曲面的切平面与法线方程
空间曲面的切平面与法线方程
空间曲面的切平面与法线方程空间曲面的切平面与法线方程是三维几何中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和描述图形。
本文将从生动、全面、有指导意义的角度介绍这一主题。
首先，我们来探讨空间曲面的切平面。
切平面可以理解为平面与曲面相切于某一点，并且与曲面在该点处具有共同的切线。
切平面通常用一个方程来表示。
设曲面的方程为F(x, y, z) = 0，切平面经过某一点(x0, y0, z0)。
为了求解切平面方程，我们首先需要计算曲面在该点处的法向量，记为N。
曲面的法向量垂直于曲面，因此可以通过求函数F(x, y, z)关于x、y和z的偏导数来得到该点处的切向量。
对于曲面上的一点P(x0, y0, z0)，切向量可以表示为(Tx, Ty, Tz)。
然后，我们可以通过向量的点积来求解法向量N与切向量的关系，即N·T = 0。
得到法向量后，我们可以利用一般式方程来表示切平面的方程，即Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D分别为切平面的系数。
其次，我们来了解空间曲面的法线方程。
法线是与曲面垂直的一条直线或向量，用来表示曲面的外法线方向。
对于曲面上的一点P(x0, y0, z0)，法线可以从曲面的切平面求得。
通过切平面的法向量N(x0, y0, z0)，我们可以得到法线的方向向量为(-Nx, -Ny, -Nz)。
然后，我们可以使用一般向量方程来表示法线方程，即(x - x0)/(-Nx) = (y - y0)/(-Ny) = (z - z0)/(-Nz)。
理解了切平面的方程和法线的方程后，我们就能够更好地分析和描述空间曲面了。
切平面能够帮助我们理解曲面在某一点处的切线情况，从而推断出曲面在该点附近的几何性质。
而法线能够告诉我们曲面在该点的外法线方向，这对于求解曲面的切线、法线以及其他的几何性质等问题非常有用。
最后，通过举一些具体的例子，我们可以更好地理解和应用切平面和法线方程。
以球面为例，球面的一般方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 - r^2 = 0，其中(a, b, c)为球心坐标，r为球的半径。
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。
在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。
对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。
本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。
在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。
切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。
设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。
因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。
由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
高等数学：9-3空间曲面的切平面与法线
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量
T
点 M 的切向量为
M T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面 在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
n
(1, 2, 3 )
(2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0 即
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 1 3
(0,0,0)在法线上， 可见法线经过原点，即球心。
例2 求曲面z = f ( x, y) = x 2 + y 2 + 1在点（1, 2, 6）处的切平 面及法线方程．
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用函数方程或参数方程表示。
在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。
曲面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，在许多领域都有广泛的应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。
在二维平面上，我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。
在三维空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。
假设曲面的函数方程为z=f(x,y)，则其在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)其中fx和fy分别表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。
如果曲面的参数方程为：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)则其在点(P0)处的切平面方程可以表示为：r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0)其中r表示曲面的参数方程，r/u和r/v分别表示曲面在点P0处的偏导数。
二、曲面的法线方程曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
由于曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，因此曲面的法线方程也可以表示为：n(r-r0)=0其中r表示曲面上的任意一点，r0表示曲面上的某一点。
三、曲面的切线和法线方向曲面的切线和法线方向在曲面上的任意一点处是唯一的。
曲面的切线方向垂直于曲面的法线方向，因此我们可以通过曲面的法线方程来确定曲面的切线方向。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
空间曲面的切平面与法线
若4. 0. V表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量
的方向是向上的，即使得它与Z轴的正向所成的角/是锐角，
则法向量的方向余弦为
_ fx COS 4 J=i+f
cos 0 =
-fy J1 + f + f
fx = fx (xo, y°)
其中
fy = fy , (X0 y°)
1
A/ COS / =
1 + fXX + fy
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
特殊地：空间曲面方程形为z = f（X, y） 令 F （旳 y,z） = f （旳 y） - z, n = {fx （Xo, y°）, fy 3。， y。），T}
曲面在Mo处的切平面方程为
fx（x。，yo）（ x 一 x。）+fy（源自。，y°）（y - y。）=乙一如
曲面在Mo处的法线方程为
x _ xo = y - y0 = z _ zo
则n宜，由于曲线是曲面上通过Mo的任意一条曲线，它们在Mo的 切 线都与同一向量n垂直,故曲面上通过M。的一切曲线在点M。的切 线都
在同一平面上，这个平面称为曲面在点M。的切平面.
