混合水平的均匀设计表
均匀设计
1，3列பைடு நூலகம்
试验点划分越细，均匀性越好
1，4列
混合水平均匀设计表
均匀设计表适用于因素水平数较多的试验，但在具体的试 验中，往往很难保证不同因素的水平数相等，这样直接利 用等水平的均匀表来安排试验就有一定的困难。下面采用 拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表。
采用拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表
例： A，B，C三因素；A，B：3水平；C：2水平
均匀设计：可将U6*（64）改造成U6（32×21）
根据使用表，将A和B放在前两列，C放在第三列 ，并将前两列的水平进行合并：{1，2}→1， {3 ，4}→2， {5，6}→3。同时，将第三列的水平合 并为二水平：{1，2，3}→1，{4，5，6}→2，于 是就得到了下面的设计表。这是一个混合水平的 设计表 。
均匀设计
内容
均匀设计的定义及特点 等水平均匀设计表 混合水平均匀设计表 均匀设计与正交设计的对比
均匀设计 ：
一种试验设计方法，只考虑试验点在试验范围内均匀 散布的试验设计方法。 它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析 因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验。 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多水平时
均匀设计的基本步骤
1、明确试验目的，确定实验指标。 2、选因素。 3、确定因素的水平。 4、选择均匀设计表。 5、进行表头设计。 6、明确试验方案，进行试验。 7、实验结果统计分析。
均匀设计与正交设计的对比：
正交设计具有正交性。既可以估计出主效应，也
可估计出交互效应。均匀设计不可能估计出主效应和 交互效应，但是可以估计出回归模型中因素的主效应 和交互效应。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至 为水平数的平方。均匀设计的试验次数随水平数增加 连续增加。 正交设计的数据分析较简单，均匀设计的数据分析复 杂。
应用统计方法课件 5.2 均匀试验设计
No
1
2
3
4
5
6
1
1
2
4
5
7
8
2
2
4
8
1
5
7
3
3
6
3
6
3
6
4
4
8
7
2
1
5
5
5
1
2
7
8
4
6
6
3
6
3
6
3
7
7
5
1
8
4
2
8
8
7
5
4
2
1
9
9
9
9
9
9
9
用上述步骤生成的均匀设计表记作U n (nm ) ，向量 h 称为该表的生成向量，有时为了强调 h 的作用，可将 U n (nm ) 记成 U n (h) 。给定 n ，相应的 h 可以象上例那 样方便地求得，从而 m 也就确定。所以 m 是 n 的一个函
u42 = 6 + 2 = 8 ，u52 = 8 + 2 = 10 = 1(mod 9) ，
u62 = 1 + 2 = 3 ， u72 = 3 + 2 = 5 ，
u82 = 5 + 2 = 7 ， u92 = 7 + 2 = 9 ，
其结果列于表 5-29 的第二列。
表 5-29 U 9 (96 )
5
3
1
2
6
6
5
4
1
7
7
7
7
7
( ) 表 5-24
U
* 7
74
No
可查询均匀设计表
可查询均匀设计表、均匀设计表概况表、各因素水平排列表(或配方均匀设计的配方表)、相关系数临界值表、检验临界值表、检验临界值表(变量引入/剔除临界值参考用表)及检验临界值表。
一、均匀设计表１、均等水平的均匀设计表: 所有因素的水平数都是相等的, 均等于运行次数的均匀设计表。
可供查询的表共有41个, 每个均匀设计表都有与之配套的使用表, 用这些表可以进行２～７个因素、每个因素为５～31、37个水平的试验设计。
图１是均等水平均匀设计表的一个例子。
图１均等水平的均匀设计表及其使用表２、混合水平的均匀设计表: 将部分因素的临近水平进行水平合并处理后得到混合水平的均匀设计表(混合水平的均匀设计表没有与之配套的使用表)。
可供查询的表共有243个, 用这些表可进行２因素６～30混合水平、３因素６～30混合水平及４因素６～12混合水平的试验设计(运行次数均为双数)。
图２是混合水平均匀设计表的一个例子。
图２混合水平的均匀设计表二、均匀设计表概况表反映41个均等水平均匀设计表的运行次数、水平数、列数、类型(＊类型还是非＊类型)以及它们可安排试验因素数的总体情况的一个表, 见图３。
图３均匀设计表概况表三、各因素水平排列表反映各因素水平数值代号排列方式的表。
图４是各因素水平排列表的一个例子。
图４各因素水平排列表四、配方均匀设计的配方表反映各原料组成百分比数值排列方式的表。
图５是配方表的一个例子。
图５有约束配方均匀设计的原始配方表五、相关系数临界值表显著性水平为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20和0.25六个水平值的相关系数临界值的表(自由度1～100)。
图６相关系数临界值表(显著性水平α＝0.01)六、检验临界值表显著性水平为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20和0.25六个水平值的检验临界值的表(第一、第二自由度范围均为1～100)。
图７检验临界值表七、检验临界值表(变量引入/剔除临界值参考用表)显著性水平为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20和0.25六个水平值的供参考设定引入和剔除变量临界值的检验临界值表(第一自由度＝1, 第二自由度为1～100)。
