用向量法求直线与平面所成的角教案

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(备课件

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(备课件

A.5
B.8
C. 60 13
D.13 3
【答案】C
【解析】解:以 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系, 设 B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),平面 A1BCD1 的法向量为 n =(a,b,c),则 C(0,12,
B1B n n
60 , 13
因为 B1C1∥BC,BC 平面 A1BCD1,B1C1 平面 A1BCD1,
所以 B1C1∥平面 A1BCD1,所以 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离即为点 B1 到平面 A1BCD1 的距离,
所以直线
B1C1
到平面
A1BCD1
的距离为
60 13
,故选:C.
知识点01 线面角的向量
1.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面
A1ED1 所成角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.以上都不对
【答案】B 【解析】 以点 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系,
0),D1(0,0,5), CD1
0, 12,5
, BC
x, 0, 0
,由
n n
BC CD1
,得
n n
BC a x
CD1 a 0
b0 b 12
c0 c
5
ax 0 12b
5c
0
,所以
a=0,b= 152
c,取 n
=(0,5,12),

利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角

利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角

第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角 一、异面直线所成角设AB 、CD 为异面直线,所成角为θ则=θcos练习:如图,在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是CC 1、AD 的中点,则OE 和FD 1所成角的余弦值为________.探讨:如图,正四面体A-BCD 中,E 、F 分别是BC 、AD求AE 和CF 所成角的余弦值。

例1、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱,(1)求证BD ⊥平面ACC 1A 1 (2)若二面角C 1-BD-C 的大小为︒60,求异面直线BC1与AC 所成角大小 。

(06北京文)二、直线与平面所成角1、法向量:如表示向量→a 的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作α⊥→a 。

如果α⊥→a ,那么向量→a 叫平面α的法向量。

例2,如图所示,ABCD 是直角梯形AD //BC ,︒=∠90ABC SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1 ,AD=21, (1) 求平面SBC 的一个法向量; (2) 求平面SCD 的一个法向量; (3) 求平面SAD 的一个法向量;D 1 C 1ABC DA 1B 1(4)求平面ABCD的一个法向量。

2,若AB是平面α的一条斜线,→n是α的一个法向量,设AB与α所成角为θ,则sinθ。

例3,如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,求AC1与平面BB1C1C所成角。

练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、NB 1C1、AD的中点,求直线A1D1与平面BMD1N的余弦值。

例4,如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AB=BC,AD 平面BCD所成角为30°。

(1)求AD与平面ABC所成的角;(2)AC与平面ABD所成角。

作业:1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=22,214=CD ,51=DD ,求A 1C 和B 1D 1所成角的 大小。