切平面方程为
F (x0, y。, Zo)(x - xo) + Fy (x0, % Zo)( y 一 y°)
+ Fz(xo, y。，Zo)( z - Zo) = 0
通过点M0 ( x0, y0, z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x-x
y - yo
z 一 Zo
Fx(xo, y。，%) Fy (xo,y。，Zo) F(xo, y。，Zo)
多元微分学应用曲面的切平面与法线
则 n T , 由 M 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 的 任 意 一 条 M n 曲 线 ， 它 们 在 的 切 线 都 与 同 一 向 量 垂 直 ， 故 M M 曲 面 上 通 过 的 一 切 曲 线 在 点 的 切 线 都 在 同 一 M 平 面 上 ， 这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 的 切 平 面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相 切 ， 求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如 果 平 面 与 椭 球 面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求 旋 转 抛 物 面 在 点
处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .
1、曲 线 x
线 平行 于平 面 x 2 y z 4. 三 、求 球面 x 2 y2 z2 6与 抛 物面 z x2 y2 的 交 线 在 ( 1 ,1 , 2 ) 处 的 切 线 方 程 .
求切平面方程和法线方程
求切平面方程和法线方程
在数学和物理学中，切平面和法线方程是研究曲面和曲线的重要工具。
切平面是与曲面相切的平面，而法线是与曲面在切点处垂直的直线。
在本文中，我们将讨论如何求解曲面的切平面方程和法线方程。
首先，让我们考虑一个曲面S的切平面。
设P(x0, y0, z0)是曲面S上的一点，我们希望找到通过点P的切平面方程。
切平面的一般方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。
为了找到切平面的方程，我们需要确定平面的法向量。
在点P 处，曲面的法向量就是曲面的梯度向量。
我们可以通过对曲面的方程进行偏导数运算来找到这个梯度向量。
假设曲面的方程是z =
f(x, y)，那么曲面在点P处的法向量可以表示为(∂f/∂x,
∂f/∂y, -1)。
然后我们可以利用点P和法向量来确定切平面的方程。
接下来，让我们考虑曲面S的法线方程。
法线方程可以表示为从曲面上的一点P(x0, y0, z0)出发，沿着曲面的法向量方向的直
线。
法线方程的一般形式可以表示为x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct，其中A、B、C是曲面在点P处的法向量的分量。
通过求解切平面方程和法线方程，我们可以更好地理解曲面的性质和特征。
这些方程也在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在光学、机械和流体力学等领域。
因此，对于研究曲面和曲线的性质和行为来说，求解切平面方程和法线方程是非常重要的。
求曲面的切平面方程和法线方程
求曲面的切平面方程和法线方程大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实只要理清思路就会发现它也挺简单有趣的数学概念，那就是曲面的切平面和法线方程。
听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，让我们一起来揭开这个神秘的面纱，顺便加点儿幽默感，轻松一下！1. 什么是曲面？首先，咱们得搞清楚什么是曲面。
你可以想象一下，曲面就像是一块柔软的橡皮泥，随便捏捏就能变出各种形状。
数学上，曲面可以用一个方程来表示，比如说z = f(x, y)。
这里的 f(x, y) 就像是你在烘焙时的配方，决定了曲面的“口味”。
有些曲面像球体那样光滑，有些则像马鞍一样凹凸不平。
1.1 曲面的切平面好，曲面搞清楚了，接下来我们来聊聊切平面。
简单来说，切平面就是在某一点“切”到这个曲面，像是在一块蛋糕上切出一片。
想象一下，你在生日聚会上切蛋糕，那一刀下去的瞬间，你就得到了一个平面，这就是你的切平面。
数学上，切平面的方程可以用来描述这一瞬间。
要找切平面，首先你得找到那个点的坐标，比如(x₀, y₀, z₀)。
1.2 如何求切平面方程那么，如何求这个切平面方程呢？其实很简单！我们可以用到偏导数的知识。
对了，你没听错，就是那个在微积分中出现的偏导数。
咱们得先计算出在点 (x₀, y₀) 处的偏导数，分别是 fx(x₀, y₀) 和 fy(x₀, y₀)。
接下来，根据切平面的公式 z z₀ = fx(x₀,y₀)(x x₀) + fy(x₀, y₀)(y y₀)，就能轻松得到切平面的方程啦！是不是觉得像是打开了新世界的大门？2. 法线方程接下来，我们再来聊聊法线。
法线是什么呢？简单说，它就像是一个“直立”的小杆子，垂直于切平面。
想象一下，如果你在切蛋糕的时候，切刀和桌面的角度就是法线的方向。
法线方程则是描述这根“小杆子”的方程。
2.1 如何求法线方程求法线的步骤其实和求切平面有些相似。
我们仍然需要用到那两个偏导数。
法线的方向就是这两个偏导数的反方向，具体来说就是 (fx(x₀, y₀), fy(x₀, y₀), 1)。
求曲面在某点的切平面和法线方程
求曲面在某点的切平面和法线方程求曲面在某点的切平面和法线方程1. 引言在微积分和几何学中，研究曲面的切平面和法线方程是很重要的一部分。
通过求解切平面和法线方程，可以揭示曲面在某一点的局部特性和性质。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨如何求解曲面在某点的切平面和法线方程。
2. 定义和基本概念在开始正式讨论之前，我们先来回顾一些与曲面相关的基本概念。
曲面可以用一个参数方程来表示，通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是定义域为二维平面的函数。
曲面上的每个点都可以由参数u和v唯一确定。
3. 切平面的定义和求解方法切平面是曲面在某一点上与曲面相切，并且与曲面在该点的切线垂直的平面。