均匀实验设计
y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482
1. 将 x1, x2和 x3放入列1,２ 和3. 2．用x1的７个水平替代第 一列的1到 7.
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
9
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
(1.1.2)
这个结果与人们的经验不符。
10
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
表 1.1.5:
No. 1x1 x22 x33
1 11.0 123 1.35 2 12.4 149 3.60 3 13.8 265 1.20 4 24.2 110 2.5 5 25.6 136 0.15 6 36.0 252 2.40 7 37.4 278 3.75
z42 (1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1)
它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。
回归方程如下:
28
29 y 0 1 X 2T 3Z31 4Z32 5Z33 6Z41 7Z42
771 901 899 927 1111 1271
=
均匀设计是一种试验设 计 方法。它可以用较少的试 验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的 度量下最好的析因试验设计方 法。均匀设计也是仿真试验设 计和稳健设计的重要方法。
正交试验设计(混合水平)[业界精制]
![正交试验设计(混合水平)[业界精制]](https://img.taocdn.com/s3/m/3fbd055c0740be1e640e9a1f.png)
谷风书苑
1
1) 混合水平的正交试验设计
混合水平正交表及其用法 混合水平正交表就是各因素水平
数不完全相等的正交表，如L8(4124)， 这张表有8行，5列，表示要做8次试 验，最多可安排5个因素，其中1个是 4水平的，4个是2水平的。
谷风书苑
2
列
1
23
4
5
号
试验号
1
1
11
6
从表中看出，因素A的极差最大，因此因素 A对试验的影响最大，并且以取2水平为好； 因素B的极差仅次于因素A，对试验的影响 比因素A小，也是以取2水平为好；因素C、 D的极差都很小，对试验的影响也就很小， 都是以取2水平为好。总的说来，试验方案 应以A2B2C2D2为好。
谷风书苑
7
2)拟水平法
谷风书苑
14
1) 交互作用表
交互作用表 用正交表安排有交互作用的试验时，把 两个因素的交互作用当成一个新的因素来 看待，让它占有一列，叫交互作用列。交 互作用列按交互作用表安排。
谷风书苑
15
2)水平数相同
水平数相同有交互作用的正交试验设计 例 某产品的产量取决于3个因素A、B、C，
每个因素都有2个水平，具体数据如表所 示。每两个因素之间都有交互作用。试验 指标为产量，越高越好，试安排试验，并 分析试验结果，找出最好的方案。(采用 L8(27))
6.5
A1 B2 (A谷风B书)2苑 C2
1 2 1 2 2 1 2 1 282 278 70.5
69.5
1.0
(AC)1
1 2 2 1 1 2 2 1 281 279 70.25
69.75
0.5
(BC)1
均匀设计及其应用(精品)
正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可 比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的 均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还 不够强，试验次数不能充分地少。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方 法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好 的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验 范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验 点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试 验结果。
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
残差与 yˆ 的示意图
y yˆ
状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。
yˆ
图 1.1.2a 匹配图
16
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
图 1.1.2c偏回归图
第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* ：
第4列安排种子品种A，
分3个A1，A2，A3。
表2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
U12(12×6×4×3 )
均匀设计
Regression Residual Total
a. Predic tors: (Con stant), X 3 方 , X1X2, X4, X1, X2, X3 b. Dependent Variable: Y
