初中数学 相似三角形(一)
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图3-1图3-2图3-3
(1)0.5cm;(2) ;(3)6.
如图所示,在 的边BC上 ,边AC上 ,求: .
, ; , .
, .
(1)手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()
2.成比例线段:
四条线段a,b,c,d中,如果a和b的比等于c和d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
3.黄金分割:
如图,若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC( ),且使AC是AB和BC的比例中项(即 ),则称线段AB被点C黄金分割,点C叫线段AB的黄金分割点,其中 , ,AC与AB的比叫做黄金比.(注意:对于线段AB而言,黄金分割点有两个.)
(3)如图8-2,在平行四边形ABCD中, , ,E是AD的中点,在AB上取一点F,使 ,则 __________.
(4)如图8-3,在 和 中, ,源自文库, ,若这两个三角形相似,则BD的长为____________.
图8-1图8-2图8-3
(1) ;(2) , , ;(3)2;(4) 或 .
【教师备课提示】这道题主要考查相似三角形的基本性质.
A.B.C.D.
(2)已知 且 ,则 ___________.
(3)已知 的三边长分别为 、 、2, 的两边长分别是1和 ,如果 与 相似,那么 的第三边长应该是( )
A. B. C. D.
(1)选择D,考察相似的定义;(2) ;(3)A.
如图,直角梯形ABCD中, , ,点E在BC上,点F在AC上, .
②性质:两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.
2.相似三角形的定义
定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.对应边的比例叫做相似比.全等三角形是特殊的相似三角形,全等三角形的相似比是1.
如图, 与 相似,记作 ,符号 读作“相似于”.
注意:如果写成“ ”,则前后的字母一定对应;如果写成文字,则可以不对应.
【教师备课提示】推论也简称“A”和“8”,逆定理的证明可以通过同一法,做 交AC于 点,再证明 与F重合即可.
模块三相似三角形的定义、性质和判定
1.相似图形
①定义:对应角相等,对应边成比例的图形叫做相似图形.对应边的比例叫做相似比.相似图形是形状相同,大小不一定相同.相似图形间的互相变换称为相似变换.
3.相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等.
如图, ,则有
.
②相似三角形的对应边成比例.
如图, ,则有
( 为相似比).
③相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.
如图, ∽ , 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线, 、 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线,则有
④相似三角形周长的比等于相似比.
简称为三边对应成比例,两个三角形相似.
如图,如果 ,则
.
判定定理3:
如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
简称为两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.如图,如果 , ,则 .
(1)已知 ,则 的值是_______.
(2)若 .则 _______.
(3)若 ,且 ,则 的值是_______.
(2)如图4-2, ,若 , , ,则 ______.
(3)如图4-3, , , , ,则 , .
图4-1图4-2图4-3
(1)如图所示,连接AE,BD,BF,CE. .
, , , .
.
(2) ;
(3) , .
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理的证明和简单应用.
(1)如图5-1, 中,BE平分 ,DE∥BC,若 , ,那么 ______.
(3)已知 ,求 的值.
(1)A为合比性质,B为分比性质,C显然正确,D错误,由于 ,不能用等比定理.故答案为D.
(2)由等比性质直接可以得到 ; .
(3)当 时,
于是: , .
当 时, .
于是本题的解为 或8.
(1)已知两个数 , ,则它们的比例中项为_____________.
(2)如图,乐器上的一根弦 ,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点(即AC是AB与BC的比例中项),支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则 ____________cm, __________cm.
(2)当 时,由等比性质得 ;
当 时, ,则 ,
综上, 的值为2或 .
(3)A中 ,∴A错误;B中 , ,∴B错误;
C中 ,∴C正确;D中 ,∴D错误.
【教师备课提示】这道题主要考查学生们比例的基础性质,为后面倒比例打下坚实的基础.
(1)已知线段 , ,线段c是a、b的比例中项,那么c等于________.
模块二平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例,简称为平行线分线段成比例定理.如图:如果 ,则 , , .
【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的(如AB)称为上,位置靠下的称为下,两条线段合成的线段称为全,则可以形象的表示为 , , .
2.平行线分线段成比例定理的推论
(1)设比例中项为 ,则 , ,故填 .
(2)点 是靠近点 的黄金分割点,
∴ ,即 ,又点 是靠近点 的黄金分割点,∴ ,∴ .
(1)如图3-1,直线 ,已知 , , , _____.
(2)如图3-2,在 中,D、E分别为AB、AC边上的点,若 , ,则 ___________.