下面我们来讨论如何求解曲面在某点的切平面。
我们需要明确切平面的法向量。
根据曲面的定义，曲面上的点可以表示为(x0, y0, z0)，那么切平面的法向量即为曲面在该点的法向量。
法向量可以通过计算曲面方程的梯度向量来求得。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，其中F(x, y, z) = z - h(x, y)。
对于曲面上的点(x0, y0, z0)，切平面的法向量N可以通过如下计算得到：∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) = (∂z/∂x, ∂z/∂y, -1)N = (∂z/∂x, ∂z/∂y, -1) (在点(x0, y0, z0)处)此时，我们已经得到了切平面的法向量N。
接下来，我们需要确定切平面在该点上的方程。
切平面的方程一般以点法式表示：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0其中，(A, B, C)即为切平面的法向量N。
将N的分量代入切平面的方程中，即可得到切平面的具体表达式。
4. 举例求解切平面为了更好地理解和应用曲面的切平面，我们举一个具体的例子来进行求解。
假设有一个球体曲面，其方程可以表示为x² + y² + z² - R² = 0，其中R为球体的半径。
(完整版)曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0,函数F（x , y，z）在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ.设其方程为，且对应于点；不全为零.由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上,这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面。
点称为切点。
向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y，z)=0上，而F(x，y，z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x，y，z)=0在点处的切平面方程为。
法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f （x, y) 在点M0 (x0，y0）处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为。
过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x（u, v) , y = y(u, v） , z = z（u，v）给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 ，v0)对应，而x(u , v） , y(u , v) ，z（u，v）在（u0 ，v0)处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v） , y = y（u , v) , z = z（u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 ，v0)对应,怎样确定∑在点X0处的法向量？注释:设x（u , v） , y(u , v) , z（u , v）在（u0 ，v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线。
Γ1：x = x（u ，v0) ，y = y(u，v0） , z = z（u，v0);Γ2：x = x(u0，v) , y = y（u0，v) ，z = z(u0 , v）.它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为。
切平面和法线
设曲面方程为
F(x, y, z) 0
过曲面上点 M0( x0 , y0 , z0 ) 任作一条在曲面上的曲线 l， 设其方程为
x x(t), y y(t), z z(t) 显然有 F( x(t), y(t), z(t)) 0
n
T
M
在上式两端对 t 求导，得
(Fx )x(t ) (Fy ) y(t) (Fz )z(t) 0
所以在点 (1, 2, 3) 处 球面的切平面方程为
2( x 1) 4( y 2) 6(z 3) 0
法线方程
x1 y2 z3 246
§5. 曲面的切平面与法线 曲面的夹角
两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。
如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。
§5. 曲面的切平面与法线
n
T
M
曲线在M
的切向量为
0
x
'
t0
,
y
'
t0
,
z
'
t0
,
法向量为 Fx x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0
§5. 曲面的切平面与法线
在 M0 点（设 M0 点对应于参数 t t0 ）有 (Fx )M0 x(t0 ) (Fy )M0 y(t0 ) (Fz )M0 z(t0 ) 0
例 2 证明对任意常数 , ，球面 x2 y2 z2 2 与锥
面 x2 y2 =tg2 z2 是正交的。
§5. 曲面的切平面与法线
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。
由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。
记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。
9.2空间曲面的切平面与法线
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n
T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3
即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程仙(血)酥(览)巩坷叩 、负，卽，鬼丿过点广.任意引一条位于曲面 工上的曲线r 。
设其该曲面在点曲面的切平面与法线方程设上中曲面工的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面工上点?u _ 1.■ J i ■■处可微,x-戎0 F=刃)方程为 m ,且对应于点不全为零。