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta -2.146 -2.715 -4.106 .329 4.695 3.658
在淀粉接枝丙烯制备高吸水性树脂的试验中,为了提高树脂吸盐水的能力,考察 了丙烯酸用量X1,引发剂用量X2,丙烯酸中和度X3和甲醛用量X4四个因素,每个因素取 9个水平，如下表所示：
根据因素和水平，我们选取均匀设计表U9﹡(94)或U9﹡(95)。但由于它们的使 用表可以发现，均匀表U9﹡(94)最多只能安排3个因素，所以选用U9﹡(95)来安排 该实验。根据U9﹡(95)的使用表，将x1，x2，x3，x4，x5分别放在U9﹡(95)表的1， 2,3,4,5列，试验方案和试验结果如下表所示：
即丙烯酸用量>引发剂用量>丙烯酸中和度>甲醛用量。
例7-2 利用废弃塑料制备清漆的研究中,以提高警惕清漆漆膜的附着 力作为试验目的。结合专业知识,选定了以下四个因素,并确定了每 个因素的考察范围。 因素及水平见下表U10﹡(108)：
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta .368 .798 -.315 .333
t 5.896 -7.115 -6.483 -8.120 7.344 8.430 7.456
Sig. .010 .006 .007 .004 .005 .004 .005
a. Dependent Variable: Y
均匀设计与均匀设计表
第一章试验设计和均匀设计1.1试验设计在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。
例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。
如何做试验，其中大有学问。
试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。
本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。
随后，F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。
60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。
田口玄一的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。
在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。
许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。
10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。
试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：1）提高产量；2）减少质量的波动，提高产品质量水准；3）大大缩短新产品试验周期；4）降低成本；5）延长产品寿命。
混合水平的均匀设计表
• 2.水平数相同时偏差的比较
• 两种设计水平数相同，但试验数不同的比较。其中当均匀设计的试验数为6时，相应正 交设计的试验数为62，例如 的偏差0.1875，而L36(62)的偏差为0.1597，两者差别 并不很大。所以用均匀设计安排的试验其效果虽然比不上正交设计，但其效果并不太差 ，而试验次数少了6倍。
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).”
正交试验可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因 素数或水平数比较大时，正交试验的次数很多。如5因素5水平，用正交表需要安排52＝25次试 验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果。
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多 于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的 共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成 效。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
▪如U6(64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平，该表有4列。
U6(64)
列号
1
2
3
4
试验号
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
y在 第 k次 试 验 的 结 果 。
L ij
n k 1
xik
_
x
i
xik
_
x
均匀设计表
、第七章均匀设计表均匀设计表U n(q p)说明：n均匀设计表的试验方案数q列的水平数p均匀设计表的因子数均匀设计表根据水平数q和试验方案数n的关系分为两类，一类为水平数等于试验方案数的U n(n p)型均匀设计表，另一类为水平数小于试验方案数的U n(q p)型均匀设计表。
本附录的均匀设计表均来源于方开泰教授的均匀设计网站：在这里向方开泰教授对于均匀设计做出的卓越贡献表示崇高的敬意！本附录从中摘录了部分常用的基于中心化偏差的均匀设计表供供大家使用，主要包含以下内容：】U n(n p)型表：仅列出因子数不超过7，试验方案数不超过30的部分设计方案。
