赵树嫄-《微积分(第四版)》第一章 函数
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《微积分赵树嫄》课件
ABCD
工程问题
在工程学中,微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中,微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
THANKS
感谢观看
连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质,如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率,是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ,它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质,如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛,包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中,导数可以用来 求切线斜率,解决曲线的凹凸性问题。在经济学中,导数 可以用来分析边际成本和边际收益,预测市场需求和价格 变动。在物理科学中,微分可以用来计算速度和加速度, 分析物体的运动规律。此外,导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限,我们可以 进行加、减、乘、除等运算,得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数,我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等,这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。
《微积分(第四版)》第一章 函数
分配律: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律: ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB,则xAB,
即 x A 且 x B , 于 是 x A 且 x B ,
因 此xA B,所 以 A B A B;
xA B
所 以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反 之 , 若 x A B, 即 xA且 xB, 也 即 x A 且 x B , 于 是 x A B,
从 而xAB,所 以 A B A B。
综 上 所 述 , A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如,A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质: A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章 函 数
.
5
第一节 集合
《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质,如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等,这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程,从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等,从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值,则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质,如零点定理、介 值定理等,这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念,它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时,函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ,函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念,它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为,对于函数在某点的极限,当自变量趋近于这个点时,函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质,如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性,描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律,如股票价格、利率等变量的导 数和积分,帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性,分析不同经济体的增长 路径和趋势。
微分具有一些基本的性质,如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等,这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程,从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等,从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值,则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质,如零点定理、介 值定理等,这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念,它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时,函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ,函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念,它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为,对于函数在某点的极限,当自变量趋近于这个点时,函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质,如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性,描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律,如股票价格、利率等变量的导 数和积分,帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性,分析不同经济体的增长 路径和趋势。
2-4隐函数和参数方程求导--经济数学--赵树嫄
3
2x (2 x)2
, 求 y.
y2
提示:分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案:
y y1 y2
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x 3
3 x (2 x)2
1 2ln x x 2x
3(2 x) 3(2 x)
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时,观察员
视线的仰角增加率是多少?
解:设气球上升 t 分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 dt
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
r hx
25 (cm3 s)R h
r hxR
dx dt
100
R2
h
(cm s)
2019年5月12日星期日
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20
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
1 t2
4t
1 t2
1 t2
2019年5月12日星期日
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三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
线性代数(赵树嫄)第1章行列式
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式 引例 n元线性方程组(方程个数=未知量个数)
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2. n个数码共有n!个排列,其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义
即
定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行,
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 副对角线及其副对角线方向上的三个元 积 带正号, 素的乘积 带负号, 所得六项的代数和就是三阶行列 式的展开式.
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
赵树嫄微积分极限与连续PPT课件
有 | an
1|
1, 100
给定 1 , 1000
只要
n
1000时,有
|
an
1
|
1, 1000
给定 1 , 10000
只要
n
10000时,
有
|
an
1
|
1, 10000
任意给定 0,
取
N
1
,
只要
n N 时,
恒有| an 1| 成立.
第7页/共135页
定义 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),
至 多 只 有 有 限 个( N个) 落 在 其 外。
第9页/共135页
用数列极限的定义证明极限。
例1 证 明 l i m[1 (1)n1 ] 1.
n
n
证
| an
1|
|1
(1)n1 n
1|
1 n
,
任给
0,
欲பைடு நூலகம்| an 1 | ,
只要1 ,
n
或n 1,
取
N
1
,
则当n N 时,
就 有| 1 (1)n1 1 | , 即 得 证
定理2 收敛的数列必定有界。
注1 有界性是数列收敛的必要条件,不是充分条件。
有界数列不一定收敛. 注2 无界数列必定发散。
例如:xn (1)n.
例如:xn 2n.
第12页/共135页
性质3 收敛数列的保号性
定理3 设 ln im an a,且a 0 (a 0),那么存在 正整数N 0,当n N时,都有an 0 (an 0).