由于曲线r 在工上，则有呀尹厲感)+卩(兀吨)+罠区池)T： ■ ■■.'： ■ ■' ■ '：■：：'-「及'任意一条过点一的曲线在该点的切线都与向量 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面 工在点丁.处的切平面.点、•称为切点.向量「" 称为曲面工在点、■处的一 个法向量。
记为基本方法:1、设点 1 丿在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点 「处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点’•处的切平面方程为麻不Xr-r.)+ 押;-片)亠 Eea -心)■ 0法线方程为xr _ y —旳 _ %2、设点'' ■'在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y)在点M Q (x o , y o )处存在连续偏导数，则处的切平面方程为过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法〔昭儿)("心)-力(心小X?-几)2-齢齐_ %__________ _石_石-饷矶)-/(兀必)11 中取’1■-?■-■'- ..■ .-.L 的情形3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u , v) , z = z(u, v)给出，刀上的点劣臨沧知与uv平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在( u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为y-n畑)d(u,v)三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点•'1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r 1 : x= x(u , v o) , y = y (u , v o) , z = z(u , v o)；r2: x = x(u o , v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为当■■■时，得刀在点X o处的法向量为昭卩）Jt3J则刀在点X o处的法向量为四、典型例题1 求椭球面x2+2y2+3z2= 6 （1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程设F(x, y , z) = x2+2y 2 2+3z -6,由于?■■ ■■■'…’…亠在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）-行，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1)■x + 2y + 3z = 6.A-1所求法线方程为- y-1 z-\ 4A-1 y-1 Z'1E=a血評我和出诞皿））£ ■（才（如卩j 认心分包止））2求曲面- 平行于z = 2x+2y的切平面方程.设切点为一L, T' ■■■■ 一 .曲面”牛2 舟=匚善=2 丁2 ，因此无谢[acos^ cos^j-t?sm g sin 第u\A. j- i tSCOS^ COS^j ◎(牯叭L acos^sin^-<7sm sin-^sm sin2- 2MLJ sin 处cos^则曲面在丄I…处的法向量为-I曲面在点Xo处的切平面方程为奄仗一冏）十2加（/-并）-（広-^）-0又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为■ ■■■ _1；■'：，所求切平面方程为2(j-3) = 0例3 求曲面■■- 11 / 1- ' :. 1 1■ J ' ■'二•—在点■. 1：■. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点'，，1- .对应曲面上的点禺三£?sin関cosi%, y0•处in犁睛mg「迓口匚则曲面在点岛（向局）处的法向量为(a2sin7刑cosS^.a2sir?仰血务/ sin2轨cossin^cos^ sui sin CuS^j例4求过直线3A- 2jr -z - 5A+J+ z = 02/- 2/a+ 2^ =-，且与曲面^ ;-相切之切平面方程解过直线的平面方程可设为3x-2y - 1 - 5+几(X + y + z) - 0即匚.：.」二L八1- ：■■其法向量为 _' *…一… ■-.记=2兀？_ 十2z ~ —S，则所求曲面在点Xo处的切平面方程为/ sin 职% cos^) -b a sin1伽sm^ (y- <7sin 处sui 境)+ a1sin 0(j cos ^(z-a1cos 伽)■ □即xsin cos+ .ysui sin + 7cos恥"jr- tisincosft y- asm sin z-a匚皿仙所求的法线方程为'+■. 1订■ '' ■'. :"■-. '■ 一i，；,y-^sui^ sm6()设所求的切平面的切点为偏皿知，则曲面上氐弘久）处的法向量为（如-4用Q .且有15解得 t i = 1, t 2 = 3，故入=7.3 + /t 2-2由⑴、(3)解得2t -1代入(2)得则所求切平面方程为3x-2y -z-5-^3(J +丿 +z) ■03TL -2y-z-5 +7(A : + y + Z )-06x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O(1)试证曲面 上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数.证明f—■=/--rI K\ J ：咼地］(厂儿)整理后得则过曲面上点-的切平面方程为卜f y-^ff1窃^0 "^0 /f—注意到<r<>，从上述方程得切平面方程为■/ X( \~| ( \f西-—f地e f 也y-^-o% 丿」x^o /可知其必定过原点.。
求曲面在某点的切平面和法线方程
求曲面在某点的切平面和法线方程曲面的切平面和法线方程是微积分中的重要概念，它们可以帮助我们研究曲面在某一点的性质和特征。
本文将从以下几个方面展开讨论：曲面的定义、切平面的定义和求解方法、法线方程的定义和求解方法、实例分析和总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维曲面，它可以用一个或多个参数方程来表示。