U n(q p)型表：仅列出水平数不超过6，试验方案数不超过30的部分设计方案。
均匀设计表在使用时，按照相应的因子数p、水平数q和试验方案数n选定之后，加上相应均匀设计表U n(q p)的第一列即可。
（一）U n(n p)型均匀设计表U5(5p)~U6(6p)·{U8(8p)U9(9p)U10(10p)U12(12p)U15(15p)U16(16p)*U18(18p)U20(20p)U24(24p)U25(25p)U27(27p)—U30(30p)（二）U n(q p)型均匀设计表·U9(3p)U12(3p)》U15(3p)U18(3p)"U21(3p)U24(3p)￥U8(4p)！U12(4p)U16(4p)U20(4p)U24(4p)U10(5p)U15(5p)U20(5p)U25(5p)U12(6p)U18(6p)U24(6p)U30(6p)。
均匀试验设计
SP 1 Y
9
9
j 1
( z 1 j z 1 )( y y ) 19 . 6
SS Y
( y y)
1 i
9
2
9 . 235
SP 2 Y
j 1
( z 2 j z 2 )( y y ) 11 . 0
y y 9
4 . 62
U9（96）均匀设计表
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
列号
试验号
2
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3
4 8 3 7 2 6 1 5 9
4
5 1 6 2 7 3 8 4 9
5
7 5 3 1 8 6 4 2 9
6
8 7 6 5 4 3 2 1 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
列号 试验号
X3 2.5 3.0 3.5 1.5 2.0
X4 0.112 0.115 0.118 0.006 0.009
X5 0.23 0.26 0.14 0.17 0.20
X6 0.8 0.6 0.65 0.7 0.75
1 2 3 4 5
上表X2、X3、X4、X5、X6的水平次序作了平滑 移动。原均匀设计表中的字码次序不能随意改 动，而只能依原次序平滑。避免在试验中出现 都是各因素高水平组合的情况。 本试验是6因素5水平，为提高试验精度、均匀 性、可靠性，选U10（1010）。并运用拟水平法 来安排试验。 试验的表头设计为： 因素 X1 X2 X3 X4 X5 X6 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U10（1010）均匀设计表
混合均匀设计表
混合均匀设计表混合均匀设计表——实现多元融合的完美平衡一、引言混合均匀设计表是一种广泛应用于实验设计的方法，它能够帮助研究人员在有限的资源下，实现多个因素的均匀混合。
本文将介绍混合均匀设计表的基本原理和应用，并通过真实案例向读者展示其重要性和效果。
二、基本原理混合均匀设计表是一种特殊的实验设计方法，其核心思想是将不同的处理因素合理地分组，以达到均匀混合的效果。
具体而言，混合均匀设计表将各个处理因素进行排列组合，使得每个因素在不同的组合中出现的次数相等，从而实现多因素的均匀混合。
三、应用案例以某汽车制造厂的生产线优化为例，为了提高生产效率和产品质量，研究人员采用了混合均匀设计表的方法。
首先，他们将不同的生产因素（如原材料、工艺参数、生产设备等）进行分类，并根据实际情况确定了若干个因素水平。
然后，根据混合均匀设计表的原理，将各个因素水平进行组合，形成多个处理组合。
最后，通过对每个处理组合进行实验，研究人员得到了最佳的生产方案。
四、实现效果通过混合均匀设计表的应用，该汽车制造厂实现了生产效率和产品质量的双重提升。
首先，由于处理因素的均匀混合，各个因素的影响效果得以充分展现，使得生产线的优化更加全面。
其次，混合均匀设计表还能够避免处理因素之间的相互干扰，提高了实验的准确性和可靠性。
五、结论混合均匀设计表是一种有效的实验设计方法，它能够帮助研究人员在有限的资源下实现多个因素的均匀混合。
通过合理地分组处理因素，混合均匀设计表能够提高实验的效率和准确性，从而为科学研究和工程实践提供有力支持。
在实际应用中，我们应该充分发挥混合均匀设计表的优势，不断探索其更广泛的应用领域，为人类的发展进步贡献力量。
（以上内容仅为模拟创作，不代表真实情况）。
6-3 混合水平的均匀设计表
华罗庚
王元
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
4
第六章 均匀设计法
均匀设计是一种试验设计方法。 它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验 设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计 的重要方法。
一、引言
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点散布均匀 整齐可比：试验点排列规律整齐可分析
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
2
第六章 均匀设计法
均匀设计法： 利用试验点在试验范围内充分分散的均匀设计表 来进行试验设计的科学方法 均匀设计表： 利用数论在多维数值积分中的应用原理构造出的 具有均衡分散特征的代表性试验表格
从两因素11水平的均匀设 计布点图可以直观地看到 布点是均衡分散的。
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
10
第六章 均匀设计法
均匀设计有其独特的布（试验）点方式
每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每行每列有且 仅有一个试验点
