高一数学下学期6月月考试题
高一数学下学期6月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第十一二零二零—二零二壹高一数学下学期6月月考试题〔含解析〕第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.数列{}n a 中，假设n a ＝3n (n ＝1，2，3，…)，那么这个数列是()A.公差为2的等差数列B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列D.首项为1的等比数列【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合数列的通项公式确定数列的性质即可. 【详解】由数列的通项公式可得：()13133n n a a n n +-=+-=为定值，故数列{}n a 是公差为3的等差数列.应选：B .【点睛】此题主要考察等差数列的定义与判断，属于根底题.中，15199a ,a ==，那么3a =() A.1 B.3C.1±D.3±【答案】A 【解析】试题分析：因为在等比数列中.2315a a a =.所以231a =.所以31a =±.当31a =-2213a a a =.即2219a =-31a =135,,a a a 不是连续的三项，所以要检验.另外由等比通项公式可以直接得到解论. 考点：1.等比数列的等比通项.2.等比通项公式.3.某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为理解员工的安康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少() A.2人 B.4人C.5人D.1人【答案】A 【解析】试题分析：由题意抽取比例为71497=，∴30岁以上的员工应抽11427⨯=人，应选A 考点：此题考察了分层抽样的运用点评：纯熟掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属根底题 4.等比数列{}n a 中,259,243,a a ==那么{}n a 的前4项和为〔〕A.81B.120C.168D.192【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知352a q a =，列出方程即可求出q 的值，利用2a q即可求出1a 的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n 项和的公式即可求出{}n a 的前4项和.【详解】352243279a q a ===，解得3a =， 又21933a a q ===，那么等比数列{}n a 的前4项和()4431312013S -==-. 应选：B.【点睛】等比数列根本量的运算是等比数列中的一类根本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二〞，通过列方程(组)可迎刃而解． 5.把21化为二进制数，那么此数为〔〕 A.10011〔2〕 B.10110〔2〕C.10101〔2〕D.11001〔2〕【答案】C 【解析】 解：21÷2=10...1 10÷2=5...0 5÷2=2...1 2÷2=1...0 1÷2=0 (1)故21〔10〕=10101〔2〕6.用秦九韶算法计算多项式()234561235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-时的值时，3V 的值是()A.845-B.220C.57-D.34【答案】C 【解析】试题分析：原多项式变形为()654323567983512f x x x x x x x =+++-++，即()()()()()()3567983512f x x x x x x x =+++-++，()13457,V =⨯-+=-考点：秦九韶算法求多项式的值点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x 的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为123,,V V V7.有20位同学，编号从1至20，如今从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为() A.2，6，10，14 B.5，10，15，20C.2，4，6，8D.5，8，11，14 【答案】B 【解析】 【详解】从编号为的位同学中随机抽取人做问卷调查，采用系统抽样间隔应为，只有B项中的编号间隔为,应选B.8.图中所示的是一个算法的流程图，表达式为〔〕A.112399++++ B.1123100++++C.199D.1100【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的算法的流程图，计算前几次循环，得到计算的规律，即可求解，得打答案． 【详解】由题意，执行该算法的流程图，执行循环体 第1次循环：满足条件100i <，执行循环体1S =，2i =； 第2次循环：满足条件100i <，执行循环体12S =+，3i =； 第3次循环：满足条件100i<，执行循环体123S =++，4i =； 第99次循环：满足条件100i <，执行循环体12399S =++++，100i =，此时不满足判断条件，输出结果112399S =++++．应选:A ．【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环构造表示算法，一定要先确定是用当型循环构造，还是用直到型循环构造，当型循环构造的特点是先判断再循环，直到型循环构造的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．9.等差数列｛a n｝的公差为2，假设a1，a3，a4成等比数列，那么a2等于A.－10B.－8C.－6D.－4【答案】C【解析】试题分析：有题可知，a1，a3，a4成等比数列，那么有，又因为｛a n｝是等差数列，故有，公差d=2，解得；考点： 等差数列通项公式 等比数列性质10.假设下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL后面的“条件〞应为A.i>10B.i<8C.i<=9D.i<9【答案】D【解析】试题分析：根据程序可知，因为输出的结果是990，即s=1×11×10×9，需执行4次，那么程序中UNTIL后面的“条件〞应为i＜9．应选D考点：此题主要考察了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤〔自然语言〕至程序框图，再到算法语言〔程序〕．假设将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．点评：解决该试题的关键是先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×11×10×9=990得到程序中UNTIL后面的“条件〞．11.数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n∈N ＋)，那么a 4的值是()． A.4 B.8C.15D.31【答案】C 【解析】 试题分析：，，，应选C.考点：数列的递推公式 12.在等比数列{}n a 中，41S =，83S =，那么17181920a a a a +++的值是〔〕A.14B.16C.18D.20【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质得4S ，84S S -，128S S -，16122016S S S S --，也成等比，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可知，4S ，84S S -，128S S -，16122016S S S S --，构成首项为1，公比为2的等比数列，所以42016216S S -==，即17181920a a a a +++的值是16，选B.【点睛】此题考察等比数列性质，考察根本求解才能，属根底题. 二、填空题〔每一小题5分〕13.以下各数()985、()6210、()41000、()2111111中最小的数是____________。
2021年高一下学期6月月考数学(理)试题 含答案
2021年高一下学期6月月考数学（理）试题含答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、不等式的解集为（）A． B．C． D．2、在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行3、在△ABC中，若，则角C =（）A．30º B．45º C．60º D．120º4、等差数列中，=12，那么的前7项和=（）A．22 B．24 C．26 D．285、在△ABC中，若，，B=30º，则= （）A．2 B．1 C．1或2 D．2或6、设等比数列的前n项和为，若=3则 =（）A．2 B． C． D．37、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A. B. C. D.8、如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的大小（）A．B．C．D．9、已知数列为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则 ( )A． B． C．D．10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（）A. 3 B．2 3 C．3 3 D．6 311. 在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）NMBD CAA. B. C. D.12、四面体A —BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，则CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每空5分，共20分）13、过所在平面外一点，作，垂足为，连接,,，若==，则是的 14、函数的最小值是15、在中，（分别为角的对应边），则的形状为 16、已知数列中，，则通项17、已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为 18、如图是正方形的平面张开图，在这个正方体中： ①与平行；②与是异面直线； ③与成角；④与是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19、（本题满分10分）解关于的不等式 20、（本题满分12分）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是的菱形，又，且PD =CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （Ⅰ）证明：DN //平面PMB ；（Ⅱ）证明：平面PMB 平面P AD ；21、（本题满分12分） 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，． （1）求及的面积； （2）求． 22、（本题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列， （1）求数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和23、（本题满分12分） 如图，菱形的边长为，，．将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：面；（2）求点M 到平面ABD 的距离．ABCCMOD高一第三次月考理科数学参考答案：一、ADCDC BBCCA CB二、13、 外心 14、23＋2 15、直角三角形 16. 17、18、③④ 三、19、解：原不等式可化为：，令，可得： ………2分 ∴当或时， ， ；……5分当或时，,不等式无解；………7分 当或时, , ………10分综上所述，当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为当或时, 不等式解集为。
人教版_高一数学下期六月份阶段性测试题
t（时） 0
3
6
9
12 15
18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成函数 y A sin t b 的图象. （1）试根据以上数据，求出函数 y A sin t b 的最小正周期、振幅和表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠 时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5 米.如果该船希望在同一 天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）?
3)．
22
（Ⅰ）证明：
a
b；
（Ⅱ）是否存在不同时为零的实数 k
和t
，使
x
a
(t
3)b
，
y
ka
tb
，且 x
y
．若
存在，试求 k 关于 t 的函数关系式 k f (t ) ，并求 K 的取值范围；若不存在，请说明理由．
19、(本题满分 10 分) 已知 A 、B 、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B (0,3) 、C (cos , sin ) ，
A．0
B．1
C．3
D．－3
12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数
字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息
可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内从结点 A 向结点 B 传递的最大信息量为
（A）26
（B）24
（C）20
2 在函数 y sin 2 x, y sin x, y cos x, y tan x 中，最小正周期为 的函数是 2
高一数学下学期6月考试试题含解析 试题
11.A，B，C，D是函数 一个周期内的图象上的四个点，如下列图， ，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称， 在x轴上的投影为 ，那么ω，φ的值是()
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝
C.ω＝ ，φ＝ D.ω＝ ，φ＝
【答案】C
【解析】
试题分析：利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos〔A+B〕＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．
解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos〔A+B〕＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，
∴C为钝角
应选C
5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开场由左到右依次选取两个数字，那么选出来的第5个个体的编号为()
【答案】60
【解析】
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进展调查的，
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，
∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.
应选：A.
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16.在△ABC中，∠BAC= ，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD， 那么 ____________。
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20 ＋365.
当且仅当x＝5时，L获得最大值．
故当单价定为元时，工厂可获得最大利润．
【点睛】此题主要考察了线性回归方程，二次函数在实际问题中的应用，属于中档题.在涉及线性回归方程问题时，要牢记线性回归方程必过样本数据的中心点 ，这是解题的重要思路.
