曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程

设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）

Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）

# o

，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线

r。设其方程为

X ■戎\

* y = XO

mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。由于曲线『在工

上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如

。该方程表示

了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处

的一个法向量。记为厂：

基本方法:

1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏

导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为

忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o

法线方程为

尺％，厂£3■厂£（兀）

2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。，y。）处存在连续偏导数,

则该曲面在点上处的切平面方程为

过X的法线方程为

-工外片)-工知片)】

注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.

3、若曲面刀由参数方程

x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)

给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为

三、答疑解惑

问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?

注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线

『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；

『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).

它们在点X。处的切向量分别为

\=a：糾冲,y：(埠咻£(知耳))

E ■(兀(如岭竄和4心知比))

当V 」-时，得刀在点X 处的法向量为

则刀在点X o 处的法向量为

典M 盹0厌葩刃丿|应心

四、典型例题

例 1 求椭球面 x 2+2y 2+3z 2 = 6 在(1,1,1 解设 F （x , y , z ） = x 2+2y 2+3z 2- 6,由于'一 ’’•一 ' - _ '在全平面上处处连续， 在（1, 1, 1） 处"_ _ 1 ■ _ ,椭球面在点（1,1,1） 处的法向量为（2, 4, 6）. 则所求切平面方程为

2(z-l) + 4(y-1) -F 6(Z -1) ■ 0

即 x + 2 y + 3 z = 6.

A - 1 y- 1

石 T 所求法线方程为 - -

-

r 2

X 1 2= —+y

例2求曲面 丄 平行于z = 2x +2y 的切平面方程

则曲面在一- 处的法向量为 ■' 1 .

曲面在点X o 处的切平面方程为

）处的切平面方程与法线方程

解设切点为

1,1

■ ■■■■.曲面 _ ■ ，因此…

即1

- -

瀚（x-心）十2加0-旳）-仗-^0）-0

又切平面与已知平面 z = 2 x +2y 平行，因此

解得切点坐标为 -■■'■ ■ - _ ■■■■'■',

所求切平面方程为

2(^-2)+2(y-l)-(z-3)-0

例 3 求曲面：_ - 1 匚■ 「「二 -■■ ■' '在点匸二 处的切平面方程和法线方程.

解 点J * ••对应曲面上的点 1 1 ''其中

.,1 -:... 片一」- : 1 i . ■ I. _■ 〔■一

u

所求曲面在点X 。处的切平面方程为 护 tin 贏 cos^0(x^^sin 皿 CDS £1) + asm '贏 sm^ sm sin ) + a 1 sin 砂 cas & @ -(/ cos 妬)■ 0,

即 丁.一 -；, ; ■: ' ； j | ■ ■' ■二 _ 『

-Lisin acos^

GOS ^

0 -t?sm 鼬 sin 第 sin 2 sin -dsiii 厲 win 給

一占 sin sin

齐-订$111 牝cos州y- £in J-^CQS^

cP sin2 cos5^ 护sux，眦如妬护妣心。观

所求的法线方程为

x- sm6f）芒鼬

即sm^cos^j sm^sm^ 阿佻

严V 2宀2八“

例4求过直线，且与曲面-相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为

-'/. _：, - - 2 1° ; I - I

5

即「；" ■ ' I -'，

其法向量为--.

F（鬲M）= 2/ - ” + 證-1

记-,则

F；5,沪*^>2

设所求的切平面的切点为• '■" -1-…，则曲面上J •处的法向量为7 -' ^■■，|-'.

且有