A.18x ＋17 B.6x ＋5 C.6x －7D.6x －52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )3.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.4.已知f(x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)_______. 5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －32.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝x 2＋2x ＋1B.f (x )＝x 2－2x ＋1C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1 3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.1164.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.当堂检测答案1.答案 C解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2， ∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7， ∴f (x )＝6x －7，故选C. 2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C. 3.答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1. 4.答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.2.答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.答案 C 解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.二、填空题7.答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92，令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32，消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.答案 2 三、解答题11.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞). 12.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21， 所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ， 整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2， 所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3. (2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .。
函数的表示法题型及解析
函数的表示法题型及解析1.某种笔记本的单价是5元，买x 本（x ∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y=f （x ）分析：利用函数的三种表示方法，即可将y 表示成x 的函数解：（1）列表法： （2）图象法 （3）解析法：y=5x ，x ∈{1，2，3，4，5}2.一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元．小红买这种笔记本4本，买圆珠笔3支；小强买这种笔记本3本，买圆珠笔2支，①买这些笔记本和圆珠笔，两人一共花费多少钱？②请结合生活实际选取适当的x ，y 值，计算两人的总花费．分析：①分别求出小红和小强的花费，然后相加；②结合实际，笔记本的单价为3元，圆珠笔的单价为1元，代入求解．解：①小红的花费为：4x+3y ，小强的花费为：3x+2y ，总花费为：4x+3y+3x+2y=7x+5y ；②当x=3，y=1时，原式=7×3+5×1=26（元）．答：两人的总花费为26元．3.市内电话费是这样规定的，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，每次打电话x （0＜x ≤10）分钟应付话费y 元，写出函数解析式并画出函数图象 分析：这是一道分段函数的应用的数学题．由已知中，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，即可得到0＜x ≤10时，应付话费y 元，进而根据分段函数图象分段法，即可得到答案．解：由题意可知：y=，其图象如图所示：4.已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图，不含端点），求f （f （））分析：由图象可得函数f （x ）=．即可得出解：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．5.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ）A ．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数平方；B ．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数开方；C ．A=Z ，B=Q ，f ：A 中的数取倒数；D ．A=R ，B=R +，f ：A 中的数取绝对值分析：根据映射的概念，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到B ，C ，D 三个选项都有元素在象的集合中没有对应．