浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形(3).docx
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节
EB CAD G B CAFE OB C DA 浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节 两个三角形相似的判定【课本相关知识点】 相似三角形的几个判定：1、 的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
【补充】：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似2、有 角对应相等的两个三角形相似。
3、两边 ，且 的两个三角形相似。
4、三边 的两个三角形相似。
【典型例题】【题型一】判断两三角形是否相似（利用相似三角形的判定定理）现在我们再也不需要利用两个三角形相似的定义来判断它们相似，因为那样做太繁琐了。
1、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4；A 1B 1=24.5，B 1C 1=17.5，C 1A 1=28本题可以根据 的两个三角形相似来判定。
这两个三角形 （填相似或不相似）【题型二】利用相似三角形求线段的长度1、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。
若DB=9，求BM 的长【题型三】利用相似三角形证明线段比例式或等积式1、如图，四边形ABCD 内接于圆O ，E 为BA ，CD 延长线的交点。
（1）求证：△EDA ∽△EBC（2）求证：AD ﹒CE=BC ﹒AE【题型四】利用相似三角形解决实际生活问题1、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1OC OD OA OB n==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．【题型五】相似三角形中的“存在性”问题1、如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接FC （AB ＞AE ） （1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设ABk BC=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。
浙教版数学九年级上册《4.3 相似三角形》教案
浙教版数学九年级上册《4.3 相似三角形》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《4.3 相似三角形》是学生在学习了三角形的基本概念、性质以及三角形的全等之后的内容。
本节内容主要介绍相似三角形的定义、性质以及判定方法，旨在让学生理解和掌握相似三角形的知识，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但学生在学习全等三角形时，对两个三角形完全相同的概念可能存在一定的理解困难，因此在教学过程中，需要加强对学生的引导，让学生理解和掌握相似三角形的定义和性质。
三. 教学目标1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质。
2.学会用相似三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。
2.相似三角形的判定方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握相似三角形的知识。
六. 教学准备1.教学课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾三角形的基本概念和性质，引导学生思考：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不同，我们应该如何称呼这两个三角形？2.呈现（10分钟）展示一组相似的三角形，引导学生观察并发现它们的形状相同，但大小不同。
教师引导学生用语言描述相似三角形的特征，从而得出相似三角形的定义。
3.操练（15分钟）学生分组进行练习，运用相似三角形的性质判断给定的三角形是否相似。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些实际问题，让学生运用相似三角形的知识解决。
例如：一个三角形的底边长为8cm，高为6cm，求这个三角形面积。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：相似三角形的判定方法有哪些？学生通过小组讨论，得出相似三角形的判定方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强化对相似三角形概念和性质的理解。
新浙教版九年级上4.3相似三角形
C O C B
A
65°
第2题 7、如图，AB，CD相交于点0, △AOC∽△BOD 。 （1）如果OC：OD＝1：2,AC＝5,求BD的长； （2）如果∠A＝35°, ∠AOC＝100°,求∠D的度数。
B
D
第1题
ห้องสมุดไป่ตู้
小明打算制作两个相似的三角形框架，其中
一个三角形框架的三边长分别为4cm，6cm，9cm。
如图，方格中的△ABC与△A′B′C′ A
相似三角形概念： 对应角相等,对应边成 B :在表示三角形 注意 比例的两个三角形,叫 相似时 , 一般对应的 做相似三角形. B′ 字母写在对应的位置 几何语言: 上. C
A′
C′
相似用符号“∽”来表示 ,读做“相似 ∵∠A′=∠ ∠B′=∠B, ∠ C′= ∠C, 问题讨论 1:A, △A′B′C′与△ ABC 对应角之间 于”A′B′ ? 对应角相等 有什么关系 B′C′ ABC相似 A′C′ 如△A′B′C′与△ , = = AC ABC对应边之间 AB2: △A′B′C′与△ BC 问题讨论 记作 “ △A′B′C′∽△ ABC ” 对应边成比例 有什么关系 ? ∽△ABC ∴△A′B′C′
已知另一个三角形一条边长度为3cm， 则余下的那两条边的长度,你能帮助他确定吗？
A 9cm 6cm B 4cm C
一个钢筋三脚架长分别是20 cm，50 cm， 60 cm.现要再做一个与其相似的钢筋三脚架， 而只有长为 30 cm和50 cm的两根钢筋，要 求以其中一根为一边 ， 从另一根上截下两 段(允许有余料)，作为其余两边，则不同的 截法有多少种？请说明理由．
1、若ABC∽ A ' B 'C '，相似比为k (k1),则k的值应是（ ） B (A)A: A' (B)BC : B ' C ' (C) A ' : A (D)A ' B ' : AB 2、若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形必________. 全等 3、已知ABC∽ A ' B ' C ',如果A=55° , B=100°,则
4.3 相似三角形九年级上册数学浙教版
[解析] ， ， . ， .