高一数学下学期6月月考试题含解析
高一重点班6月份学月考试数学试题一、选择题(60分)1.1.以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A. (x＋2)2＋(y－3)2＝4B. (x＋2)2＋(y－3)2＝9C. (x－2)2＋(y＋3)2＝4D. (x－2)2＋(y＋3)2＝9【答案】C【解析】【分析】因为与y轴相切，所以可知圆的半径，根据圆心坐标，可得圆的HY方程。
【详解】圆心为(2，－3)并且与y轴相切所以半径所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4所以选C【点睛】此题考察了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于根底题。
2.2.直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，那么弦AB的长度等于( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】B正确.3.3.假设直线ax＋by－1=0与圆x＋y=1相交,那么点P(a,b)的位置是( )A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上皆有可能【答案】B【解析】根据条件可得：所以点P在圆外。
应选B4.4.与圆(x＋2)2＋y2＝2相切，且在x轴与y轴上的截距相等的直线条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分类讨论当截距为0与不为0两种情况下切线方程求法。
利用点到直线间隔公式，求得圆心到直线间隔等于半径，可求得参数值。
【详解】当在x轴与y轴上的截距为0时，设切线方程为所以圆心到直线的间隔可解得，所以切线方程为当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为所以，解得或者〔舍〕，即切线方程为所以一共有3条切线方程所以选C【点睛】此题考察了点到直线间隔的简单应用，直线与圆的位置关系，属于根底题。
5.5.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含【答案】D【解析】【分析】根据圆心的位置及半径大小关系，可得两个圆的位置关系。
【详解】圆心都在原点，半径分别为所以两个圆内含所以选D【点睛】此题考察了圆与圆的位置关系，属于根底题。
高一数学下学期6月月考试题含解析试题
HY 中学2021-2021学年高一数学下学期6月月考试题〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
〔满分是：150分，测试时间是：120分钟〕第一卷〔选择题〕一、选择题1.不等式2340x x --<的解集为〔 〕 A. {}41x x -<<B. {}14x x -<<C. {}14x x <<D. {1x x <-或者}4x >【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】2340x x --<可化为()()410x x -+<，那么该不等式的解集为{}14x x -<< 应选：B【点睛】此题主要考察理解一元二次不等式，属于根底题.2.一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为2，那么原梯形的面积为〔 〕A. 2B. 22C. 4D. 2【答案】D【解析】 【分析】根据S S =直观原图，可求出原梯形的面积.【详解】由斜二测画法知，4S S =直观原图，又2S =直观，S ∴=原图应选：D .【点睛】此题考察斜二测画法，属于根底题.3.等差数列{}n a 中，假设14739a a a ++=，36927a a a ++=，那么前9项的和9S 等于〔 〕 A. 66 B. 99C. 144D. 297【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可求得a 4=13，a 6=9，从而有a 4+a 6=22，由等差数列的前n 项和公式即可求得答案． 【详解】解：∵在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，44339,13a a ==，66327,9a a ==， 461922a a a a +=+=，∴数列{}n a 的前9项之和1999()2299922a a S +⨯===， 应选：B【点睛】此题考察等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n 项和公式是解决问题的关键，属于根底题．4.给定以下命题：①22a b a b >⇒>；②22a b a b >⇒>；③1b a b a >⇒<；④11a b a b>⇒<； 其中正确的命题个数是〔 〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的根本性质或者者举反例逐一判断各个命题．【详解】解：〔方法一〕对于①，取1,2a b ==-，那么a b >，但2214a b =<=，故①错； 对于②，取2,1a b =-=，那么22a b >，但a b <，故②错；对于③，取1,2a b =-=-，那么a b >，但21ba =>，故③错； 对于④，取1,2ab ==-，那么a b >，但11112a b =>=-，故④错；应选：A ．〔方法二〕对于①，由于a b >，那么0a b ->，而()()22a b a b a b -=+-，但+a b 的符号不确定，故①错；对于②，由于22a b >，那么()()220a b a b a b -=+->，那么+a b 和-a b 同号，但+a b 的符号不确定，那么-a b 的符号也不确定，故②错；对于③，由于a b >，那么0b a -<，而1b b a a a --=，但a 的符号不确定，故③错； 对于④，由于a b >，那么0b a -<，而11b aa b ab--=，但ab 的符号不确定，故④错；应选：A ．【点睛】此题主要考察不等式的根本性质的应用，属于根底题．5.圆锥的外表积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面半径为〔 〕A 1C. 2【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的外表积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的外表积为()221ππ29π2r r +=，解得r =应选：B【点睛】本小题主要考察圆锥外表积有关计算，属于根底题.6.直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，假设12l l //，那么实数a 的值是〔 〕 A. 4﹣ B. 4C. 4±D. 0【答案】A 【解析】 【分析】解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 【详解】因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去； 当4a =-时，满足题意. 应选：A【点睛】此题主要考察两直线平行的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题. 7.设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设//,//m m αβ，那么//αβ B. 假设//,//m n αα，那么//m n C. 假设,m m αβ⊥⊥，那么//αβD. 假设,a γβγ⊥⊥，那么//αβ【解析】 【分析】根据空间直线，平面直线平行或者垂直的断定定理和性质定理进展判断即可.【详解】A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误， B .假设//,//m n αα，那么,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误， C .假设,m m αβ⊥⊥，那么//αβ，C 成立， D .假设,a γβγ⊥⊥，那么//αβ或者α与β相交，故D 错误，应选：C .【点睛】本小题主要考察空间线线、面面位置关系命题的判断，属于根底题.8.设函数()21f x mx mx =--，假设对于任意[]1,3x ∈，()4f x m <-+恒成立，那么实数m 的取值范围为〔 〕A. 3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 5,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 50,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()5,00,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用别离参数法得到215m x x <-+，转为求函数251y x x =-+在[]1,3的最小值，从而可求得m 的取值范围.【详解】由题意()4f x m <-+，可得()215m x x -+<当[]1,3x ∈时，21[1,7]x x -+∈，那么215m x x <-+令251y x x =-+，[]1,3x ∈，当3x =时，251x x -+的最小值为57因为对于任意[]1,3x ∈，215m x x <-+恒成立，所以57m <【点睛】此题考察恒成立问题的解法，经常利用别离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题. 9.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国举行，气势磅礴的中国馆——“之冠〞令人印象深入，该馆以“之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓〞为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为米，上方的“斗冠〞类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是米，下底面边长是米，那么“斗冠〞的侧面与上底面的夹角约为〔 〕．A. 20︒B. 28︒C. 38︒D. 48︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.【详解】依题意得“斗冠〞的高为60.333.327-=米， 如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠〞的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<，【点睛】此题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.10.在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆()222x a y a ++=的位置可能是〔 〕A. ②③B. ①②C. ②④D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】讨论圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的间隔 与半径的大小关系，确定a 的范围，即可作出判断.【详解】解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a那么圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的间隔 为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，即0a >此时说明直线与圆相交，且直线的斜率为正数，那么①正确，②③错误；221a a a a -+>+2111a a ->+，即22121a a a -+>+，即0a <此时说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，那么④正确； 应选：D【点睛】此题主要考察了判断直线与圆位置关系，属于中档题.11.假设数列{}n a 22n n =+，*n ∈N 那么31235721n a a a a n +++⋅⋅⋅+=+〔 〕 A. 224n n + B. 24n n +C. 22n n +D. 21n【答案】C 【解析】 【分析】先少写一项做差求通项n a ，然后代入即可求解.【详解】当1n =3= 19a = 当2n ≥时，22n n =+()()2121n n =-+-相减()212n n =+≥()221n a n =+所以2121na n n =++ 所以()2312321357212357212n n n a a a a n n n n +++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++==++ 当1n =时，也满足所以2312235721n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++ 应选：C【点睛】此题考察数列求通项，主要利用()12n n n a S S n -=-≥进展求通项，属于较易题目. 12.三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，那么球O 的体积为A 86π B. 46πC. 26πD. 6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一局部，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一局部，22226R =++=，即364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，应选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，应选D. 【点睛】此题考察学生空间想象才能，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 二、多项选择题13.对于ABC ，有如下判断，其中正确的选项是〔 〕 A. 假设sin 2sin 2A B =，那么ABC 必为等腰三角形 B. 假设A B >，那么sin sin A B >C. 假设1AC =，13BC =120A =︒，那么ABC 的面积为334D. 假设222sin sin sin 0B C A +->，那么ABC 必为锐角三角形【答案】BC 【解析】 【分析】由sin 2sin 2A B =得出22A B =或者22A B π+=从而判断A ；由大边对大角，正弦定理判断B ；根据余弦定理以及三角形面积公式判断C ；取120,30B A C ︒︒===判断D. 【详解】对于A ，假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+= 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确；对于B ，假设A B >，那么a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确； 对于C ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得21131212c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭即2120c c +-=，解得3c =或者4c =-〔舍〕 那么11333sin 132224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△，故C 正确； 对于D ，当120,30B A C ︒︒===时，2222sin 120sin 30sin 30s n 0i 120︒︒︒︒+-=> 此时ABC 为钝角三角形，故D 错误； 应选：BC【点睛】此题主要考察了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.14.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，那么以下结论正确的选项是〔 〕A. 点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B. 假设正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13C. 在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30°D. 点M 存在无数个位置满足//BM 平面11B D C 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明1AD ⊥面1A DC ，可得当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥，可判断A ；由11B C MD C D B M V V --=，当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的间隔 最大，计算11B A C D V -可判断B ； 连接1A M ，因为11//CD A B ，那么11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角，利用余弦定理算出1A M 的间隔 ，可判断C ；证明平面11//B CD 平面1A BD ，即可判断D. 【详解】解：对于A ，连接111,,,AD A D DC AC 由正方体的性质可得1111,,AD A D AD DC A D DC D ⊥⊥=，1,A D DC ⊂平面1A DC那么1AD ⊥平面1A DC当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥故点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥，故A 正确；对于B ，由11B C MD C D B M V V --=当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的间隔 最大那么三棱锥1B C MD -的体积最大值为11311114111323A C BD V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ， 连接1A M因为11//CD A B ，所以11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角设正方体棱长为1，1A M x =，那么2211B M x =+点1A 到线1AD 的间隔 为2211222+=，212x ∴≤≤ 22112113cos cos 20213x x A B M x ︒++-∠===+ 解得32,132x ⎡⎤=∉⎢⎥⎣⎦所以在线段1AD 上不存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒，故C 错误；对于D ，连接111111,,,,,A B BD A D D C D B B C11//A D BC ，11A D BC =∴四边形11A BCD 为平行四边形，那么11//A B D C1A B ⊄平面11B CD ，1D C ⊂平面11B CD 1//A B ∴平面11B CD ，同理可证//DB 平面11B CD 1A B DB B ⋂=，1,A B DB ⊂平面1A BD ∴平面11//B CD 平面1A BD假设1M A D ∈，MB ⊂平面1A BD ，那么//BM 平面11B D C ，故D 正确；应选：ABD【点睛】此题考察空间垂直关系的证明和判断，考察几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行的判断，属于中档题.第二卷〔非选择题〕三、填空题15.设()3,2,1A ，()1,0,5B ，()0,3,4C ，AB 的中点为M ，那么CM =_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由中点坐标公式得出M 的坐标，再由两点间间隔 公式求解即可. 【详解】由题意知，()2,1,3M ，那么()()()2222013343CM =-+-+-=故答案为：3【点睛】此题主要考察了求空间中两点间的间隔 ，属于根底题. 16.0a >，0b >，且2a b +=，那么21a b+的最小值为________.【答案】32+ 【解析】 【分析】利用根本不等式求解即可.【详解】21a b +()12133223222b a a b a b a b ⎛⎫=+=++≥+= ⎝+⎭+⎪当且仅当2b a a b=，即2,4b a ==-时，取等号那么21a b +的最小值为32+故答案为：32+ 【点睛】此题主要考察了利用根本不等式求最值，属于中档题.17.直线210x y --=与圆M ：224640x x y y -+-+=相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，那么四边形ABCD 面积的最大值为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】先由圆的方程得到圆心坐标与半径，再由点到直线间隔 公式求出圆心(2,3)M 到直线210x y --=的间隔 ，结合圆的性质，即可求出结果.【详解】圆M ：224640x y x y +--+=可化为22(2)(3)9x y -+-= 那么圆M 的圆心(2,3)M ，半径3r =点(2,3)M 到直线210x y --=的间隔 26155d --==由题意知，当BD 为过圆心M 且垂直于AC 时，四边形ABCD 面积的最大且最大值为1129561222AC BD ⨯⨯=⨯-⨯= 故答案为：12【点睛】此题主要考察了直线与圆的应用，熟记点到直线的间隔 公式，以及圆的性质即可，属于中档题.18.