解：根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，对于B选项A集合中的1对应B集合中的两个元素，对于选项C，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故选A6.对应f：A→B是集合A到集合B的映射，若集合A={﹣1，0}，B={1，2}，则这样的映射有多少个？分析：按照映射定义，只需给A中每个元素找唯一的象，看有几种找法，即有几个映射．解：由映射定义知，对A中每个元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应，建立A到B的映射，即给A中每个元素找象，先给A中元素﹣1找象，有两种方法；再给A中元素0找象，有两种方法，按照分步乘法原理，得共有2×2=4种方法，即有4个映射．7.对应f：x→2x﹣1是集合A到集合B的映射，若集合B={﹣3，﹣1，3}，求集合A分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x的对应值，即可得到集合A解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x=﹣1，0，2，从而得到集合A={﹣1，0，2}，8.已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），求A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素分析：由已知中集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），直接代入计算可得A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素．解：∵集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），当x=时，x+1=+1，x2+1=3，故A中元素在B中的对应元素为（+1，3），由x+1=，且x2+1=得x=，故B中元素（，）在A中的对应元素为9.若集合A={1，2，3，4，5}且对应关系f：x→y=x（x﹣4）是从A到B的映射，问集合B中至少有几个元素？分析：把A中的5个元素分别代入计算可得．解：由题意把A中的5个元素分别代入计算可得：当x=1时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=2时，y=x（x﹣4）=﹣4；当x=3时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=4时，y=x（x﹣4）=0；当x=5时，y=x（x﹣4）=5；∴集合B中至少有4个元素﹣3，﹣4，0，510.已知2f（﹣x）+f（x）=x，求f（x）．分析：以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x为②式，已知为①式；由①②组成方程组，求出f（x）即可解：∵2f（﹣x）+f（x）=x，①；令以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x，②；再由①﹣②×2，得：﹣3f （x）=3x；∴f（x）=﹣x11.已知函数f（x）=x2+1，求f（2x+1）解：∵f（x）=x2+1，∴f（2x+1）=（2x+1）2+1=4x2+4x+212.已知f（）=2x，求f（x）分析：本题考察函数解析式求解及方法，可以用如下方法，令=t，求出x=，代入函数的表达式即可解：令=t，∴x=，∴f（t）=2（），∴f（x）=．（x∈R，x≠﹣1）13.已知f（x﹣2）=4x+3，求f（x）解析式．分析：本题为典型的换元法，引入新的变量进行替换原来的变量，从而实现形式的转化，令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数替换x，化简即可解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得f（t）=4（t+2）+3=4t+11则函数f（x）的解析式为f（x）=4x+1114.设函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，求不等式g（f（x））＞22的解集解：∵函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，∴g（f（x））=3[f（x）]-5=3（2x+3）-5=6x+9-5=6x+4，则不等式g（f（x））＞22可化为6x+4＞22．即6x＞18．解得x＞3．∴不等式g（f（x））＞22的解集为（3，+∞）。
17函数的表示法-教师版
1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．【例1】填空：两个变量之间的依赖关系用____________来表达，这种表示函数的方法叫做解析法；【答案】数学式子．【解析】略【总结】考查函数解析法的基本概念．【例2】已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．【答案】223033S t t⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭．【解析】路程=速度×时间，可知汽车行驶路程s与t的关系即为40s t=，由此汽车与A站的距离2333S s t=+=+，本题注意函数自变量取值范围，汽车运动时间为40分，单位换算即为23h，由此可得23t≤≤．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．函数的表示法【例3】若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为______________，这样行走20公里需要__________小时．【答案】100y x=，103．【解析】路程=速度×时间，可知行走路程y与x的关系即为100y x=，行走20公里，注意单位换算，令100201000x=⨯，解得200x=，10 200min3h=．