高中数学知识点精讲精析 费马大定理
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲费马大定理
成立。
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高斯的学生__库__默__尔__证明了对于所有小于100的
素数指数n，定理成立。
1955年左右，日本数学家_谷__山__丰___和_志__村__五__郎__ 提出了谷山—志村猜想。 1983年，德国数学家_法__尔__廷__斯___证明了莫代尔猜
A．n＝3
B．n＝5
C．n＝7
D．小于100的素数指数n
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11.1986年，美国数学家里贝特指出( C )
A．只要能解决莫代尔猜想，就能解决费马大 定理 B．只要能解决弗雷猜想，就能解决费马大定 理 C．只要能解决谷山—志村猜想，就能解决费 马大定理 D．只要能解决库默尔猜想，就能解决费马大 定理
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1．满足勾股定理x2＋y2＝z2的_正__整__数___解叫作勾
股数。 2．“普林顿322”上就列出了15组勾股数，“普 林顿322”是出土的__古__巴__比__伦__王国时期的 ___泥__版___，年代为公元前1900年—公元前1600年。
3．丢番图是_古__希__腊___后期最伟大的数学家之一， 其著作《算术》以解_不__定__方__程__著称，其中最为 著名的是: “_将__一__个__已__知__的__平__方__数__分__成__两__个__平__方__数__”。
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1．古巴比伦、古代中国、古希腊都对勾股数进 行过研究：古巴比伦的“普林顿322”列出了15 组勾股数；中国的《周髀算经》提到了“勾广三， 股修四，径隅五”；古希腊的毕达哥拉斯学派深 入研究了勾股定理和勾股数。
2．1637年左右法国数学家费马在阅读丢番图的 《算术》一书时，对“将一个已知的平方数分成 两个平方数”写了一段批语，提出了费马猜想：
数学奇妙故事知识点总结
数学奇妙故事知识点总结数学在我们生活中无处不在，它既是一门学科，又是一种思维方式。
从古代到现代，数学都深深地影响着人类文明的发展。
在数学的世界里，有许多奇妙的故事和知识点，下面我们将对一些数学奇妙故事中的知识点进行总结。
1. 数学奇妙故事：费马大定理费马大定理是数学史上一个著名的故事，它由法国数学家皮埃尔·费马在17世纪提出，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
这个定理的内容是：对于任何大于2的整数n，不存在满足a^n + b^n = c^n的整数a、b、c，其中a、b、c均大于0。
费马大定理一直是数学家们努力的目标，其证明历经了数百年，最终的证明是基于椭圆曲线理论和模形式的。
知识点总结：椭圆曲线理论和模形式理论是费马大定理证明的重要工具。
椭圆曲线理论是一种研究椭圆曲线的数学理论，而椭圆曲线则是一种特殊的代数曲线。
在证明费马大定理中，怀尔斯运用了椭圆曲线的性质来解决一些关键问题。
模形式是另一种重要的数学对象，它是与椭圆曲线和费马大定理相关的。
怀尔斯的证明中使用了模形式的性质，这为费马大定理的证明提供了重要的数学工具。
2. 数学奇妙故事：哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一个关于素数的著名问题，它提出了一个有趣的猜想：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
这个猜想由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在18世纪提出，至今尚未被证明。
虽然哥德巴赫猜想仍然是一个未解之谜，但是它激发了数学家们对素数的深入研究。
知识点总结：哥德巴赫猜想涉及了素数分布的问题，这是数论中的一个重要领域。
素数是只有1和自身两个因数的整数，它们在数学中扮演着重要的角色。
哥德巴赫猜想的证明涉及到了对素数分布的深入研究，包括素数定理、黎曼猜想等。
这些数论中的重要概念和理论是理解和解决哥德巴赫猜想的关键。
3. 数学奇妙故事：无穷大的奇妙之旅无穷大是一个深奥而神秘的数学概念。
在数学的世界中，无穷大是一个引人入胜的话题，涉及到了众多有趣的问题和悖论。
费马大定理——精选推荐
费马大定理17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601——1665)。
这道题是这样的：当n>2时，xn+yn=zn没有正整数解。
在数学上这称为“费马大定理”。
为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。
即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。