“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学与思考

“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学与思考

案例剖析ANLI POUXI“向量法解决直线与平面所成角问题#,/学与思考◎李琳(广州市第七十五中学,广东广州510000)立体几何模块是高中阶段学习的重点,学生在《数学必修2》的学习上,结合空间向量又在选修2-1中补充学习,这不是简单的重复学习,而是的视角对的位置关系与度量问题进行学习,而且为解决立体几何中某些用综合法解题时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些,从而进一步提升学生的空间想象能力和几观能力•教师在教学过程中如何做到既注重基础知识的教学,又能拓展学生的思维进培养学生能力的目的?笔者以“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学为例展开论述.一、教学设计(一)课前导入有的放矢由于本节课不是概念课,也不是新授课,师生已经对教材(人教A版选修2-1)《立体几何中的向量方法》进行了学习,对空间向量这个工具的使用有了一定的认识,所以笔者设计了以下三道小题给学生课前完成:1•已知空间向量a=(1,1,0),b=(#,- 1,1),若〈a,"〉=■",贝》#=().A.0或4B.0C.4D.12.已知2(3,-1,4),3(2,1,3),若子=#壶,则0点的坐标是()•A.(3-#,2#-1,4-入)B.(入,#-1,2入)C.(入,2#,2-A)D.(3#,2-#,#,)3•如图1所示,在棱长为4的正方体中,点0在上,且C+=宁C++,则直线02与平面A3CD所成角的余弦值为_______•图1习题1的设计是检测学生向量夹角公式的掌握情况,结果绝大部分学生错选成了A,究其原因是学生忽视了向量的范围,在计程中对方程平方会扩大变量的范围•如果学生在求解过程中列岀了式子:*?,注意到向量夹角为锐角时其数量积为正数,就/2/#+2可得岀#〉1,可以选岀正确答案C;习题2的设计是为后面例题1的变式做铺垫的,检测的知识点是向量共线的应用,答题效果比较好.习题3的设计是借助一个正方体求直线与平面所的余弦值,这有两个设计:其一是用向量法和综合法都很容易入手,学生可以自由选择方法,其二是题目求的是与平面所成角的余弦值,若学生用量法解题的话这里是个点,不少学生对向量法求岀的值到底是正弦值还是余弦值还有些混淆•因此,本节课的 课前导入就是通过习题帮助学生查缺补漏,并围绕本节课的教学重点进行归纳小结,让学生知识点、考点,学习程中做中有数.(二)课中题型精选典型数学教学离不开解题教学,解题教学的首要工作就是精选•高中的数学学习更多的是培养学生的思维品质,达到提升学生学习能力的目的,因此,教师选取的例题需有基础性、典型性和示范性的特征•笔者选取了如作为课堂例题:例1如图2所示,在三棱锥0-M3C中,0A丄平面ABC,AC丄3C,D为0C的中点,0A=AC=4,3C=2.N为AD 的中点,求0N与平面AD3所成角的正弦值•12用向量法求直线与平面所成角本身难度不大,学生的难点主要集中在建立空间直角坐标系和找空间点的坐标这两项•笔者选取的这道例题无论是建系还是找点的坐标学生都容""解答方也有型的功能•设计是强化用向量法求与平面所的“三步曲”:化为向量问题---进行向量运算----回到图形问题•第一步是向学生渗透化归与转化的思想,第二步考查学生的能力和综合能力,强化学生对知识的理解和掌握•为了拓展学生的思维,例题讲完后笔者设计了一道探究题:你还有哪些方法得岀N点的坐标?由于学生最容易想到直接求N点坐标,所以容易想到的方法有:用中点坐标公式求的;先找N点在底面投影再求N点坐标的;这时笔者提示学生:根据A,N,D三点共线及课前演练的第二小题,数学学习与研究2019.20案例剖析ANLI POUXI你有什么启发吗?有些学生马上领悟到可用向量共线设二入直接求岀n 点坐标进而求0N 的坐标形式;又有 学生提岀可由=+ #0?直接表示岀0N 的坐标.接下来笔者向学生提问:这些方法中各有何优缺点?我们在日后的学习和解题过程中如何快速选取更优的方法?经过学生 的思考和探讨,学生明白了:1.当且仅当点N 为中点时方可用中点坐标公式得岀N 点坐标;2.当点N 在#9'平面上的影位置 特殊(如在坐标轴上等)时可以用投影法求点N 的坐标;3.建立坐标系的方式与求点N 坐标的难度有关,比如,以2为原点比以C 为原点更好求点N 的坐标;4.无论点N 在 ( )2M 上 置,都用向量 求其坐标,且计算难度与N 点位置没有 关系.经过这样一番思考与,笔马上 学生解 1的变式 ?习:变式 在上述例题中,线段2M 上是否存在一点T ,使 得直线0T 与平面2M3所成角的正弦值为李?若存在,请6求岀T 点坐标,若不存在请说明理由.练习 如图3所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是平行四边形,4BCM = 135。

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。

2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。

3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。

二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。

2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。

3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。

4. 实例分析:求直线与平面所成的角。

三、教学重点与难点1. 教学重点:直线与平面所成的角的定义,向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。

2. 教学难点:向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。

四、教学方法1. 采用讲解法,讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。

2. 采用案例分析法,分析实例,让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。

3. 采用互动教学法,引导学生提问、讨论,提高学生对知识点的理解和运用能力。

五、教学准备1. 教学课件:制作相关的教学课件,包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。

2. 实例:准备一些直线与平面所成的角的实例,用于讲解和分析。

3. 教学工具:准备黑板、粉笔等教学工具,以便进行板书和讲解。

六、教学过程1. 导入:通过复习前期学习的直线与平面基础知识,引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的定义,解释其意义。