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
6
第六章 均匀设计法
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一 个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10 ，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计 都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究， 提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”， 将这一方法用于导弹设计，取得了成效。
正交试验设计(混合水平)
1.5
30%
表头设计
列号
1
因素
A
2
3
4
5
6
7
B AB C AC BC
交互作用表
列号
列号( )
1
(1)
2
3
4
5
6
7
3
2
5
4
7
6
(2)
1
6
7
4
5
(3)
7
6
5
4
(4)
1
2
3
(5)
3
2
பைடு நூலகம்
(6)
1
(7)
因 素 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 k1
k2
极差 优方案
12
3
4
A B AB C
5 AC
2)水平数相同
水平数相同有交互作用的正交试验设计 例 某产品的产量取决于3个因素A、B、C，
每个因素都有2个水平，具体数据如表所 示。每两个因素之间都有交互作用。试验 指标为产量，越高越好，试安排试验，并 分析试验结果，找出最好的方案。(采用 L8(27))
因素
A
水平
1
60
2
80
B
C
1.2
20%
高级交互作用 ，如A×B× C，一般不考虑 r水平两因素间的交互作用要占r－1列 ，当r＞2时，不宜
用直观分析法 即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一样，按规
定进行表头设计
6.2.4 混合水平的正交试验设计
两种方法： 直接利用混合水平的正交表 拟水平法：将混合水平的问题转化成等水平问题来处理
均匀设计
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
混合水平的均匀设计表共90页文档
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
0803-第三节 均匀设计表的构造和运用
第三节 均匀设计表的构造和运用本节介绍均匀设计表的构造和使用表的来源，其中均匀性度量──偏差将起关键作用，我们将介绍偏差的定义，并给出正交设计与均匀设计各自偏差的比较，从中可以了解为什么均匀设计可以比正交设计节省试验次数，本节还介绍拟水平在均匀设计中的使用和有关表的构造，熟悉本节内容对于正确理解和使用均匀设计有很大帮助。
3.1 均匀设计表的构造定义1 每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有n 行m 列，每一行是{1，2，...，n}的一个置换(即1，2，…，n 的重新排列)，表的第一行是{1，2，…，n}的一个子集，但不一定是真子集。
显然，第一章表4-6列举的U 6*(64)，U 7(74)和U 7*(74)都符合上述定义。
符合定义1的均匀设计表数量太多，本节仅介绍用好格子点法(good lattice point)构造的均匀设计表，其方法如下：1) 给定试验数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为1。
符合这些条件的正整数组成一个向量h ＝(h 1，…，h m )。
2) 均匀设计表的第j 列下法生成i ij ih u =[mod n] (3.1)这里[mod n] 表示同余运算，若jh i 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落在[1，n] 之中。
U i j 可以递推来生成u h j j 1= ⎪⎩⎪⎨⎧-++=+n h u h u u j ij jij j i ,1nh u n h u j ij j ij >+≤+若若1,,1-=n i (3.2)例如，当n ＝9 时，符合条件1)的h 有1，2，4，5，7，8；而h=3 或h=6 时不符合条件1)，因为最大公约数(3，9)=3 ，(6，9)=3，均大于1.所以9U 最多只可能有6列，又如当h 34=时，用公式 (3.2) 来生成该列时其结果依次如下:u u u u u u u u u 132333435363738393444884123934774112924664101914559==+==+===+==+===+==+===+==+,,(mod ),(mod ),(mod ),其结果列于表16的第三列。
混合水平均匀设计
ⅱ) 水平数相同时偏差的比较
前两列给出了两种设计水平数相同，但试验
数不同的比较，其中当均匀设计的试验数为
n时，相应正交设计的试验数为
n2，例如
U
* 6
62
的偏差0.1875，而 L3662 的偏差为0.1597，
两者差别并不很大。所以用U
* 6
62
安排的试
验其效果虽然比不上L3662 ，但其效果并不
例如，ANO列. 和C列A，B列和BC列的二C因素设计
正好组成1它们的(1全)1面试验(2方)1案，A(3列)1和B列的
二因素设2计中没(2有)1重复试(4验)2。 (6)2
3
(3)2 (6)3 (2)1
4
(4)2 (1)1 (5)2
5
(5)3 (3)2 (1)1