由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。
费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。
30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。
不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。
他的很多成果都是在他死后，由他儿子通过整理他的笔记和批注整理出来的。
好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。
他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。
后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。
他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
中国学者捅破“窗户”纸，蒋春暄质疑“费马大定理”证明一个命题弄得数学家300多年神魂颠倒，蒋春暄说：其实证明并不复杂,我只用了四张纸。
本报讯记者阎新华报道：我国学者蒋春暄对“费马大定理”证明的质疑，得到了美国ISO数学和强子力学创始人桑蒂利教授的支持。
5月1日，蒋春暄向记者出示了4月22日美国基础研究所发来的通知：他有关质疑“费马大定理”证明内容的文章正在出版中。
数学中的重要定理费马定理的证明与应用
数学中的重要定理费马定理的证明与应用费马定理是数学中的一个重要定理，它在数论和几何学中具有广泛的应用。
费马定理最初由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出，虽然他在当时没有提供证明，但这个定理一直激发着数学家们的研究兴趣。
直到大约350年后，英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年给出了这个定理的一种证明方法。
在本文中，我们将探讨费马定理的证明过程以及它在数学应用中的重要性。
费马定理的表述是：对于任何大于2的整数n，不存在整数解x，y和z使得下式成立：x^n + y^n = z^n这个定理可以在数论和几何学中具有不同的形式和应用。
下面我们将分别从这两个方面来探讨费马定理。
一、费马定理在数论中的证明和应用：费马定理在数论中有广泛的应用，特别是在模运算和素数研究方面。
在费马本人提出这个定理之后，数学家们花费了几个世纪的时间来寻找其证明。
直到1994年，怀尔斯首次给出了费马定理的一个相对较简单的证明。
怀尔斯的证明基于数学中的一个重要定理，即椭圆曲线的费马大定理。
通过将费马大定理应用于特定的椭圆曲线，他成功地证明了费马定理。
这个证明过程非常复杂，涉及到高等数学中的许多概念和技巧，超出了本文的讨论范围。
但这个证明的重要性在于它填补了费马定理的证明空白，为数学家们提供了一种更好的理解和应用费马定理的方法。
在数论中，费马定理的应用非常广泛。
它在密码学、编码理论和随机数生成等领域都起着关键作用。
例如，在密码学中，费马定理被用于构建安全的RSA加密算法，实现了信息的保密性和完整性。
此外，费马定理还在数论研究中提供了许多其他重要结果，例如费马小定理和欧拉定理。
二、费马定理在几何学中的证明和应用：除了数论，费马定理在几何学中也具有重要的应用。
费马定理在几何学中的形式是著名的费马点问题，它提出了一个有趣的几何问题：给定平面上三个点A、B、C，求一个点P，使得AP+BP+CP的总长度最小。
费马点问题在几何学中有许多应用，例如在水资源分配和城市规划中的最佳路径问题。
费马定理的知识卡片
费马定理的知识卡片费马定理是数论中的一个著名定理，由法国数学家皮埃尔·德·费玛于17世纪提出。
该定理早期并未得到完全的证明，直到1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，成为数学史上的一大突破。
费马定理的公式为：对于任意大于2的正整数a、b、c，不存在满足a^n +b^n = c^n的整数n，使得等式成立。
下面我们将对费马定理进行深入了解，包括其历史、证明、应用和影响。
一、历史费马定理最初出现在费马的《阿尔比亚德》中的附注部分，该书中记载了费马提出数学问题的一些注解，其中就包括费马定理。
费马曾在书中写道：“我将无法在这张纸上阐述我所找到的证明方法。
”这个问题成为数学史上长期的谜团，引发了众多数学家的探索和努力。
费马的这个声明成为了费马猜想，也是代数数论中最著名的未解问题之一。
二、证明费马定理的证明历时数百年，在1994年由安德鲁·怀尔斯得到完整的证明。
怀尔斯的证明是基于特殊模数的椭圆曲线方法，这一突破性的证明成为了数学领域的一大事件，也让人们对费马定理有了更深入的理解。
三、应用费马定理的证明并没有直接的应用价值，因为费马定理是一种数学纯粹性的问题，与应用数学的实际领域并无直接关系。
但是费马定理的证明方法却为数学研究者们提供了新的启发，椭圆曲线方法也在密码学和信息安全领域得到了广泛的应用。
