【清华大学】信号与系统_04

思考题11：
例2-10中通过 h(t) 的积分求g(t)，(提示：h(t)为例2-9结果)
清华大学电子工程系
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陆建华
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.6 卷积
Recall：任意信号可以用冲激信号的组合表示，即
e(t) = e( ) (t )d
将它作用到冲激响应为h(t)的LTI系统，则系统的响应为 r(t) = H[e(t)] = H e( ) (t )d = e( )H[ (t )]d
C0
d nr(t) dt n
+
C1
d n 1r(t) dt n 1
+
ꢀ+
Cn
1
dr(t ) dt
+
Cnr(t)
=
E0
d me(t) dt m
+
E1
d m 1e(t) dt m 1
+
ꢀ+
de(t) Em 1 dt +
Eme(t)
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陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
当t 0+时无激励 强迫响应项为零，因而冲激的作 用是决定初始条件，
即改变 0+状态值，而状态值0 +决定齐次解系数 [A]。 例2-9 对例2-5所示电路i(t)求对 e(t) = (t) 的冲激响应
Recall
d 2i(t) dt 2 +
7
di(t ) dt
+
10i(t) =
d 2e(t) dt2 +
6
de(t) dt
+
4e(t )
e(t) (t) (t) + 6 (t) + 4 (t)
h(t) = (t) +
4 e 2t + 3
1 e 5t 3
u(t)
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陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
注意： 在线性常系数微分方程描述的系统中， 一般响应端的阶数高于激励端，
n
n> m
h(t) =
kt k
即 ，此时
k= 1 A e u(t)
(无重根时)
若n m 则h(t)还将含有 (t) 及其相应阶的导数
= e( )h(t )d
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陆建华
§2.6 卷积
e( )h(t )d
就是卷积积分，用*标记
r(t) = e(t) h(t)
一般地，对于任意两个信号f 1(t) 和 f 2(t)，二者卷积定义为
f (t) = f1 (t) f2 (t) =
f1 ( ) f2 (t )d
∵
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di(0+ ) di(0 ) = b
dt
dt
d 2i(0+ ) dt 2
d 2i(0 dt 2
)
=
c
3
陆建华
上节课要点
LTI系统响应的可分解性：零输入响应+零状态响应
零输入响应： 与输入激励无关，只有起始状态(起始时
刻系统储能)所产生的响应，记 rzi (t)
零状态响应：
，只有外加激励产生响应，记
信号与系统
上节课要点
冲激函数匹配法
定义相对单位跳变函数 u(t) ：
u(t ) = u(0+ )
u(0 ) =
1 0
0 < t< 0 其它 +
性 质：
0+ u(t )dt = 0
t 0
( )d =
u(t ), 0+ > t > 0
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u(t) 1
0
t
2
陆建华
上节课要点
冲激函数匹配举例
d 2i(t) + dt 2
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di(t dt
)
+
10i(t) =
2
(t) + 12 (t ) + 8 u(t )
设： d 2i(t) = a (t) + b (t) + c u(t)
dt 2 di(t) = a (t) + b u(t) dt i(t) = a u(t)
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i(0+ ) i(0 ) = a
(m n) (t), (m n 1) ꢀ (t), , (t)
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陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
(二) 阶跃响应 Unit Step Response
系统对u(t)的零状态响应 g(t)
g(t)求法与h(t)类似。但可能有强迫项
h(t) g(t)
g (t )
可以用 与 关系由h(t) 求
下限为0
当t< 0
h t = (因果系统)
t < 0,e(t) h(t) = t
0 e( )h(t
齐次解i(t) = h(t) = A 1e 2t + A2e 5t (注意 t
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0+
，不含 =
t
)
0
6
陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
齐次解i(t) = h(t) = A 1e 2t + A2e 5t
令
d 2h(t) a dt 2 =
(t) b +
(t) c (t) d u(t)
r (t) zs
r(0 ) 0
零输入响应
零状态响应
t
t t= 0
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陆建华
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.5 冲激响应与阶跃响应
(一) 冲激响应Impulse response系统对 (t) 零状态响应h(t)
求解冲激响应，用冲激函数匹配法。 在 (t)作用下，等式右端将出现 (t) 及其导数项
f1(t ) f 2( )d = f 1( ) f 2(t )d
f1 (t) f2 (t) = f 2 (t) f1(t)
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陆建华
§2.6 卷积
积分限的讨论：按以上定义，数学意义上卷积积分限为( , )
对于实际因果系统 r(t) = e(t) h(t)
当 t < 0 e(t) = 0 (零点接入)
+
+
dh(t) = a (t) + b (t) + c u(t) dt
h(t) = a (t) + b u(t)
代入：
[a (t) + b (t) + c (t) + d u(t)]+ 7[a (t) + b (t) + c u(t)]+ 10[b u(t) + a (t)]
= (t) + 6 (t) + 4 (t)
(t) LTI h(t)
u(t)
g (t )
u(t) = t ( )d
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g(t) = t h( )d = t h( )d (t > 0) 0
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陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
或 g(t) = t
0 h( )d u(t)
h(t)由系统本身决定，反映系统性能，如因果特性，
通常定义当 t < 0时， h(t) =。0
a = 1，b = 1，c = 1 ，d = 3 (不必求出)
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陆建华
§2.5 冲激响应与阶跃响应
注意：
h(0+ ) = b + h(0 ) = b = dh(0+ ) C 1
dt = =
1
A1 =
4 3
A2
=
1 3
A1 + A2 = 1 2A1 2A2 = 1
h(t)中有 (t)项(a = 1) ，而齐次解只是 t 0+ 的解，因此应补上