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，那么直升机飞行的高度为________千米.〔结果保存根号〕【答案】65【解析】 【分析】利用正弦定理以及直角三角形的边角关系得出直升机飞行的高度. 【详解】如以下图所示6075135BAC ︒︒︒∠=+=，30EAB ∠=︒，30ACB ∠=︒，1672605BC DE ==⨯=千米 由正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠可得，61sin sin 52BC ACB AB BAC ⨯⋅∠===∠千米在直角ABE △中，tan 5BE AB EAB =⋅∠==千米【点睛】此题主要考察了正弦定理的实际应用，属于中档题.四、解答题〔解容许写出必要的文字说明、证明过程或者验算步骤.〕 19.直线l 的方程为34100x y +-=，求直线l '的方程，使得： 〔1〕l '与l 平行且过点1,2；〔2〕l '与l 垂直且l '与两坐标轴围成的三角形的面积为2.【答案】〔1〕3450x y +-=；〔2〕430x y -+=或者430x y --=. 【解析】 【分析】〔1〕由l '与l 平行设l '的方程为340x y m ++=，再由1,2在l '上得出m 的值，进而得出直线l '的方程；〔2〕由l '与l 垂直设出直线l '的方程，再由l '与两坐标轴围成的三角形的面积求出λ的值，进而得出直线l '的方程.【详解】〔1〕解：设l '的方程为340x y m ++=，由点1,2在l '上知380m -++=，5m =-，所以直线l '的方程为3450x y +-=.〔2〕解：设l '的方程为430x y λ-+=，令0y =，得4x λ=-，令0x =，得3y λ=，于是三角形面积12243S λλ=-⋅=，得248λ=，43λ=± 所以直线l '的方程为43430x y -+=或者43430x y --=. 【点睛】此题主要考察了根据两直线平行和垂直求方程，属于中档题.20.如下图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.〔1〕求A ；〔2〕假设点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .【答案】〔1〕23π；〔27. 【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理，化边为角，可得tan 3A =A ; 〔2〕结合三角形的性质及余弦定理可求PB .【详解】〔1〕由条件，s 3c in os 3bC C a-=， 那么由正弦定理，sin 3co i 3s n s BC AC -=， 所以()3sin cos sin sin sin sin cos sin cos A C A C B A C A C C A ==+=+， 即3sin sin cos A C C A =， 又sin 0C >，所以tan 3A =23A π=. 〔2〕由〔1〕可知，23BAC π∠=，而6C π=，那么6ABC π∠=，所以2AB AC ==，在PAB △中，3PAB π∠=，由余弦定理，2222cos 9467PB PA AB PA AB PAB ⋅=∠=+-+-=.所以7PB =.【点睛】此题主要考察利用正弦定理和余弦定理求解三角形，边角的转化是求解的关键，侧重考察数学运算的核心素养.21.如下图，在ABC 中，22CA CB AB ==，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点.求证：〔1〕//GF 平面ABC ； 〔2〕平面DAC ⊥平面EBC ；〔3〕求直线EC 与平面ABED 所成的角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔36【解析】 【分析】〔1〕利用线面平行的断定定理结合中位线定理证明即可；〔2〕利用面面垂直的性质以及线面垂直的断定定理证明AC ⊥平面EBC ，最后由面面垂直的断定定理证明即可；〔3〕取AB 的中点N ，利用面面垂直的性质得出CN ⊥平面ABED ，进而得出CEN ∠为直线EC 与平面ABED 所成的角，最后由直角三角形的边角关系得出直线EC 与平面ABED 所成的角的正弦值.【详解】〔1〕证明：连接AE ，因为四边形ADEB 为正方形，所以AE BD F ⋂=，且F 是AE 的中点，因为G 是EC 的中点，所以//GF AC .又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，所以//GF 平面ABC .〔2〕证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB AB ⊥又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED 所以BE ⊥平面ABC ，所以BE AC ⊥ 因为22CA CB AB ==，所以222CA CB AB +=，所以AC BC ⊥ 又因为BCBE B =，BC ，BE ⊂平面EBC ，所以AC ⊥平面EBC因为AC ⊂平面DAC ，所以平面DAC ⊥平面EBC . 〔3〕取AB 的中点N ，连接EN ，CN 因为CB CA =，所以CN AB ⊥又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，CN ⊂平面ABC 所以CN ⊥平面ABED ，所以CEN ∠即为直线EC 与平面ABED 所成的角. 不妨设1AB =，那么12CN =，6CE =∴162sin 62CEN ∠==.所以直线EC 与平面ABED 6【点睛】此题主要考察了证明线面平行，面面垂直，求线面角，属于中档题.22.正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N，〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕令()2212n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有564n T <. 【答案】〔1〕2n a n =；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕利用n S 与n a 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列{}n a 的通项公式； 〔2〕由2n a n =得出数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可. 【详解】〔1〕解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ① 那么211142n n n S a a ---=+，()2n ≥②①-②得()22114222n n n n n a a a a a n --=-+≥-即()2211222n n n n a a a a n --+=-≥即()()()()11122n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥ 又10n n a a ->+，12n n a a --=，()2n ≥.又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列.所以2n a n =.〔2〕证明：由于2n a n =，()2212n n n b n a +=+那么()()2222111116422n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦()()22221111115111621626412n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题主要考察了由n S 求n a 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.23.圆M 的方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .〔1〕求假设60APB ∠=︒，试求点P 的坐标； 〔2〕求证：直线AB 过定点；〔3〕设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.【答案】〔1〕P 的坐标为()0,0P 或者84,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；〔2〕证明见解析；〔3〕221758464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔除去点()0,2〕. 【解析】 【分析】〔1〕设()2,P m m ，由圆的性质以及直角三角形的性质得出2M P =，由两点间间隔 公式得出m 的值，进而得出点P 的坐标；〔2〕求出经过A ，P ，M 三点的圆的方程，并与圆M 的方程联立，得出直线AB 的方程，从而得出直线AB 过定点；〔3〕根据直角三角形的性质得出点N 在以MR 为直径的圆上，求出半径和圆心坐标，即可得出点N 的轨迹方程.【详解】〔1〕解：设()2,P m m ，因为PA 是圆M 的切线，60APB ∠=︒ 所以30APM ∠=︒，2M P =，所以()()22224m m +-=，解之得0m =，45m =故所求P 的坐标为()0,0P 或者84,55P ⎛⎫⎪⎝⎭. 〔2〕解：设()2,P m m ，又()0,2M ，那么MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程：()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得：222(2)20x y mx m y m +--++=由()22222220,430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎨+-+=⎩两式相减，得AB ：()22320mx m y m +-+-=，即()22230m x y y +--+=，由220,230x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.〔3〕因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN AB ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上.M ，R 的中点为17,84⎛⎫ ⎪⎝⎭，128r MR ==点N 的轨迹方程221758464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔除去点()0,2〕. 【点睛】此题主要考察了圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，直线过定点问题，求有关圆的轨迹方程，考察转化思想以及计算才能，属于中档题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
山东省济宁市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题【含答案】
济宁市第一中学高一2023—2024学年度第二学期6月份测试数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z 满足()21i |1i |z -=+，则z =（）A.1i -B.1i +C.1i --D.1i-+2.若π1cos 23α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos π2α-=（） A.429- B.429 C.79 D.79-3.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图A B C ''' 的面积（）A.16B.8C.8D.44.已知两条不同的直线,m n ，两个不同的平面,αβ，则下列说法正确的是（）A.若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥nB.若,m n m α⊥⊥，则n ∥αC.若,,n n m αβαβ⊥⋂=⊥，则m β⊥D.若,,n m m αβα⋂=⊂∥β，则m ∥n5.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222,4a c b ac ac +-==，则BA BC ⋅= （）B. C.2 D.-26.函数()sin (0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=->><<的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.已知圆锥PO 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A.4:1 B.3:1 C.2:1 D.8:18.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，点E 是棱CD 的中点，P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面1BA E ，则点P 的轨迹长为（） A. B.2 C.22 D.1二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.已知0ω>，函数()2sin cos 2f x x x x ωωω=+-的最小正周期为2π，则下列结论正确的是（）A.1ω=B.函数()f x 在区间ππ,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增C.将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度可得函数()cos g x x =的图象D.函数()f x 的图象关于直线π12x =对称10.若()22i z k k k k =-+∈R ，则下列结论正确的是（）A.若z 为实数，则0k =B.若i 13i z =+，则3k =C.若2z z +=-，则z =D.若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则3k >11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 是1DD 的中点，则下列选项中正确的是（）A.1AC B E⊥B.1B C ∥平面1A BDC.三棱锥11C B CE -的体积为16D.异面直线1B C 与BD 所成的角为45第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面内非零向量a 在向量b 上的投影向量为12b - ，且3a b = ，则a 与b 夹角的余弦值为__________.13.在四面体P ABC -中，,3,PA PB PA PB AC BC ⊥====，则该四面体外接球的表面积为__________.14.函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程()45f x =在5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭上的解为12,x x ，则()12cos x x +=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知向量()()()3,1,1,2,a b m a kb k =-=-=+∈R .（1）若向量m 与2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =- ，且m 与向量kb c + 平行，求实数k 的值.16.（本小题15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c bc a +-=.（1）求角A 的大小；（2）若12,sin 7b C ==.（i ）求sin B 的值；（ii ）求ABC 的面积.17.（本小题15分）已知向量())2cos ,sin cos ,,sin cos a x x x b x x x =+=- ，且函数()f x a b m =⋅-在x ∈R 时的最大值为2-.（1）求常数m 的值；（2）当[]0,πx ∈时，求函数()f x 的单调递增区间.18.（本小题17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,AB BB AC ===11B BCC 为正方形.（1）求证：平面11A B C ⊥平面11B BCC ；（2）求二面角1A B C B --的余弦值.19.（本小题17分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB ==，E F ､分别是SC BD ､的中点.（1）求证：EF ∥平面SAB ；（2）若二面角S AB D --的大小为π2，求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小.数学参考答案1.B【详解】由()21i |1i |z -=+得()()()221i |1i |1i 1i 1i 1i z ++===+--+.故选：B.2.D 【详解】由π1cos 23α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得1sin 3α=-，则()27cos π2cos22sin 19ααα-=-=-=.故选：D.3.A 【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，画对应的x '轴，y '轴，使45x O y ∠'''= ，如下图所示，结合图形，ABC 的面积为113312224ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯= ，作C D A B '⊥''，垂足为D ，则1,2224C D O C OC OC AB A B '=⨯=⨯=''''=，所以A B C ''' 的面积112244AA B C ABC S A B C D OC AB S '''=⨯⨯='⨯'⨯⨯=' ，即原图和直观图面积之间的关系为4S S =直观图原图，所以，A B C ''' 的面积为4416A B C S '''== .故选：A.4.D【详解】对于A ，如图，若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，m α⊥，若n α⊂，则由线面垂直定义n m ⊥，故B 错误；对于C ，如图，,,n n m αβαβ⊥⋂=⊥，此时m β⊂，故C 错误；对于D ，若,,n m m αβα⋂=⊂∥β，则由线面平行性质定理m ∥n ，故D 正确.故选：D.5.C【详解】因为222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又4ac =所以1cos 422BA BC BA BC B ⋅=⋅=⨯= .故选：C6.B【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为-2，故2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故2ππT ω==，解得2ω=，故()2sin 2y x ϕ=-.将5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入可得：5π2sin 2212ϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，则()5ππ2π62k k ϕ-=+∈Z ，解得()π2π3k k ϕ=-+∈Z .π0π,3ϕϕ<<∴= ，π2sin 2.3y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭故选：B.7.A【详解】如图，等边三角形PAB 的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为r 和R ，则π1sin 62r R ==所以其外接球与内切球的表面积之比为224π4:14πR r=.故选：A.8.A【详解】如图，分别作1111,,CC C D DD 的中点,,G H F ，连接1111,,,,,,,,B G B H GH HE CD A B A F EF ，由题可知HE ∥1CC ∥111,BB HE CC BB ==，则四边形1BB HE 为平行四边形，1B H ⊄ 平面,BEF BE ⊂平面11,BA E B H ∴∥平面1BA E ；同理可得1B G ∥平面1,BA E ∴平面1B GH ∥平面1BA E ，由题意知P ∈平面1B GH ，又点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，P ∴∈线段GH ，点P 的轨迹为,GH GH ∴=故选：A.9.BC【详解】()()21sin cos sin21cos22222f x x x x x x ωωωωω=+-=++-1πsin2cos2sin 2223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以2π12π22T ωω==⇒=，故A 错误；即()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,3412x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数单调递增，故B 正确；将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度得ππππsin sin cos 6632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；πππ5πsin sin 11212312f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象不关于直线π12x =对称.