四、影响费马定理的证明成为了数学史上的一大事件，不仅彰显了人类智慧与勇气，也对数学研究产生了深远的影响。
费马定理的证明成为数学研究的榜样和典范，激励着数学家们不断地探索和突破。
综上所述，费马定理是数学史上的一个重要定理，它的证明历经数百年，成为了数学领域的一个巨大成就。
费马定理的证明方法也为数学领域的研究者们提供了新的启发，椭圆曲线方法也在密码学和信息安全领域得到了广泛的应用。
费马定理的证明成为了数学史上的一大事件，对数学研究产生了深远的影响，激励着数学家们不断地探索和突破。
费马点问题知识点
费马点问题知识点费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。
费马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +b^n = c^n成立。
这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况展开的。
费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。
换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。
这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。
解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。
下面将介绍一种常见的解决方法：第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。
费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。
第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。
费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。
第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。
费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。
这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。
第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。
首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。
然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。
第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。
可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。
第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。
费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。
这篇文章介绍了费马点问题的基本知识点和解决方法。
通过一步一步的思考和分析，我们可以解决这个有趣的数学难题。
费马点问题在计算几何学中有广泛的应用，对于理解和掌握相关知识具有重要意义。
希望本文对读者有所帮助，引起大家对数学问题的兴趣和思考。
人教A版高中数学选修3-1-4.3 费马的解析几何思想-课件(共18张PPT)
费马的解析几何思想
作为变量数学发展的第一个决定性步
骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有 着不可估量的作用。
解析几何产生的历史
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展， 天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需 要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太 阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个 焦点上；
在《求最大值和最小值的方法》一书中，还 引进了曲线， y=xn 和y=x-n
费尔玛虽是一位业余数学家，在牛顿、 莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立 微积分作出贡献最多的人．