6
(6)3 (5)3 (3)2
可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这
么好。
安排一个二因素（A,B）五水平和一个 因素（C）二水平的试验。这项试验若 用正交设计，可用L50表，但试验次数 太多。故选择均匀设计进行。
NO
A
B
C
1
(1)1
(5)3
(7)2
若用2均匀设计(2来)1安排，(可10用)5 U10*10(83)1
根据3使用表指(3示)2选用1,5(,46)2三列。对(101),25列
数据分析
1、正交设计的数据分析程式简单，有一个 计算器就可以了，且“直观分析”可以给出 试验指标Y随每个因素的水平变化规律。
2、均匀设计的数据要用回归分析来处理， 有时候需用逐步回归等筛选变量的技巧，必 须使用计算机辅助进行。
均匀性
由于很难找到两个设计有相同的试验数和相 同的水平数,所以很难比较两种设计的均匀 性并不容易.所以我们从如下三个角度进行 比较:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x3
反应时间 (hr)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
第2步: 选择相应的均匀设计表
U7(74)
N o. 1 2 3 4 1 1236 2 2465 3 3624 4 4153 5 5312 6 6541 7 7777
U9(94)
N o. 1 2 3 4 1 1213 2 2545 3 3987 4 4369 5 5471 6 6726 7 7194 8 8638 9 9852
均匀设计表的使用表
U7(74)
N o. 1 2 3 4 1 1236 2 2465 3 3624 4 4153 5 5312 6 6541 7 7777
U (73) 7
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步:应用选择的均匀设计表, 做出试验安排。
▪均匀设计法与正交设计法的不同： ▪均匀设计法不再考虑数据“整齐可比”性，只考虑试验点在试验范围内充分“均衡分散”
均匀设计的特点
➢ 均匀设计是一种适用于多水平的多因素试验设计方法，具有如下特点： ➢ 1 试验点分布均匀分散 ➢ 2 在处理设计中各个因素每个水平只出现一次 ➢ 3 适用于多水平多因素模型拟合及优化试验 ➢ 4 试验结果采用回归分析方法
U
* 6
(6
2
)
• 3 偏差相近时试验次数的比较
• 刚才讲到 比不上L36(62) ，试验次数适当增加使偏差相近时，例如
0.1445，比L36(U628)*的( 8偏2 )差略好，但试验次数可省36/8=4.5倍。
U
* 6
(6
2
)
的偏差为
结论：如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地优于正交设计，并可节省试验 次数。
_
y
1 N
N
yk
i1
回归方程组系数由下列正规方程组决定：
(8 6)
L1 1b1
L1M bm L1 y
L 21b1
L2mbm L2 y
L m 1b1
Lmmbm Lmy
_N
_
b0 y bi yi
i1
（8－ 7）
各 因 素 与 响 应 值 关 系 是 非 线 性 关 系 时
均匀设计表的使用表
每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其中‘偏差’为均匀性的度量 值，数值小的设计表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为,
因素数 2 3 4
列号 1, 3 1, 2, 3 1, 2, 3, 4
偏差 0.2398 0.3721 0.4760
指定因子数和水平数
软件输出结果
• 1.试验数相同时的偏差的比较 • 当因素2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；若用均匀设计表 ，则偏差最
好时要达0.1445。显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得注意的是，这种 比较方法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平数减少，则偏差会增大。
所以这种比较方法正交设计U 明8* (显8 8 地) 吃亏。
➢利用试验设计软件来直接设计均匀设计表
指定因子数和水平数
软件输出结果
其偏差D只有0.1194，小于 的偏差值 0.2132，其优越性更好。采用这种方法获
得的U均匀7 (设7 3计)起表来不更需为要简使便用。表，因而使用
➢三、试验结果分析 ➢ 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回 归分析或逐步回归分析的方法。
，通过变量代换(8-9)式可化为多元线性方程求解。
即令
x1 xixj (i 1,2, m; j 1) (810)
^
2mT
方程(89)化为 yb0 blxl (TCm2) (811)
l1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表
➢均匀设计法诞生於1978年。由中国著名数学家方开泰教授和王元院士合作共同发明。
➢中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方 法，这就是均匀设计法。
➢中国数学会均匀设计分会
华罗庚
王元
➢ 均匀设计是一种试验设计方法。 ➢它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试验，是在均匀性的度量下最好的析因 试验设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计的重要方法。