故选：BC.10.AC【详解】若z 为实数，则虚部为0，即0k =，故A 正确；若i 13i z =+，则()213i i 13i 3i i iz ++===-，则2231k k k ⎧-=⎨=-⎩，解得1k =-，故B 错误；若2z z +=-，则()2222k k -=-，解得1k =，则1i,z z =-+==C 正确；若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2200k k k ⎧->⎨>⎩，解得2k >，故D 错误.故选：AC.11.ABC【详解】如图，因为1BB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为11,,,AC BD AC BB BD BB B BD ⊥⊥⋂=⊂平面111,BDD B BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1B E ⊂平面11BDD B ，所以1AC B E ⊥，故A 正确；因为1B C ∥11,A D A D ⊂平面11,A BD B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ，故B 正确；三棱锥11C B CE -的体积为111111111326C B CE B C CE V V --==⨯⨯⨯=，故C 错误；因为BD ∥11B D ，所以11CB D ∠是异面直线1B C 与BD 所成的角，又11CB D 是等边三角形，所以异面直线1B C 与BD 所成的角为60 ，故D 错误.故选：ABC.12.16-【详解】设a 与b的夹角为θ，因为22cos cos 12||||a b a a b b a b b b b b b b bb b θθ⋅⋅⋅⋅=⋅==⋅=- ，即cos 12a b θ=- ，又3a b = ，则13cos 2θ=-，即1cos 6θ=-.故答案为：16-.13.18π【详解】如图所示：由,3PA PB PA PB ⊥==，可知AB ==.因为AC BC ==，所以222AB AC BC =+，即AC BC ⊥.设AB 的中点为O ，则13222OA OB OC OP AB =====，所以O 为四面体P ABC -外接球的球心，四面体P ABC -的外接球半径2R OA ==，所以外接球表面积22324π4π18π2S R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：18π14.1/0.52【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2663T ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭，故2π3T ≥，又()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，故π为函数的一个周期，故最小正周期πT =，即2ππω=，解得2ω=±，若2ω=，则()πππsin 2,,666f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时满足()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，不满足要求，若2ω=-，则()ππsin 2sin 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,626x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，令πππ2,626t x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，由于sin y t =-在ππ,26t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减，符合要求，π45π11ππ5π2πsin 2,,,2,651212633x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对称性可得12ππ223π6622x x -+-+=-，即125π3x x +=，所以()125π1cos cos 32x x +==.故答案为：1215.（1）53（2）13-【详解】（1）()()3,1,1,2a b =-=- ，()()3,12,27,4m a kb k k a b ∴=+=-+--=- ，又m 与2a b -垂直，()()()()2371240m a b k k ∴⋅-=-+⋅-+-⋅= ，即25150k -=，解得53k =，经检验符合题意，若向量与2a b - 垂直，则53k =.（2）由题意知：()()()1,1,3,1,1,2c a b =-=-=- ，()()1,21,3,12kb c k k m k k ∴+=+--=-+- 又m 与向量kb c +平行，()()()()3211120k k k k ∴-+⋅---+⋅-=，即620k +=，解得13k =-，所以m 与向量kb c + 平行，则13k =-.16.（1）π3A =（2）（i ）13sin 14B =；（ii）13.【详解】（1）已知222b c bc a +-=，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=，则1cos 2A =，又()0,πA ∈，则π3A =.（2）（i ）1sin sin 7C A =<，由正弦定理有c a <，得π3C A <=，故43cos 7C ==，()1113sin sin sin cos cos sin 272714B A C A C A C =+=+=⨯=.（ii）由正弦定理可知，2sin 213sin 1314b A a B ===，故ABC 的面积为11143123sin 22213713ABC S ab C ==⨯⨯= .17.（1（2）π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）22πcos sin cos cos22sin 2,6a b x x x x x x x ⎛⎫⋅=+-=-=- ⎪⎝⎭ 因()π2sin 26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在x ∈R时的最大值为2，即max ()22f x m =-=m =（2）由（1）得，()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令()πππ2π22π262k x k k -+≤-≤+∈Z ，解得：()ππππ63k x k k -+≤≤+∈Z ，又因[]0,πx ∈，故()f x 的单调递增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.（1）证明见解析（2）3【详解】（1）由平面11B BCC 为正方形，因为11BB =，所以1BC =，又因为1,BA AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，又1BB BC B ⋂=，且1,BB BC ⊂平面11B BCC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为11A B ∥AB ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，因为11A B ⊂平面11A B C ，平面11A B C ⊥平面11B BCC .（2）因为直角三角形1BB C 中，11BB AB ==.所以1AB =，所以1AB C 为等边三角形：又因为1BB C 为等腰三角形.所以取1B C 得中点O ，连结,AO BO ，则11,AO B C BO B C ⊥⊥，所以AOB ∠为二面角1A B C B --的平面角.因为直角三角形1BB C 中，1122BO B C ==.在等边三角形中，22AO AC ==所以在三角形AOB 中，222cos 23AO BO AB AOB AO BO ∠+-==⋅.所以二面角1A B C B --的余弦值为33.19.（1）证明见解析；（2）π3【详解】（1）证明：取线段SB AB ､的中点分别为H G ､，连接EH HG FG ､､，则EH ∥1,,2BC EH BC FG =∥1,2AD FG AD =，又底面ABCD 是正方形，即BC ∥,AD BC AD =，则EH∥,FG EH FG =，即四边形EFGH 为平行四边形，则EF ∥HG ，又EF 在平面SAB 外，HG ⊂平面SAB ，故EF ∥平面SAB .（2）取线段AB 的中点为O 点，连接SO DO ､，又2SA SB ==，底面ABCD 是边长为1的正方形，则SO AB ⊥，且155,22SO DO ==，又二面角S AB D --的大小为π2，即平面SAB ⊥平面ABCD ，又SO ⊂平面SAB ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，则SO ⊥平面ABCD ，则SDO ∠是直线SD 与平面ABCD 所成角，在Rt SDO 中，tan SO SDO DO∠==即π3SDO ∠=，故直线SD 与平面ABCD 所成角的大小为π3.。
高一第二学期6月份月考数学试卷 试题
沂水县第四中学高一第二学期6月份月考数学试卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分，一共60分．1.5.22tan 15.22tan 2-的值是 ( )A.2B.1C.21 D.41 2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα,假设53sin =α,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα= ( )A.57 B.51 C.273.21tan 52)tan(==-ββα，,那么=-)2tan(βα ( ) A.43 B.83C.121D.121-4.集合(){}Z k k k A ∈+≤≤=,122παπα,{}44≤≤-=ααB .那么=⋂B A ( ) A.φ B.{}44≤≤-αα C.{}παα≤≤0 D.{}παπαα≤≤-≤≤-0,4或 5.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,那么m 的取值范围是 ( ) A.37≤m B.1-≥m C.371≤≤-m D.37,1≥-≤m m 或6.假设()x x f 3cos cos =,那么()30sin f 的值是 ( ) A.0 B.1 C.1- D.237.函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是 ( )A.]3,0[π B.]127,12[ππC.]65,3[ππ D.],65[ππ8.方程)1(,01342的常数为大于a a ax x =+++的两根为βαtan ,tan ,且α、⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππβ,那么2tanβα+的值是( ) A.21或者2- B.21 C.2- D.349.函数x x y cos -=的局部图象是 ( )A. B. C. D.10.定义在R 上的偶函数()x f 满足()()2+=x f x f ,当[]4,3∈x 时,()2-=x x f ,那么 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21cos 21sin f f B.⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛3cos 3sin ππf fC.()()1cos 1sin f f <D.⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛23cos 23sin f f11.下面给出四个命题： ①y ＝t a n x 是其定义域上的增函数; ②函数|)3π2sin(|+=x y 的最小正周期是2π; ③将函数)2π3cos(-=x y 的图像向左平移2π个单位,就是函数)2πsin(+=x y 的图像; ④π45=x 是函数)2π52sin(+=x y 的图像的一条对称轴方程． 其中正确命题的个数为 ( )12.使函数()()ϕϕ+++=x x y 2cos 32sin 为奇数,且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数的ϕ的一个值是 ( )A.π35B.π34C.π32D.3πxxxx高一下学期月考数学试卷数学答题卷一、选择题: 本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分．二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题4分,一共16分．13.把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图象向左平移6π个单位,那么所得图象对应的函数表达式为 .14.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N Z k k x x M ,4,,42ππππ,那么集合M 与集合N 之间的关系为 .15.扇形的周长为cm 8,面积为24cm ,那么此扇形的中心角的弧度数为 .16.设()x f 是定义域为R ,最小正周期为23π的函数,⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=),0(sin ),02(cos )(ππx x x x x f 那么)415(π-f = . 三、解答题：本大题一一共6小题,满分是74分.17.(本大题满分是12分)24tan =⎪⎭⎫⎝⎛+απ,求ααα2cos cos sin 21+的值.班级_________ 姓名____________ 准考证号____________ 得分____________18.(本大题满分是12分)26217)cos(,1312cos =+-=βαα,且)23,(ππα∈,)2,23(ππβα∈+，求β.19.(本大题满分是12分)设函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 最高点D 的坐标为()2,2.由最高点运动到相邻的最低点时,曲线与x 轴交点的坐标为(6,0)． (1)求ϕω,,A 的值;(2)求出该函数的频率、初相和单调区间．20.(本大题满分是12分) 函数().023cos 3cos sin )(2>++-⋅=a b a x a x x a x f(1)写出函数的单调递减区间;(2)设]20[π，∈x ,f (x )的最小值是2-,最大值是3,务实数a 、b 的值．21.(此题满分是12分)()32cos 322cos 2sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθx x x x f .(1)化简()x f 的解析式;(2)假设[]πθ,0∈,求θ,使函数()x f 为偶函数;(3)在(2)成立的条件下,求满足()[]ππ,,1-∈=x x f 的x 的集合.22.(本大题满分是14分)函数.2cos )24(sin sin 4)(2x xx x f ++=π(1)设ω>0为常数,假设]32,2[)(ππω-=在区间x f y 上是增函数,求ω的取值范围；(2)设集合},2|)(||{},326|{<-=≤≤=m x f x B x x A ππ假设B A ⊆,务实数m 的取值范围.高一下学期数学月考数学试卷参考答案一、选择题: 本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分．二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题4分,一共16分． 13.x y 2cos =. 14. M=N . 15.2 . 16.22. 三、解答题：本大题一一共6小题,满分是74分．17.解：由.31tan ,2tan 1tan 1)4tan(==-+=+ααααπ得----------------3分ααααααααα2222cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21++=+------------------6分1tan 21tan 2++=αα------------9分=.3213121)31(2=+⨯+ -------12分18.解:因为1312cos -=α,)23,(ππα∈,所以135)1312(1cos 1sin 2-=---=--=αα ------------------２分 又因为26217)cos(=+βα,)2,23(ππβα∈+所以2627)26217(1)(cos 1)sin(22-=--=+--=+βαβα------------------5分 而由)23,(ππα∈,)2,23(ππβα∈+可得),0(πβ∈ --------------------7分 又因为αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= 22)2627()135(262171312-=-⨯-+⨯-= --------------------10分 所以43πβ=． -------------12分19.解:(1)2=A ,-------------------------------------------------2分4264=-=T ,即16=T ,所以82ππω==T .-------------------------4分 因为图象过点(6,0),所以068sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ϕπ,即πϕπk =+⋅68,()Z k k ∈-=43ππϕ. 又因为,2πϕ<所以.4πϕ=----------------------------------------6分(2)频率1611==T f ,初相4πϕ=,---------------------------------8分 当()Z k k x k ∈+≤+≤-224822ππππππ时,()x f 递增,即()x f 的递增区间为[]()Z k k k ∈+-216,616 -------10分 当()Z k k x k ∈+≤+≤+2324822ππππππ时,()x f 递减, 即()x f 的递减区间为[]()Z k k k ∈++1016,616 ------------12分 20.解：(1)b x x x a x f ++-⋅=)23cos 3cos (sin )(2b x a b x x a +-=+++⨯-⨯=)32sin()2322cos 132sin 21(π------------ 4分因为R x a ∈>,0, 所以f (x )的递减区间是]1211125[ππππ++k k ， (k ∈Z )-------6分 (2)解：因为x ∈[0，2π], 所以2x ∈[0，π], ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-πππ32,332x -------- 7分所以]123[)32sin(，-∈-πx--------9分所以函数f (x )的最小值是b a +-23，最大值是b a + --------10分由得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-3233b a b a ， 解得a ＝2，b ＝23---------12分21.(1)()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=62cos 22cos 32sin 12cos 232sin 2πθθθθθx x x x x x f(或者()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32sin 2πθx x f ); --------4分(2)当6πθ=时,()x f 为偶函数; --------8分 (3)由()1=x f ,得12cos 2=x ,所以212cos =x ,因为[]ππ,-∈x ,所以π65±=x ,或者6π±=x . --------------11分所以所求x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=6,65ππx x x 或. --------12分22.解: (1)化简,2cos )24(sin sin 4)(2x xx x f ++=π得()1sin 2+=x x f , 所以()1sin 2+=x x f ωω. --------3分 因为]32,2[)(ππω-=在区间x f y 是增函数,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊆-ωπωπππ2,2]32,2[ --------5分 所以,232,22ωππωππ≤-≥-所以]43,0(∈ω. --------7分 2)(2)(,2)(2,2|)(|)2(+<<-<-<-<-x f m x f m x f m x f 即可得由.2)(2)(,326,恒成立不等式时所以当因为+<<-≤≤⊆x f m x f x B A ππ-------9分 ]2)([]2)([min max +<<-x f m x f 所以, -------11分)4,1(.3)2()(,2)6()( max min ∈====m f x f f x f 所以因为ππ. -------14分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
湖北省武汉市高一下学期第六次月考数学试题(解析版)