对数论、解析几何、概率论三个方面 都有重要贡献。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他 的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录， 一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫 《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的 是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一 个意思一样。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理 的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y) 的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多 不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性 质。这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点： 第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序 的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后， 平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方 程来表示了。从这里可以看到，运用坐标 法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且 还把变量、函数以及数和形等重费马（Fermat，1601—— 1665,法国人）出生于商人家庭， 学法律，并以律师为职业，数 学只是他的业余爱好。
他对数论和微积分做出第 一流的贡献，并同帕斯卡 （Pascal）一起开创了概率论 的研究工作，他与笛卡儿同为 解析几何的创始人。
费马大定理PPT课件
• 4、欧拉
• 1707年4月5日～1783年9 月18日）是瑞士数学家和 物理学家。他被一些数学 史学者称为历史上最伟大 的两位数学家之一（另一 位是卡尔·弗里德里克·高 斯）。欧拉是第一个使用 “函数”一词来描述包含 各种参数的表达式的人
• 首先证明了n=3时无解
5、索菲·热尔曼 出身巴黎一个殷实的商
人家庭，从小热爱数学，但 不为家庭所鼓励。身为女性， 热尔曼的故事显出了当时女 性求学的困难和自卑。她总 不想别人知道她女性的身分， 常以假名和其他数学家通信。
证明大概无解
• 阿基米德 （公元前287年—公元前212
年），古希腊哲学家、数学家、 物理学家。出生于西西里岛的 叙拉古。阿基米德到过亚历山 大里亚，据说他住在亚历山大 里亚时期发明了阿基米德式螺 旋抽水机。后来阿基米德成为 兼数学家与力学家的伟大学者， 并且享有“力学之父”的美称。 阿基米德流传于世的数学著作 有10余种，多为希腊文手稿。
费马大定理
THE LAST PROBLEM
• 1、毕达哥拉斯 • 公元前六世纪数学家 • 提出：勾股定理
公元前5世纪，发生了史上第一宗毕达哥拉斯凶案。 希帕索斯因为发现无理数的真相，而撼动了整个毕达哥拉斯 哲学大厦的根基，结果遭到无情的谋杀…
• 2、欧几里德
• 亚历山大里亚的欧几里得（希腊 文：Ευκλειδης ，约公元前330 年—前275年），古希腊数学家， 被称为“几何之父”。他最著名 的著作《几何原本》是欧洲数学 的基础，提出五大公设，发展欧 几里得几何，被广泛的认为是历 史上最成功的教科书。欧几里得 也写了一些关于透视、圆锥曲线、 球面几何学 宅,看见一位老人在地上埋 头作几何图形(还有一种说 法他在沙滩上画图),可阿基 米德却对他的到来没有反应，
费马大定理全章知识点归纳总结
费马大定理全章知识点归纳总结费马大定理，又称费马最后定理，是世界数学史上的一个重要问题。
本文将对费马大定理的全章知识点进行归纳总结。
问题背景费马大定理最早由法国数学家费尔马在17世纪提出，其表述是：对于大于2的整数n，不存在满足a^n+b^n=c^n的整数解，其中a、b、c是大于0的整数。
这个问题成为数学界的一个谜题，持续困扰着数学家们几个世纪。
重要概念在了解费马大定理前，我们需要了解一些相关的重要概念。
1. 整数：整数是数学中的基本概念，包括正整数、负整数和零。
2. 指数：指数是数学中表示乘方运算的数字。
在费马大定理中，指数n大于2。
3. 不可约整数：一个整数如果不能写成两个较小整数的乘积形式，就称为不可约整数。
不可约整数在证明费马大定理时经常用到。
知识点归纳1. 费马最小定理：费马最小定理是费马大定理的一个特例。
该定理表明，如果p是一个素数，a是任意一个整数，且a不是p的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在证明费马大定理时具有重要作用。
2. 模运算：模运算是指对一个整数进行除法操作，取其余数的运算。
在费马大定理的证明中，模运算经常用到。
3. 费马大定理证明的历程：费马大定理的证明历程非常复杂，涉及到许多数论、代数和几何等数学领域。
