空间向量与立体几何单元测试试卷

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高中数学空间向量与立体几何单元练习题(含解析)

高中数学空间向量与立体几何单元练习题（含解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（） A ．()1,2,1-- B ．()1,2,1- C ．()1,2,1--- D ．()1,2,1-- 2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3- 4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π 7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（）A B C D9．已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH ∥平面BCD ；（2）BD ∥平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.18．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD=，O为BD的中点.⊥；（1）证明：OA CD（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2=，且二面角DE EA-的体积.E BC D--的大小为45︒，求三棱锥A BCD高中数学空间向量与立体几何单元练习题答案1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， ∴11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=．故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==故选：B.9．C 【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误；对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =，则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-，设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB ∥CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB ∥CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α，必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，∴11222x -==--，解得=1x -；故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥，而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =，所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=．故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=- 当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD ⊥AB ，CD ⊥1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED∵111ABC A B C 是三棱柱，∴四边形11BCC B 为平行四边形，∴E 是1BC 的中点.∵点D 是AB 的中点，∴ED 是1ABC 的中位线，∴1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1AC ∥平面1CDB .（2）∵1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1AA AB ⊥，∵AC BC =，AD BD =，∴CD AB ⊥，∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH ∥BD ，由此能证明EH ∥平面BCD ；（2）由BD ∥EH ，由此能证明BD ∥平面EFGH .【详解】（1）∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD .∵EH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EH ∥平面BCD ；（2）∵FG 为△CBD 的中位线，∴FG ∥BD ，∴FG ∥EH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面，∵BD ∥EH ，BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PB 的中点，∴OE PD ∥，又∵OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，∴OE 平面PDC ；（2）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又∵,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析；【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=，设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =．又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=，所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα．② 将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。

高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-【答案】A 【解析】【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数．所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---．故选：A ．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（） A ．()234，， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，，【答案】A 【解析】点()()1,2,3345A B 、，，，由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()234，，. 故选A.4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（） A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BCD ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】根据向量的相关性质判断. 【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB的单位向量为55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误；对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以cos ,11AB BC AB BC AB BC⋅==-⋅，所以C 项错误；对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32BC D ．【答案】B 【解析】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离22n OA n⋅-+===，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（）A ．43B ．33C ．23D 3【答案】A 【分析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积．【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ，则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示，因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，所以221222A B =+=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭故投影面积为：43故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（）A ．21B ．22C ．23D ．13【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围. 【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等）故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+，因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅，故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1，故选：A . 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.二、多选题9．给出下列命题，其中正确的有（） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底【答案】BCD 【分析】选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断．【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：BCD.10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB 【分析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.故选：AB.11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（） A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37【答案】ACD 【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BDDA BD DA BD ''''==''⋅=所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则00n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'' 所以3020x z y z +=⎧⎨+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3cos ,17n m n m n m⋅-==⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为37，则D 正确. 故选：ACD12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径22222462R ++==，所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______．【答案】2- 【分析】由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，即422m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2m =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________【答案】【解析】试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．334【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为33434. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四、解答题17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ；（2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.【答案】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来；（2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++ ()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.（1）证明：OE //平面PAB ；（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.【答案】（1）见详解；（2）33【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点，又E 为PD 中点，∴OE //PB .∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∴3cos ,162PC OE ==⋅即异面直线PC 与OE 3【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积；（2）求证：DM ⊥平面ACE ．【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，233M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】（1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、()1,0,1M ，()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，则2030n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,0n =-，M ∴到平面DEC 的距离23331DM n h n⋅===+，又1122222DECSDE DC =⨯⨯=⨯⨯=，因此，三棱锥M CDE -的体积112323333M CDE DEC V S h -=⨯⨯=⨯⨯=△；（2）证明：由（1）易知()0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()1,3,2AE =-，02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，ACAE A =，DM ∴⊥平面ACE .【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值；（2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（16（26【分析】取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值；（2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】取DC 的中点O ，连接PO ，PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，PO ∴⊥平面ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，32DE =，2364cos cos ,4322a PA DE PA DE PA DEa a θ⋅=<>===⋅⨯，因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，362cos ,421aPA n PA n a PA n-⋅<>===-⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为64. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ，又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2，取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ，所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以12121231cos ,43936n n n n n n ⋅<>===++，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ；（2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥，因为AC ⊥平面BCM ，所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =，所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π.不妨设AE AM λ=（01λ≤≤），所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--，设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π，此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