第一节 数列的极限
(一) 数列概念 割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆 面积的方法--割圆术,就是极限思想在几何上的应用。
微积分(赵树嫄)第一章函数
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
xபைடு நூலகம்
-M
-M
微积分
函数-函数的性质
例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)内是有界的。 因为|sinx| ≦1。 例2:f(x)=1/x在(0 ,1)内是无界的。在[1,+∞)内有界。
x 例3: f ( x) 2 在( , )内有界 x 1
2 1 x ( x 1) 1 x 2 f ( x) 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2
为邻域的半径。
a- δ a a+ δ
x
邻 域
例:U(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1 1 2 δ=1 3 x
微积分
函数-集合
U( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ} =(a- δ, a)U(a , a+ δ) 称为点a的δ空心邻域。
R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素,即若 xA 则 必 xB , 就 说 A 是 B 的 子 集 , 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
最新文档-2-5微分--经济数学--赵树嫄-PPT精品文档
1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
2019/5/11
蚌埠学院 高等数学
8
ห้องสมุดไป่ตู้
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时,
解:利用一阶微分形式不变性,有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
2019/5/11
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6
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1:函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2:函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du
微分形式不变性
结论: 无论u是自变量还是中间 , 函变数量 y f (u)的微分形式总是不变。
2019/5/11
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11
例1. yln(1ex2),求 d y .
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
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8
ห้องสมุดไป่ตู้
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时,
解:利用一阶微分形式不变性,有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
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可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1:函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2:函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du
微分形式不变性
结论: 无论u是自变量还是中间 , 函变数量 y f (u)的微分形式总是不变。
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例1. yln(1ex2),求 d y .
赵树嫄微积分第四版微分方程与差分方程简介
称 g (y)d yf(x )d x为可分离变量的方程。
两边积分, g(y)d yf(x)d x
设 函 数 G (y )和 F (x )是 依 次 为 g (y )和 f(x )
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y ) F (x ) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
定义 含有自变量,自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数,称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书 中只讨论常微分方程,如下例:
yxy, 一阶 dyxd yx
22
2
s d x x i n cx s d x c l|n cx s c cx o | C t
例 求 方 程 y x 1 ( 1 y y x 2 2 )满 足 y ( 1 ) 2 的 特 解 .
解
y
1
分离变量, 1y2dyx(1x2)dx
两边积分
1l
n1(
y2)
1
2
2
x2(11x2)dx2
dx x y2 , dy y
此 即 一 阶 线 性 方 程 , 解 得 通 解 为
将y和y代入原方程 u(x 得 )eP(x)dxQ (x),
积分得 u (x )Q (x )e P (x )d x d x C ,
所以原方程的通解为:
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
两边积分, g(y)d yf(x)d x
设 函 数 G (y )和 F (x )是 依 次 为 g (y )和 f(x )
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y ) F (x ) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
定义 含有自变量,自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数,称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书 中只讨论常微分方程,如下例:
yxy, 一阶 dyxd yx
22
2
s d x x i n cx s d x c l|n cx s c cx o | C t
例 求 方 程 y x 1 ( 1 y y x 2 2 )满 足 y ( 1 ) 2 的 特 解 .
解
y
1
分离变量, 1y2dyx(1x2)dx
两边积分
1l
n1(
y2)
1
2
2
x2(11x2)dx2
dx x y2 , dy y
此 即 一 阶 线 性 方 程 , 解 得 通 解 为
将y和y代入原方程 u(x 得 )eP(x)dxQ (x),
积分得 u (x )Q (x )e P (x )d x d x C ,
所以原方程的通解为:
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
微分经济数学赵树嫄
211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
16
第17页/共28页
四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
2024年3月8日星期五
8
第9页/共28页
二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
2024年3月8日星期五
21
第22页/共28页
2.