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意题目中的单位统一，进行单位换算．【例4】已知物体有A向B作直线运动，A与B之间的距离为20千米，求运动的速度v（千米/时）与所用时间t（小时）的函数解析式．【答案】20vt =．【解析】路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，则运动速度与所用时间关系即为20vt =．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算．【例5】两个变量x、y满足：(2)(1)3x y-+=，则用变量x来表示变量y的解析式为________________．【答案】52xyx-=-．【解析】由(2)(1)3x y-+=，即得312yx+=-，则有35122xyx x-=-=--．【总结】利用等式的性质进行变形即可．【例6】 若点P （x ，y ）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x 来表示变量y 的函数解析式为_______________．【答案】y x =-．【解析】点P （x ，y ）在二、四象限角平分线上，则角平分线与坐标轴夹角即为45︒，过点P向坐标轴作垂线，即可得y x =，点在二、四象限，根据象限内点的正负性可知y x =-．【总结】二、四象限的角平分线表示直线y x =-，一、三象限的角平分线表示直线y x =．【例7】 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．（1） 当他按原路匀速返回时，求汽车速度v （千米／小时）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2） 如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．【答案】（1）480v t=；（2）100/km h ． 【解析】（1）路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，根据题意可得返回路程与去的行程相同，即为806480km ⨯=，则运动速度与所用时间关系即为480v t =；（2）令 4.8t =，则有480100/4.8v km h ==． 【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可求出函数关系，根据题意代值计算即可．【例8】收割机的油箱里盛油65kg，使用时，平均每小时耗油6kg（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？（3）写出油箱里剩下的油y与使用收割机时间t之间的函数关系式？（4）在此函数关系式中，求函数定义域．【答案】（1）41kg；（2）6h；（3）665y t=-+；（4）656t≤≤．【解析】（1）654641kg-⨯=；（2）3666h÷=；（3）收割机用油量=平均耗油量×工作时间，可知收割机耗油量即为6t，即得剩余油量656y t=-；（4）实际问题中，xy≥⎧⎨≥⎩，即得函数定义域为656t≤≤．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．1、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．【例9】两个变量之间的依赖关系用列表来表达的，这种表示函数的方法叫做_______．【答案】列表法【解析】略【总结】考查函数的表示法中列表法的概念．【例10】一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车根据表中提供的信息回答下列问题：（1）在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？（2）在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？（3）在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？【答案】（1）0~2分钟时间段；（2）2~5.5分钟时间段，列车走了17.5千米；（3）5.5~8 分钟时间段．【解析】分析图表可知，自变量是表示的时间t，函数表示的速度v，图表表示的是函数v 和自变量t之间的依赖关系，观察表格可知：（1）速度逐渐加快的是0~2分钟时间段；（2）匀速行驶的是2~5.5分钟时间段，注意单位换算，这段时间持续7 5.52 3.5min120h-==，列车行程即为730017.5120km⨯=；（3）速度逐渐减慢的是5.5~8分钟时间段．【总结】考查列表法表示函数关系，考查读表能力，注意观察表格中变量和变量之间的联系．【例11】一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下(1)上表反映的变量是_____和____，_______是自变量，________是因变量，_____随_____的变化而变化，_____是______的函数．(2)若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．(3)根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元(4)请写出售价与所售豆子数量的函数关系式________________．【答案】（1）x，y，x，y，y，x，y，x；（2）5；（3）10.5；（4）2y x=．【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x和y是变量，其中x是自变量，y是因变量，y随x的变化而变化，y是x的函数；（2）查看上表可知 2.5x=，5y=；（3）根据上表，可知每1kg豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg÷=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关系式为：2y x=．