(3)如图3-3,AB∥DE,AE与DB交于C, , , ,则 ______.
(1)下列所给条件中,可以判断 与 相似的是( )
A. , , , , ,
B. , ,
C. , , , , ,
D. , , ,
(2)如图9-1,在 中,点D是BC边上的中点,且 , ,交BA于点E,EC与AD相交于点F.求证: .
(3)如图9-2, 为等腰直角三角形, ,求证: .
图9-1图9-2
(1)D;
如图, ∽ ,则有
.
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图, ∽ ,则有
4.相似三角形的判定
判定定理
判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简称为两角对应相等,两个三角形相似.
如图,如果 , ,则
.
判定定理2:
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似.
C.有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D.有一个角对应相等的两个菱形相似
(2)一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后,所剩下的矩形与原矩形相似,则原矩形的宽与长的比是( )
A. B. C. D.
(1)选择D.多边形相似要求对应角相等对应边成比例,而A、C只满足角相等,无法满足边成比例,而B只能满足边成比例,而无法满足角相等.只有D两个方面的条件都满足.
(2)选择A.不妨设原矩形的宽为1,长为 ;则剪去一个正方形后的小矩形,长为1,宽为 .则由相似得到 ,即 ,
,由 得到 ,所以宽与长的比为 .
【教师备课提示】这道题主要考查相似图形的定义和性质.
(1) 且相似比为 , 且相似比为 ,则 与 的相似比为___________.
(2)如图8-1,在正方形网格上有两个相似三角形 和 ,则 的度数为________, 和 的周长比为________,面积比为_________.
分别连接 、 , , ;
同理, , .
故四边形GEHF为平行四边形,所以GH与EF互相平分.
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的逆定理.
注意:平行线分线段成比例定理是没有逆定理的,只有推论才有逆定理.
(1)下列命题正确的是( )
A.有一个角对应相等的平行四边形都相似B.对应边成比例的两个平行四边形相似
(1)设 , , .
∴ ;
(2) ;
(3) .
【教师备课提示】这道题主要考查常见的“见比设参”,为后面学习比例打下基础.
(1)设 ,则 ________, ________.
(2)已知: ,则 ________.
(3)如果 ,则下列成立的等式是()
A. B. C. D.
(1)由 及比例的性质可知: , .
平行于三角形一边的直线,截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图:如果EF//BC,则 , , .
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若 或 或 ,则有EF//BC.
注意:对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立,反例:任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边,这三条直线满足分线段成比例,但是它们并不平行.
(2) , ;
垂直平分BC, ,
∴ , .
(3)由等腰直角三角形可以得到
所以题目已知条件变为 ,
将该条件变为比例形式得到: ,
由于 ,所以有 .
【教师备课提示】这道题主要让同学们熟悉相似三角形的3种判定方法,为后面学习模型打下基础.
(1)如果 ,则下列各式不成立的是()
A. B. C. D.
(2)已知: ,求值:① ;② .
模块一比例的性质和成比例线段的概念
一、比例的性质:
比例的性质
示例剖析
(1)基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质: 或
或
(4)合比性质:
(5)分比性质:
(6)合分比性质:
(7)等比性质:
已知 ,则当 时, .
二、成比例线段的概念:
1.比例的项:
在比例式 (即 )中,a,d称为比例外项,b,c称为比例内项.特别地,在比例式 (即 )中,b称为a,c的比例中项,满足 .
(1)求证: .
(2)当 , ,点E、F分别是BC、AC的中点时,求直角梯形ABCD的面积.
(1)∵ ,∴ ,∵ ,∴
∴
(2)∵ , ,∴ ,又∵F是AC的中点,∴
∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∵E是BC的中点,
∴ ,∴直角梯形ABCD的面积 .
(2)如图5-2,E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点,CE交AD于点F,下列各式中错误的是( )
A. B. C. D.
图5-1图5-2
(1)4(角平分线加平行线必出等腰三角形);(2)D.
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的简单应用.
如图所示, , , , ,连接EF,GH相交于点O.求证:GH与EF互相平分.
(2)如图,C是AB的黄金分割点,且 , ,以CA为边的正方形的面积为 ,以BC、BG为边的矩形的面积为 ,则 (填“ ”、“ ”或“ ”).
(1)由比例中项的性质有 , ,由于c是线段,故 .
(2)由题意知 , ,故 .
【教师备课提示】这道题主要考查比例的基本概念和黄金分割.