目前最为著名的证明是英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，他借助现代代数学和模形式理论的工具成功解决了费马大定理。
4. 应用和影响：费马大定理的解决对数学领域产生了深远影响。
它促进了数论、代数和几何等数学领域的深入研究，推动了数学理论的发展。
总结费马大定理是数学史上一个具有重大影响的难题。
通过了解费马最小定理、模运算以及费马大定理的证明历程，我们可以更好地理解这一定理的重要性和影响。
费马大定理的解决不仅推动了数学理论的发展，也为数学家们提供了更多的研究方向和思路。
费马大定理及其证明方法
费马大定理及其证明方法费马大定理是数学界著名的难题之一，它的证明历经四百年，让数学界的研究者们投入了无数的精力和时间。
一、费马大定理的定义费马大定理，又称费马最后定理，是一条非常著名的代数数论问题。
它的表述方式比较简单：将指数大于二的整数幂表示为三个平方数之和的情况是不存在的。
也就是说，方程x^n+y^n=z^n在n>2时，不存在整数解。
这条定理由法国数学家费马在17世纪首次提出，并致力于证明此定理近40年之久，但他从未公布证明方案。
直到1960年才由Andrew Wiles在英国剑桥完成了证明。
二、费马大定理的历史费马大定理的历史可以追溯到17世纪。
当时，法国数学家费马在研究数学问题时提出了一个假设：如果一个整数n大于2，那么方程x^n+y^n=z^n中不存在正整数解。
费马声称自己已经发现了一种证明方法，但遗憾的是，他没有将这个证明公布出来。
此后，费马大定理便成为了数学界的一个谜题。
一方面，人们认为它是成立的，因为一些数学家通过计算发现，在一些特定情况下，这个方程是不存在正整数解的。
另一方面，也有一些数学家认为费马的想法是错误的，因为他的证明并没有被记录下来，所以根本不知道他的假设是否真的成立。
20世纪60年代以来，学者们对费马大定理提出了更为深刻的思考。
许多著名的数学家投入了大量的时间和精力，尝试寻找一个完整的证明方案。
最终，英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成了这一证明，以此圆满地结束了费马大定理的历史传说。
三、费马大定理的证明费马大定理的证明历时四百年，这是数学界难以磨灭的辉煌。
然而，这个证明方案并不是一蹴而就的，实际上，数学家们在寻找证明方案时遇到了一系列的困难。
根据怀尔斯的证明方案，费马大定理的证明分为三部分。
首先，他证明了一个定理，称为“伊万·斯蒂年奇模型”。
这个定理规定，有限域之上的模空间可以在几何上与椭圆曲线相比较。
然后，他使用了一个称为“输影结果”的独特工具，证明了另一个定理，称为“塔尼雅马分解”。
高中数学 第六章 名题赏析 6.1 费马大定理课件 北师大
-6-
§1 费马大定理
重难点拨
思悟升华
Y预习导引 U XI DAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
一
二
三
一、勾股数
【例 1】记载了西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的
对话,商高答周公问时提到“勾广三,股修四,径隅五”的一部中国著
作是( ).
A.《墨子》 B.《周髀算经》
C.《九章算术》
D.《孙子算经》
答案:B 【例 2】 发现勾股数:2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1 的是( ).
A.赵爽
B.沈括
C.阿基米德 .毕达哥拉斯学派
答案:D
-7-
§1 费马大定理
重难点拨
思悟升华
Y预习导引 U XI DAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
一
二
三
“普林顿 322”上列出了 15 组勾股数,“普林顿 322”是 时期的泥版.( )
-5-
§1 费马大定理
激趣诱思
新知预习
Y预习导引 U XIDAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
1985 年,德国数学家弗雷指出了费马猜想与谷山—志村猜想之 间的重要联系,并提出弗雷命题.
1986 年,美国数学家里贝特证明了弗雷命题,这就表明,只要能 解决谷山—志村猜想,就能解决费马大定理.
第六章 名题赏析
-1-
§1 费马大定理
-2-
§1 费马大定理
激趣诱思
新知预习
Y预习导引 U XIDAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
17 世纪法国数学家费马提出了著名的费马大定理:当整数 n>2 时,方程 xn+yn=zn 不存在整数解.这个定理引起了一代又一代几乎所 有的优秀数学家的兴趣,但在 300 多年间都无人攻克它.直到 1995 年,费马大定理才被英国数学家维尔斯证明出来.在解决这个问题的 过程中,它的研究带动了数论乃至整个数学的发展,给数学带来了新 的理论、新的技术、新的方法,开拓了新的学科领域,从而促进了数 学的发展,因此,费马大定理被称为“会下金蛋的鹅”.