3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理,阐述其适用范围和优势。

4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤,通过板书和课件演示每个步骤的操作。

5. 分析实例,引导学生运用向量法求直线与平面所成的角,解答过程中注意引导学生思考和讨论。

七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题,让学生运用向量法求解。

2. 引导学生独立思考和解决问题,及时给予指导和解答疑问。

3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法,提醒学生巩固知识点。

直线与平面所成的角的教案

直线与平面所成的角的教案

直线与平面所成的角教学目标:1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。

2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。

教学重点:1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。

2. 测量直线与平面所成角的方法。

教学难点:1. 理解直线与平面所成角的定义,能够正确判断直线与平面所成的角。

2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

教学准备:1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程:一、导入(5分钟)1. 引入新课:回顾直线与平面的位置关系,思考直线与平面可以形成哪些角。

2. 提问:什么是直线与平面所成的角?它具有哪些几何特征?二、新课讲解(15分钟)1. 讲解直线与平面所成角的定义:直线与平面相交时,直线与平面内的任意一条直线所形成的角。

2. 讲解直线与平面所成角的几何特征:它是直线与平面相交的特殊角,具有大小和方向。

3. 讲解测量直线与平面所成角的方法:使用三角板和量角器。

三、实例演示(5分钟)1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

2. 让学生分组进行实践,测量不同直线与平面所成的角。

四、课堂练习(5分钟)1. 布置练习题:测量给定直线与平面所成的角。

2. 学生独立完成练习题,教师巡回指导。

五、总结与布置作业(5分钟)1. 总结本节课的主要内容:直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

2. 布置作业:巩固测量直线与平面所成角的方法,解决一些简单的问题。

教学反思:本节课通过讲解和实例演示,让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

在实践环节,学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角,解决了实际问题。

但在教学过程中,要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义,避免混淆。

可以增加一些拓展练习,提高学生的应用能力。

六、直线与平面所成角的计算教学目标:1. 理解直线与平面所成角的计算方法。

用空间向量求直线与直线、直线与平面所成的角

用空间向量求直线与直线、直线与平面所成的角

用空间向量求直线与直线、直线与平面所成的角作者:赵春祥来源:《理科考试研究·高中》2012年第03期在立体几何中,关于角的计算均可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量a、b,有cos〈a,b〉=a·b|a||b|.利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题.一、异面直线所成的角例1如图1,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成角的大小.分析利用cos〈BA1,AC〉=BA1·AC|BA1||AC|,求出向量BA1与AC的夹角〈BA1,AC〉,再根据异面直线所成的角的范围确定异面直线BA1与AC所成角.解因为BA1=BA+BB1,AC=AB+BC,所以BA1·AC=(BA+BB1)·(AB+BC)=BA·AB+BA·BC+BB1·AB+BB1·BC.因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以BA·BC=0,BB1·AB=0,BB1·BC=0,BA·AB=-a2,所以BA·AC=-a2.又cos〈BA1,AC〉=BA1·AC|BA1||AC|=-a22a×2a=-12,所以〈BA1,AC〉=120°.所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.例2如图2,ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且AE⊥PD,E为垂足,PA⊥平面ABCD,PD与平面ABCD成30°角.求异面直线AE与CD所成角的余弦值.解以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则C(a,a,0)、D(0,2a,0),CD=(-a,a,0).由PA⊥平面ABCD,知∠PDA是PD与平面ABCD所成角,所以∠PDA=30°.在Rt△ADE中,因为AD=2a,所以AE=12AD=a.过E作EF⊥AD于F,在Rt△AEF中,因为AE=a,∠EAF=60°,所以AF=12a,EF=32a,所以E(0,12a,32a).于是AE=(0,12a,32a).设AE与CD的交角为θ,则cosθ=AE·CD|AE||CD|=0×(-a)+a2×a+32a×002+(a2)2+(32)2×(-a)2+a2+02=24.即异面直线AE与CD所成角的余弦值是24.评析求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,必须把所求向量用空间的一组基向量来表示(例1),或用坐标表示(例2).另外,应注意〈a,b〉的范围是[0,π],而异面直线a与b的夹角范围是(0,π2],两种夹角不一定相等,以防出错.(见例1)二、直线与平面所成的角例2已知四面体O—ABC的各棱长都是1,E,F分别为AB,OC的中点,(1)求OE与BF所成角的余弦值;(2)求BF与面ABC所成角的正弦值.分析取OA,OB,OC为基向量,来表示出OE,BF,再根据向量的夹角公式求解.解(1)记OA=a,OB=b,OC=c,则a·b=b·c=c·a=12.OE=12(a+b),BF=12c-b.OE·BF=12(a+b)·(12c-b)=12(12a·c+12b·c-a·b-|b|2)=12(14+14-12-1)=-12,所以cos〈OE,BF〉=OE·BF|OE||BF|=-1232×32=-23.从而OE与BF所成角的余弦值为23.(2)作OO′⊥平面ABC于O′,设OO′与BF所成角为θ(0因为OO′=13(a+b+c),所以|OO′|2=19(a+b+c)2=19(|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c)=19(3+3)=23,所以|OO′|=63.而cos〈OO′,BF〉=13(a+b+c)·(12c-b)63×32=23(12a·c+12b·c+12|c|2-a·b-|b|2-b·c)=23(14+14+12-1[]2-1-12)=-23,所以cosθ=23,从而sinφ=sin(π2-θ)=cosθ=23.即BF与平面ABC所成角的正弦值是23.评析直线l与平面α的夹角φ,是直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角θ的余角,故有sinφ=cosθ=|l·n||l||n|.。