高一年级第6次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项）1. 若，则（ ）()i 42i z z +=+2z z+=A. B.C.D.2-012【答案】D 【解析】【分析】设，根据复数乘法运算和复数相等可求得，由可得结果. ()i ,z a b a b =+∈R a 2z za +=【详解】设，则，()i ,z a b a b =+∈R i z a b =-，， ()()2222i i i i 42i z z a b a b a b b a +=+++=+-+=+ 2a ∴=. 2222z z aa +∴===故选：D.2. 对于平面和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是（ ） αA. 若，则 B. 若，则,m m n α⊥⊥//n α//,//m n αα//m n C. 若，则 D. 若m 、n 与所成的角相等，则,//m n αα⊂//m n α//m n 【答案】C 【解析】【分析】举例说明判断A ，B ，D ；利用线面平行的性质判断C 作答.【详解】对于A ，因，令垂足为A ，在平面过点A 作直线n ，如图，显然满足，而m α⊥αm n ⊥，A 不正确；n ⊂α对于B ，当直线m 、n 是相交直线，它们确定的平面，满足，而m 、n 相交，B 不正//βα//,//m n αα确；对于C ，直线m 、n 确定的平面为，因，即，而，因此，C 正确；βm α⊂m βα⋂=//n α//m n对于D ，因圆锥的任意两条母线与底面所成角相等，即直线m 、n 可为一圆锥的两条母线，此时m 、n 是相交直线，D 不正确. 故选：C3. 已知直线和平面满足,则（ ）,m n ,αβ,,m n m ααβ⊥⊥⊥A. B. 或 n β⊥//n βn β⊂C. D. 或n α⊥//n αn ⊂α【答案】D 【解析】【分析】作出示意图，进而根据点、线、面的位置关系及线面垂直的判定即可判断.【详解】如图所示，正方体中，记平面ABCD 为，平面为，所在1111ABCD A B C D -α1111D C B A β1BB 直线为m ，若n 为，满足，显然，所以A,C 错误； 11B C m n ⊥//,//αβn n 若n 为，满足，显然，所以B 错误； 11A B m n ⊥n β⊥对D ，若或，显然满足题意，//n αn ⊂α若n 与交于点P ，点Q 为直线n 上不同于点P 的另外一点，连接PB ，因为，，所以αm α⊥PB α⊂，又，而n 与PB 交于点P ，所以平面PBQ ，又因为，m PB ⊥m n ⊥m ⊥m α⊥于是过点B 存在两个不同的平面与m 垂直，矛盾，所以D 正确. 故选：D.4. 在梯形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，，则（ ） 34BC AD = DC =A.B.34OB OC +34OB OC -C.D.34OB OC + 34OB OC - 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】如图，由，可得（利用平行关系求得线段比）， 34BC AD =34DO AD OB BC ==则，所以，34DO OB = 34DC DO OC OB OC =+=+故选：A ．5. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的3AB BC CD DA ====距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面R r ABCD h 的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可. ABCD 12h R =222R r h =+R 【详解】由已知，A 、B 、C 、D 在同一平面内，且， 3AB BC CD DA ====所以四边形为正方形，ABCD 设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离， R r ABCD h ABCD 根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，， 12h R =而正方形边长为，所以， ABCD 3r =由，解得， 222222R R r h ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭R =所以. 3344ππ33V R ===球故选：A .6. 火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较重，如果过长影响火箭发射），已知工程师们在建桥处看对岸目标点的正下方地面上一标志物的高为，从点处看点A 和点俯角为，C D AB h C B αβ．求一枚火箭应至少携带引导索的长度（ ）CDA.B.sin cos sin()h αβαβ-cos cos sin h αββC.D.cos cos sin()h αβαβ-cos sin cos h αββ【答案】C 【解析】【分析】在Rt 中可得，在中，利用正弦定理运算求解即可. BCD △cos CDBC β=ABC A 【详解】在Rt 中，，BCD △cos cos CD CDBC BCD β==∠在中，可知， ABC A π,,2AB h ACB A αβα=∠=-∠=-由正弦定理可得：，即，sin sin AB BCACB A=∠∠()cos πsin cos cos sin 2CDh CD βαβαβα==-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以.()cos cos sin h CD αβαβ=-故选：C .7. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D 【解析】【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.8. 在长方体中，与和所成的角均为，则下面说法正确的是1111ABCD A B C D -1B D 1CC 11C D 60︒（ ）A.B.1AB =AD AB =C. D. =AC 1=AC 【答案】D 【解析】【分析】根据长方体的结构特征，可得与和所成的角即为与和所成的角,从1B D 1CC 11C D 1B D 1BB 11A B 而设,由此可求得长方体的棱长，即可一一判断各选项，即得答案. 12DB =【详解】在长方体中，, 1111ABCD A B C D -111111////,C D BB A C B C 则与和所成的角即为与和所成的角, 1B D 1CC 11C D 1B D 1BB 11A B 即, 11160DB B A B D ∠=∠=︒连接,1,DB A D易得面，面，且面，面， 1BB ⊥ABCD 11B A ⊥11ADD A BD ⊂ABCD 1A D ⊂11ADD A 则为直角三角形，111,BB D B A D A A设,则, 12DB =111111,12BB DB A B ===故，故A 错误； 11AB AA ==由为直角三角形，可得1B BD A BD ===则故B 错误；AD ==由以上解答可知,AC BD BC AD ====故，C 错误； AC BC =在长方体中，，，1111ABCD A B C D -112AC DB ==BD =故，D 正确， 1=AC BD 故选：D二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分）9. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）AB MNQA. B.C. D.【答案】BCD 【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A ，OQ ∥AB ，OQ 与平面MNQ 是相交的位置关系，故AB 和平面MNQ 不平行，故A 错误；对于选项B ，由于AB ∥CD ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ，故B 正确；对于选项C ，由于AB ∥CD ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：故C 正确；对于选项D ，由于AB ∥CD ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：故D 正确；故选：BCD10. 如图，的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC A )cos co s 2sin a C c A b B +=.若点在外，，，则下列说法中正确的有（ ） π3CAB ∠=D ABC A 1DC =3DA =A. B. π3ABC ∠=π3ACB ∠=C. 四边形面积的D. 四边形面积无最大值ABCD 2+ABCD 【答案】AB 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出角判断AB ；利用三角形面积公式及余弦定理，借助三角函数性质求解判断CD.【详解】在，得ABC A cos cos )2sin a C c A b B +=，cos sin cos )A C C A +=22sin B，而，，解得， 2)2sin A C B +=22sin B B =0πB <<sin 0B >sin B =而，则有，因此，，A B 正确； π3CAB ∠=2π(0,)3B ∈π3B =ππ3ACB BAC B ∠=-∠-=显然是等边三角形，ABC A四边形面积等于 ABCD 21sin 2ABC ACD S S AC AD DC ADC +=+⋅⋅∠A A)2212cos sin 2AD DC AD DC ADC AD DC ADC =+-⋅⋅∠+⋅⋅∠， 16cos )sin 23ADC ADC =+-∠+∠π3sin()3ADC =∠-≤3+当且仅当，即时取等号，CD 错误. ππ32ADC ∠-=5π6ADC ∠=故选：AB11. 我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥，如果于点，，，下列说法正确的是P ABCD -AC BD ⊥O OA OC OD ==PC BD ⊥（ ）A. 是等腰直角三角形B. 平面平面ACD A PAC ⊥ABCD C. 平面 D. 到，，，距离均相等PO ⊥ABCD P AB BC CD DA 【答案】AB 【解析】【分析】依题意可得且，即可判断A ，由，，即45ODC ODA ∠=∠=︒AD DC =AC BD ⊥PC BD ⊥可证明平面，即可判断B ，过点作于点，由面面垂直的性质得到平面BD ⊥PAC P PH AC ⊥H PH ⊥，再利用反例说明C 、D.ABCD 【详解】因为且，所以与均为等腰直角三角形，且AC BD ⊥OA OC OD ==ODC A ODA A ，ODC ODA A A ≌所以，且，则，所以是等腰直角三角形，故A 45ODC ODA ∠=∠=︒AD DC =90ADC ∠=︒ACD A 正确；因为，，，平面，所以平面， AC BD ⊥PC BD ⊥AC PC C = ,AC PC ⊂PAC BD ⊥PAC 又平面，所以平面平面，故B 正确；BD ⊂ABCD PAC ⊥ABCD 过点作于点，因为平面平面，平面， P PH AC ⊥H PAC ⊥ABCD PH ⊂PAC 所以平面，PH ⊥ABCD 若，则不为点，此时平面不成立，故C 错误； AP PC ≠H O PO ⊥ABCD 设点到，，，的距离分别为、、、，H AB BC CD DA 1d 2d 3d 4d 若到，，，距离均相等，则，P AB BC CD DA 222222221234d PH d PH d PH d PH +=+=+=+则，故点为与的角平分线的交点，当时不在的1234d d d d ===H DAB ∠DCB ∠AD AB ≠H DAB ∠平分线上，故D 错误.故选：AB12. 如图所示，已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点是侧1111ABCD A B C D -1,E F 1,AD DD P 面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有（ ）11B BCC 1//D P BEFA. 点的轨迹为一条线段P B. 三棱锥的体积为定值P BEF -C. 的取值范围是 DP 32⎤⎥⎦D. 直线与 1D P BF 【答案】AB【解析】【分析】取中点，由面面平行的判定可证得平面平面，可知点轨迹为线111,BB B C ,G H //BEF 1D GH P 段，知A 正确；由线面平行性质可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等GH P BEF G BEF 体积转化，结合棱锥体积公式可求得B 正确；在中，通过求解点到的距离可确定C 错DGH A D GH 误；根据平行关系可知所求角为，则余弦值最小时，与重合，由余弦定理可求得结果，知1PD G ∠P H D 错误.【详解】对于A ，分别取中点，连接， 111,BB B C ,G H 1111,,,,D G GH D H BC AD，，四边形为平行四边形，， 1//D F BG 1112D F BG BB ==∴1BFD G 1//D G BF ∴平面，平面，平面；BF ⊂ BEF 1D G ⊄BEF 1//D G ∴BEF ，平面，平面，平面；11//////EF AD BC GH EF ⊂BEF GH ⊄BEF //GH ∴BEF ，平面，平面平面；1D G GH G = 1,D G GH ⊂1D GH ∴//BEF 1D GH 则当平面时，平面恒成立，1D P ⊂1D GH 1//D P BEF 又平面平面，平面，1D GH 11B BCC GH =P ∈11B BCC 点轨迹为线段，A 正确；P ∴GH 对于B ，由A 知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，//GH BEF ∴P BEF G BEF， 111124122P BEF G BEF E BFG A BFG A BDFG BDFG V V V V V S AC -----∴=====⋅A 11112224==即三棱锥的体积为定值，B 正确； P BEF -124对于C ，连接， ,DG DH在中，，，DGH A32DG ==32DH ==GH ==， 点到∴D GH==的取值范围为，C 错误； DP ∴32⎤⎥⎦对于D ，由A 知：，直线与所成角即为直线与所成角，即， 1BF //D G ∴1D P BF 1D P1D G 1PD G ∠则当与重合时，取得最大值，此时余弦值取得最小值；P H 1PD G ∠1HD G∠ 在中，，，， 1D GH △132D G ==1D H ==GH =， 22211111cos 2D H D G GH HD G D H D G +-∴∠===⋅即直线与，D 错误. 1D P BF 故选：AB . 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .()1,2a =-r ()6,3b =- a b + a【答案】 714,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即()5,1a b +=- 25a = ()7a b a +⋅=- ()a b a a a a +⋅⋅ 可得出答案.【详解】由已知可得，，，()()()1,26,35,1a b +=-+-=- ()2222125a a ==+-= 所以，， ()()51127a b a +⋅=-⨯+⨯-=- 所以，向量在上的投影向量为. a b + a ()()27714,555a b a a b a a a a a a a +⋅+⋅⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪⎝⎭ 故答案为：. 714,55⎛⎫- ⎪⎝⎭14. 在边长为2的正方体中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且平面1111ABCD A B C D -BM //，则动点M 的轨迹所形成区域的面积是_________．1AD C【答案】【解析】【分析】连接，，，证明平面平面，则动点M 的轨迹所形成区域为1A B 1BC 11AC 11//A BC 1AD C ，即可得解.11A BC V 【详解】如图，边长为2的正方体中，1111ABCD A B C D -动点M 满足平面，BM //1AD C 由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，BM 1AD C 连接，，，1A B 1BC 11AC 因为且，所以四边形为平行四边形，11//AB C D 11AB C D =11ABC D 所以，同理，11//AD BC 11//A B D C 又平面，平面，所以平面，1AD ⊄11A BC 1BC ⊂11A BC 1AD //11A BC 因为平面，平面，所以平面，1D C ⊄11A BC 1A B ⊂11A BC 1D C //11A BC 又因平面，11111,,AD D C D AD D C ⋂=⊂1AD C 所以平面平面，11//A BC 1AD C 又平面，所以动点M 的轨迹所形成区域为，B ∈11A BC 11A BC V，1111A B BC AC ===1112A BC S =⨯=A所以动点M 的轨迹所形成区域的面积是故答案为：.15. 已知与是单位向量，．若向量满足，则的取值范围是_____．a b 0a b ⋅= c 2c a b --=r r r c【答案】22⎡+⎣【解析】【分析】通过、及可求得；根据且22c a b --= 1==a b r r 0a b ⋅= ()222a b c c +⋅=- 1==a b r r 可求得，从而可构造出关于和的等式，利用可求a b⊥ a b + c cos ,c a b + []cos ,1,1c a b +∈-得的取值范围. c【详解】，是单位向量，，a b 1a b ∴== ，2c a b --= ， ()()()2222222224c a b c a b c a b c a b c a a b b ∴--=-+⋅++=-+⋅++⋅+= 又，， 0a b ⋅= ()222a b c c ∴+⋅=- 且1a b == 0a b ⋅= a b ∴+=，22,c c a b ∴-=+ 又， []cos ,1,1c a b +∈-[]1,1-所以，即，2|||2|c c c →→→-≤-≤22||20||20cc ⎧+≥⎪⎨-≤⎪⎩解得22c -≤≤+ 故答案为；22⎡+⎣16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】①. 共26个面. ②. .1【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．18826+=如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱x AB BE x ==BC FE G BC 于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，H BGE ∆， ,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+=+=． 1x ∴==-1-【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．四、解答题（本大题共8小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，． ABC A sin 2C C =（1）求；C ∠（2）若，且的面积为，求的周长．6b =ABC A ABC A 【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； cos C C C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.a c ABC A 【小问1详解】解：因为，则，()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =可得，因此，. cos C =6C π=【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.13sin 22ABC S ab C a ===A a =由余弦定理可得， 2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=c ∴=所以，的周长为.ABC A 6a b c ++=+ 18. 如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，G 为FC 的中点，平面ABFE ∩平面CDEF =EF（1）证明:AF //平面BDG（2）证明:AB //EF【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接AC 交BD 于O ,连接OG .利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF //平面BDG ；（2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB //EF.【小问1详解】连接AC 交BD 于O ,连接OG .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 、BD 互相平分.又G 为FC 的中点，所以OG 为三角形ACF 的中位线，所以.//AF OG 因为面,面,所以AF //平面BDG.OG ⊂BDG AF ⊄BDG 【小问2详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB//CD .因为面,面,所以AB //平面.CD ⊂CDEF AB ⊄CDEF CDEF 因为面,面面=EF . AB ⊂ABEF CDEFABEF 所以AB //EF.19. 在中，角所对的边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a b c B +=（1）求证：；2C B =（2）求的最小值. 