空间向量与立体几何检测题及答案

空间向量与立体几何检测题（考试时间：120分钟满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 572．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为（）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（） A ．1010 B ． 11112 C ． 53D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是︒60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)

一、选择题1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，112C G GD =，若α平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（） A ．227B ．32C ．427D ．6272．如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AE BF AC =与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，则下列选项中错误的是（）A ．AGC ∠的角度不会发生变化B ．AC 与EF 所成的角先变小后变大 C ．AC 与平面ABFG 所成的角变小D ．二面角G AC B --先变大后变小3．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（）A ．30B ．60C ．90D ．1204．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（） A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]62ππD ．[,]42ππ5．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 6．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣57．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b -8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（）A ．3010B ．15-C ．7010D ．159．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（） A ．52B ．2C ．32D ．11610．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．13 B ．213C ．313D ．13 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（） A ．1515B ．155C ．53D ．5 12．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++13．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 二、填空题14．若面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，两面夹角的正弦值为346，则λ=________. 15．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.16．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___17．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）18．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．19．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC 等于______.20．设a =（1，1，0），b =（﹣1，1，0），c =（1，0，1），d =（0，0，1），,,,a b c d 存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．21．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．22．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________23．正四面体ABCD 的棱长为22的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．24．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．25．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．26．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可. 【详解】不妨设AB =2, 以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,0,10,2,00,2,20,2,1D A A E C C F ，，，，，，， ()()()12,2,22,2,0,2,0,2,B EF C B =-=-，112420,,00,,133C G GD G GF ⎛⎫⎛⎫=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11·2204·03n EF x y n GF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =1，则141,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设直线m ，n 的方向向量分别为()0000,,m x y z =，()0222,,n x y z = 因为α平面ABCD m =，1BC α⊥，所以0100020·220·0m C B x z m n z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩不妨令0y =1，则()00,1,0m =同理可求071,,13n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线m 与直线n 所成角为θ，则0000007||||7673cos |cos ,|||||491114m n m n m n θ-====⨯⨯++所以227673134sin 1cos 16767θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭3134sin3267tan cos 7767θθθ===故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．D解析：D 【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断A ，B ；求出平面ABFG 的一个法向量，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C ；求出平面AGC 的法向量以及平面AGC 的法向量，利用空间向量数量积即可求解. 【详解】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，对于A ，(),,0AG a a =-，()0,1,1GC a a =--，()11cos 2221AG GC a a AGC a a AG GC⋅-∠===⋅-，故AGC ∠的角度不会发生变化，所以A 正确；对于B ，设AC 与EF 所成的角为θ，(),1,1AC a a =--，()0,1,0EF =，cos AC EF AC EFa θ⋅===，2222a a -+对称轴为12，且()0,1a ∈，所以2222a a -+先减小后增加，所以cos θ先增加再减小，即AC 与EF 所成的角先变小后变大，故B 正确；对于C ，平面ABFG 的一个法向量为()0,0,1m =，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，sin cos ,ACm AC m ACma θ⋅======， ()0,1a ∈，则1a a+单调递减，sin θ单调递减，所以AC 与平面ABFG 所成的角变小，故C 正确；对于D ，设平面AGC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AG n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()11111010ax ay ax y a z -+=⎧⎨-++-=⎩，令11x =，11y =，11z =-，不妨设1,1,1n，设平面ACB 的一个法向量为()222,,p x y z =，则00p AB P CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()222010y ax a z =⎧⎨+-=⎩，令2z a =，21x a =-，即()1,0,p a a =-，cos ,3n pn p n p⋅==== 2221a a -+对称轴为12，在()0,1先减小后增大，所以212221a a --+在()0,1先减小后增大，二面角G AC B --为钝角，231cos ,23221n p a a ∴=---+ 先增大后减小，故二面角G AC B --先减小后增大，故D 错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.3．A解析：A 【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11AC BC AA ===，则()11,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()11,0,1=--AC ，设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，由11100n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =，所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos,222n A C n A C n A C⋅<>==-⨯⋅，所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.故选：A. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.4．A解析：A 【详解】以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图设DA 2=，易得()1,0,1EF=-,设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，，则cos θcos ,?BM EF =，即()()222201122321222823()33cos θλλλλλλ===≤≤-+-+-+.当13λ=时，cos θ取到最大值32，当1λ=时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.5．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+，又1122PO PD PB =+，所以PD a c b =+-，又11112222PE PD a c b ==+-，所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n ，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 7．C解析：C 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ； ()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.8．