高等级道路竖曲线的精确计算方法

竖曲线上点的里程为:
D Z′= D I - T
D Q ′= D I
D Y ′= D I + T
D P = D Z′+ x P 2. 精确计算公式 如图 2 所示, 在图中建立以水平距离为横坐 标轴 d , 铅垂线为纵坐标轴 H ′的 dO H ′直角坐标 系, A 点 的 坐 标 为 ( dA , 0 ) , Z 点 的 坐 标 为 ( 0, H Z ′) , 竖曲线各元素的精确计算公式如下:
二、计算原理
1. 近似计算公式 如图 1 所示, 设道路纵坡的变坡点为 I , 其设 计高程为 H I, 里程为 D I, 两侧的纵坡度分别为 i1、i2, 竖曲线设计半径为 R , 竖曲线各元素的近似 计算公式如下:
Ξ= i1- i2
L= RΞ
T=
L 2
E=
T2 2R
yP=
x
2 P
2R
H P = H I - (T - x P ) i1- y P
表 1
桩号 (点名)
里程差 m
近似高程 Hm
精确高程 Hm
误差 ∃ mm
辅助计算
6+ 5. 0028 (Z ′)
- 0. 534
53. 51
6+ 500. 814 (Z )
0
53. 747
6+ 540
39. 186
56. 265
56. 270
5
6+ 580
79. 186
58. 383
58. 389
1999 年 第 1 期 测 绘 通 报 23
高等级道路竖曲线的精确计算方法
孙银聪
(福建泉州黎明职业大学 362000)
【摘 要】 本文从竖曲线的严密计算公式入手, 推导竖曲线上点的设计高程和里程的精确计算方法。分析和比较了
近似公式和严密公式的差别及对设计高程和里程的影响。 在道路勘测设计中用本方法可取得精确、方便、迅速的效果, 建议 取代传统的近似方法。
(9)
由式 (9) 可推算出竖曲线上任一与 Z 点的里
程差为 d 的点的纵坐标值 H ′, 则
式中, Α1, Α2 分别为纵坡线与水平线的夹角; Ξ 为变坡角; 3 为切线长; % 为外矢距; d I 为纵坡变 坡点 I 与 Z 点的里程差; dA 为竖圆曲线圆心A 与 Z 点的里程差; H ′为竖圆曲线上任一点的纵坐标 值; d 为竖圆曲线上任一点与 Z 点的里程差; H 为竖圆曲线上任一点的设计高程; ∃H = H ′Z H Z 为 Z 点纵坐标值与 Z 点设计高程之差 (H Z = H I - d I ·i1) ; D 为竖曲线上任一点的里程。
Α1= a rctan i1
(1)
Α2= a rctan i2
(2)
Ξ= Α1- Α2
(3)
T=
R tan
Ξ 2
(4)
E = R ( sec
Ξ 2
-
1)
(5)
d I = T co sΑ1
(6)
dA = R sinΑ1
(7)
H Z ′= R co sΑ1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(8)
竖曲线在直角坐标系中的方程为
(d - dA ) 2+ H ′2= R 2
58. 865
58. 867
2
6+ 919. 997 (Y ) 6+ 920. 28 (Y ′)
419. 183 419. 466
57. 91
57. 924
四、结 论
采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点 的设计高程和里程, 存在着一定的误差, 并且随着 道路纵坡的增大而增大。 特别对于大纵坡又有超 高横坡的外边线的竖曲线 (有超高的外边线纵坡 比中线纵坡更大) 以及风景区和校区、别墅区等的 竖曲线 (纵坡常在 10% 左右) , 若用近似方法计 算, 误差更大, 而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡 点 N , 直接影响路面施工精度和质量。 而采用本
H = H ′- ∃H D = D Z + d (D Z = D I - d I )
(10)
某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点 I, 其
设计高程 H I = 68. 410 m , 里程 D I = 6+ 710. 280,
(11) 两侧纵坡分别为 7% 和- 5% , 凸形竖曲线的设计
(12)
半径 R = 3 500 m , 其计算结果见表 1。
6
Α1= 4°00′15″
6+ 620
119. 186
60. 043
60. 050
7
Α2= - 2°51′45″
6+ 660
159. 186
61. 246
61. 253
7
Ξ= 6°52′00″
6+ 700
199. 186
61. 992
61. 999
7
T = 209. 979
6+ 710. 28 (Q )
62. 113
62. 291 62. 118
5
∃H = 3437. 709 (Z ′、Y ′、Q ′为 用 近 似公式计算的直圆
6+ 820
319. 186
61. 487
61. 492
5
点 和 圆 直 点、曲 中
6+ 860
359. 186
60. 405
60. 408
3
点)
6+ 900
399. 186
文介绍的方法计算, 计算公式精确严密, 不受坡度 和半径大小的影响, 方便迅速, 又可计算和测设具 有重要作用的竖曲线变坡点N 。采用本方法具有 较高的应用价值和施工实际指导意义。
参考文献
1 陈龙飞, 金其坤编著. 工程测量. 上海: 同济大学出版 社, 1990
2 周荣沾主编. 城市道路设计. 北京: 人民交通出版社, 1988
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由 式 (10) 可知, 当 d = dA 时, 则里 程 D N = D Z + dA 的 N 点为竖圆曲线的变坡点, 其高程 H N = H N ′- ∃H = R - ∃H = m ax, N 点在现场施工 中具有很重要的指导意义。
三、计算实例
H ′= R 2- (d - dA ) 2 0≤d ≤d Y 并可立即推算点的设计高程和里程
一、引 言
在传统的道路纵断面设计中, 竖曲线元素及 对应桩号里程和设计高程均采用近似公式计算, 在低等级道路及计算工具很落后的时代曾起到过 很大的作用。但是随着高级道路的快速发展, 道路 竖曲线半径的不断加大, 设计和施工的精度要求 越来越高, 因此, 对勘测设计工作提出了很高的要 求。 采用近似的方法进行勘测设计已难以满足高 精度、高效灵活的要求。 为此本文给出了实用、精 确的竖曲线计算公式, 以解决实际工作中存在的 问题。
209. 466
62. 117
E = 6. 239
6+ 710. 342 (Q ′) 6+ 740
209. 528 239. 186
62. 110 62. 281
62. 287
6
dN = dA = 244. 402 H Z ′= 3491. 456
6+ 745. 216 (N ) 6+ 780
244. 402 279. 186
图1
图2
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24 测 绘 通 报 1999 年 第 1 期