用空间向量求直线与平面所成的角

用空间向量求直线与平面所成的角
(2) 正确求得所对应点的坐标,直线的方向 向量的坐标及平面的法向量的坐标; (3)求直线的方向向量与平面的法向量的夹 角的余弦值; (4)取步骤(3)中两向量夹角的余弦值的绝对 值,其对应于线面角的正弦值;
(5) 根据题意,转化为几何结论.
在立体几何中涉及的角有异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何 法求这些角,需要经过“找(作)”、“证”、 “算” 等步骤,过程较为繁琐,若归结为求两 个向量的夹角问题,可将问题简单化。本节课, 我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即 “线面角” 的求法。
角的正弦值。
z
解:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz A(0,0,0),B1(1,0, 1),C(1, 1,0),C1 (1, 1, 1), 则B1C1 (0,1,0), AB1 (1,0,1),AC (1,1,0)
A1 B1
D1 C1
设平面AB1C的法向量为n (x,y,z)
A
Dy
一条直线 l 与一个平面 相交但不垂直,这条直线
叫做这个平面的斜线,斜线与平面的交点 A 叫做斜足,
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO ,过垂足和斜
足的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条
斜线和它在这个平面内的射别地,若 l ,则
l 与 所成的角是直角,若 l //或 l ,则 l 与 所
成的角是零角。
A
O
斜线与平面所成角的范围:
0,
2
Pn
A
O n
思考: 设平面 的法向量为 n 则
n, AP 与 的关系?
n
- n, AP
2
结论:sin cos n, AP
n
n, AP -

直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案

直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案

直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标:能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点:异线角与线面角的计算;教学难点:异线角与线面角的计算。

三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 (二)、探析新课1、法向量在求面面角中的应用:原理:一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。

2、法向量在求线面角中的应用:原理:设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1,斜线l 与平面β的法向量所成角α2,则α1与α2互余或与α2的补角互余。

(三)、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1,F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上,且E 1B 1=41A 1B 1,D 1F 1=41D 1C 1,求BE 1与DF 1所成的角的大小。