(2)结合图形确定.
(1)通过“”确定.用“”连结的两个三角形对应顶点是确定的.
例题点拨
确定相似三角形对应关系的两种方法
中考常考考点
难度
常考题型
考点：相似三角形的概念及性质.
★★★
选择题、填空题
考点 相似三角形的性质
典例3 （2022·绍兴中考）将一张以 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是 ( )
依据定义判断两个三角形是否相似时，对应边成比例，对应角相等，两者缺一不可
（2） 在上边的网格内再画一个三角形，使它与 相似，并求出其相似比.
解：如图， 与 相似，它们的相似比是 .
知识点2 相似三角形的性质 重点
1.性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.几何语言：如图.
， ， ，பைடு நூலகம் ， .
链接教材 本题取材于教材第128页例2，主要考查了利用相似三角形的性质求线段的长.教材例题考查得很基础，直接利用对应边成比例列出比例式求解即可，而中考真题考查难度较大，需要先画出各种情况的草图，再列比例式求线段长，不仅情况多样，计算难度也较大.得分的关键是：①分析出三种情况；②列出比例式；③正确解方程组.
2.几何语言：如图， ， ， ， ， 与 的相似比是 或 ， .
，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点
注意 （1）在用符号“ ”表示两个三角形相似时，都把对应顶点写在对应位置上；（2）相似比具有顺序性，若 与 的相似比是 ，则 与 的相似比是 .
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4．3 相似三角形1. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，若AB ＝3，A ′B ′＝1.2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是(B ) A. 25 B. 52 C. 57 D. 272．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，下列关于△ABC 与△A 2B 2C 2关系的结论正确的是(C )A ．全等B ．面积相等C ．相似D ．面积不相等3．已知△ABC ∽△DEF ，∠A ＝∠D ＝30°，∠B ＝50°，AC 与DF 是对应边，则∠F 等于(C )A ．50°B ．80°C ．100°D ．150°4．在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (0，2)，B (1，0)，点P 是反比例函数y ＝－1x图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q .若以点O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，则符合条件的点P 共有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 已知△ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最大边为18 cm ，那么△A ′B ′C ′的最小边为__6__cm.6. 已知△ACB 和△BDC 均为直角三角形，其中∠ACB ＝∠D ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，若两直角三角形相似，则BD 的长为14413或6013． 7．如图表示△AOB 和它缩小后得到的△COD ，它们的相似比为2∶1．,(第7题)) ,(第8题))8. 如图，点D 在AB 上，已知△ABC ∽△ACD ，AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，则AB 的长为__92__cm. 9．已知在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D ，E 分别在AB ，AC 上．如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，且相似比为13，求AD ，AE 的长．【解】 (1)如解图①.当△ADE ∽△ABC 时，有AD AB ＝AE AC ＝13， 即AD 8＝AE 6＝13，∴AD ＝83，AE ＝2. ,(第9题解))(2)如解图②.当△ADE ∽△ACB 时，有AE AB ＝AD AC ＝13， 即AE 8＝AD 6＝13，∴AE ＝83，AD ＝2.∴AD ，AE 的长分别是83，2或2，83.(第10题)10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，△ABE ∽△DEF.若AB ＝6，AE ＝6，DE ＝3，求EF 的长．