高二数学费尔马大定理PPT课件
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。 若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和
，于是奇数2N+1=3+ 2(N-1),可以写成三个素数之和，从而，对 于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。
安徽省安庆市第三中学 xuesi
一.费尔马大定理
法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学
的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚
的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些数学研
究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》
一书中论述求解 x2y2 z2 的一般解的问题时，在书的空白
；
； ； ；
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1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请 教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能 找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、 著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根 的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔 顿逝世为止，问题也没有能够解决。
• 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦 敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界 数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷 参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著 名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四 色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四 色猜想从此也就解决了。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
高考数学冲刺复习费马小定理考点深度剖析
高考数学冲刺复习费马小定理考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，对于一些重要的定理和知识点进行深度剖析是至关重要的。
费马小定理作为数论中的一个重要定理，常常在高考中以不同形式出现，对其进行深入理解和掌握能够为我们在考试中赢得宝贵的分数。
首先，让我们来了解一下什么是费马小定理。
费马小定理指出：如果 p 是一个质数，而整数 a 不是 p 的倍数，那么 a^（p 1) 除以 p 的余数恒等于 1。
用数学表达式即为：a^（p 1) ≡ 1 （mod p) 。
这个定理看起来似乎有些抽象，但其实在解决很多数学问题时具有非常强大的作用。
为了更好地理解它，我们来看几个具体的例子。
假设 p ＝ 5，a ＝ 2。
因为 5 是质数，2 不是 5 的倍数，那么根据费马小定理，2^（5 1) ＝ 2^4 ＝ 16，16 除以 5 的余数为 1，确实满足定理。
那么，高考中可能会如何考查费马小定理呢？一种常见的形式是直接要求利用费马小定理求解余数问题。
比如：已知 p 为质数，a 不是 p 的倍数，计算 a^（p 1)除以 p 的余数。
对于这类问题，我们只需要直接应用费马小定理就能迅速得出答案为 1。
但高考的考查往往不会这么直接，可能会将费马小定理与其他数学知识相结合。
例如，与同余方程一起考查。
在解决这类问题时，我们需要先根据给定的条件构建同余方程，然后巧妙地运用费马小定理来简化计算。
另外，费马小定理在证明一些数学结论时也能发挥关键作用。
比如证明某个等式在特定条件下恒成立，我们可以通过巧妙地构造指数，利用费马小定理进行变形和推导。
在实际解题过程中，我们要注意定理的使用条件。
首先，p 必须是质数，这是定理成立的前提。
其次，a 不能是 p 的倍数。
如果在解题时忽略了这些条件，就很容易得出错误的结论。
那么，在复习冲刺阶段，我们应该如何更好地掌握费马小定理呢？第一步，要熟练记住定理的内容和表达式。
这是应用定理的基础，只有牢记于心，才能在解题时迅速反应。
费马大定理简介
费马大定理简介费马大定理，又被称为费马最后定理或费马猜想，是数学界的一个重要问题。
它是由17世纪法国数学家费尔马在1637年提出的，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，被认为是数学史上最著名的定理之一。
费马大定理的表述非常简洁，即：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
在费马提出这个猜想后的几百年里，许多数学家都尝试过证明它，但都以失败告终，直到怀尔斯的证明出现，才彻底解决了这个问题。
费马大定理的证明过程非常复杂，涉及到许多高深的数学知识。
怀尔斯使用了现代代数几何学、模形式和椭圆曲线等数学分支的理论和方法，最终完成了对费马大定理的证明。
他的证明被广泛认可，赢得了数学界的高度赞誉，也为他赢得了1994年的菲尔兹奖，这是数学界最高荣誉。
费马大定理的证明对数学的发展产生了巨大的影响。
它不仅填补了数学史上的一个重要空白，而且也推动了许多相关领域的发展。
例如，怀尔斯证明费马大定理所使用的工具和方法，对于椭圆曲线密码学的发展起到了重要的作用。
此外，费马大定理的证明还鼓舞了许多数学家攻克其他难题的信心，推动了整个数学领域的研究。
费马大定理的证明不仅仅是一个数学问题的解决，它还具有哲学和历史的意义。
费马大定理的提出和证明过程，展示了人类对于数学的追求和智慧的体现。
它也向世人展示了数学的美丽和深度，激发了人们对数学的兴趣和热爱。
尽管费马大定理已经被证明，但它的证明过程仍然具有很高的难度。
对于普通人来说，理解费马大定理的证明需要具备相当高的数学知识和能力。
然而，即使没有深入的数学知识，我们仍然可以欣赏这个定理的重要性和它对数学发展的巨大贡献。
费马大定理的解决是数学界的一项伟大成就，它不仅证明了费马的猜想，也为数学的研究和应用开辟了新的方向。
它告诉我们，数学是一门充满挑战和乐趣的学科，它的发展推动了人类的进步和创新。
费马大定理的证明是数学史上的一个里程碑，它让我们深刻认识到数学的力量和奇妙之处。
数学定理的知识点