【总结】把握相关定义，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．【例12】按照我国的税法规定，个人所得税的缴纳方法是：月收入不超过3500元，免缴个人所得税；超过3500元不超过5000元，超出部分需缴纳5%的个人所得税；例如试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税y （元）与月收入x （元）之间的函数解析式，并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税．（x 为正整数）【答案】()5%3500y x =-，65元．【解析】月收入在3500元到5000元之间，超过3500元，超过部分即为()3500x -元，这一部分要缴纳5%个人所得税，可知缴税额()5%3500y x =-；令4800x =，即得()5%4800350065y =⨯-=元．【总结】纳税问题，要弄清楚是哪一部分需要缴税，以及对应的缴税比例，各个部分相加即为所应缴税额．【例13】一根弹簧不挂重物时长10厘米，当弹簧挂上质量为xkg 的重物时，其长度用y 表示，测得有关的数据如下表： （1）写出弹簧总长度y （cm ）随所挂重物质量x （kg ）变化的关系式；（2）若弹簧所挂重物的质量为10千克，则弹簧的长度是多少？ （3）所挂重物的质量为多少千克时，弹簧的长度是18cm ？【答案】（1）0.510y x =+；（2）15cm ；（3）16kg【解析】（1）根据上表可知弹簧原长，即不挂重物时长度为10cm ，随着挂上重物，弹簧伸长的长度与所挂重物质量成正比，重物质量每增加1kg ，弹簧长度增加0.5cm ，所挂重物质量xkg ，弹簧伸长长度为0.5xcm ，弹簧总长度y =弹簧原长+弹簧伸长长度0.510x +； （2）令10x =，0.5101015y cm =⨯+=； （3）令0.51018y x =+=，解得16x =．【总结】弹簧在弹性形变范围内伸长量与所挂重物质量成正比，注意观察表格，分清弹簧原长和伸长量的变化规律．1、 图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． 2、 三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．【例14】 填空：1、两个变量之间的依赖关系用图像来表达的，这种表示函数的方法叫做____________；2、_____________、_____________、_____________是表示函数的三种常用方法；【答案】1、图像法；2、解析法、列表法、图像法．【解析】略【总结】考查函数的三种表示方法及相关概念． 【例15】图中是某水池有水Q 立方米与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题： （1） 抽水前，水池内有水________立方米； （2） 抽水10小时后，水池剩水________立方米；（3） 剩水400立方米时，已抽水_________小时； （4） 写出Q 与t 的函数关系式______________．【答案】（1）1000；（2）750；（3）24； （4）()251000040Q t t =-+≤≤【解析】（1）直线与纵轴交点，即0t =时，1000Q =，可知水池有水31000m ； （2）根据函数图像，40h 正好把水排干，可知每小时排水量为310002540m =，则10小时后剩水量为310002510750m -⨯=；（3）剩水3400m 时，排水时间为10004002425h -=；（4）每小时排水量为325m ，排干为止，由此可知Q 与t 的函数关系式即为251000Q t =-+，其中00t Q ≥⎧⎨≥⎩，即得：040t ≤≤．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示每小时排水量，在作图精确的前提下也可根据函数图像确定对应函数值．【例16】已知A 城与B 城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A 城驶向B 城，求：（1）火车与B 城的距离S （千米）与行驶的时间t （小时）的函数关系式； （2）t （小时）的取值范围； （3）画出函数的图象．【答案】（1）20060S t =-；（2）1003t ≤≤；（3）图略． 【解析】（1）根据路程=速度×时间，可知火车驶离A 城的距离即为60tkm ，火车与B 城的距离20060S t =-；（2）根据行程和时间的意义，可知0200600t t ≥⎧⎨-≥⎩，即得：t 的取值范围为1003t ≤≤；（3）图像只是其中一部分，注意取值范围．【总结】考查利用一般的等量关系来建立函数关系式解决问题，即把题目中的各个相关量分别列清楚然后进行相应计算．9 / 18【例17】如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：（1）谁走的快？（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当4t =时，甲、乙两人行程差多少？【答案】（1）甲；（2）甲：5s t =，乙：103s t =；（3）203km ．【解析】（1）根据甲、乙行程函数图像，可知甲2h 走10km ，乙3h 走10km ，可知105/2v km h ==甲，10/3v km h =乙，可知甲走的快；（2）根据路程=速度×时间，即可知甲的函数解析式为5s t =，乙函数解析式为103s t =， 其中自变量取值范围均为0t ≥； （3）4t =时，5420s km =⨯=甲，1040433s km =⨯=甲，即得甲乙行程差为： 40202033km -=． 【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度． 【例18】小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？【答案】37.2min ．