解1:(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2:(向量法)设b F D a DD ==111,4,则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3:(坐标法)设正方体棱长为4,以1,,DD DC DA 为正交基底,建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ,⋅1BE 1DF =151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点,点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解:设正方体棱长为1,以1,,DD DC DA 为单位正交基底,建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量,)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题: 在三棱锥S —ABC 中,∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°,AC =2,BC =13,SB =29(1)求证:SC ⊥BC ;(2)求SC 与AB 所成角的余弦值解:如图,取A 为原点,AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系,则有AC =2,BC =13,SB =29,得B (0,17,0)、S (0,0,23)、C (21713,174,0), ∴SC =(21713,174,-23),CB =(-21713,1713,0) (1)∵SC ·CB =0,∴SC ⊥BC (2)设SC 与AB 所成的角为α,∵AB =(0,17,0),SC ·AB =4,|SC ||AB |=417, ∴cos α=1717,即为所求 4、课堂练习:课本P45练习题1、2(四)、回顾总结:求异线角与线面角的方法,反思解题,回顾总结方法。

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案教案:用向量法求直线与平面所成的角一、教学目标1.知识目标:了解用向量法求直线与平面所成角的基本原理和方法。

2.技能目标:能够运用向量法求解直线与平面所成角的问题。

3.情感目标:培养学生思维的灵活性和创造性,激发学生对数学的兴趣。

二、教学内容1.概念讲解:直线与平面的基本概念和相互关系。

2.原理讲解:用向量法求解直线与平面的夹角的基本原理和方法。

3.实例分析:通过实例分析,引导学生掌握运用向量法求解直线与平面所成角的技巧。

4.练习与检测:组织学生进行练习和检测,巩固所学知识。

三、教学过程1.导入:通过引入直线与平面的关系,让学生初步了解直线与平面的基本概念,并激发学生的探究兴趣。

2.概念讲解:向学生介绍直线与平面的定义和相互关系,并引导学生认识直线与平面所成角的概念。

3.原理讲解:详细讲解用向量法求解直线与平面所成角的基本原理和方法,并给出相关的公式和推导过程。

4.实例分析:通过具体的例子,引导学生运用向量法求解直线与平面所成角的过程,并解析每个实例中的要点和思路。

5.练习与检测:组织学生进行一些练习题和习题检测,检测学生对于向量法求解直线与平面所成角的掌握程度。

6.总结与拓展:对本节课的内容进行总结,并引导学生拓展思考,探究其他与向量法求解直线与平面所成角相关的问题。

四、教学辅助1.教具:黑板、彩色笔。

2.教材:《高中数学教材》。

3.多媒体设备:电脑、投影仪。

五、板书设计用向量法求直线与平面所成的角1.直线与平面的基本概念和相互关系直线的定义:直线是两个方向相同的无限延伸的点的集合。

平面的定义:平面是一个无限延伸的二维几何体。

2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义:直线与平面的夹角是指直线与平面之间的最小角度。

3.用向量法求解直线与平面所成角的原理和方法向量法求解直线与平面所成角的基本原理:两个向量的夹角等于它们的点乘结果除以它们的模的乘积的反余弦函数。

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案第一章:向量基本概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的几何表示1.3 向量的运算1.4 向量的长度与方向第二章:向量投影的概念与计算2.1 向量投影的定义2.2 正投影与斜投影2.3 投影的计算方法2.4 投影在坐标系中的应用第三章:直线与平面所成角的定义与性质3.1 直线与平面所成角的定义3.2 直线与平面所成角的性质3.3 直线与平面所成角的计算方法3.4 直线与平面所成角的应用第四章:向量法求直线与平面所成的角4.1 向量法的基本思路4.2 向量法求直线与平面所成的角的步骤4.3 向量法在实际问题中的应用4.4 向量法求直线与平面所成的角的局限性第五章:练习题及解答5.1 选择题5.2 填空题5.3 解答题5.4 思考题第六章:向量法在空间几何中的应用6.1 向量法在求解空间直线与直线间的角中的应用6.2 向量法在求解空间直线与平面间的角中的应用6.3 向量法在求解空间平面与平面间的角中的应用6.4 向量法在空间几何其他问题中的应用第七章:空间向量与解析几何的综合应用7.1 解析几何的基本概念回顾7.2 空间向量与解析几何的关联7.3 向量法在解析几何问题中的应用7.4 解析几何在向量法中的应用第八章:数值计算方法在向量法中的应用8.1 数值计算方法的基本概念8.2 数值计算方法在向量法中的应用8.3 常见数值计算方法的比较与选择8.4 数值计算方法在实际问题中的应用第九章:案例分析与实践9.1 用向量法求直线与平面所成的角的实际案例分析9.2 向量法在建筑设计中的应用9.3 向量法在导航中的应用9.4 向量法在其他领域中的应用第十章:总结与拓展10.1 本课程的主要内容和收获10.2 向量法在未来的发展趋势10.3 向量法在相关领域的拓展10.4 课程实践与思考重点和难点解析一、向量基本概念回顾难点解析:向量的概念理解,向量的几何表示与坐标表示的转换。