数学定理的知识点一、引言数学定理是人类智慧的结晶，它们以其深邃的思想和精确的推理，为我们揭示了宇宙的奥秘。
它们是数学领域中的重要基石，为我们提供了解决问题的方法和工具。
在本文中，我们将探讨一些数学定理的知识点，带您进入这个神奇而美妙的世界。
二、费马大定理费马大定理是数学史上最具神秘色彩的问题之一。
它由法国数学家费尔马在17世纪提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
这个定理表明：对于大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
费马大定理的证明过程极其复杂，涉及到多个数学分支，如代数几何、模形式等。
它的证明不仅仅是一项数学成就，更是对人类智慧的巅峰挑战。
三、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是另一个备受关注的数学难题。
它由德国数学家哥德巴赫在18世纪提出，猜想任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
尽管这个猜想在数论领域中有着重要的地位，但直到20世纪才被证明。
1995年，匈牙利数学家托马斯·赫尔曼证明了哥德巴赫猜想的一个特殊情况，而后续的研究逐渐完善了这个猜想的证明。
哥德巴赫猜想的证明过程中涉及到了大量的数论技巧和方法，展示了数学的美妙和无限可能。
四、黎曼猜想黎曼猜想是数论领域中的一颗明星，也是迄今为止未被证明的重要数学问题之一。
它由德国数学家黎曼在19世纪提出，涉及到复数域上的函数和素数分布等问题。
黎曼猜想表明，所有非平凡的黎曼Zeta函数的复数零点都位于直线Re(s)=1/2上。
虽然许多数学家在黎曼猜想上进行了大量的研究和验证，但至今仍未找到确凿的证据。
黎曼猜想的解决对于数论和物理学等领域都具有重要的意义，它引领着数学研究的方向，激发着数学家们的智慧和创造力。
五、结语数学定理是人类智慧的结晶，它们以其深邃的思想和精确的推理，为我们揭示了宇宙的奥秘。
费马大定理、哥德巴赫猜想和黎曼猜想等数学难题，不仅仅是数学家们的挑战，更是对人类智慧的考验。
它们的解决将推动数学的发展，为人类带来更多的认知和进步。
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1 费马大定理费马大定理：（1）当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0,且xyz≠0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
（2）证明方法五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万马克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程x^n + y^n = z^n 没有xyz≠0的整数解。
为了证明这个结果，只需证明方程x^4 + y^4 = z^4 ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［p是一个奇素数］均无xyz≠0的整数解。
n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。
费马本人证明了p = 3的情，但证明不完全。
勒让德［1823］和狄利克雷［1825］证明了p = 5的情形。
1839年，拉梅证明了p = 7的情形。
1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。
他创立了理想数论，这使得他证明了当p < 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。
后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。
在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。
他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。
在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。
他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立。
现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。
到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。
《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。
即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则证明中用到了法尔廷斯［Faltings］的结果。
另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使x^n + y^n = z^n ，则x > 101,800,000。
说明：要证明费马最后定理是正确的（即x^ n+ y^n = z^n 对n>2 均无正整数解）只需证x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P为奇质数)，都没有整数解。
（3）费马大定理证明过程:对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。
本章利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。
本章给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本章提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本章利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。
定义1．费马方程人们习惯上称x^n+y^n=z^n关系为费马方程，它的深层意义是指：在指数n值取定后，其x、y、z均为整数。
在直角三角形边长中，经常得到a、b、c均为整数关系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，这时由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次数为2时，费马方程与勾股弦定理同阶。
当指数大于2时，费马方程整数解之研究，从欧拉到狄里克莱，已经成为很大的一门数学分支.定义2．增元求解法在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。
我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。