【解】 ∵△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝AE DF ，即63＝6DF，解得DF ＝3. ∵∠D ＝90°，∴EF ＝ED 2＋DF 2＝32＋32＝3 2.11. 已知△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边长分别为2cm ，3cm ，4cm ，△DEF 的一边长是8cm ，求△DEF 其余两边的长．【解】 设△DEF 其余两边的长分别为x (cm)，y (cm)，且x ＞y . 由△ABC ∽△DEF ，①当△DEF 的最大边为8 cm 时，有48＝3x ＝2y，得x ＝6，y ＝4. ②当△DEF 的最小边为8cm 时，有4x ＝3y ＝28，得x ＝16，y ＝12. ③当△DEF 的最大边或最小边均不为8cm 时，有4x ＝38＝2y ，得x ＝323，y ＝163. 综上所述，△DEF 其余两边分别是6cm 和4cm 或16cm 和12cm 或323 cm 和163cm. 12. 若△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，则△ABC 与△A 2B 2C 2是否也相似？请说明理由．【解】 相似．理由如下：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，∴∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1， 且AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CA C 1A 1. 又∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴∠A 1＝∠A 2，∠B 1＝∠B 2，∠C 1＝∠C 2，且A 1B 1A 2B 2＝B 1C 1B 2C 2＝C 1A 1C 2A 2. 设A 1B 1A 2B 2＝B 1C 1B 2C 2＝C 1A 1C 2A 2＝k ， ∴A 1B 1＝kA 2B 2，B 1C 1＝kB 2C 2，C 1A 1＝kC 2A 2.∴∠A ＝∠A 2，∠B ＝∠B 2，∠C ＝∠C 2， 且AB kA 2B 2＝BC kB 2C 2＝CA kC 2A 2，即AB A 2B 2＝BC B 2C 2＝CA C 2A 2. ∴△ABC 与△A 2B 2C 2的对应角相等，对应边成比例，∴△ABC ∽△A 2B 2C 2.13．如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝30°，∠B ′＝60°，AB ＝4，AC ＝2 3，A ′C ′＝4 3，B ′C ′＝4.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.,(第13题)) 【解】在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝2 3，∴BC＝AB2－AC2＝2.在Rt△A′B′C′中，∵A′C′＝4 3，B′C′＝4，∴A′B′＝A′C′2＋B′C′2＝8.∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.同理，∠A′＝30°.∴∠A＝∠A′＝30°，∠B＝∠B′＝60°，∠C＝∠C′＝90°，ABA′B′＝ACA′C′＝BCB′C′＝12，∴△ABC∽△A′B′C′.初中数学试卷。
4.3相似三角形
学科网
相似三角形的对应
A
角相等,对应边成比例.
相似三角形对应边的 B 比,叫做两个相似三角形
的相似比(或相似系数) 注意:两个三角B′
如图，A′B′
AB
1
=2
形的前后C顺序.
则△A′B′C′与△ABC的相似比为 1
2
而△ABC与△A′B′C′的相似比为2
A′ C′
找对应边 找对应角
例1:已知:如图,D,E分别是AB,AC边的中点.
相似的传递性
1.概念：对应角相等, 对应边成比例的两个三角形, 叫做相似三角形。
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
2.性质：相似三角形的对应角相等, 对应边对应成比例. 相似比：相似三角形对应边的比
3.相似三角形的几种基本图形
求证:△ADE∽△ABC.
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥=
1 2
BC
D
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
Zx.xk
B
在△ADE和△ABC中，
A E C
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
DE BC
=
AD AB
=ABC （相似三角形的定义）
相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法.