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ，所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =，设1B P 与MN 所成的角为θ，所以1122130cos 56B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 30，故选：A 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.9．A解析：A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.10．A解析：A 【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值. 【详解】设1,,AB a AC b AA c===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112A E AB B E a c =+=-，11AC AC CC b c =+=+，111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+ =135213==-⨯. 所以异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为1313. 故选：A 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ，则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ===． ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12．C解析：C 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.13．D解析：D 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.二、填空题14．【分析】设平面的夹角为利用空间向量夹角公式得：由已知知建立关于的方程解方程即可得到答案【详解】设平面的夹角为又面的法向量面的法向量则利用空间向量夹角公式得：由已知得故故即解得：故答案为：【点睛】结论解析：【分析】设平面,αβ的夹角为θ，利用空间向量夹角公式得：cos 3⋅==m n m nλθλ，由已知sin 6=θ，知21cos 18=θ，建立关于λ的方程，解方程即可得到答案.【详解】设平面,αβ的夹角为θ，又面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，则利用空间向量夹角公式得：cos 1⋅===+m n m nθ由已知得sin =θ，故22221cos 1sin 116618⎛⎛⎫=-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θθ 故2118=，即2222119(2)1822=⇒=++λλλλ，解得：λ=故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=15．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与【分析】首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以3tan AB ADB AD AD∠==，当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯，所以AD 与平面PBC 311. 311【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．16．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线解析：269【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E、1B F的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E与直线1B F所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC 、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz-，则点()12,0,4A、()12,2,4B、()0,2,2E、()1,1,0F，()12,2,2A E=--，()11,1,4B F=---，11111126cos,2332A EB FA EB FA EB F⋅<>===⨯⋅，因此，直线1A E与直线1B F26.故答案为：269.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④ 【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13 故|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D 3，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1，直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′3θ3θ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =θθ，﹣1），|'AB |=2，设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]，则)(10cos 3，，θα-⋅=='⋅sin a AB θ|∈[0， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确．设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()(1100c 323os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB |cos θ|，当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|33πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|2=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误．故答案为：②④．【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．18．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考解析：【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ，所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=，所以217AB =, 故答案为：217【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.19．5【分析】将已知条件转化为向量则有利用向量的平方以及数量积化简求解由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中即向量两两的夹角均为则因此故答案为:5【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用考查解析：5 【分析】将已知条件转化为向量则有11AC AB BC CC →→→→=++,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段1AC 的长度．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒,即向量1,,AB AD AA→→→两两的夹角均为1601,2,3AB AD AA →→→︒===，,则11AC AB BC CC →→→→=++ 22221111222149212cos60213cos60223cos6025AC AB BC CC AB BC BC CC CC AB →→→→→→→→→→︒︒︒=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=因此15AC →=. 故答案为:5.本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.20．【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向解析：1122c a bd =-+【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来. 【详解】(1a =，1，0)，(1b =-，1，0)，(1c =，0，1)，(0d =，0，1)，∴0a b =，0a d =，0b d =，若,,a b d 共面，则存在,x y 使得a xb yd =+，化简得：110x x y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故,,a b d 不共面，则a ，b ，d 为正交基底，设c xa yb zd =++，则101x y x y z =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，解得：11,,122x y z ==-=， ∴1122c a bd =-+．故答案为：1122c a bd =-+．【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题．21．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.22．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题23．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DN ADAD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-24．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值．【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB=，则k ∈R，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=，设直线AB '与C M '所成角为θ，则cos 2AB C M AB C Mθ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+，212x <+，∴max ()3f x =，max 3(cos )223θ==，即30cos θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．25．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平解析：23【解析】分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n =(,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量， ∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π∴cos4m n m nπ⋅=⋅，即222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．26．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查解析：1-【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.【详解】由题意可知，存在实数,m n满足：c ma nb=+，据此可得方程组：325432m nm nm nλ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111mnλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩.故答案为1-．【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