一般来说，曲面可以分为解析曲面和隐式曲面两种类型。
解析曲面是指可以用一个或多个参数方程明确地表示出来的曲面，例如球面、圆锥面、双曲面等。
隐式曲面是指不能用参数方程明确地表示出来的曲面，例如平面、柱面、锥面等。
二、切平面的定义和求解方法切平面是指曲面在某一点处的切线所在的平面，它与曲面在该点处的切线垂直。
求解曲面在某一点处的切平面，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的切向量。
2. 将切向量作为法向量，建立以该点为原点的平面方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的切向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的切向量为：T=(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)×(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)其中×表示向量叉乘。
然后，以该点为原点，以切向量为法向量，建立平面方程即可得到切平面的方程。
三、法线方程的定义和求解方法法线方程是指曲面在某一点处的法向量所在的直线方程。
求解曲面在某一点处的法线方程，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的法向量。
2. 将法向量作为方向向量，建立以该点为原点的直线方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的法向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的法向量为：N=(∂h/∂u,∂h/∂v,-1)×(∂f/∂u,∂f/∂v,∂g/∂u,∂g/∂v)其中×表示向量叉乘。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。
设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。
在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。
该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。
记为。
称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。
求曲面在某点的切平面和法线方程
求曲面在某点的切平面和法线方程曲面在某点的切平面和法线方程是微积分和线性代数中的重要概念。
它们用于研究曲面在特定点的性质和方向，并在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨求曲面在某点的切平面和法线方程的基本原理和方法，并通过实例帮助读者更好地理解。
首先，让我们澄清一下什么是切平面和法线。
在三维几何中，曲面是空间中的一个二维对象，通常由一个方程定义。
切平面是与曲面在某点相切且与曲面相切于该点的一个平面。
它在该点的切线与曲面的切点重合。
另一方面，法线是与曲面在该点垂直的一条线，垂直于切平面。
接下来，我们将介绍求曲面在某点的切平面和法线方程的方法。
首先，我们需要找到曲面在该点的切向量。
切向量与曲面在该点的切线方向相同。
我们可以通过对曲面方程进行偏导数来求得切向量。
对于一般的曲面方程 $F(x, y, z) = 0$，其切向量可以用下式表示：$$\boldsymbol{V} = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$$接着，我们可以使用切向量来构造切平面的方程。
对于曲面上的点$(x_0, y_0, z_0)$，切平面的方程可以表示为：$$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partialz}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$$最后，我们来求解曲面在该点的法线方程。
由于法线垂直于切平面，所以法线的方向向量与切向量相垂直。
我们可以使用点法式来表示法线方程。
对于切向量 $\boldsymbol{V} = (a, b, c)$，法线方程可以表示为：$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$现在，让我们通过一个具体的例子来说明这些概念和方法。
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曲面的切平面与法线方程
设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）
Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）
# o
，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线
r。
设其方程为
X ■戎\
* y = XO
mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。
由于曲线『在工
上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。
该方程表示
了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处
的一个法向量。
记为厂：
基本方法:
1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏
导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为
忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o
法线方程为
尺％，厂£3■厂£（兀）
2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。
，y。
）处存在连续偏导数,
则该曲面在点上处的切平面方程为
过X的法线方程为
-工外片)-工知片)】
注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.