3cos a b b B+【答案】（1）证明见解析（2）最小值为【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化 ，根据第一问解得32cos 2cos cos a b c B b b B b B ++=24cos cos B B =+π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【小问1详解】在中，，ABC A 2cos a b c B +=由正弦定理得，sin sin 2sin cos A B C B +=又，()πA B C =-+因为,()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅所以,sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=所以,又,()sin sin C B B -=sin 0B >所以，且,0πC B C <-<<πB C B C +-=<所以，B C B =-故.2C B =【小问2详解】由（1）得，2C B =()30,πB C B +=∈所以， π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，2cos ,2a b c B C B +==所以 32cos 2cos cos a b c B b b B b B++= 2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B B B B B B⋅+⋅+==⋅⋅， 24cos cos B B=+≥当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立， 24cos cos B B =cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4B =所以当时，的最小值为. π4B =3cos a b b B+20. 为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知A B C D ，，，且，.300m AB =200m AD =100m CD =AB CD ∥60BAD ∠=︒（1）求的长度.AC （2）假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的AB BC CD AD 250m /min 速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【答案】（1）（2）8min 【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，cos CAD ∠sin CAD ∠cos BAC ∠进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.AB 【小问1详解】因为，，所以，AB CD ∥60BAD ∠=︒120ADC ∠=︒在中，由余弦定理，得ACDA AC =. ==【小问2详解】在中，由余弦定理，得ACD A 222cos 2ADAC CD CAD AD AC+-∠===⋅所以，sinCAD ∠==所以. ()11cos cos cos 22BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠+∠==在中，由余弦定理，得ABCA 2222cos BCAC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，解得. (22300230040000=+-⨯=200m BC =假设小夏先去地，走路线，路长，B A BCD ---600m假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， C BC CD >A C D C B ----(400m +假设小夏先去地，走路线，路长，D A D C B ---500m 由于500600400<<+所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. A D C B ---500238min 250+⨯=21. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDEACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC A ACD A 三角形，，.4AC =BE =（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得平面?如果存在，求出AF 的值；如果不存在说明理//BF ADE 由；（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.CDE ABC 【答案】（1）即线段上存在点F ，当时，平面.AC 1AF =BF ∥ADE（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案.【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，, AC DM ACD A 4AC =则，且DM AC ⊥DM =因为平面平面 ，平面平面，平面ACD , ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM⊂所以平面，又因为平面，DM ⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线，,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面，平面，AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面. AC 114AF AC ==BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线，CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故, EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC A 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠= 故在中，A GBC， 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯= A故,又因为 2BGC BH CG S ==A 12BE DM ==所以 tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC 22. 如图，在三棱锥中，，点在平面内，点Q 在AB 上，且满足A BCD -=45ABC ∠︒P BCD .PQ AB ⊥（1）过Q 作AB 的垂面，分别交BC 于E ，交BD 于F ，过B 作交CD 于点M ，证明：QEF BMEF ⊥； EF AM ⊥（2）当PQ 与平面PQ 与平面所成角的余弦值. BCD ABC【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）证明平面后即可得证线线垂直；EF ⊥ABM（2）先由线面垂直确定，再利用线面角确定PQ 与平面BCD 所成最大时，是与的交P EF ∈P BM EF 点，再由线面垂直得出直线在平面内的射影是直线，即是直线与平面所PQ ABC QE PQE ∠PQ ABC 成的角，然后设，求出后可得结论．QB t =QP 【小问1详解】因为平面，平面，所以，AB ⊥QEF EF ⊂QEF AB EF ⊥又，，平面，所以平面，BM EF ⊥BM AB B ⋂=,BM AB ⊂ABM EF ⊥ABM 因为平面，所以；AM ⊂ABM EF AM ⊥【小问2详解】因为，平面，所以平面，又平面，PQ AB ⊥AB ⊥QEF PQ ⊂QEF P ∈ABC 平面平面，所以，ABC ⋂QEF EF =P EF ∈由平面，平面得平面平面，EF ⊥ABM EF ⊂BCD BCD ⊥ABM 所以在平面的射影是直线，作平面，则，连接，AB BCD BM QH ⊥BCD H BM ∈PH 是直线与平面所成的角，QPH ∠PQ BCD 由平面，得，PH ⊂BCD QH PH ⊥，因此最小时，最大，即最大，此时，是tan QH QPH PH∠=PH tan QPH ∠QPH ∠HP EF ⊥P BM 与的交点．EF 又平面，平面，所以平面平面，AB ⊥QEF AB ⊂ABC ABC ⊥QEF 又因为平面平面，所以直线在平面内的射影是直线，ABC ⋂QEF QE =PQ ABC QE 所以是直线与平面所成的角，PQE ∠PQ ABC 因为平面，平面，所以，EF ⊥ABM PQ ⊂ABM EF PQ ⊥因为平面，平面，所以，同理，AB ⊥QEF QE ⊂QEF ⊥QE AB AB PQ ⊥设，又，所以，， QB t ==45ABC ∠︒QE t =BE =，则， tan QB QPH PQ ∠==PQ =． cos QP EQP EQ ∠==。
高一下学期6月月考——数学人教版
高一年级下学期6月月考数 学 试 题（X 围：平面向量）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内． 1．若向量a =(1,1),b =(1,－1),c =(－1,2)，则c 等于（ ）A ．21-a 23+b B ．21a 23-b C ．23a 21-b D ．23-a +21b 2．已知P 点分有向线段AB 所成的比为31，则点B 分有向线段AP 所成的比为 （ ）A ．43B ．34C ．－34D ．－433．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则=b （ ）A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 4．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定5ABCD 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2,1）,（－1,3）,（3,4），则顶点D 的坐标为 （ ） A ．(2，1) B ．(2，2) C ．(1，2) D ．(2，3) 6．设a =(23，sin α)，b=(cos α，31)，且a ∥b ，则锐角α为 （ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°7．为了得到)2(x f y -=的图象，可以把函数)21(x f y -=的图象按向量a 进行平移，则a等于（ ）A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（0,21） D ．（0,21-） 8．锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）A ．Q>R>PB ．P>Q>RC ．R>Q>PD ．Q>P>R 9．若a =(2,3),b =(4,－1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A ．6B ．5C ．7D ．810．已知 ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e AB =，2e AD =，用21,e e 来表示ED 的表达式为（ ）A ．212121e e --B ．212121e e +-C ．212121e e -D ．212121e e +11．边长为2的正三角形ABC 中，设AB =c ,BC =a ,CA =b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3 12．已知|AB |=10,|AC |=7，则|BC |的取值X 围是（ ）A ．［3，17］B ．（3，17）C ．［3，１０］D ．（3，１０）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b 若b a b a λλ++与平行，则λ=. 14．已知两点A （－2，0），B （2，3），P （x ，y ）在AB 上，APABPB AP =则P 的值为. 15．已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°，且b a c 2+=，b k a d +=2，当a c ⊥时， k=.16．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120m ， 则河的宽度为.三、解答题：共48分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分． 17．（本题满分10分）已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (－2,1)，一组对边AB 、CD的中点分别为M (3，0)、N (－1，－2)，求平行四边形的各个顶点坐标． 18．（本题满分12分）已知向量a =(2x －y +1,x +y －2),b =(2,－2),x 、y 为何值时， （I ）a =b ； （II ） a ∥b. 19．（本题满分12分）已知向量e 1、e 2不共线. （I ）若AB =e 1－e 2，BC =2e 1－８e 2，CD =3e 1＋３e 2，求证：A 、B 、D 三点共线； （II ）若向量λe 1－e 2与e 1－λe 2共线，某某数λ的值.20．（本题满分12分）已知),(21a a a =，),(21b b b =且01221≠-b a b a .求证：（I ）对于平面内任一向量),(21c c c =都可以表示为b y a x +的形式； （II ）若b y a x +=0，则x =y=0.21．（本题满分12分）如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形，求证： （I ）PA=EF ； （II ）PA ⊥EF.22．（本题满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(3-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？数学参考答案一、选择题1．B2．C 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B11．D . 12．A 二、填空题13．±1 14．)2)15(3,252(-- 15．32- 16．60m 三、解答题17．解：Ｂ（8，－1），Ｃ（4，－3），Ｄ（－6，－1）.18．解：（I ）根据向量的相等,得212,2 2.x y x y -+=⎧⎨+-=-⎩ 解得 1,31.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（II ）根据向量共线的条件,得-2(2x -y +1)-2(x +y -2)=0,化简得 3x -1=0 ， ∴1,3x y ⎧=⎪⎨⎪∈⎩R.19．解：（I ）BD =BC +CD =2e 1-8e 2+3(e 1+e 2)＝５e 1-5e 2＝５AB ,∴BD 与AB 共线.又直线BD 与AB 有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.（II ）∵λe 1-e 2与e 1-λe 2共线,∴存在实数k ，使λe 1－e 2＝ｋ（e 1－λe 2）， 化简得（λ－ｋ）e 1+(k λ－１)e 2＝0. ∵e 1、e 2不共线，∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０. 解得 λ＝±１，故λ＝±１．20．解：（I ）由已知111222,,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩解之 1221122112211221,b a b a c a a c y b a b a b c b c x --=--=，故 b b a b a c a c a a b a b a b c b c c ⋅--+⋅--=1221122112211221 ；（II ）由c=0 ， 可知x =y=0.21．解：（I ）以D 为原点建立坐标系，则A （0，1），P )22,22(m m ，E （1，m 22）， F （m 22，0），知)22,221(m m EF -+-=，)221,22(m m PA --=， 可知||||PA EF =，故得证．（II ）0=⋅PA EF ， 故EF PA ⊥， 得证. 22．解：如图，设需要t 小时追上走私船.∵BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos CAB=22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos120°=6, ∴BC =6,在△C BD 中，∠C BD =120°cos CBD =tt t BD BC DC BD BC 10623001006222222⨯-+=⋅⋅-+，整理,得100t 2-56t -3=0 ，解得 t =106或t =-206 (舍去) ．又∵DCBBDCBD DC sin sin =，∴DCB t t sin 10120sin 310=︒． 解得∠DCB =30°． 答：沿北偏东60°追击，需106小时．。
山东省枣庄市滕州市第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题
山东省枣庄市滕州市第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________14．如图所示，为测量一水塔AB到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为参考答案：1．C【分析】由三点共线判断A；由线面关系有a与a可能相交或平行判断B；由正棱锥的结构特征及正棱台的定义判断C；注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D.【详解】A：三点共线时平面不止一个，错误；B：若直线a在平面a外，则a与a可能相交或平行，错误；C：平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为正棱台，正确；D：斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边，此时这两条侧棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误.故选：C2．D【分析】写出各选项中两个事件所包含的基本情况，进而判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，“至少有一个黑球”包含：1黑1红、2黑，所以，“至少有一个黑球”与“都是红球”为对立事件，A选项不满足条件；对于B选项，“至少有一个黑球”包含：1黑1红、2黑，所以，“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，B选项错误；对于C选项，“至少有一个黑球” 包含：1黑1红、2黑，“至少有一个红球”包含：1黑1红、2红，所以，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”有交事件，C选项不满足条件；对于D选项，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”互斥且不对立，D选项满足条件.故选：D.3．A【分析】将题目的数据从小到大排列，然后利用百分位数的定义计算.。
福建省福州市平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