浙教版九上 4.3相似三角形的判定 课件
3、课堂练习。
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，
∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？
A/
A/ A
A
550
550
750 500
750
B
C B/
C/
B
C B/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和
A
A/
ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么
ΔABC∽ΔA/B/C/。
② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么
ΔABC∽ΔA/B/C/。
B
C B/
C/
4、例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｅ
６、延伸练习。 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
A
A
FE
B
DC
E F
D
C
课外思考题：
如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连
2、例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF
A
浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)
相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图 第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。
浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》说课稿1
浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》说课稿1一. 教材分析浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》是本册教材中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了三角形的性质，如三角形的内角和定理，三角形的边长关系等。
本节课通过引入相似三角形的概念，引导学生探究相似三角形的性质，进一步培养学生的几何思维和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的定义和判定，以及相似三角形的性质，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索相似三角形的性质，提高学生的几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的定义和判定方法，理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的定义和判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：相似三角形的性质的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示相似三角形的相关性质，帮助学生更好地理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考三角形相似的判定方法。
2.新课导入：介绍相似三角形的定义和判定方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索相似三角形的性质。
3.案例分析：分析一些典型的案例，使学生更好地理解和掌握相似三角形的性质。
4.巩固练习：布置一些相关的练习题，让学生自主完成，巩固所学知识。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调相似三角形的性质和判定方法。
4.5 相似三角形的性质及其应用(3)
2.4m
F 1.47m D
E
2.8m
B
小商在树前面的地面上平放一面镜子（E），观测者
沿着直线BE后退到点D，调整位置使恰好在镜子里看
A
到树梢顶点A.测量出：BE=8m DE=2.8m CD=1.6m
方法二：利用镜子的反射。（入射角等于反射角）
C
1.6m
D 2.8m E
xm
8m
B
方法三：利用标杆
小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，
解:设高楼的高度为X米，则
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
1.8 3
60
2、 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时 刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的 影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
新浙教版数学九年级（上）
4.5 相似三角形的性质及其应用（3）
1．三角形中的“三线”与相似比 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的
比、都___等__于___相似比． 2．周长与相似比 (1)相似三角形周长的比___等__于___相似比． (2)相似多边形周长的比___等__于___相似比． 3．面积比与相似比 (1)相似三角形面积的比等于相似比的___平__方___． (2)相似多边形面积的比等于相似比的___平__方___．
浙教版九年级上册数学：4.3 相似三角形
由 F1L1=F2L2
∵L1 〉 L2
∴F1 〈 F2
F1
这是省力杠杆
l2
o
l1
F2
4.3 相似三角形
A
A′
B
B′
C′ C
全等变换 平移
AD G
B
E
A
C
F
D
轴对称
B
E
F
C
B'
C
旋转
A
A' B
问题讨论1: 一.合作学习,探索新知
△A′B′C′与△ABC
,x=
,y=
,
△DEF和△ABC的相似比为
.
A
y
18
D 12
x
40° C
E
a
F
B
2a
2.如图AB，CD相交于点0,△AOC∽ △BOD .
（1）如果OC：OD＝1：2,AC＝5,求BD的长；
（2）如果∠A＝35°, ∠AOC＝100°,求∠D的度数.
E
D
A
A
B
C
B
D
C
3.已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB= Rt∠,AC=BC, CD⊥AB于点D. 求证:△ACD∽ △ABC.
3.如图3，已知△ABC∽△CDE,写出对应角，以及
对应边成比例的比例式.并求出△ABC和△CDE相
似比.
