数字信号处理 第七章
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FIR数字滤波器的 H(z)为z -1 的多项式，设计方法有： 1. 直接近似法-----窗函数法； 2. 频率抽样法、等波纹逼近法。
§7.1 线性相位FIR滤波器的特点
一、实现线性相位的目的
N 1
H(e jω ) h(n)e jωn H g (ω)e jθ(ω)
n0
若传输特性在通带内幅频特性为1，相频特性具有线性相位。即：
定义系统的相位延迟： τ p (ω) θ(ω) / ω 定义系统的群延迟： τ g (ω) dθ(ω) / dω
对于第一类和第二类线性情况的群时延函数： d θ (ω )/dω= －τ，均为常数
因果FIR系统满足线性相位的充要条件：
h(n)为实序列，且： h(n) h( N 1 n)
•
h(0)
H ( z )
1 [H (z)－z( N 1) H (z1 )]
1
N 1
h(n)[z n
z( N 1)zn ]
2
2 n0
(
z
N 1) 2
N 1h(n) n0 2
(
z
N 1 2
n)－z
(
N 1n) 2
H (e
jω )
je
j(
N 1)ω 2
N
1
h(n)
s
in
n
N
1 ω
n0
2
H g (ω)
N
1
h(n)
sin
n
n0
N 1 ω, 2
θ(ω) 1 (N 1)ω π
2
2
三、线性相位的特点:
H
(z)
( N 1)
z2
N 1
h(n)
z
N 1n 2
z
N 1n 2
1. h(n)偶对称
n0 2
线性相位
H(e jω )
j( N 1)ω N 1
e2
h(n)cos[(n
N
1)ω]
•
•
0
(a)
h(0)
0•
•
•
(c)
• •
N 1 2
•
N 1 2
•
• h( N 1) •
N-1 n
•
N 1 n
h(•N 1)
N为奇数
1.第一类线性相位条件：
h(0)•
0
h(0•)Biblioteka Baidu
0
••
• •
• • h(•N 1)
N 1
(b) 2
• •
N-1 n
•
N 1 n
N 1
•
(d)
2
•
•
N为偶数
•
h( N 1)
()
0
2
2. h(n)奇对称时 θ(ω) ω N 1 π 22
()
2
2
0
(N 1)
滤波器有(N-1)/2个采样间 隔的延时。
(N 3) 2
滤波器有(N-1)/2个采样间隔的延时，它还 是理想的正交变换网络，称为90o移相器.
四、幅度函数的特点
(参教材p.191表7-1四种线性相位FIR滤波器特性)
h(n)是实序列且对 (N-1) /2 奇对称，即：h(n) = -h(N-1-n)
N 1
N 1
H (z) h(n)zn － h( N n 1)zn
n0
n0
N 1
N 1
－ h(m)z ( N m1) －z ( N 1) h(m)z m －z ( N 1) H (z 1 )
m0
m0
FIR数字滤波器的特点： 1. 容易获得严格的线性相位，（同时可以有任意的幅度特性）； 2. 单位脉冲响应有限长，滤波器一定是稳定的（全零点型）； 3. 总是可实现的（任何非因果有限长序列，经延时可成因果性）； 4. 运算量化噪声可做的很小，可用FFT高效运算（有限长序列）； 5. 为了得到好的衰减特性，FIR的H(z)的阶次比IIR要高。
第七章
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
§7.0 引言 §7.1 线性相位FIR滤波器的特点 §7.2 窗函数设计 §7.3 频率抽样设计法 §7.4 IIR与FIR滤波器的比较 本章小结
引言
IIR数字滤波器的特点： 1. 优点在于可以利用AF设计的现成成果，较简单、方便； 2. 但它只考虑幅度特性没有考虑相位 ，相位校正复杂； 3. H(z)为有理分式。
H(e jω) 1 e jωk , ω ωc 则输出为： Y(e jω) X(e jω)H(e jω) X(e jω)1 e jωk , ω ωc 反变换得： y (n) = x (n - k) 结论：表明线性相位滤波器不会改变输入信号的形状，而只是在时域 内延迟了 k 个时刻，如果滤波器的相频特性不是线性相位，则输出信 号就会产生严重畸变。
(1) h(n)偶对称, N为奇数
h1 ( n)
h( N 1•)
( N 1) / 2
H g (ω) a(n)cos(ωn)
•2 h(0•) •
••