福建省福州市平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题一、单选题 1．已知复数11iz =+，则复数z 共轭复数的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．122．若m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．如果m α⊂，l m ∥，则l α∥B ．如果m α⊂，n ⊂α，m β⊄，n β⊄，则αβ∥C ．如果αβ∥，l β⊂，则l α∥D ．如果αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥3．若向量a v ，b v 满足2a b ==r r ，,120a b =or r ，则a b -=r r （ ）A ．4B ．12C ．2D ．4．若向量)a =r，()2,0b =-r ，则b r 在a r上的投影为（ ）A ．1-B ．C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭5．在ABC V 中，cos sin a b C c B =+，则角B 是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（ ）A ．368cm πB ．3152cm πC ．3cmD ．3204cm π7．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60︒，则EG 的长为（ ）A ．1BC ．1D81111ABCD A B C D -中，直线BD 到平面11AB D 的距离为（ ）A B C D二、多选题9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 、F 、G 分别为棱BC 、1CC 、CD 的中点，下列结论正确的有（ ）A ．AE 与1D F 共面B ．平面11//AB D 平面GFEC ．AE EF ⊥D ．//BF 平面11AB D10．已知ABC V ，则下列命题中，真命题的是（ ）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC V 是等腰三角形 B ．若sin cos A B =，则ABC V 是直角三角形 C ．若cos cos cos 0A B C <，则ABC V 是钝角三角形D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC V 是等边三角形11．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF ）A ．平面AEF ∥平面1DBCB ．存在点E （E 与1D 不重合），使得BE 与1AD 共面C ．当E 点运动时，总有1AC AE ⊥D ．三棱锥B AEF -的体积为定值三、填空题12．棱长为1的正方体的外接球的表面积为．132倍，则该圆锥的体积是.14．如图，在三棱锥木块V ABC -中，VA ，VB ，VC 两两垂直，1VA VB VC ===，点P 为VAC V的重心，沿过点P 的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC 和AB ，则该截面的面积为．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(s i ns i n )s i n 3s i n b c B C a A bC++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC V ABC V 的周长.16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,,AED BEF DCF V V V 分别沿,,DE EF DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A '(1)求证A D EF '⊥(2)求三棱锥A EFD '-的体积17．如图，在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=︒，PA ⊥底面ABC(1)证明：平面PBC ⊥平面P AC(2)若AC BC PA ==，M 是PB 中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，2AB =，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是PD 的中点.(1)求证:AM ⊥平面PCD ； (2)求C 点到平面PAB 的距离；(3)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面面角的余弦值.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =(1)求证：1//B C 平面1A BM ； (2)求证：1AC ⊥平面1A BM ；(3)在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AAC C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.。
北师大版高一数学(下)6月份月考试卷(精)(附答案解析)
北师大版高一数学（下）6月份月考试卷（精） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知△ABC 中，AB=4，且满足BC=CA ，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ． B ．3 C ．2 D ．42．在平面直角坐标系中，点列P n （x n ，y n ）（n ∈N +）的坐标满足 x 1=0，y 1=1，，设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 8的值为（ ） A ．15（2﹣） B ．15（2+） C ．15（+1） D ．15（﹣1） 3．已知变量x 、y 满足约束条件，且z=x +2y 的最小值为3，则≥的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．某无底仓库的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A ．700π B ．800π C ．1000π D ．l600π5．已知两正数x ，y 满足x +y=1，则z=的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在锐角三角形△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，（a +b +c ）（a +c﹣b ）=，则cosA +sinC 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知数列{a n }满足，且a n +1﹣1=a n （a n ﹣1）（n ∈N *），则的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．给出以下三个结论：①若数列{a n }的前n 项和为S n =3n +1（n ∈N *），则其通项公式为a n =2•3n ﹣1；②已知a ＞b ，一元二次不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b=0成立，则的最小值为2；③若正实数x ，y 满足x +2y +4=4xy ，且不等式（x +2y ）a 2+2a +2xy ﹣34≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知x ，y 是正数，且，则x +y 的最小值是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．24 10．已知正数x ，y 满足，则z=（）x •（）y 的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．411．在数列{a n }中，，从数列{a n }中选出k （k ≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列．例如数列、、、为{a n }的一个4项子列．若{b n }为数列{a n }的一个k （k ≥3）项子列，且{b n }为等差数列，则{b n }的公差d 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知[x ）表示大于x 的最小整数，例如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1．下列命题： ①函数f （x ）=[x ）﹣x 的值域是（0，1]； ②若{a n }是等差数列，则{[a n ）}也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{[a n ）}也是等比数列； ④若x ∈（1，4），则方程[x ）﹣x=有3个根． 正确的是（ ） A ．②④ B ．③④ C ．①③ D ．①④ 二．填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13．设a ，b ∈R ，关于x 的不等式组的解集为{x |1≤x ≤4}，则a ﹣b 的值为 ． 14．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=6，B′C′=4，则AB 边的实际长度是 ． 15．在△ABC 中，已知tan =sinC ，给出以下四个结论①②③④，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）． ①=2； ②1＜sinA +sinB ≤； ③sin 2A +cos2B=1； ④cos 2A +cos 2B=sin 2C ． 16．若关于x 的不等式a ≤x 2﹣3x +4≤b 的解集恰好为[a ，b ]，那么b ﹣a= ． 三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．12分 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的侧面PAD 垂直于底面ABCD ，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，N 为线段CD 的中点． （1）若线段AB 中点为E ，试问线段PC 上是否存在一点M 使得ME ∥平面PAD ．若存在M 点，设CM=kCP ，求k 的值．若不存在说明理由．（2）求证：BD ⊥PN ；（3）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．18．10分在等差数列{a n }中，设其前n 项和为S n ，a 1=，（1）若a k =﹣，且前k 项和S k =﹣5，求此数列的公差d ；（2）设数列{a n }的公差d=﹣，问n 为何值时，S n 取得最大值？19．12分△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若=．（1）求角A ；（Ⅱ）设=（sinB ，cos2B ），=（2，1），求•的最大值．20．12分设S n 为正项数列{a n }的前n 项和，满足2S n =a +a n ﹣2．（I ）求{a n }的通项公式；（II ）若不等式（1+）≥4对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（III ）设b n =e （其中r 是自然对数的底数），求证：．21．10分函数=Asin （ωx +θ）+b （A ＞0，ω＞0，﹣π＜θ＜π）在一个周期内，当x=时，y 取最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为． （1）求此函数的解析式， （2）求函数g （x ）=的值域． 22．14分 已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0．﹣＜φ＜）的图象与x 轴交点为（﹣，0），相邻最高点坐标为（，1）． （1）求函数y=f （x ）的表达式； （2）若y=g （x ）的图象与y=f （x ）的图象关于点（，0）成中心对称，求y=g （x ）的解析式及单调增区间． （3）求函数h （x ）=log f （x ）的单调增区间．北师大版高一数学（下）6月份月考试卷（精）参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
海南省乐东黎族华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题
华二黄中2023-2024学年第二学期第二次月考高一年级数学试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．在复平面内，已知复数11z i=-，则其共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球3．已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（）A ．2212s s >B ．2212s s =C ．2212s s <D ．21s 与22s 的大小关系无法判断4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个结论，其中正确结论是：①//l m αβ⇒⊥；②l m αβ⊥⇒⊥；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④5．在ABC 中，若138,7,cos 14a b C ===，则最大角的余弦是（）A ．15-B ．16-C ．17-D ．18-6．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（）A ．10cmB ．2cmC ．D ．527．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%8．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，若AC AM AN λμ=+，则λμ+的值为（）A ．119B ．89C ．2D ．3二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的有（）．A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据1210,,,x x x 的平均数为90，方差为3；数据1215y ,y ,,y 的平均数为85，方差为5，则12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为87，方差为10.2C ．数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D ．已知数据1210,,,x x x 的极差为6，方差为2，则数据121021,21,,21x x x +++ 的极差和方差分别为12，811．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（）A ．异面直线1AB 与11B D B ．取1BB 的中点为M ，过1A MC ､､三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为734C ．1A B //平面11BD CD ．点1B 到平面11BD A 的距离为125第II 卷（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与b垂直，则a 的值为.13．某学校高二年级选择“物化地”，“物化生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“物化生”组合中选出的同学人数为．14．已知正三棱锥-P ABC 的底面边长为1，点P 到底面ABC ，则该三棱锥的内切球半径为，该三棱锥外接球半径为．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．已知复数112i x =-是关于x 的方程20x ax b ++=的根（i 是虚数单位），其中,a b ∈R ．(1)求a ，b 的值．(2)若||z =1x z 是纯虚数，求z ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；17．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且满足2sin 0a C =(1)求角A 的值；(2)若a =ab ≤，求2cb -的取值范围．18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的众数、中位数、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为2.(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.1．D【分析】根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】()()111111122i z i i i i +===--+ ，1122z i ∴=-，z ∴对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.2．C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件.故选：C ．3．C【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断2212,s s 的大小.【详解】由题设，123...1n x x x x t t n +++++=+，即123...nx x x x t n++++=，∴22111()1n i i s x t n ==-+∑，22211()n i i s x t n ==-∑，即有2212s s <.故选：C.4．B【解析】由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断①的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断②的真假；由线面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判断③的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断④的真假.【详解】过直线m 做一平面,,//n γγααβ= ，//m n ∴，l ⊥平面α，,l n l m ∴⊥⊥，①正确；直线l ⊥平面α，若αβ⊥，则l 与m 可能平行，异面也可能相交，②错误；直线l ⊥平面α，若//l m ，则m ⊥平面α，m ⊂平面β，αβ∴⊥，③正确；直线l ⊥平面α，若l m ⊥，则//m α或m α⊂，则α与β平行或相交，④错误.故选:B.【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题.5．C【分析】运用余弦定理求出c ，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为138,7,cos 14a b C ===，所以3c =，因为a b c >>，所以A B C >>，因此222499641cos 22737b c a A bc +-+-===-⨯⨯，故选：C 6．D【分析】将圆柱展开，根据题意即可求出答案.【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后1552()222E F cm ππ'=⨯⨯=，∴)E G cm '=，即为所求最短距离．故选:D.7．C【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的110，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3013040100805010=++++，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%110⨯=3%．故选C ．8．A【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出λ、μ即可.【详解】根据题意，//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，画出梯形ABCD 如下图所示：所以AM AC CM =+ 14AC BA =+()14BN C NAA =++ 1142NC AC NA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1184NC NA AC =++ ()1184AC AN AC NA=+-+ 111884AC A AC N AN =+-- 9388AC AN =- ，则8193AC AM AN =+ ，又AC AM AN λμ=+ ，AM 、AN不共线，所以8913λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以8111939λμ+=+=.故选：A 9．BCD【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A 错误；对于B ，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B 正确；对于C ，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C 正确；对于D ，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D 正确．故选：BCD.10．ABD【分析】A 选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B 选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C 选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D 选项，根据方差性质得到121021,21,,21x x x +++ 的方差可判断.【详解】A 选项，每个个体被抽到的概率为50.150=，故A 正确；B 选项，12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为10901585871015⨯+⨯=+，方差{}2221103(9087)155(8587)10.21015S ⎡⎤⎡⎤=⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦+，故B 正确；C 选项，这10个数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；D 选项，不妨设1106x x -=，则()10110121212()2612x x x x +-+=-=⨯=，即数据121021,21,,21x x x +++ 的极差为12，由方差性质知22228S =⨯=，故D 正确．故选：ABD 11．ACD【分析】由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.利用余弦定理计算可判断A ，作出截面计算可判断B ，根据线面平行的判定定理判断C ，利用等体积法求点到面的距离判断D.【详解】对于A ，依题意115CB CD ==，11B D =，由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠（或其补角），在三角形11CB D 中，2221155cosB DC +-∠==所以异面直线1A B 与11B D ，故A 选项正确；对于B ，设过1A M C ､､三点的平面α交棱1DD 于N ，连接1,AN C N ，如图，由1//C M 平面11ADD A ，α 平面11ADD A AN =，1C M α⊂，所以1//C M AN ，同理可得1//AM NC ，所以截面为平行四边形1AMC N ，又Rt ABM ≌11Rt C B M △，可得1AM C M =，所以四边形1AMC N 为菱形，所以Rt ADN △≌11Rt C D N ，可得1D N DN =，即N 为1DD 中点，所以面积1122S AC MN =⋅==B 错误；对于C ，由于11//A B CD ，1⊄A B 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1//A B 平面11B D C ，故C 选项正确；对于D ，设点1B 到平面11BD A 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确.