(1)如图4-1,已知 ,用面积法证明: .
(1)0.5cm;(2) ;(3)6.
如图所示,在 的边BC上 ,边AC上 ,求: .
, ; , .
, .
(1)手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()
2.成比例线段:
四条线段a,b,c,d中,如果a和b的比等于c和d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
3.黄金分割:
如图,若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC( ),且使AC是AB和BC的比例中项(即 ),则称线段AB被点C黄金分割,点C叫线段AB的黄金分割点,其中 , ,AC与AB的比叫做黄金比.(注意:对于线段AB而言,黄金分割点有两个.)
(3)如图8-2,在平行四边形ABCD中, , ,E是AD的中点,在AB上取一点F,使 ,则 __________.
(4)如图8-3,在 和 中, ,源自文库, ,若这两个三角形相似,则BD的长为____________.
图8-1图8-2图8-3
(1) ;(2) , , ;(3)2;(4) 或 .
【教师备课提示】这道题主要考查相似三角形的基本性质.
A.B.C.D.
(2)已知 且 ,则 ___________.
(3)已知 的三边长分别为 、 、2, 的两边长分别是1和 ,如果 与 相似,那么 的第三边长应该是( )
A. B. C. D.
(1)选择D,考察相似的定义;(2) ;(3)A.
如图,直角梯形ABCD中, , ,点E在BC上,点F在AC上, .
②性质:两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.
2.相似三角形的定义
定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.对应边的比例叫做相似比.全等三角形是特殊的相似三角形,全等三角形的相似比是1.
如图, 与 相似,记作 ,符号 读作“相似于”.
注意:如果写成“ ”,则前后的字母一定对应;如果写成文字,则可以不对应.
【教师备课提示】推论也简称“A”和“8”,逆定理的证明可以通过同一法,做 交AC于 点,再证明 与F重合即可.
模块三相似三角形的定义、性质和判定
1.相似图形
①定义:对应角相等,对应边成比例的图形叫做相似图形.对应边的比例叫做相似比.相似图形是形状相同,大小不一定相同.相似图形间的互相变换称为相似变换.
3.相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等.
如图, ,则有
.
②相似三角形的对应边成比例.
如图, ,则有
( 为相似比).
③相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.
如图, ∽ , 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线, 、 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线,则有
④相似三角形周长的比等于相似比.
简称为三边对应成比例,两个三角形相似.
如图,如果 ,则
.
判定定理3:
如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
简称为两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.如图,如果 , ,则 .
(1)已知 ,则 的值是_______.
(2)若 .则 _______.
(3)若 ,且 ,则 的值是_______.
(2)如图4-2, ,若 , , ,则 ______.
(3)如图4-3, , , , ,则 , .
图4-1图4-2图4-3
(1)如图所示,连接AE,BD,BF,CE. .
, , , .
.
(2) ;
(3) , .
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理的证明和简单应用.
(1)如图5-1, 中,BE平分 ,DE∥BC,若 , ,那么 ______.
(3)已知 ,求 的值.
(1)A为合比性质,B为分比性质,C显然正确,D错误,由于 ,不能用等比定理.故答案为D.
(2)由等比性质直接可以得到 ; .
(3)当 时,
于是: , .
当 时, .
于是本题的解为 或8.
(1)已知两个数 , ,则它们的比例中项为_____________.
(2)如图,乐器上的一根弦 ,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点(即AC是AB与BC的比例中项),支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则 ____________cm, __________cm.
(2)当 时,由等比性质得 ;
当 时, ,则 ,
综上, 的值为2或 .
(3)A中 ,∴A错误;B中 , ,∴B错误;
C中 ,∴C正确;D中 ,∴D错误.
【教师备课提示】这道题主要考查学生们比例的基础性质,为后面倒比例打下坚实的基础.
(1)已知线段 , ,线段c是a、b的比例中项,那么c等于________.
模块二平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例,简称为平行线分线段成比例定理.如图:如果 ,则 , , .
【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的(如AB)称为上,位置靠下的称为下,两条线段合成的线段称为全,则可以形象的表示为 , , .
2.平行线分线段成比例定理的推论
(1)设比例中项为 ,则 , ,故填 .
(2)点 是靠近点 的黄金分割点,
∴ ,即 ,又点 是靠近点 的黄金分割点,∴ ,∴ .
(1)如图3-1,直线 ,已知 , , , _____.
(2)如图3-2,在 中,D、E分别为AB、AC边上的点,若 , ,则 ___________.