n0
其中：
N 1 2
n0
2
H
g
(ω)
N 1 n0
h(n)
cos
n
N 2
1
ω
θ(ω) 1 (N 1)ω 2
第一类线性相位
2. h(n)奇对称
H g (ω)
N 1 n0
h(n)
s
in
N 2
1
n ω
θ(ω) 1 ( N 1)ω π
2
2
第二类线性相位
可见，相位函数 ()---都是严格的线性相位关系：
1. h(n)偶对称时 θ(ω) ω N 1 2
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h( N n 1)zn
n0
n0
N 1
N 1
h(m)z ( N m1) z ( N 1) h(m)z m z ( N 1) H (z 1 )
m0
m0
H ( z )
1 [H (z)
z ( N 1) H (z 1 )]＝ 1
N 1
h(n)[z n
h (n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称，即：h(n) = h(N-n -1)
2. 第二类线性相位条件： h(n)是实序列且对 (N-1)/2奇对称，即：h(n) = -h(N-n -1)
偶对称 奇对称
1. 第一类线性相位条件：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2 偶对称，即：h(n) = h(N-1-n)
相频特性反映出系统对输入信号的延时情况
二、实现线性相位的条件
N 1
H(e jω ) h(n)e jωn H g (ω)e jθ(ω)
n0
Hg(ω)－幅度特性 θ(ω) －相频特性
注意与幅频特性的区别
线性相位就是θ(ω) 是ω的线性函数：
第一类线性相位： θ(ω)＝－τω 第二类线性相位： θ(ω)＝θ0－τω
z( N 1)zn ]
2
2 n0
(
z
N 1) 2
N 1h(n) n0 2
(
z
N 1n) 2
(
z
N 1n) 2
H (e
jω )
e
j(
N 1)ω 2
N
1
h(n)
cos
n
N
1 ω
n0
2
H g (ω)
N
1
h(
n)
cos
n
n0
N 1 ω, 2
θ(ω) 1 (N 1)ω 2
2. 第二类线性相位条件：
§7.1 线性相位FIR滤波器的特点
一、实现线性相位的目的
N 1
H(e jω ) h(n)e jωn H g (ω)e jθ(ω)
n0
若传输特性在通带内幅频特性为1，相频特性具有线性相位。即：
定义系统的相位延迟： τ p (ω) θ(ω) / ω 定义系统的群延迟： τ g (ω) dθ(ω) / dω
对于第一类和第二类线性情况的群时延函数： d θ (ω )/dω= －τ，均为常数
因果FIR系统满足线性相位的充要条件：
h(n)为实序列，且： h(n) h( N 1 n)
•
h(0)
H ( z )
1 [H (z)－z( N 1) H (z1 )]
1
N 1
h(n)[z n
z( N 1)zn ]
2
2 n0
(
z
N 1) 2
N 1h(n) n0 2
(
z
N 1 2
n)－z
(
N 1n) 2
H (e
jω )
je
j(
N 1)ω 2
N
1
h(n)
s
in
n
N
1 ω
n0
2
H g (ω)
N
1
h(n)
sin
n
n0
N 1 ω, 2
θ(ω) 1 (N 1)ω π
2
2
三、线性相位的特点:
H
(z)
( N 1)
z2
N 1
h(n)
z
N 1n 2
z
N 1n 2
1. h(n)偶对称
n0 2
线性相位
H(e jω )
j( N 1)ω N 1
e2
h(n)cos[(n
N
1)ω]
•
•
0
(a)
h(0)
0•
•
•
(c)
• •
N 1 2
•
N 1 2
•
• h( N 1) •
N-1 n
•
N 1 n
h(•N 1)
N为奇数
1.第一类线性相位条件：
h(0)•
0
h(0•)Biblioteka Baidu
0
••
• •
• • h(•N 1)
N 1
(b) 2
• •
N-1 n
•
N 1 n
N 1
•
(d)
2
•
•
N为偶数
•
h( N 1)
()
0
2
2. h(n)奇对称时 θ(ω) ω N 1 π 22
()
2
2
0
(N 1)
滤波器有(N-1)/2个采样间 隔的延时。
(N 3) 2
滤波器有(N-1)/2个采样间隔的延时，它还 是理想的正交变换网络，称为90o移相器.