故选：ACD.12．2【分析】首先根据2a b - 与b垂直求得x =a 的值即可.【详解】解：根据题意，向量()1,a x =，()1,b x =- ，则()23,a b x -=，若2a b - 与b垂直，则()2230a b b x =-+-=⋅ ，解可得：x =则2a ==.故答案为：2.13．3【分析】根据分层抽样的概念，按各层比列求解即可.【详解】由分层抽样可知，“物化生”组合中选出的同学人数为901232109060⨯=++人，故答案为：314．267212【分析】设PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S ==△，113633412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△，113DM ==PD =CM =12PAB S AB PD =⨯⨯△112612=⨯⨯=，所以33PAB ABC S S S =+=⨯△△设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，3126r ⨯=；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ，则在Rt OMC 中，222OM MC OC +=，即)222R R +=⎝⎭，解得12R =.故答案为：26；7212．15．(1)2,5a b =-=；(2)z =或z =-．【分析】（1）将112i x =-代入方程，根据复数相等列方程组求解可得；（2）设i z m n =+，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.【详解】（1）112i x =- 是方程的根，()()212i 12i 0a b ∴-+-+=，即()342i 0a b a +--+=，30420a b a +-=⎧∴⎨--=⎩，解得2,5a b =-=；（2）设i z m n =+，则z =2210m n +=①，又()()()()112i i 22i x z m n m n n m =-+=++-为纯虚数，所以2020m n n m +=⎧⎨-≠⎩②，由①②联立，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩z ∴=或z =-．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥；（2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .【详解】（1）因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.（2）因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A = ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .17．(1)2π3或π3(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得sin A =A 的值；（2）根据题意，得到因π3A =，求得4sin bB =，π4sin 4sin 3cC B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，化简得到1π26b c B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合π2π33B ≤<，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为2sin 0a C =，由正弦定理得2sin sin 0A C C =，又因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以sin 2A =，因为(0,π)A ∈，所以2π3A =或π3A =，（2）解：因为a =且a b ≤，所以π3A =，由正弦定理得4sin a A =，所以4sin b B =，π4sin 4sin 3c C B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则1ππ4sin 2sin 3sin 2236b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由a b ≤，可得π2π33B ≤<，所以πππ662B ≤-<，可得π1sin [,1)62B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则π6B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以即2c b -的取值范围．18．(1)频率分布直方图见解析(2)众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)不能【分析】（1）根据频率分布表完成频率直方图即可；（2）根据频率分布直方图求出众数、中位数、平均数、方差；（3）计算出质量指标值不低于95的产品所占比例，由此可得出结论.【详解】（1）由表格数据知：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频率0.060.260.380.220.08频率分布直方图如下：（2）众数为951051002+=，前2个矩形面积之和为0.060.260.320.5+=<，前3个矩形面积之和为0.320.380.70.5+=>，所以中位数位于()95,105，质量指标值的样本中位数为0.18951099.70.38+⨯≈，质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.所以这种产品质量指标值的众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．(1)60(3)存在，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置【分析】（1）取AD 中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质知PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角，PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，设AB a =，求出tan PMO ∠的值，即可得解；（2）依题意连接AE 、OE ，可知OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角，证明出AO OE ⊥，计算出AO 、OE 的长，即可求得结果；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 的中点G ，连接EG 、MG ，易得BC ⊥平面PMN ，可得平面PMN ⊥平面PBC ，分析出PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，可得四边形EFMG 为平行四边形，从而//MG FE ，可得EF ⊥平面PBC ，即可得出结论.【详解】（1）解：取AD 的中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，则AD PO ⊥，依条件可知AD MO ⊥，则PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角.PO ⊥ 面ABCD ，则PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，则tan PAO ∠=设AB a =，则AO =，所以，tan PO AO POA =⋅∠=，则tan PO PMO MO∠==，因为090PMO <∠< ，故60PMO ∠=o .（2）解：连接AE 、OE ，所以，AEO ∠为异面直线PD 与AE 所成的角.PO ⊥ 平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，则AO PO ⊥，AO BD ⊥ ，BD PO O = ，AO ∴⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，AO OE ∴⊥.12OE PD a = ，所以，210tan 5AO AEO EO ∠==.（3）解：延长MO 交BC 于N ，则N 为BC 的中点，取PN 的中点G ，连接EG 、MG .因为PB PC =，N 为BC 的中点，则BC PN ⊥，同理可得BC PM ⊥，PM PN P = ，故BC ⊥平面PMN ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PMN ⊥平面PBC ，又PM PN ==，60PMN ∠=︒，所以，PMN 为正三角形，G 为PN 的中点，则MG PN ⊥，又因为平面PMN 平面PBC PN =，平面PMN ⊥平面PBC ，MG ⊂平面PMN ，所以，MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，G 、E 分别为PN 、PB 的中点，则//EG BN 且12EG BN =，因为//AD BC 且AD BC =，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则//AM BN 且AM BN =，F 为AM 的中点，则//FM BN 且12FM BN =，故//FM EG 且FM EG =，所以，四边形EFMG 为平行四边形，则//EF MG ，故EF ⊥平面PBC .因此，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置.。
江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高一下学期6
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．23πB．
二、多选题
9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
四、解答题
15．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）
进行分组：第1组[)
15,25，第2组[)
45,55，第5组
35,45，第4组[)
25,35，第3组[)
[]
55,65，得到如图所示的频率分布直方图．
(3)设()1i,2i a =+-r ，()i,z b =r ，z ÎC ，且复向量a r 与b r 平行，求复数z .
所以
DAB
Ð
即为圆台母线与底面所成角，
分别过点C、D在平面ABCD。
山东省滨州市惠民县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题
山东省滨州市惠民县第二中学2022-2023学年高一下学期
6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．对于任意点G，//
OA平面EFG ．存在点G，使得平面OAD^平面．直线EF被球O截得的弦长为10
．过直线EF
的平面截球
O
所得的截面圆面积的最小值为
三、填空题
13．某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3
(1)求证：平面1BEC ^平面11AB C ；
(2)求直线1EC 与平面11
BB C C 所成角的正切值.
20．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求a ；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间
位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，
求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.
21．当今社会，学生的安全问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，滨州市组织了一次中学生安全知识竞赛，规定每队2人，每人回答一个问题，答对者。
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云南省大理州南涧彝族自治县2016-2017学年高一数学下学期6月月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（Ⅲ理1）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．（Ⅲ理3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3．（Ⅰ理2文4）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π44.（Ⅱ文4）设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则（ ） A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a5.（Ⅱ理4文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π6．（Ⅰ文6）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）7.（Ⅱ文11）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110 B.15 C.310D.258．（Ⅲ理6）设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是（ ） A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 9．（Ⅰ理8文10）右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +210．（Ⅲ理8、文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π411．（Ⅰ理5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]12．（Ⅰ文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.（Ⅰ理13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 14.（Ⅰ文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
15.（Ⅱ理14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 16．（Ⅲ文16、理15）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________。
三、解答题：（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知||2,||1,(23)(2)9a b a b a b ==-+=.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
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（1）求向量a 与b 错误！未找到引用源。
的夹角θ； （2）求||a b +错误！未找到引用源。
和cos ,a a b <+>的值.18.（本小题满分12分）已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.（本小题满分12分）《中国谜语大会》是中央电视台科教频道的一档集文化、益智、娱乐为一体的大型电视竞猜节目，目的是为弘扬中国传统文化、丰富群众文化生活.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某地区举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛选手的成绩情况，从中抽取了部分选手的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计.按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50，60)，[90，100)的数据).（I ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x,y 的值；（II ）分数在[80，90）的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.20．（本小题满分12分）已知圆C 经过点(1,3)A ，(2,2)B ，并且直线m ：320-=x y 平分圆C .（Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）若过点(0,1)D ，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点,M N .求实数k 的取值范围；21．（Ⅰ文18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠= ,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.22．（Ⅲ文18）（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．南涧民族中学2016-2017学年上学期6月月考高一数学参考答案一、选择题：1- 6: B A B A B A 7-12: D D D B D C 二、填空题: 13:15: 1 16: 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17题解：（1）因为||2,||1,(23)(2)9a b a b a b ==-+=，所以224439a a b b --= ，即168cos 39θ--=，得1cos 2θ=，因为[0,]θπ∈，所以3πθ=.…………………………5分 （2）由（1）得知1||||cos 2112a b a b θ⋅==⨯⨯= ，所以||a b +=== 7分因为2()415a a b a a b ⋅+=+⋅=+=，…………………………9分所以()cos ,14||||a a b a a b a a b +<+>===+…………………………10分 18题解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．……………… 4分 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． ……………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤， ………………… ………… 8分 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， ……………………… 10分因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…12分 19题解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量850001610.n ==⨯，故200045010.y ==⨯……… … … … …3分010000040010001600400030.......x ∴=----=∴5000300004,.,..n x y ===………………………………………5分（Ⅱ）分数在[)8090,的学生共有5人，由题意知，其中男生2人，女生3人.分别设编号为12,b b 和123,,.a a a 则从该组抽取三人“座谈” 包含的基本事件：()()()123121131,,,,,,,,a a a a a b a a b ，()231,,,a a b ()()122132,,,,,,a a b a a b ()()()()232121122123,,,,,,,,,,,a a b b b a b b a b b a 共计10个。
…………8分记事件A =“至少有两名女生”，则事件A 包含的基本事件:()()()123121131a a a a a b a a b ,,,,,,,,, ()231,,,a a b ()()122132,,,,,,a a b a a b()232a a b ,,共计7个。
………………………………………10分所以，至少有两名女生的概率()710.P A =………………………12分 20题解：（Ⅰ）线段AB 的中点35,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，32112AB k -==--，故线段AB 的中垂线方程为5322y x -=-，即10x y -+=.………………………………2分 因为圆C 经过,A B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上. 又因为直线m ：320-=x y 平分圆C ，所以直线m 经过圆心. 由10320x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即圆心的坐标为(2,3)C，而圆的半径1r BC ==，所以圆C 的方程为：22(2)(3)1x y -+-=。