第八章 第八节抛 物 线

已知过抛物线 y 2 px(p 0 )的焦点F的直线l
2
交抛物线于Ax1 , y1 , Bx2 , y2 两点，若CD是 过F的抛物线的另一条弦， 且CD AB.
1 1 1 性质（ 8） AB CD 2p
[例 3](1)A、B 是抛物线 y ＝2px 上的两点，满足 →· → ＝0(O 是原点)．求证：直线 AB 过定点． OA OB
(θ为AB倾斜角).
为定值 2 . p (5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(7)∠CFD=90°.
1 2 练一练：已知抛物线C:y= x ，则过其焦点F且斜率 4 1 为 的直线l被抛物线截得的线段长为( C ) 2 17 9 (A) (B) (C)5 (D)4 4 8
拓展：点 M x0 , y0 是抛物线
y 2 2 px 上的一定点， 动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点,且MA=MB。 证明：直线EF的斜率为定值。
考向 3 直线与抛物线的综合问题
例4.(2012·浙江高考)如图，在直角坐标系xOy中，点 1 5 P(1, )到抛物线C：y2=2px(p>0)的准线的距离为 ， 4 2 点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB 被直线OM平分.
2
由Δ=4m-4m2>0可得0<m<1.
令u= m m2 ,0<u≤ ,则S=u(1-2u2), 2 设S(u)=u(1-2u2),0<u≤ 1 ,则S′(u)=1-6u2,
2 1
由S′(u)=0,得u= 6 (0, 1 ) ,
6 2
所以S(u)max= S( 6 ) 6 , 故△ABP的面积的最大值为 6 .
(1)求p,t的值.
(2)求△ABP面积的最大值.
【解析】(1)点P(1, 1 )到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离 为 5 ，可得准线方程为x= 1 ,所以抛物线C:y2=x,p= 1 .
4 4 2 2
点M(t,1)是C上的点，所以t=1. (2)设动点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,线段AB的中点 为Q(m,m),
2
定点(2p,0)
y
A
O F
.
该结论反之也成立。
M
B
x
若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y2 =2px(p>0) 交于A、B两点，则OA⊥OB.
2 y 2 x 上一定点， (2)已知点 M a,2 是抛物线 直线MP,MQ的倾斜角之和为 ，且分别与抛物线 交于P,Q两点，则直线PQ的斜率为________
9 6 9
3 于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝__________.
想一想：与焦点弦有关的常用结论有哪些？
2
(1)yห้องสมุดไป่ตู้y2
=-p2,x
p2 1x2= 4
.
(2)|AB|=x1+x2+p= 2p (θ为AB的倾斜角). 2
(3)S△AOB= p
(4)
1 1 AF | BF |
2
sin
2sin
C)
(B)y2=2x或y2=8x (D)y2=2x或y2=16x
考向 2 抛物线的性质及其应用 【典例2】(1)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点， 则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离
17 之和的最小值为_________. 2
变式：已知抛物线 y 2 2 x的焦点是F , 点P是抛物线 上的动点 , 又有点A(3,2).求 | PA | | PF | 的最小值 .
2 y1 x1 , 由 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 2 y2 x 2 ,
所以2km=1.
∴直线AB的方程为y-m= 1 (x m) ,
2m
即x-2my+2m2-m=0,
2 x 2my 2m m 0, 消去x，整理得y2-2my+2m2-m=0. 由 2 y x,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m,
从而|AB|= 1 1 ·|y1-y2| 2
k
= 1 4m2
4m 4m2 ,
设点P到直线AB的距离为d,则 d=
1 2m 2m2 1 4m2
,
设△ABP的面积为S，则
S= 1 | AB | d |1 2m 2m 2 | m m 2 ,
巩固练习1.已知抛物线 y2=8x 的焦点为F， 准线l与x轴的交点为K， C为抛物线上一点. （1）若CA⊥l于点A ，且直线AF的斜率为 3 , 则 |CF|=_______
2.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB 中点纵坐标的最小值.
【典例2】(2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物
a a 线，且其焦点坐标是( ,0)，准线方程是x= . 4 4
这个结论是否正确？
抛物线的标准方程有几个？如何利用标准方程判断焦点 位置、焦点坐标和准线方程？
练一练：若一抛物线过 点 (3,2)，求其标准方程 .
（3）(2013·新课标)设抛物线C:y2=2px(p>0)的 焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的 圆过点(0，2)，则C的方程为( (A)y2=4x或y2=8x (C)y2=4x或y2=16x
第八节 抛 物 线
考向 1 抛物线的定义和标准方程 【典例1】(1)已知动圆过定点F( p ,0)，且与直线x= p 2 2 y2=2px 相切，其中p>0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_______. 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线.这句话对不对？
抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线L(L不经过点F） 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.