利用向量法求直线与平面所成角

利用向量法求直线与平面所成角

直线与平面所成角利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为:①建立空间直角坐标系;②求直线的方向向量a ;③求平面α的法向量u ; ④计算:设线面角为θ,则sin a u a uθ⋅=;⑤作答.20163如图,四棱锥ABCD P -中,PA ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC =3,PA=BC =4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面PAB ;(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.答题样板(Ⅰ)由已知得232==AD AM ,取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //,221==BC TN .又BC AD //,故TN 平行且等于AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //. ∵⊂AT 平面PAB ,⊄MN 平面PAB ,∴//MN 平面PAB . (Ⅱ)取BC 的中点E ,连结AE ,由AC AB =得BC AE ⊥, 从而ADAE ⊥,且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系xyz A -,由题意知,)4,0,0(P ,)0,2,0(M ,)0,2,5(C ,)2,1,25(N , (0,2,4)PM =-,)2,1,25(-=PN ,)2,1,25(=AN .设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PN n PM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z y ,可取(0,2,1)n =,55021124,5,22n AN n AN ⋅=⨯+⨯+⨯=== 于是||485|cos ,|5||||52n AN n AN n AN ⋅<>===⨯故直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为2558.ABαOnθ20131如图,三棱柱111C B A ABC -中,CB CA =,1AA AB =,1BAA ∠=60°.(Ⅰ)证明AB ⊥C A 1; (Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =,求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 理解向量法求直线与平面所成角的原理。

2. 学会运用向量法求直线与平面所成的角。

3. 能够运用向量法解决实际问题。

二、教学内容1. 向量法求直线与平面所成角的原理。

2. 向量法求直线与平面所成角的步骤。

3. 向量法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点:向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。

2. 教学难点:如何运用向量法解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲解法,讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。

2. 采用案例分析法,分析向量法在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法,引导学生积极参与讨论和练习。

五、教学过程1. 导入:通过生活中的实例,引发学生对直线与平面所成角的兴趣。

2. 讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。

3. 案例分析:分析向量法在实际问题中的应用,如在几何、物理、工程等领域中的应用。

4. 课堂练习:布置一些相关的练习题,让学生巩固所学知识。

5. 总结:对本节课的主要内容进行总结,强调向量法在解决直线与平面所成角问题中的应用。

6. 作业布置:布置一些有关的作业,让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习的完成情况:观察学生在课堂练习中的表现,了解他们对向量法求直线与平面所成角的理解和掌握程度。

2. 作业的完成情况:检查学生作业的完成质量,评估他们对课堂所学知识的巩固情况。

3. 学生提问和参与讨论的情况:鼓励学生在课堂上提问和参与讨论,通过他们的提问和讨论了解他们对知识的掌握程度。

七、教学反思在课后,对课堂教学进行反思,分析教学过程中的优点和不足之处,并根据学生的反馈调整教学方法和内容,以便更好地满足学生的学习需求。

八、教学拓展1. 向量法在立体几何中的应用:引导学生进一步学习向量法在立体几何中的其它应用,如求直线与直线、直线与球、球与球等所成的角。

2. 向量法在实际问题中的应用:引导学生关注向量法在其他学科和实际问题中的应用,如物理学、工程学等。

利用空间向量求直线与平面所成角的问题

利用空间向量求直线与平面所成角的问题

利用向量求线面角的方法: (1)通过平面的法向量来求:求出斜线的方向向量与平 面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线与平面所成的 角; (2)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向 量,转化为求两个向量的夹已知三棱柱 ABC-A1B1C1,平面 A1ACC1⊥平面 ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F 分 别是 AC,A1B1 的中点. (1)证明:EF⊥BC; (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
【练习 2】(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图,四棱锥 P-ABCD 的底 面为正方形,PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线 为 l. (1)证明:l⊥平面 PDC; (2)已知 PD=AD=1,Q 为 l 上的点,求 PB 与平面 QCD 所成 角的正弦值的最大值.
1、直线与平面所成角定义:一条直线和它在平面上的射
影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直
线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面
平行或在平面内,则它们所成的角是0°。
l
P
l
m