空间向量与立体几何测试试卷

空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。

空间向量单元测试题(原卷版)

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点．（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-，平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥．故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线，所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________．【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ，所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===，设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =，则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==，所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)，设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥，又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=，即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立，此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值．【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。

高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知，＇，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛，，｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

空间向量与立体几何单元测试

第3章空间向量与立体几何单元测试（总分150分，测试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂其中为假命题的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④2．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125 B ．π6125 C ．π9125D ．π31253．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为（）①]2,0(π=⋂⋂P N M②],0[π=⋃⋃P N M ③]2,0[)(π=⋃⋂P N M④)2,0()(π=⋂⋃P N MA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（）A ．23 B ．25 C ．510 D ．10107．已知2(,2,0),(3,,)a x b x x ==-，且a b 与的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A ．4x <B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是（）A ．AC ⊥BDB ．△ADC 为等边三角形 C ．AB 、CD 所成角为60°D ．AB 与平面BCD 所成角为60°9．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（）A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.10．．长方体1111ABC D A B C D -中，12,1,AA AB AD ===点E 、F 、G 分别是1DD １、ＡＢ、ＣＣ的中点，则异面直线１ＡＤ与ＧＦ所成的角是（）A ．arccos5B ．4πC ．arccos5D ．2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

空间向量与立体几何-单元测试含答案

第三章空间向量与立体几何单元测试(时间： 90 分钟满分：120分)第Ⅰ卷 (选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．1．以下四组向量中，相互平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；② a＝(8,4，－ 6)，b＝(4,2，－ 3)；③a＝(0，－ 1,1)，b＝(0,3，－ 3)；④ a＝(－3,2,0)，b＝(4，－ 3,3) A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组分析：∵②中 a＝2b，∴ a∥b；③中 a＝－1 ，b3∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案： B2．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件；②若a∥b，则存在独一的→实数λ，使 a＝λb；③对空间随意一点O 和不共线的三点A，B，C，若OP＝→→→2OA－2OB－OC，则 P，A，B，C 四点共面；④若 { a，b，c} 为空间的一组基底，则 { a＋b，b＋c，c＋a} 组成空间的另一组基底；⑤|(a·b) ·c|＝|a| ·|b| ·|c|.A．2 个B．3 个C．4 个 D ．个5分析：①|a|－|b|＝|a＋ b|? a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时 |a|－|b|＝|a＋b| 不必定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③由于 2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数目积的性质知，不正确．答案： C3．