【解析】由图像可知小明上坡速度为3.60.2/min 18km =，下 坡速度为9.6 3.60.5/min 3018km -=-，返回时，先走上坡路，上坡时间为9.6 3.630min 0.2-=，后走下坡路，下坡时间为3.67.2min 0.5=，即所用总时间为307.237.2min +=． 【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，注意返程时上坡变下坡，下坡变上坡．j 乙甲0s （千米）t （小时）3211051510/ 18【例19】 为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x （单位：千瓦时）与应付电费y （单位：元)的关系如图所示．（1）根据图像，请求出当050x ≤≤时，y 与x 的函数关系式． （2）请回答：①若每月用电量不超过50千瓦时，收费标准是多少?②若每月用电量超过50千瓦时，收费标准是多少?【答案】（1）0.5y x =；（2）①0.5元/千瓦时；②0.9元/千瓦时．【解析】（1）050x ≤≤时，y 与x 是正比例关系，过点()5025，，由此可得：0.5y x =；（2）①用电不超过50千瓦时，收费标准为250.550=元/千瓦时；②用电超过50千瓦时，收费标准为70250.910050-=-元/千瓦时．【总结】考查分段计费函数中直线倾斜程度的意义，本题中表示电费单价．【例20】甲、乙两人同时从A 地前往相距5千米的B 地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程S （千米）关于时间t （分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程S （千米）关于时间t （分钟）的函数解析式为1(060)12S t t =≤≤．（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像； （2）甲修车后行驶的速度是每分钟_________千米； （3）甲、乙两人在出发后，中途_________分钟时相遇．【答案】（1）虚线图像即为所求；（2）320；（3）24． 【解析】（1）函数图像是一条经过原点的直线，终点与甲相同，即如图所示虚线图像；（2）甲修车后20min 行驶523km -=，即得甲速度为3/min 20km ；（3）由图像可知甲骑自行车速度较快，甲乙在甲修车期间相遇，即此时乙的行程为2km ，令2s =，即得24t =．10203040506012345S （千米） t （分钟）【总结】考查解读函数图像的能力，同时考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，倾斜程度变化即速度发生变化．【例21】汽车由天津驶往相距120千米的北京，S （千米）表示汽车离开天津的距离，t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示（1）汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ （2）汽车行驶1小时，离开天津有多远？（3）当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？【答案】（1）4h ，30/km h ；（2）30km ；（3）103h ． 【解析】（1）由图像可知汽车4h 行驶120km ，即到达北京，汽车速度为120430/km h ÷=；（2）汽车速度为30/km h ，即得行程与时间函数关系式为30s t =，令1t =，得30s =；（3）距北京20km ，即行程为12020100km -=，令100s =，解得103t =．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示汽车速度．【例22】一农民带了若干千克土豆进城销售，为了方便他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数x 与手中持有的钱数y （含备用零钱）的关系式如下图所示，结合图像解答下列问题： （1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前每千克土豆的出售价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时 他手里的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了 多少千克土豆？【答案】（1）5元；（2）0.5/kg 元；（3）45kg ．【解析】（1）由函数图像可知，未售出土豆时，农民身上有5元钱，即自带了5元零钱； （2）降价前，农民卖出30千克土豆，身上的钱增加到20元，即卖得20515-=元，由此可得土豆单价为1530÷=0.5/kg 元；2620 5 030x （千克）y （元）（3）最终农民身上有26元，即可得降价后土豆卖得26206-=元，则降价的土豆数量为60.415kg ÷=，则农民带的土豆总量为301545kg +=．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示土豆单价，同时考查分段函数的计算．【习题1】 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表，【答案】小蕾的体重随着年龄的增大而增重，增加较快的是1周岁到2周岁之间的时间． 【解析】略．【总结】考查列表法表示函数，本题中体重是年龄的函数，但是不能通过解析式表示出来，确立对应关系即也可确定相关函数之间的关联性．【习题2】 某工厂现在年产值为150万元，计划今后每年增长10万元，年产值y （万元）与年数x 的函数关系式是____________．【答案】10150y x =+．【解析】年产值=今年产值+增加产值，每年增长10万元，可知增加产值即为10x 万元，即得年产值10150y x =+．【总结】考查函数解析式在实际问题中的利用．