α
O
A α
n α
2、直线与平面所成角的范围: [0, ]
2
3、直线与平面所成角公式:
l P Aθ

用空间向量求解线线角、线面角教学设计.

用空间向量求解线线角、线面角教学设计.

《用空间向量求解线线角、线面角》
高二数学组
孟文静
《用空间向量求解线线角、线面角》教学设计
二、 新知探究 1.求异面直线所成的角 设两异面直线m ,n 所成的角为θ(θϵ ),它们的方向向量a →,b →所成的角为φ,如下图所示,
则θ与φ存在什么数量关系?
2.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a →,平面α的法向量为n →,
所求直线与平面所成的角为θ,(θϵ ),a →与n →的夹角为φ,如下图所示,则θ与φ存在什么数量关系?
三、合作探究,问题解决
例1、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=√3,求异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.
例2、如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为√2a,求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小.
例3、在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若P A=PD=AB=DC,∠APD=90°,求AP与侧面PBC所成角的余弦值.。

新课标高二数学运用空间向量求距离和角 教案

新课标高二数学运用空间向量求距离和角 教案

高二数学运用空间向量求距离和角立体几何中经常遇到求空间角和距离问题,这是立几学习中的一大难点,解决这类问题通常是作出角和垂线段,将空间问题转化为平面问题求解,但有些题目不易作出角和垂线段,如果应用法向量结合向量的坐标运算就能有效地解决这个难点。

先看下面两个事实:定理:平面外一点Р到这个平面的距离等于以点Р为起点和平面内任意一点A 为终点的向量PA ,在这个平面的法向量n 上的射影的长度d=|nn PA ⋅|证明:设点P 是平面α外一点,点A €α,n 为平面α的法向量,如图,若PA 与n 共线,结论显然成立。

若PA 与n 不共线,平移n 使其起点与点A 重合,作点P 在n 上的射影点1P ,则A P 1为向量PA 在n 方向上的射影,且A P 1=|PA |cos<PA •n > ,又PA •n =|PA ||n | cos<PA •n >所以A P 1=nn PA ⋅,而从点P 到平面а的距离是 d=|nn PA ⋅|推论:异面直线L 1和 L 2间的距离,等于分别从L 1上一点M 和L 2上一点N 为起点和终点的向量MN 在L 1和L 2的公共法向量n 上的射影的长度 |MN |=|nn MN ⋅| 。

基于以上事实,我们就可应用法向量来求解立体几何中的空间角和距离问题。

例1 如图3,在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点。

(1) 求点D 到BE 的距离; (2) 求点D 到面BEF 的距离; (3) 求BD 与面BEF 所成的角。

解:(1)以点A 为原点建立如图3所示的空间直角坐标系,因E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点,所以B (4,0,0),E (2,0,4),D (0,4,0),则BE =(-2,0,4),BD =(-4,4,0)∴BD 在BE 方向上的射影为BEBE BD ⋅=54∴点D 到BE 的距离为 d=55125422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-BD (2)设n =(x,y,1)为平面BEF 的法向量,则n ⊥BE ,n ⊥BF ,BF =(0,2,4),∴BE n •=-2x+4=0, BF n •=2y+4=0∴x=2, y=-2∴n =(2,-2,1) ∴向量BD 在n 方向上的射影为316-=⋅nn BD ∴点D 到面BEF 的距离为316. (3)设BD 与面BEF 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n BD ⋅>|=|nBD n BD ⋅⋅|=|32416⋅-|=232∴BD 与面BEF 所成的角是arcsin232。