A
1
1
E
图3
B
C
D
三角形的前后次序不同，所
得相似比不同(除全等外)。
四、运用新知，学以致用
例1、如图4,D,E分别是△ABC的边BA、CA边上的
浙教版数学九上课件4.3相似三角形
（３）所有的正三角形是不是相 似三角形？
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问题1：这两个三角形是否为相似形？
相似形定义：我们把形状相同的两个图 形称为相似形。
观察左图中两 幅图形的形状 和大小有什么 关系？
△ABC与△A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△A'B'C'
A B
C'
读作：
△ABC相似于△A'B'C' A'
B
注意 在写两个三角形相似时应把表
示对应顶点的字母写在对应的 位置上。
用符号语言表示：
C
A
B
C'
∵ ∠A=∠A‘、∠B=∠B’、 ∠C=C‘，
AB BC CA A' B' B'C' C' A'
∴△ABC∽△A'B'C'
A'
B' （相似三角形的定义可以作为三
角形相似的一种判定方法。）
问题2
A
2cm
D
3cm
BCEຫໍສະໝຸດ F已知△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm
用数学符号表示：
A
∵DE∥BC
E
D
D
E ∴ΔADE∽ΔABC A
B
C
(1)
B
C
(2)
问题
三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否 相似？ 相似比是多少？
A
D
E
B
C
问题
已知：如图，AB∥EF∥CD，则△AOB与
浙教版数学九年级上册相似三角形课件
（2）
（1）
130页课后作业第4题
2.如图，△ABC∽ △ACD,点D在AB上,已 知AC=3cm,AD=2cm，求AB的长
130页课后作业第5题
如图：矩形ABCD, △ABE∽△DEF,若AB=6， AE=6，DE=3，求EF的长度
类似三角形定义：
我们把对应角相等、对应边成比例 的两个
三角形叫做类似三角形.
表示为： △ABC∽△ A'
几何语言：
A'
B'
∵ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C= ∠ C' AB BC CA A' B' B'C' C' A'
∴△ABC∽△A'B'C'
类似三角形的性质： 类似三角形的对应角相等,对应边成比例.
几何语言：
C ∵ △ABC∽△A'B'C'
∴ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C= ∠ C'
A
B
C'
AB BC CA A' B' B'C' C' A'
类似三角形对应边的
比称之为类似比
A'
B'
三角形的前后次序不
同，所得类似比不同
A
2cm
D
3cm
B
C
E
F
已知:△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm
求证:△ADE∽ △ABC.
A
D 1 2E
B
C
如图,D、E分别是△ABC的AB、AC边上的
点,△ABC∽ △ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9cm.
《浙教版数学九年级上册》4.3 相似三角形
6.4 8
所以(suǒyǐ)CD＝AC－AD＝10－6.4＝3.6. 点拨：解答本题时，根据相似三角形的性质列出比
例式求解即可．
（来自(lái zì)《点拨》）
第十七页，共23页。
知2－练
形的一边所以(suǒyǐ)△A′B′C′与△ABC的相似比＝ .
与后一个三角形对应边的比，要（注来意自(前lá后i z顺ì序)《.点拨》）
第十一页，共23页。
知1－练
1 下列命题(mìng tí)中，是真命题(mìng tí)的是
()
A．锐角三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．等腰三角形都相似
D．等边三角形都相似
第二十二页，共23页。
内容(nèiróng)总结
第四章 相似三角形。要找对相似三角形的对应角、对应边 .。长边对长边、短边对短 边.。下列命题正确的是( )。方法(fāngfǎ)规律：本题运用了定义法，由相似三角形的定
No 义，判。的三个角是否分别对应相等，三条边是否对应。100°，则∠C′的度数是( )。解
（来自(lái zì)《典中点》）
第十二页，共23页。
知1－练
2 已知△ABC的三边长分别为 ，2 ，62，△A′B′C′
的两边长分别是1和 3，如果△ABC与△A′B′C′相
似，那么(nà me)△A′B′C′的第三边长应该是( )
3
A2.
B. 2
C.6
D. 3
2
2
3
3 若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝1，A′B′＝2 ，
2．相似三角形的定义既是相第似四页，三共23页角。 形的特征，又可以作为判定
4.3 相似三角形 课件(共25张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出
相似比.