【习题3】 某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，写出应收门票费y （元）与浏览人数x （人）之间的函数关系式．【答案】()()10025512525x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩．【解析】依题意可知函数解析式分为两段：①025x ≤≤，总价=单价×数量，25y x =；②25x >时，票价分为两部分，即10元票价部分共25人，5元票价部分共()25x -人，可得()10255255125y x x =⨯+-=+．【总结】考查分段函数的解析式的求取，找准临界值，进行准确的分段即可解决问题．【习题4】 等腰三角形顶角为度y ，底角为x 度，则x 、y 之间的函数关系式是____________．【答案】()1802090y x x =-<<．【解析】三角形为等腰三角形，可知三角形两底角相等，都为x 度，根据三角形内角和180︒，可得：2180x y +=，则有1802y x =-，其中090x <<．【总结】考查等腰三角形的性质和内角和，得到函数解析式．【习题5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=，6AC =，8BC =，设P 是BC 上任一点，P 点与B 、C 不重合，且CP x =，若ABP y S ∆=，则y 与x 之间的函数关系式是____________，自变量取值范围为____________．【答案】324y x =-+，08x <<．【解析】CP x =，则有8BP x =-，()118632422ABP y S BP AC x x ∆==⋅=-⨯=-+，根据线段的实际意义，可知080x x >⎧⎨->⎩，即得自变量取值范围为08x <<．【总结】考查函数解析式的求解，利用代数式表示相关线段．【习题6】 暑假后学校食堂采用了凭磁卡刷卡消费的形式，小王9月1日购买磁卡并充值80元，每天中午在学校用餐，每次花3.5元．设小王用餐次数为x ，求当月卡内余额y (元）与x 的函数关系式．已知小王每周在校5天，问：之后小王每月充值80元是否够用？【答案】80 3.5y x =-，够用．【解析】余额=卡内金额-消费金额，消费金额=单价×消费次数，即为3.5x ，可得80 3.5y x =-，小王一周在校5天，一个月最多在校22天，22 3.580⨯<，因为9月是小月，最多在校22天，后面每个月都会有剩余，因此可知每月充值80元够用． 【总结】考查函数解析式的求法，即在函数问题中的实际应用．【习题7】 某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠方法．A 种方法：购买一支毛笔赠送一本书法练习本；B 种方法：按购买金额打九折付款．某校为书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≥10）本．分别求出两种优惠方法下实际付款金额y （元）与x (本)之间的函数关系式．【答案】A ：5200y x =+，B ： 4.5225y x =+．【解析】A 种方法：付款金额分为两部分，毛笔需付金额和练习本需付金额，买10支毛笔赠送10本练习本，则实际付款金额应为()10255105200y x x =⨯+-=+；B 种方法：付款金额整体折扣，则付款金额=需付金额×折扣率，此种情况下即可得：()90%10255 4.5225y x x =⨯+=+．【总结】方案问题，读清题意，注意函数的分段，计算得到相应实际应用．【习题8】 小明暑假到黄岗山旅游，导游提醒大家要多带一件衣服，并介绍当地山区气温（1）观察和分析已知数据，探索y 与x 之间的函数关系式并验证；（2）如果小明告诉你山顶的气温为18.1℃，你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗？【答案】（1）310.006y x =-；（2）2150m ．【解析】（1）观察图表可得高度每升高100m ，温度下降0.6C ︒，由此可得高度每升高1m ，温度下降0.006C ︒，同时根据400m 高处温度是28.6C ︒，可得地面温度为：28.60.00640031C +⨯=︒，可得y 与x 之间函数关系式是310.006y x =-，将表中四组数据代入，该式均成立即可验证；（2）令310.00618.1y x =-=，解得2150x =，即黄岗山海拔大约是2150m ． 【总结】考查函数的应用，随着海拔的增高温度的变化．课后作业【作业1】已知x、y满足关系式752x y+=，用含x的代数式表示y，则y=__________．【答案】2755x -．【解析】根据等式性质进行移项，即得527y x=-，系数化1即得y=2755x -．【总结】考查根据等量关系变形求函数解析式，利用等式的性质即可得到结果．【作业2】在地球表面的一定高度内，每升高1千米，温度下降6℃．已知地面温度为10C︒，设高度为h千米时的温度是t，则t与h之间的关系是______________．【答案】106t h=-．【解析】高度为hkm，即从地面升高hkm，温度降低6h C︒，地面温度为10C︒，则t与h之间的关系即为106t h=-．【总结】考查函数的实际应用，找清题目所求未知量之间的相互依赖关系是解决问题的关键．【作业3】一辆汽车正常行驶时每小时耗8升，油箱现有52升汽油．（1）如果汽车行驶时间为t（时），那么油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式是什么？（2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？（3）当t的值分别为1、2、3时，Q相应的值是多少？【答案】（1）528Q t=-；（2）6.5h；（3）44，36，28【解析】（1）汽车行驶t时，耗油量为8t升，则剩余油量528Q t=-；（2）令5280Q t=-=，解得 6.5t=，即汽车最多行驶6.5h；（3）令1t=，得528144Q=-⨯=；令2t=，得528236Q=-⨯=；令3t=，得528328Q=-⨯=．【总结】考查函数的实际应用，找清题目所求未知量之间的相互依赖关系是解决问题的关键，具体求值类似代值计算即可进行求解．