利用增元求解法进行多元代数式求值，有时能把非常复杂的问题变得极其简单。
下面，我们将利用增元求解法来实现对直角三角形三边a^2+b^2=c^2整数解关系的求值。
1）直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”定理1．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件：a≥3{ b=（a^2-Q^2）÷2Qc= Q+b则此时，a^2+b^2=c^2是整数解；证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b （其中Q为增元项，且b、Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形：Q2 Qb其缺口刚好是一个边长为b的正方形。
补足缺口面积b^2后可得到一个边长Qb为Q+b的正方形，现取Q+b=c，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。
故定理1得证应用例子：例1．利用定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解?解：取应用例子：a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到：a= 15{ b=（a^- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112c=Q+b=1+112=113所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：a= 15{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36c=Q+b=3+36=39所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 … 时，通过Q的不同取值，将函盖全部平方整数解。
2）直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“增比计算法则”定理2．如a^2+b^2=c^2 是直角三角形边长的一组整数解，则有（an）^2+（bn）^2 =（cn）^2（其中n=1、2、3…）都是整数解。
证：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形 a c ，根据平面线段等比放大的原理，三角形等比放大得到2a 2c；b 2b3a 3c；4a 4c；… 由a、b、c为整数条件可知，2a、2b、2c；3b 4b3a、3b、3c；4a、4b、4c… na、nb、nc都是整数。
故定理2得证应用例子：例2．证明303^2+404^2=505^2是整数解？解；由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整数解，根据增比计4算法则，以直角三角形3×101 5×101 关系为边长时，必有4×101303^2+404^2=505^2是整数解。
3）直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“定差公式法则”3a + 2c + n = a1（这里n=b-a之差，n=1、2、3…）定理3．若直角三角形a^2+^b2=c^2是满足b-a=n关系的整数解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式连求得到的a1、a2、a3…ai 所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差关系的整数解。
证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2，这里n=b-a=4-3=1，根据3a + 2c + 1= a1定差公式法则有：a1=3×3+2×5+1=20 这时得到20^2+21^2=29^2 继续利用公式计算得到：a2=3×20+2×29+1=119 这时得到119^2+120^2=169^2 继续利用公式计算得到a3=3×119+2×169+1=696 这时得到696^2+697^2=985^2…故定差为1关系成立现取n为7，我们有直角三角形21^2+28^2=35^2，这里n=28-21=7，根据3a + 2c + 7 = a1定差公式法则有：a1=3×21+2×35+7=140 这时得到140^2+147^2=203^2 继续利用公式计算得到：a2=3×140+2×203+7=833 这时得到833^2+840^2=1183^2 继续利用公式计算得到：a3=3×833+2×1183+7=4872 这时得到4872^2+4879^2=6895^2…故定差为7关系成立再取n为129，我们有直角三角形387^2+516^2=645^2，这里n=516-387=129，根据3a + 2c + 129= a1定差公式法则有：a1=3×387+2×645+129=2580 这时得到2580^2+2709^2=3741^2 继续利用公式计算得到：a2=3×2580+2×3741+129=15351 这时得到15351^2+15480^2=21801^2 继续利用公式计算得到：a3=3×15351+2×21801+129=89784 这时得到89784^2+89913^2=127065^2…故定差为129关系成立故定差n计算法则成立故定理3得证4）平方整数解a^2+^b2=c^2的a值奇偶数列法则：定理4．如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；（一）奇数列a：若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …），则a为奇数列平方整数解的关系是：a=2n+1{ c=n^2+（n+1）^2b=c-1证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到：3^2+4^2=5^25^2+12^2=13^27^2+24^2=25^29^2+40^2=41^211^2+60^2=61^213^2+84^2=85^2…故得到奇数列a关系成立（二）偶数列a：若a表为2n+2型偶数（n=1、2、3 …），则a为偶数列平方整数解的关系是：a=2n+2{ c=1+（n+1）^2b=c-2证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到：4^2+3^2=5^26^2+8^2=10^28^2+15^2=17^210^2+24^2=26^212^2+35^2=37^214^2+48^2=50^2…故得到偶数列a关系成立故定理4关系成立由此得到,在直角三角形a、b、c三边中：b-a之差可为1、2、3…a-b之差可为1、2、3…c-a之差可为1、2、3…c-b之差可为1、2、3…定差平方整数解有无穷多种；每种定差平方整数解有无穷多个。