A
D
C
B
如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
A
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
D
解：∵△ABC∽△ACD，
A
D
B
E
C
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
A
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
ቋ
=
=
=
⇒△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).
B
E
C
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，
B
例3 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角
形相似吗？为什么？
解：相似. 理由如下：
设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.
由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∠C=∠C1，
=
=
.
由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=∠A2，
边是对应边；
④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的
角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它
们的相似比是多少？
浙教版数学九年级上册4.3 相似三角形.docx
4.3 相似三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知△ABC∼△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A. 34B. 43C. 916D. 1692. 两个相似三角形的对应边分别为15 cm和23 cm，它们的周长差为40 cm，则这两个三角形的周长分别为( )A. 75 cm，115 cmB. 60 cm，100 cmC. 85 cm，125 cmD. 45 cm，85 cm3. 已知两个相似三角形的周长分别是8和6，则它们的面积比是( )A. 4:3B. 16:9C. 2:√3D. √3:√24. 如图，已知一次函数y=−12x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B，点C在轴上，AC=4，第一象限内有一个点P，且PC⊥x轴于点C，若以点P、A、C为顶点的三角形与△OAB相似，则点P的坐标为( )A. (4,8)B. (4,8)或(4,2)C. (6,8)D. (6,8)和(6,2)5. 在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE:ED=3:1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF:S四边形ABCE为( )A. 3:4B. 4:3C. 7:9D. 9:76. 如图所示，在正方形网格上，若△ABC∽△PBD，则点P的位置在( )A. P1B. P2C. P3D. P47. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位： cm）分别为( )A. 10，25B. 10，36或12，36C. 12，36D. 10，25或12，369. 如图所示，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点且DE∥BC，若S△ADE:S四边形DBCE= 1:8，那么AE:AC等于( )A. 12B. 13C. 18D. 1910. 如图，已知点A(4,0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于( )．A. √5B. 43√5 C. 3 D. 4二、填空题（共10小题；共50分）11. 若两个相似三角形的面积比为1:4，则这两个相似三角形的周长比是．12. 若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．13. 已知△ABC∽△AʹBʹCʹ相似比34为，AD，AʹDʹ分别是它们的对应角平分线，AD=6 cm，则AʹDʹ= cm．14. 如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．15. 如图，△ABC中，DE∥BC，AE:EB=2:3，则△AED的面积与四边形DEBC的面积之比为．16. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90∘），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为．17. 如图，已知△ABC∽△ACP，∠A=70∘，∠APC=65∘，则∠B=．18. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=．19. 如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．20. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图所示，在5×5的方格纸中，作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．22. 如图，△ABC与△AʹBʹCʹ相似，AD，BE是△ABC的高，AʹDʹ，BʹEʹ是△AʹBʹCʹ的高．求证：ADAʹDʹ=BEBʹEʹ．23. 如图，已知△ABC，作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分．要使划分成的三角形与四边形的面积之比为1:2，可怎样作?如果要使划分成的两部分的面积之比为1:n呢?24. 某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木，如图，其中AD∥BC，AD=10 m，BC=20 m．Ⅰ他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8 元/m2．当△AMD地带上种满太阳花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△CMB地带所需要的费用．Ⅱ若其余地带有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，价格分别为12 元/m2和10 元/m2，则应该选择哪种花木可以刚好用完所筹集的资金?25. 已知：如图，一次函数y=−x−2的图象与二次函数y=2x2+2x−4的图象与x轴交于同一点A，且与y轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C 组成三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．答案第一部分1. A2. A3. B4. D5. D6. C7. C8. D9. B 10. A第二部分11. 1:212. 5:413. 