【作业4】 某河流受暴雨影响，水位不断上涨，下面是某天此河流的水位记录：（1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ （2）根据表格画了表示两个变量的折线统计图. （3）哪段时间水位上升得最快？【答案】（1）时间与水位的关系，自变量是时间，因变量是水位； （2）如图：（3）20到24时之间水位上升最快． 【解析】略【总结】考查函数的基本概念，反映两个变量之间的依赖关系，本题表明一些函数不能用函数解析式表达但仍可以通过列表法等方法表示出来．【作业5】 在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s 与时间t 之间的关系如下表：（1）请根据表格中的数据写出时间t 与物体落下的路程s 之间的关系； （2）算出当t =4.5秒时，物体落下的路程.【答案】（1）24.9s t =；（2）99.225m ．【解析】（1）观察图表可知落下路程均为4.9的倍数，其中的倍数均为对应的平方数，由此可知路程s 与t 之间的关系为24.9s t =；（2）令 4.5t =，得24.9 4.599.225s m =⨯=．【总结】考查函数的实际应用，找清题目所求未知量之间的相互依赖关系是解决问题的关键，具体求值，类似代值计算即可进行求解．时间（时） 0 4 8 12 16 20 24 水位（米）22.534568时间t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程s(米)4.9×14.9×44.9×94.9×164.9×25（1）用横轴表示时间t ，用纵轴表示风力T ，建立直角坐标平面，并在平面内描绘出表中所对应的各个点，然后用线段从左到右顺次连接； （2）根据图像说明：①哪段时间里风力持续增强？其持续的时间是几小时？哪个时间风力最强？ ②哪段时间里风力明显减弱？其持续的时间是几小时？哪个时间风力最弱？【答案】（1）如图；（2）①0~20时风力持续增强，持续时间是20个小时，20时风力达到最强；②20~24时风力明显减弱，持续时间是4个小时，24时风力最弱． 【解析】略．【总结】考查读表绘图能力，同时在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度表示风力的变化幅度，直线越倾斜，表示这一段时间风力变化越快．【作业7】 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10)，应缴水费y 元． （1）写出y 与x 之间的关系式；（2）某户居民若5月份用水16吨，应缴水费多少元？【答案】（1）()1.8610y x x =->；（2）22.8．【解析】（1）10x >，可知用水收费为两部分：10吨部分每吨收1.2元，超过10吨部分即()10x -吨每吨收1.8元，应缴水费()()1.210 1.810 1.8610y x x x =⨯+-=->；（2）1610x =>，满足函数定义域，可代入计算，令16x =，即得： 1.816622.8y =⨯-=． 【总结】考查分段函数的实际应用，找清题目分段的临界值，具体求值类似代值计算即可进行求解．【作业8】 小王常去散步，从家走了20分钟，到一离家900米的报亭，看了10分钟报纸后，用了20分钟返回家中，图中哪一个表示了小王离家距离y 与时间x 的关系（ ）【答案】D【解析】小王看了10分钟时间的报纸，这段时间离家距离保持不变，即有一段y 值保持不变，是一条与x 轴平行的直线，可知BC 错误，小王离家总时间为20102050++=分钟，可知A 错误，故选D ．【总结】考查对函数图像的阅读解答能力，能准确弄清相应点的意义和倾斜程度的意义．A ．B ．C ．D ．。
2.1.2函数的表示法
例题：根据下列函数的图象写出函数解析 式
y 1
y
1
O
-1
x
-1
2
O
-1
x
列表、描点、连线 （视其定义域决定是否连线）
0
x
解析法:(公式法）用数学表达式表示两个变量之间的 对应关系 P38
【例.】某种笔记本的单价是5元，买x
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
x 1,2,3,4,5
y 5x, x 1,2,3,4,5
例1：作函数 x 的图像
根据定义：
函数实质上是非空数集A到数集B的对应法则 记为：y=f(x) 列表法
自 然 语 言
函数
数 学 语 言
图像法
解析法
1.函数的表示法
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系
看书P38
【例.】某种笔记本的单价是5元买x
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
x 1,2,3,4,5
例2 ：设x是任意的一个实数，y是不超过x的 最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？ 如果是，画出这个函数的图像。
例3：已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且 f(n)=nf(n-1),n∈N+
求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)
练习：p41
例4：已知一个函数y=f(x)的定义域 为区间[1，2]，当x∈[0,1]时，对应 法则为y=x,当x∈(1,2]时，对应法则 为y=2-x,试用解析式与图像法分别表 示这个函数。
2.分段函数（定义）
在函数的定义域内，对于自变量x的不同 取值区间，有着不同的对应法则，这样的 函数通常叫做分段函数。
例5：在某地投寄外埠平信，每封信不 超过20g付邮资80分，超过20g不超过 40g付邮资160分，超过40g不超过60g 付邮资240分，以此类推，每封 xg(0<x≤100)的信应付多少分邮资（单 位：分）？写出函数的表达式，作出函 数的图像， 并求函数的值域。
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基础知识3
函数的表示
1.函数的表示方法
（1）解析式法： .
（2）列表法： .
（3）图像法： .