四、幅度函数的特点
(参教材p.191表7-1四种线性相位FIR滤波器特性)
h(n)是实序列且对 (N-1) /2 奇对称，即：h(n) = -h(N-1-n)
N 1
N 1
H (z) h(n)zn － h( N n 1)zn
n0
n0
N 1
N 1
－ h(m)z ( N m1) －z ( N 1) h(m)z m －z ( N 1) H (z 1 )
m0
m0
FIR数字滤波器的特点： 1. 容易获得严格的线性相位，（同时可以有任意的幅度特性）； 2. 单位脉冲响应有限长，滤波器一定是稳定的（全零点型）； 3. 总是可实现的（任何非因果有限长序列，经延时可成因果性）； 4. 运算量化噪声可做的很小，可用FFT高效运算（有限长序列）； 5. 为了得到好的衰减特性，FIR的H(z)的阶次比IIR要高。
第七章
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
§7.0 引言 §7.1 线性相位FIR滤波器的特点 §7.2 窗函数设计 §7.3 频率抽样设计法 §7.4 IIR与FIR滤波器的比较 本章小结
引言
IIR数字滤波器的特点： 1. 优点在于可以利用AF设计的现成成果，较简单、方便； 2. 但它只考虑幅度特性没有考虑相位 ，相位校正复杂； 3. H(z)为有理分式。
H(e jω) 1 e jωk , ω ωc 则输出为： Y(e jω) X(e jω)H(e jω) X(e jω)1 e jωk , ω ωc 反变换得： y (n) = x (n - k) 结论：表明线性相位滤波器不会改变输入信号的形状，而只是在时域 内延迟了 k 个时刻，如果滤波器的相频特性不是线性相位，则输出信 号就会产生严重畸变。
(1) h(n)偶对称, N为奇数
h1 ( n)
h( N 1•)
( N 1) / 2
H g (ω) a(n)cos(ωn)
•2 h(0•) •
••
n0
其中：
N 1 2
n0
2
H
g
(ω)
N 1 n0
h(n)
cos
n
N 2
1
ω
θ(ω) 1 (N 1)ω 2
第一类线性相位
2. h(n)奇对称
H g (ω)
N 1 n0
h(n)
s
in
N 2
1
n ω
θ(ω) 1 ( N 1)ω π
2
2
第二类线性相位
可见，相位函数 ()---都是严格的线性相位关系：
1. h(n)偶对称时 θ(ω) ω N 1 2
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h( N n 1)zn
n0
n0
N 1
N 1
h(m)z ( N m1) z ( N 1) h(m)z m z ( N 1) H (z 1 )
m0
m0
H ( z )
1 [H (z)
z ( N 1) H (z 1 )]＝ 1
N 1
h(n)[z n
h (n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称，即：h(n) = h(N-n -1)
2. 第二类线性相位条件： h(n)是实序列且对 (N-1)/2奇对称，即：h(n) = -h(N-n -1)
偶对称 奇对称
1. 第一类线性相位条件：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2 偶对称，即：h(n) = h(N-1-n)
相频特性反映出系统对输入信号的延时情况
二、实现线性相位的条件
N 1
H(e jω ) h(n)e jωn H g (ω)e jθ(ω)
n0
Hg(ω)－幅度特性 θ(ω) －相频特性
注意与幅频特性的区别
线性相位就是θ(ω) 是ω的线性函数：
第一类线性相位： θ(ω)＝－τω 第二类线性相位： θ(ω)＝θ0－τω
z( N 1)zn ]
2
2 n0
(
z
N 1) 2
N 1h(n) n0 2
(
z
N 1n) 2
(
z
N 1n) 2
H (e
jω )
e
j(
N 1)ω 2
N
1
h(n)
cos
n
N
1 ω
n0
2
H g (ω)
N
1
h(
n)
cos
n
n0
N 1 ω, 2
θ(ω) 1 (N 1)ω 2
2. 第二类线性相位条件：