814. 4.8或40315. 4:2116. 717. 45∘18. 319. 16520. (4,4)或(5,2)第三部分21. ∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠1=∠3，∵∠C=∠E，∠DOC=∠AOE，∴△DOC∽△AOE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．22. ∵△ABC∽△AʹBʹCʹ，AD为BC边长的高，AʹDʹ为BʹCʹ边上的高．∴ADAʹDʹ=ABAʹBʹ，同理BEBʹEʹ=ABAʹBʹ，∴ADAʹDʹ=BEBʹEʹ．23. ∵划分成的三角形与四边形的面积之比为1:2，∴划分成的三角形与原△ABC的面积之比为1:3，则边长之比为1:√3．如果面积之比为1:n，那么划分成的三角形与原三角形的边长之比为1:√n+1．24. （1）∵AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC．∴△AMD∽△CMB．∴S△AMDS△CMB =(ADBC)2=(1020)2=14．∵种植△AMD地带花了160元，∴S△AMD=160÷8=20(m2)．∴S△CMB=20×4=80(m2)．∴种满△CMB地带的花费为80×8=640(元)．（2）设△AMD的边AD上的高为ℎ1，△CMB的边BC上的高为ℎ2，梯形的高为ℎ．∵S△AMD=12×10ℎ1=20，∴ℎ1=20×2÷10=4(m)．∵ℎ1ℎ2=12，∴ℎ2=2ℎ1=2×4=8(m)．∴ℎ=ℎ1+ℎ2=4+8=12(m)．∴S梯形ABCD =12(AD+BC)⋅ℎ=12×30×12=180(m2)．∴S△AMB+S△DMC=180−20−80=80(m2)．若种植玫瑰，共需花费160+640+80×12=1760(元)，若种植茉莉，共需花费160+640+80×10=1600(元)．∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．25.令x=0，一次函数与y轴的交点B(0,−2)，二次函数与y轴的交点为D(0,−4)，∴△AOB是等腰直角三角形，BD=−2−(−4)=2，∴AB=√2+√2=2√2，∠OAB=∠OBA=45∘，∵△ABD中，∠BAD和∠ADB都不等于45∘，∠ABD=180∘−45∘=135∘，∴∠BAC和∠ABD是对应角为135∘，∴点C在点A的左边，①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴ACBD =ABAB=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，点C的坐标为(−4,0)②AC和AB是对应边时，∵△ADB∽△BCA，ACAB =ABBD=√22，∴AC=√2AB=√2×2√2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C的坐标为(−6,0) .综上所述，在x轴上有一点C(−4,0)或(−6,0)，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．初中数学试卷。
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第4章相似三角形（3）
一、选择题
1．如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． = D． =
2．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（）
A．4﹣2B．2﹣4 C．﹣D．
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S
△BDE ：S
△CDE
=1：3，则S
△DOE
：S
△AOC
的值为（）
A．B．C．D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）
A．4 B．7 C．3 D．12
5．在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（）
A ．10
B ．8
C ．9
D ．6
6．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
7．如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为h 2015．若h 1=1，则h 2015的值为（ ）
A ．
B ．
C ．1﹣
D ．2﹣
8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， =，则下列结论中正确的是（ ）
A． =B． =
C． =D． =
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
10．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
12．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．
13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点P在第二象限内，若以点P、B、O为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等的情况），则点P的坐标为．
15．如图，直线l
1、l
2
、…l
6
是一组等距的平行线，过直线l
1
上的点A作两条射线，分别与直线l
3
、l
6
相
交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．
17．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B 的坐标为 ．
18．如图，在矩形ABCD 中，BC=AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH ；②DH=2EH ；③HO=AE ；④BC ﹣BF=EH
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
19．设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；…，依此类推，则S n 可表示为 ．（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）
20．如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△ACB ，（写出一个即可）
21．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，AD=4，点P 是边AB 上一点，若△APD 与△BPC 相似，则满足条件的点P 有 个．
三、解答题
22．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）=．
23．在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（3）证明：BD2=AB2+AD•BC．
25．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
初中数学试卷。