关于赵树女原先生主编的《微积分》的注记
关于赵树女原先生主编的《微积分》的注记
邢富冲
【期刊名称】《中央民族大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】1999(000)001
【摘要】在简述由赵树女原先生主编、中国人民大学出版社出版的高等学校文科
教材——经济应用数学基础(一)《微积分》的一些优点之后,指出该教材在关
于函数最大最小值问题的论述中的一点不妥之处,建议再版时修改
【总页数】3页(P64-66)
【作者】邢富冲
【作者单位】中央民族大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】G642.33
【相关文献】
1.沉潜考索之功,理性思辨之作——评赵逵夫先生主编《先秦文学编年史》 [J],
杨朝蕾
2.教材重印要认真把好质量关--兼评赵淡元先生主编的《中国历史要籍介绍及选读》[J], 杨翠兰;张俊杰
3.我心目中一流的学术期刊主编——赵凯华先生 [J], 刘荣
4.原北京市农业管理干部学院副院长、学报主编赵书敏教授的题词 [J],
5.沉痛悼念原中国病理生理学会副理事长、中国病理生理杂志副主编赵修竹教授[J],
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又如 C {2i | i N } 即 C {20,21,22,23,}
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0,2,4,,98, 100}
8
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示,称 为文氏图,即用一个平面区域表示一个集合。
AB
U
A
B
9
(三) 全集与空集
基本性质: A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律: A B B A AB B A
结合律: ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律: A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
x AB
所以 A B A B 。
19
例2 证明 A B B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x AB
所以 A B A B 。
U
A B
20
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (AU)(A B)
1
在一切理论成就中,未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 (恩格斯)
2
教材:
《微积分》
主编 赵树嫄 (第四版)
中国人民大学出版社
3
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科,应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题,就产生了微分学; 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题,就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分,微积分研究的主要对 象就是函数。
4
第一章 函 数
5
第一节 集合
(一) 集合的概念
把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待 时,这个整体便称为是一个集合。
组成集合的那些个体称为集合的元素。 例如 全体中国人可组成一个集合,每一个中国人均 是这个集合的元素。
通常用大写字母 A、B、C 等表示集合,用小写字母 a、 b、c 等表示集合的元素。
几何意义:| a | 表示数轴上点 a 到原点的距离。
|a |
0
ax
| a - b | 表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离。
33
绝对值的基本性质:
| a | 0 ; | a | | a |; | a | a2 ; |a| a |a|; | a b| | a | | b|; |a||b| |ab|; | ab | | a | | b | ; |a | |a|,b0. b |b|
A (U B) AU
A.
吸收律 A ( A B) A 证明留作练习。
21
例4 证明 A ( A B) A B
证明 A ( A B)
A B AB
A(AB)
A(A B) (A A)(A B)
(A B) A B .
对偶律: A B A B AB AB
17
例1 证明对偶律 A B A B . 证明 设 x A B , 则 x A B ,
即 x A 且 x B , 于是 x A 且 x B , 因此 x A B , 所以 A B A B ; 反之,若 x A B , 即 x A 且 x B ,
例2 设 A {x | 0 x 2} ,B { y | 0 y 1} ,
则 A B {(x, y) | 0 x 2, 0 y 1} ,
它表示平面直角坐标系中一个矩形区域:
y
1
o
2x
例3 设 R 为实数集,则R×R 表示坐标平面,
而 R×R×R 表示三维实空间。
解 (1) | A B | | A | | B | | A B |
333 250 83 500 . (2) | A B | | A B |
2000 | A B | 1500 .
333 83250
S
(3) | A B | | A | | A B | 333 83 250 .
34
绝对值不等式的解:
|x|aa xa; | x | a x a 或 x a
35
例1 解下列绝对值不等式:
(1) | x 1 | 3 (2) | x 1 | 2
也即 x A 且 x B ,于是 x A B , 从而 x A B , 所以 A B A B 。
综上所述, A B A B 。 18
例1 证明对偶律 A B A B .
或证 对任意的 x A B
x AB x A且xB xA 且xB
解 (1) | A B | | A | | A B | 80 55 25 ;
80 55 61
(2) | A B | 61 55 6 ;
U
(3) | A B | | A | | B | | A B | 80 61 55 86 ;
28
例3 某地区有100个工厂,其中,80个生产甲种机床,以集 合A表示这些工厂;61个生产乙种机床,以集合B表示这些 工厂;55个两种机床都生产。试用集合表示下列各类工厂, 并计算出各类工厂的数目:
(1) 生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂; (2) 生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂; (3) 甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂; (4) 甲、乙两种机床都不生产的工厂。
U
A B
U A
B
例如, R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质: A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如,U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
(4) | A B | 100 | A B | 14 . 29
(七) 集合的笛卡尔乘积
定义 按先后次序排列的两个元素组成一个整体,
称序偶,记为(a,b) 。
定义 称集合 {(x, y)| x A , y B } 为集合 A 与 B 的
笛卡尔乘积,记为 A B . 例1 设 A {a, b} , B {1, 2, 3} ,则
AE A.