2.描点法画函数图形的一般步骤
【题型1】图像法表示函数
1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）
2.如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水. 在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（）
3.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2
所示，则当x=7时，点E应运动到（）
A．点C处 B．点D处 C．点B处 D．点A处
4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像大致是（）
5.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程
s 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）
．
．
．
6.李老师每天坚持体育锻炼，星期天李老师从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天李老师离家的距离y （米）与时间t （分钟）之间关系的大致图象是（ ） ．
．
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回 出发地.下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
8.均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象是（ ）
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
B
C D
【题型2】解析式法表示函数
1.已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为；用含y的代数式表示x为．
2.某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x件，应收货款y元，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．
3.水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．写出剩余水的体积Q立方米与时间t（时）之间的函数关系式_____________.自变量t的取值范围是_____．10小时后，池中还有
水，小时后，池中还有100立方米的水.
4.油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，2小时流完，•求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是．当
t=1.2h时，Q= _______．当Q=10kg时，t=_______．
5.电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的函数关系式是 .
6.已知等腰三角形的周长为10cm，求底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式及自变量x的取值范围.
7.如果每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，求圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x（支）之间的函数关系式及自变量x（支）的取值范围.
8.某市第五中学校办工厂今年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y（万元）与今后年数x之间的函数关系式．
（2）画出函数图象．（3）求5年后的年产值．
【题型3】列表法表示函数
1.根据下表写出函数解析式 .
2.某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y 与x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围______．
3.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系,则能反映这种关系的式子是___ _
4.某人购进一批苹果到集市上零售，卖出的苹果x （千克）与销售的金额y 元的关系如下表：
x （千克） 1 2 3 4 5 … y （元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
…
（1）写出y 与x 的函数关系式___ __ _；
（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要 出多少千克的苹果？
5.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （k g ）有如下关系： （1）请写出弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式． （2）当挂重10千克时弹簧的总长是多少？
6.2014年，我省多地出现暴雨，为了检测降雨的情况，水文站记录了自暴雨以来5个小时 内某水库的水位高度，时间t 与水位h 之间有如下关系：
t/小时 0 1 2 3 4 5 h/米
23
23.4
23.8
24.2
24.6
25
（1）请写出水位高度h （m ）与时间t （h ）之间的函数关系式． （2）根据以上变化规律，预测暴雨持续10个小时后的水位？
x 0 5 10 15
y 3 3.5 4 4.5
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
x/kg 0 1 2 3 4 5 6 y/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15。