U6(64)的使用表
s
列
号
2
1
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.187 5
0.265 6
0.299 0
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方。例如一项试验，有五 个因素，每个因素取31水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设计只需31次 ，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
y在 第 k次 试 验 的 结 果 。
L ij
n k 1
xik
_
x
i
xik
_
x
j
L iy
N
K 1
xik
_
xi
yk
_
y
L yy
N i1
yk
_
y
2
_
xi
1 N
N
xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
5
3
3
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
➢正交设计安排试验时采用的随机化过程包括： ➢因素顺序随机化 ➢因素水平随机化 ➢实验顺序随机化 ➢而均匀设计表中的各列是不平等的，因素所应安排的列的位置是不能随意变动的 ➢当试验中因素的个数不同时，须根据因素的多少按照均匀表的使用表确定因素所占列
▪每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列 所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1， 3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差 () 。
§6-2 应用举例
▪利用均匀设计表来安排试验的步骤： ▪（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 ▪（2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安 排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了。
▪在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三 个因素，它们各取了7个水平如下： ▪原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 ▪吡啶量（B）()：10，13，16，19，22，25，28 ▪反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).”
正交试验可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因 素数或水平数比较大时，正交试验的次数很多。如5因素5水平，用正交表需要安排52＝25次试 验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果。
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多 于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的 共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成 效。
混合水平的均匀设计表
1
一、引言
§6-1 基本原理
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点散布均匀 整齐可比：试验点排列规律整齐可分析
➢均匀设计法： ➢利用试验点在试验范围内充分分散的均匀设计表来进行试验设计的科学方法 ➢均匀设计表： ➢利用数论在多维数值积分中的应用原理构造出的具有均衡分散特征的代表性试验表格
N o. 1 2 3 11 2 3 22 4 6 33 6 2 44 1 5 55 3 1 66 5 4 77 7 7
1. 将 x1, x2和 x3放入列1,２和3.
2．用x1的７个水平替代第一列的1到 7.
3. 对第二列，第三列做同样 的替代.
4. 完成该设计对应的试验，得到７个结果， 将其放入最后一列.
➢2 .试验结果的比较 ➢正交设计可以计算出因素的主效应，有时也能估算出它们的交互效应，但都只停留在事先设计 好的水平数中。而均匀设计不仅可以计算出回归模型中因素的主效应和交互效应，还可预测试 验最佳效果时的各因素水平数值，并比事先设计好的水平数值更加细化。
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从如下三个角度来 比较：
当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素
的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法
例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：
m
T
m
y=b0 bixi bijxixj biixi2
i1
i1
i1
j1
(T Cm2)
(89)
其中xi xj反映了因素间的交互效应，xi2反映因素的二次项效应
制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果