曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程
设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）
Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）
# o
，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线
r。

设其方程为
X ■戎\
* y = XO
mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工
上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示
了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处
的一个法向量。

记为厂：
基本方法:
1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏
导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为
忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o
法线方程为
尺％，厂£3■厂£（兀）
2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,
则该曲面在点上处的切平面方程为
过X的法线方程为
-工外片)-工知片)】
注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.
3、若曲面刀由参数方程
x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)
给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为
三、答疑解惑
问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?
注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线
『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；
『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).
它们在点X。

处的切向量分别为
\=a：糾冲,y：(埠咻£(知耳))
E ■(兀(如岭竄和4心知比))
当V 」-时，得刀在点X 处的法向量为
则刀在点X o 处的法向量为
典M 盹0厌葩刃丿|应心
四、典型例题
例 1 求椭球面 x 2+2y 2+3z 2 = 6 在(1,1,1 解设 F （x , y , z ） = x 2+2y 2+3z 2- 6,由于'一 ’’•一 ' - _ '在全平面上处处连续， 在（1, 1, 1） 处"_ _ 1 ■ _ ,椭球面在点（1,1,1） 处的法向量为（2, 4, 6）. 则所求切平面方程为
2(z-l) + 4(y-1) -F 6(Z -1) ■ 0
即 x + 2 y + 3 z = 6.
A - 1 y- 1
石 T 所求法线方程为 - -
-
r 2
X 1 2= —+y
例2求曲面 丄 平行于z = 2x +2y 的切平面方程
则曲面在一- 处的法向量为 ■' 1 .
曲面在点X o 处的切平面方程为
）处的切平面方程与法线方程
解设切点为
1,1
■ ■■■■.曲面 _ ■ ，因此…
即1
- -
瀚（x-心）十2加0-旳）-仗-^0）-0
又切平面与已知平面 z = 2 x +2y 平行，因此
解得切点坐标为 -■■'■ ■ - _ ■■■■'■',
所求切平面方程为
2(^-2)+2(y-l)-(z-3)-0
例 3 求曲面：_ - 1 匚■ 「「二 -■■ ■' '在点匸二 处的切平面方程和法线方程.
解 点J * ••对应曲面上的点 1 1 ''其中
.,1 -:... 片一」- : 1 i . ■ I. _■ 〔■一
u<A. j-i COS^j ◎(轴叭 L acos^sin^ 则曲面在点＞'■---•处的法向量为'—y …工J 一—亠、亠一―「亠..
所求曲面在点X 。

处的切平面方程为 护 tin 贏 cos^0(x^^sin 皿 CDS £1) + asm '贏 sm^ sm sin ) + a 1 sin 砂 cas & @ -(/ cos 妬)■ 0,
即 丁.一 -；, ; ■: ' ； j | ■ ■' ■二 _ 『
-Lisin acos^
GOS ^
0 -t?sm 鼬 sin 第 sin 2 sin -dsiii 厲 win 給
一占 sin sin
齐-订$111 牝cos州y- £in J-^CQS^
cP sin2 cos5^ 护sux，眦如妬护妣心。

观
所求的法线方程为
x- sm6f）芒鼬
即sm^cos^j sm^sm^ 阿佻
严V 2宀2八“
例4求过直线，且与曲面-相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为
-'/. _：, - - 2 1° ; I - I
5
即「；" ■ ' I -'，
其法向量为--.
F（鬲M）= 2/ - ” + 證-1
记-,则
F；5,沪*^>2
设所求的切平面的切点为• '■" -1-…，则曲面上J •处的法向量为7 -' ^■■，|-'.
且有
3 + /t 2-2
由(1)、(3)解得
代入(2)得
e -^4-3 = 0
则所求切平面方程为
3x-2y -z-5-^ 3(J +丿 +z) ■ 0
或…'-- 1 .■- .■- - '■
即 6 x + y + 2 z = 5 或 10 x + 5 y + 6 z = 5.
上任一点处的切平面都过原点，其中 f (x )为可微函数. f —■ =/ --r
I K \ J ：
故曲面上点'1 °」处的法向量为(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O (1)
2^1 2l -1 15
解得 t 1 = 1, t 2 = 3 ，故 入 2=7.
例5试证曲面
则过曲面上点-Ll■■- - ■■■'■ - 的切平面方程为
整理后得
f£y-^f
0x J o/ ^0
注意到•丿，从上述方程得切平面方程为
可知其必定过原点
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