3、若曲面刀由参数方程
x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)
给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。
)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。
, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为
三、答疑解惑
问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?
注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线
『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；
『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).
它们在点X。
处的切向量分别为
\=a：糾冲,y：(埠咻£(知耳))
E ■(兀(如岭竄和4心知比))
当V 」-时，得刀在点X 处的法向量为
则刀在点X o 处的法向量为
典M 盹0厌葩刃丿|应心
四、典型例题
例 1 求椭球面 x 2+2y 2+3z 2 = 6 在(1,1,1 解设 F （x , y , z ） = x 2+2y 2+3z 2- 6,由于'一 ’’•一 ' - _ '在全平面上处处连续， 在（1, 1, 1） 处"_ _ 1 ■ _ ,椭球面在点（1,1,1） 处的法向量为（2, 4, 6）. 则所求切平面方程为
2(z-l) + 4(y-1) -F 6(Z -1) ■ 0
即 x + 2 y + 3 z = 6.
A - 1 y- 1
石 T 所求法线方程为 - -
-
r 2
X 1 2= —+y
例2求曲面 丄 平行于z = 2x +2y 的切平面方程
则曲面在一- 处的法向量为 ■' 1 .
曲面在点X o 处的切平面方程为
）处的切平面方程与法线方程
解设切点为
1,1
■ ■■■■.曲面 _ ■ ，因此…
即1
- -
瀚（x-心）十2加0-旳）-仗-^0）-0
又切平面与已知平面 z = 2 x +2y 平行，因此
解得切点坐标为 -■■'■ ■ - _ ■■■■'■',
所求切平面方程为
2(^-2)+2(y-l)-(z-3)-0
例 3 求曲面：_ - 1 匚■ 「「二 -■■ ■' '在点匸二 处的切平面方程和法线方程.
解 点J * ••对应曲面上的点 1 1 ''其中
.,1 -:... 片一」- : 1 i . ■ I. _■ 〔■一
u<A. j-i COS^j ◎(轴叭 L acos^sin^ 则曲面在点＞'■---•处的法向量为'—y …工J 一—亠、亠一―「亠..
所求曲面在点X 。
处的切平面方程为 护 tin 贏 cos^0(x^^sin 皿 CDS £1) + asm '贏 sm^ sm sin ) + a 1 sin 砂 cas & @ -(/ cos 妬)■ 0,
即 丁.一 -；, ; ■: ' ； j | ■ ■' ■二 _ 『
-Lisin acos^
GOS ^
0 -t?sm 鼬 sin 第 sin 2 sin -dsiii 厲 win 給
一占 sin sin
齐-订$111 牝cos州y- £in J-^CQS^
cP sin2 cos5^ 护sux，眦如妬护妣心。
观
所求的法线方程为
x- sm6f）芒鼬
即sm^cos^j sm^sm^ 阿佻
严V 2宀2八“
例4求过直线，且与曲面-相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为
-'/. _：, - - 2 1° ; I - I
5
即「；" ■ ' I -'，
其法向量为--.
F（鬲M）= 2/ - ” + 證-1
记-,则
F；5,沪*^>2
设所求的切平面的切点为• '■" -1-…，则曲面上J •处的法向量为7 -' ^■■，|-'.
且有
3 + /t 2-2
由(1)、(3)解得
代入(2)得
e -^4-3 = 0
则所求切平面方程为
3x-2y -z-5-^ 3(J +丿 +z) ■ 0
或…'-- 1 .■- .■- - '■
即 6 x + y + 2 z = 5 或 10 x + 5 y + 6 z = 5.
上任一点处的切平面都过原点，其中 f (x )为可微函数. f —■ =/ --r
I K \ J ：
故曲面上点'1 °」处的法向量为(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O (1)
2^1 2l -1 15
解得 t 1 = 1, t 2 = 3 ，故 入 2=7.
例5试证曲面
则过曲面上点-Ll■■- - ■■■'■ - 的切平面方程为
整理后得
f£y-^f
0x J o/ ^0
注意到•丿，从上述方程得切平面方程为
可知其必定过原点
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