23
集合元素的计数问题:
定义 集合 A 中所含元素的个数称为集合 A 的基数, 记作 | A |。 容斥原理: 设 A, B 为有限集,则
| AB|| A||B|| AB|
特别,如果 A B ,(称为分离的) 则 | AB|| A|| B|
24
例1 有100名程序员,其中47名熟悉FORTRAN语言, 35名熟悉PASCAL语言,23名熟悉这两种语言。问有 多少人对这两种语言都不熟悉?
B
例如, A {x | x 1} , B {x | 0 x 2 } , 则 AB {x|0 x 1}.
基本性质: A B A , A B B
A , AU A, A A A
14
3、差集 A B { x | x A 但 x B }
例如:A = { 2, a, b, 9 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } (2) 描述法:给定一个条件 P(x),当且仅当元素 a 使 P(a) 成立时,a A。其一般形式为 A = {a | P(a) }。
例如 上述集合 B = { a | a N 且 4 a 8 }
U
A
B
例如,A {1, 2, 3} , B {3, 4, 5} , 则 A B {1, 2, 3, 4, 5}
基本性质:A A B , B A B
A A, AU U, A A A
13
2、交集 A B { x | x A 且 x B }
U
A
在研究某一问题时,如果所讨论的集合都是某一集 合的子集,则称此集合为全集,记作 U . 不含任何元素的集合称为空集,记为 Ø。
10
(四) 子集
如果集合 A 的元素也是集合 B 的元素,则称 B 包含
A ,或称 A 是 B 的子集,记作: A B 或 B A .
如果 A 是 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于
解 由容斥原理,至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别,若 B A ,则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中,有多少整数 (1) 能被6或8整除; (2) 既不能被6也不能被8整除; (3) 能被6整除而不能被8整除.
解 设A—能被 6 整除的整数;
B—能被 8 整除的整数.
则
|
A
|
[
2000 ]
333 ,
6
| B | [ 2000] 250 , 8
|
A
B
|
[
2000 ]
83
,
24
333 83250
S
27
例2 在12000的整数中,有多少整数 (1) 能被6或8整除; (2) 既不能被6也不能被8整除; (3) 能被6整除而不能被8整除.
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0,2,4,,98, 100}
8
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示,称 为文氏图,即用一个平面区域表示一个集合。
AB
U
A
B
9
(三) 全集与空集
基本性质: A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律: A B B A AB B A
结合律: ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律: A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
x AB
所以 A B A B 。
19
例2 证明 A B B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x AB
所以 A B A B 。
U
A B
20
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (AU)(A B)
1
在一切理论成就中,未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 (恩格斯)
2
教材:
《微积分》
主编 赵树嫄 (第四版)
中国人民大学出版社
3
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科,应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题,就产生了微分学; 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题,就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分,微积分研究的主要对 象就是函数。
4
第一章 函 数
5
第一节 集合
(一) 集合的概念
把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待 时,这个整体便称为是一个集合。
组成集合的那些个体称为集合的元素。 例如 全体中国人可组成一个集合,每一个中国人均 是这个集合的元素。
通常用大写字母 A、B、C 等表示集合,用小写字母 a、 b、c 等表示集合的元素。
几何意义:| a | 表示数轴上点 a 到原点的距离。
|a |
0
ax
| a - b | 表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离。
33
绝对值的基本性质:
| a | 0 ; | a | | a |; | a | a2 ; |a| a |a|; | a b| | a | | b|; |a||b| |ab|; | ab | | a | | b | ; |a | |a|,b0. b |b|
A (U B) AU
A.
吸收律 A ( A B) A 证明留作练习。
21
例4 证明 A ( A B) A B
证明 A ( A B)
A B AB
A(AB)
A(A B) (A A)(A B)
(A B) A B .
