2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题05平面解析几何试题及答案

专题05 平面解析几何

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）已知A 为抛物线C :y 2

=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122

A p AF x =+=，即1292p =+，解

得6p

.

2.（2020·新课标Ⅰ）已知⊙M ：22

2220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为

l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB

的方程为（ ） A. 210x y --=

B. 210x y +-=

C. 210x y -+=

D.

210x y ++=

【答案】D

【解析】圆的方程可化为()()2

2

114x y -+-=，点M 到直线l

的距离为

2d =

=>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点

共圆，且AB MP ⊥，所以1

2222

PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯

⨯⨯=△

，而PA =，

当直线MP l ⊥

时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．

∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220

y x x y ⎧

=+

⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨

=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2

2

10x y y +--=，

两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．

3.（2020·新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）

【答案】B

【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，

设圆心的坐标为

(),a a ，则圆的半径为a ，

圆的标准方程为()()2

2

2x a y a a -+-=. 由题意可得()()2

2

221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5， 圆心到直线230

x y --=

的

距离均为d =

=

所以，圆心到直线230x y --=. 4.（2020·新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两

条渐近线分别交于D 、E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】

22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>> ∴双曲线的渐近线方程是b

y x a

=±

直线x a =与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点

不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限

联立x a

b y x a =⎧⎪

⎨=⎪⎩

，解得x a y b =⎧⎨

=⎩ 故(,)D a b

联立x a

b y x a =⎧⎪

⎨=-⎪⎩

，解得x a y b =⎧⎨

=-⎩ 故(,)E a b -

∴||2ED b =

∴ODE 面积为：1

282

ODE S a b ab =

⨯==△ 双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

∴

其焦距为28c =≥==

当且仅当a b ==

∴C 的焦距的最小值为8。

5.（2020·新课标Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）

A. （14

，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）

【答案】B

【解析】因为直线2x =与抛物线2

2(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4

DOx COx π

∠=∠=

，所以(2,2)C ，

代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1

(,0)2

，

6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，

P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

【答案】A 【解析】

5c

a =，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121

||42

PF F PF F S P =

⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()2

2

212||2PF PF c ∴+=，

()

2

2121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，

7.（2020·北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A

【解析】设圆心(),C x y 1=，

化简得()()2

2

341x y -+-=，

所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，