数学分析1 习题课 参考题 第二次

第二次习题课

关于序列极限的进一步讨论

2012.09.24

1.夹逼原理

(1)求下列极限:i.lim n →∞ 1(n +1)2+1(n +2)2+···+1(2n )2

ii.lim n →∞ m k =1

a k

b n k 1n ,a k ,b k >0,m ∈N .iii.lim n →∞n

k =1k !n !

.(2)求证如下结论:i.1n +1

ii.序列x n =1+12+13+···+1n −ln n 的极限存在.iii lim n →∞ 1−12+13−14+···+(−1)n +11n

=ln 2.2.单调有界序列的收敛性

(3)序列{q n }满足下列条件:014.试证明:{q n }的极限存在,并求其极限.

(4)设a n ∈(0,1),∀n ∈N ,且a n <12

(a n −1+a n +1),∀n 2.证明:{a n }收敛.3.闭区间套定理

(5)证明:利用闭区间套定理证明确界原理.

(6)设A,B 是两个非空且互不相交的数集,若A ∪B =[0,1],则必存在ξ∈[0,1],使得∀δ>0,于O δ(ξ)中既有集合A 的点,又有集合B 的点.

4.子列与Bolzano −W eierstrass 定理

(7)设{x n }是单调数列.证明:{x n }收敛⇔∃一个子序列{x n k }收敛.

(8)若{x n }的任意一个子序列{x n k }都存在收敛到a 的子列,证明:lim n →∞

x n =a .(9)证明:{x n }是有界序列的充要条件是:{x n }的任意子列都有收敛子列.

(10)设{x n }是有界序列,证明:存在子序列{x n k },使得{x n k },{x n k +1},{x 2n k }这三个子列均收敛.

5.Cauchy 列与Cauthy 收敛准则

♠若序列{x n }满足对∀ε>0,∃N ∈N ,s.t.对∀n,m >N ,都有|x n −x m |<ε成立,则称{x n }为Cauchy 列.实数域中的序列{x n }为收敛列(且收敛到一个实数)的充分必要条件是{x n }为Cauchy 列.

♠Cauchy 列也可以等价地表述成:∀ε>0,∃N ∈N ,s.t.对∀n >N,p ∈N ,都有|x n +p −x n |<ε成立.

(11)用Cauchy 准则判定如下序列不收敛:

i.x n =n k =1

1√k ,n ∈N ;ii.x n =sin n,n ∈N .

6.其他

(12)设{a n }是单调递增的正数列,若对于任意的正整数m,n 都有a mn ≥ma n 成立,且sup a n n

=A <+∞,证明:lim n →∞a n n =A .(13)若lim n →∞x n =α,lim n →∞y n =β,证明:lim n →∞x 1y n +x 2y n −1+···+x n y 1n

=αβ.