(3)如图3-3,AB∥DE,AE与DB交于C, , , ,则 ______.
(1)下列所给条件中,可以判断 与 相似的是( )
A. , , , , ,
B. , ,
C. , , , , ,
D. , , ,
(2)如图9-1,在 中,点D是BC边上的中点,且 , ,交BA于点E,EC与AD相交于点F.求证: .
(3)如图9-2, 为等腰直角三角形, ,求证: .
图9-1图9-2
(1)D;
如图, ∽ ,则有
.
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图, ∽ ,则有
4.相似三角形的判定
判定定理
判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简称为两角对应相等,两个三角形相似.
如图,如果 , ,则
.
判定定理2:
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似.
C.有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D.有一个角对应相等的两个菱形相似
(2)一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后,所剩下的矩形与原矩形相似,则原矩形的宽与长的比是( )
A. B. C. D.
(1)选择D.多边形相似要求对应角相等对应边成比例,而A、C只满足角相等,无法满足边成比例,而B只能满足边成比例,而无法满足角相等.只有D两个方面的条件都满足.
(2)选择A.不妨设原矩形的宽为1,长为 ;则剪去一个正方形后的小矩形,长为1,宽为 .则由相似得到 ,即 ,
,由 得到 ,所以宽与长的比为 .
【教师备课提示】这道题主要考查相似图形的定义和性质.
(1) 且相似比为 , 且相似比为 ,则 与 的相似比为___________.
(2)如图8-1,在正方形网格上有两个相似三角形 和 ,则 的度数为________, 和 的周长比为________,面积比为_________.
分别连接 、 , , ;
同理, , .
故四边形GEHF为平行四边形,所以GH与EF互相平分.
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的逆定理.
注意:平行线分线段成比例定理是没有逆定理的,只有推论才有逆定理.
(1)下列命题正确的是( )
A.有一个角对应相等的平行四边形都相似B.对应边成比例的两个平行四边形相似
(1)设 , , .
∴ ;
(2) ;
(3) .
【教师备课提示】这道题主要考查常见的“见比设参”,为后面学习比例打下基础.
(1)设 ,则 ________, ________.
(2)已知: ,则 ________.
(3)如果 ,则下列成立的等式是()
A. B. C. D.
(1)由 及比例的性质可知: , .
平行于三角形一边的直线,截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图:如果EF//BC,则 , , .
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若 或 或 ,则有EF//BC.
注意:对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立,反例:任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边,这三条直线满足分线段成比例,但是它们并不平行.
(2) , ;
垂直平分BC, ,
∴ , .
(3)由等腰直角三角形可以得到
所以题目已知条件变为 ,
将该条件变为比例形式得到: ,
由于 ,所以有 .
【教师备课提示】这道题主要让同学们熟悉相似三角形的3种判定方法,为后面学习模型打下基础.
(1)如果 ,则下列各式不成立的是()
A. B. C. D.
(2)已知: ,求值:① ;② .
模块一比例的性质和成比例线段的概念
一、比例的性质:
比例的性质
示例剖析
(1)基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质: 或
或
(4)合比性质:
(5)分比性质:
(6)合分比性质:
(7)等比性质:
已知 ,则当 时, .
二、成比例线段的概念:
1.比例的项:
在比例式 (即 )中,a,d称为比例外项,b,c称为比例内项.特别地,在比例式 (即 )中,b称为a,c的比例中项,满足 .
(1)求证: .
(2)当 , ,点E、F分别是BC、AC的中点时,求直角梯形ABCD的面积.
(1)∵ ,∴ ,∵ ,∴
∴
(2)∵ , ,∴ ,又∵F是AC的中点,∴
∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∵E是BC的中点,
∴ ,∴直角梯形ABCD的面积 .
(2)如图5-2,E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点,CE交AD于点F,下列各式中错误的是( )
A. B. C. D.
图5-1图5-2
(1)4(角平分线加平行线必出等腰三角形);(2)D.
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的简单应用.
如图所示, , , , ,连接EF,GH相交于点O.求证:GH与EF互相平分.
(2)如图,C是AB的黄金分割点,且 , ,以CA为边的正方形的面积为 ,以BC、BG为边的矩形的面积为 ,则 (填“ ”、“ ”或“ ”).
(1)由比例中项的性质有 , ,由于c是线段,故 .
(2)由题意知 , ,故 .
【教师备课提示】这道题主要考查比例的基本概念和黄金分割.
(1)如图4-1,已知 ,用面积法证明: .