利用空间向量求直线与平面所成角

利用空间向量求直线与平面所成角

OS n
2
z 建系,设点 A1 C1 D1
A(0,0,0) B1(1,0,1)
C(1,1,0)
C1(1,1,1)
B1 A
求直线的方向向量
D
B1C1 (0,1,0) AC (1,1,0) AB1 (1,0,1)
设平面的法向量为 n ( x, y, z)
x y 0 AC n 0 x z 0 AB1 n 0
练习:如图,直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥平面 OABC,OS=OC=BC=1,OA=2. 求OS与平面SAB所成角α的正弦值. z
解:以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示 则O(0,0,0) A(2,0,0) B(1,1,0) S(0,0,1)
SA =(2,0,-1)
n
sin cos

A


A

2
cos( ) cos 2
n
a
a
P
P


n
sin cos

A

A

所以 sin cos
a, n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例:如图:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值. 解:以点A为坐标原点建立如图所示空间直 角坐标系
注意是线面角 令x 1, 得 n (1,1,1) 的正弦值
找或求平面的法向量
B C
sin 设直线B1C1与平面AB1C所成的角 为 BC n 1 3 sin cos B1C1 , n 1 1 3 1 1 1 1 B1C1 n

用向量法求直线与平面所成的角教案

用向量法求直线与平面所成的角教案

第二讲: 立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道, 立体几何是高中数学学习的一个难点, 以往学生学习立体几何时, 主要采取“形到形”的综合推理方法, 即根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线线, 线面等关系确定结果, 这种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中, 向量知识的引入, 为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。

它能利用代数方法解决立体几何问题, 体现了数形结合的思想。

并且引入向量, 对于某些立体几何问题提供通法, 避免了传统立体几何中的技巧性问题, 因此降低了学生学习的难度, 减轻了学生学习的负担, 体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。

本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。

以此强化向量的应用价值, 激发学生学习向量的兴趣, 从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角, 不需要繁杂的推理, 只需要将几何问题转化为向量的代数运算, 方便快捷。

空间角主要包括线线角、线面角和二面角, 下面对线面角的求法进行总结。

教学目标1.使学生学会求平面的法向量与直线与平面所成的角的向量方法;2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量;求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1.直线与平面所成的角: (范围: )思考:设平面 的法向量为 , 则 与 的关系?2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉与的点、直线、A B θαO n平面, 把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以与它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

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用向量法求直线与平面所
成的角教案
Prepared on 24 November 2020
第二讲:立体几何中的向量方法
——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。

它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。

并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。

本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。

以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。

空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线面角的求法进行总结。

教学目标
1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法;
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量;
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点
求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识:
1、直线与平面所成的角:(范围:]2,0[π
θ∈)
思考:设平面α的法向量为n ,则><BA n ,与θ的关系
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

(回到图形) Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值.
分析:直线与平面所成的角步骤: 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角
n
1)
(图2)
x
y
Z
A
y
x
C
B
1
A D 1
B 1
C 解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
由⎩⎨
⎧==⇒⎩
⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ,)0,0,1(=∴n
设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1. 点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系,通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其锐角就是斜线和平面所成的角。

练习1:如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,求BB 1与平面AB 1C 1所成的角. 解:建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .
则A (-1,0,0),B (0,
3,0),
B 1(0,3,3),
C 1(1,0,3).
设平面AB 1C 1的一个法向量为
(,,)n x y z =,

令z =2,得(3,3,2)n =-. 设直线BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ,
则sin θ=|cos 〈n ,BB 1→
〉|=|n ·BB 1→
||n ||BB 1→|
=64×3=1
2
.
又0<θ≤π2, ∴θ=π
6
.
练习2:如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点.求1BC 和面EFBD 所成的角.
解:如图建立空间坐标系D xyz -, 则(1,0,2)DE =,(2,2,0)DB = 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =
由00
DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和平面EFBD 所成的角为4
π. Ⅲ、小结与收获
1、直线与平面所成的角的正弦值 |
||||||,cos |sin AB n AB n AB n ⋅=><=θ
2、求平面法向量的方法. Ⅳ、课后练习 1、
正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.
求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
B A
D C
1
B z
y
1
A 1
D 1
C A B。

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