对偶律: A B A B AB AB
17
例1 证明对偶律 A B A B . 证明 设 x A B , 则 x A B ,
即 x A 且 x B , 于是 x A 且 x B , 因此 x A B , 所以 A B A B ; 反之,若 x A B , 即 x A 且 x B ,
例2 设 A {x | 0 x 2} ,B { y | 0 y 1} ,
则 A B {(x, y) | 0 x 2, 0 y 1} ,
它表示平面直角坐标系中一个矩形区域:
y
1
o
2x
例3 设 R 为实数集,则R×R 表示坐标平面,
而 R×R×R 表示三维实空间。
解 (1) | A B | | A | | B | | A B |
333 250 83 500 . (2) | A B | | A B |
2000 | A B | 1500 .
333 83250
S
(3) | A B | | A | | A B | 333 83 250 .
34
绝对值不等式的解:
|x|aa xa; | x | a x a 或 x a
35
例1 解下列绝对值不等式:
(1) | x 1 | 3 (2) | x 1 | 2
也即 x A 且 x B ,于是 x A B , 从而 x A B , 所以 A B A B 。
综上所述, A B A B 。 18
例1 证明对偶律 A B A B .
或证 对任意的 x A B
x AB x A且xB xA 且xB
解 (1) | A B | | A | | A B | 80 55 25 ;
80 55 61
(2) | A B | 61 55 6 ;
U
(3) | A B | | A | | B | | A B | 80 61 55 86 ;
28
例3 某地区有100个工厂,其中,80个生产甲种机床,以集 合A表示这些工厂;61个生产乙种机床,以集合B表示这些 工厂;55个两种机床都生产。试用集合表示下列各类工厂, 并计算出各类工厂的数目:
(1) 生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂; (2) 生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂; (3) 甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂; (4) 甲、乙两种机床都不生产的工厂。
U
A B
U A
B
例如, R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质: A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如,U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
(4) | A B | 100 | A B | 14 . 29
(七) 集合的笛卡尔乘积
定义 按先后次序排列的两个元素组成一个整体,
称序偶,记为(a,b) 。
定义 称集合 {(x, y)| x A , y B } 为集合 A 与 B 的
笛卡尔乘积,记为 A B . 例1 设 A {a, b} , B {1, 2, 3} ,则
AE A.
23
集合元素的计数问题:
定义 集合 A 中所含元素的个数称为集合 A 的基数, 记作 | A |。 容斥原理: 设 A, B 为有限集,则
| AB|| A||B|| AB|
特别,如果 A B ,(称为分离的) 则 | AB|| A|| B|
24
例1 有100名程序员,其中47名熟悉FORTRAN语言, 35名熟悉PASCAL语言,23名熟悉这两种语言。问有 多少人对这两种语言都不熟悉?
B
例如, A {x | x 1} , B {x | 0 x 2 } , 则 AB {x|0 x 1}.
基本性质: A B A , A B B
A , AU A, A A A
14
3、差集 A B { x | x A 但 x B }
例如:A = { 2, a, b, 9 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } (2) 描述法:给定一个条件 P(x),当且仅当元素 a 使 P(a) 成立时,a A。其一般形式为 A = {a | P(a) }。
例如 上述集合 B = { a | a N 且 4 a 8 }
U
A
B
例如,A {1, 2, 3} , B {3, 4, 5} , 则 A B {1, 2, 3, 4, 5}
基本性质:A A B , B A B
A A, AU U, A A A
13
2、交集 A B { x | x A 且 x B }
U
A
在研究某一问题时,如果所讨论的集合都是某一集 合的子集,则称此集合为全集,记作 U . 不含任何元素的集合称为空集,记为 Ø。
10
(四) 子集
如果集合 A 的元素也是集合 B 的元素,则称 B 包含
A ,或称 A 是 B 的子集,记作: A B 或 B A .
如果 A 是 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于
解 由容斥原理,至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别,若 B A ,则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中,有多少整数 (1) 能被6或8整除; (2) 既不能被6也不能被8整除; (3) 能被6整除而不能被8整除.
解 设A—能被 6 整除的整数;
B—能被 8 整除的整数.
则
|
A
|
[
2000 ]
333 ,
6
| B | [ 2000] 250 , 8
|
A
B
|
[
2000 ]
83
,
24
333 83250
S
27
例2 在12000的整数中,有多少整数 (1) 能被6或8整除; (2) 既不能被6也不能被8整除; (3) 能被6整除而不能被8整除.