如图，已知四边形 ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD ，连结 AC ，BD ，PB ， PC ，PD ，则以下各组向量中，数目积不必定为零的是( )→ →→ →与BD B.DA 与PB A. PC→ → → → C.PD 与AB 与CD D.PA分析：成立以下图的空间直角坐标系．设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a ，b ，PA 长为 c ，则 A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b ，a,0)，P(0,0，c)．→ → → →则PC ＝(b ，a ，－ c)，BD ＝(－b ，a,0)，DA ＝(0，－ a ，0)，PB ＝(b,0， → → → →－ c )，PD ＝ (0，a ，－ c)，AB ＝ (b,0,0)，PA ＝(0,0，－ c)，CD ＝(－b,0,0)．→ →∴P C·BD＝－ b2＋a2不必定为 0.→ →→ →→→＝0.·＝0，PD·＝0， PA·DA PB AB CD 答案： A4．已知向量 e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b1)＝e1＋2e3，则 (6a) ·b 等于 (2A．15 B． 3C．－ 3 D ．51分析： (6a) ·b ＝3a·b＝3(3e ＋2e －e ) ·(e ＋2e )＝9|e |2－6|e |2＝3.2123131 3 答案： B5．如图， AB＝AC＝BD＝1， AB? 面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD 与面α成 30°角，则A．1 C、D 间的距离为( )B． 2C. 2D. 3→→→→→→→→→→→分析：|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD→→→＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝ 2.答案： C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H知足 BH⊥OA，则点 H 的坐标为 ()A．(－2,2,0) B． (2，－2,0)C. －1，1，0 D.1，－1，02 2 2 2→分析：由OA＝(－1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(－λ，λ，0)，→则BH＝(－λ，λ－1，－ 1)．→→又 BH⊥OA，∴ BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－ 1) ·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－＝，解得λ＝1，∴H －1，1，.1 02 2 2答案： C7．已知 a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是 ()A．90°B． 60°C．30° D ．0°分析： (a＋b) ·(a－b)＝a2－b2＝ (cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴ (a＋b)⊥ (a－b)．答案： A8．已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 ()2 2A. 3B. 35 2 3C. 3D. 3分析：以 D 为坐标原点，以 DA 、DC 、DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图．则 A(1,0,0)，E 1，1，0 ，F 0，1，1，D 1，22(0,0,1)→ → 1l 所以 AD 1＝(－1,0,1)，AE ＝－2，1，0 .设平面 AEFD 1 的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，→ ＝0，－x ＋z ＝0，· 则n AD 1? －x＋y ＝0.→· ＝0，2n AE∴ x ＝2y ＝z.取 y ＝1，则 n ＝(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u ＝2 5(0,0,1)，∵ cos 〈n ，u 〉＝ 3，∴ sin 〈n ，u 〉＝ 3 .答案： C9．在三棱锥 P-ABC 中，△ ABC 为等边三角形， PA ⊥平面 ABC ，且 PA＝AB ，则二面角 A-PB-C 的平面角的正切值为 ()A. 6B. 3C. 6D. 6 62分析：设 PA ＝AB ＝2，成立以下图的空间直角坐标系．则 B(0,2,0)，C( 3，1,0)， P(0,0,2)，→∴ B P ＝(0，－ 2,2)， →BC ＝( 3，－ 1,0)．设 n ＝(x ，y ，z)是平面 PBC 的一个法向量．→BP ·n ＝ 0，－2y ＋2z ＝0，则即→3x －y ＝0. BC ·n ＝ 0，3令 y ＝1，则 x ＝ 3 ，z ＝1.即 n ＝ 33，1， 1 .易知 m ＝(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量．3·37则 cos 〈m ， n 〉＝m n21＝ 7. |m||n|＝ 1×3∴正切值 tan 〈m ，n 〉＝ 6.答案： A．已知 → →→＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上10 OA→ →运动，则当 QA ·获得最小值时，点 Q 的坐标为 ()QB1 3 11 3 3A. 2，4，3B. 2，2，4C. 4，4，8D. 4，4，73 3 33 3 3→分析： ∵Q 在 OP 上，∴可设 Q(x ，x,2x)，则 QA ＝(1－x,2－x,3－2x)，→QB ＝(2－ x,1－x,2－2x)．→ →∴ Q A ·QB ＝6x 2－16x ＋10，4 → →∴ x ＝3时， QA ·QB 最小，4 4 8这时 Q 3，3，3 .答案： C第Ⅱ卷 (非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．11．已知 a ＝(3，－ 2，－ 3)，b ＝(－1，x － 1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 __________．分析：由于 a 与 b 的夹角为钝角，于是－ 1＜ cos 〈a ，b 〉＜0，所以 a ·b ＜0，且 a 与 b 的夹角不为 π，即 cos 〈a ，b 〉≠－1.5 5解得 x ∈ － 2，3 ∪ 3，＋ ∞ .5 5答案：－2，3 ∪ 3，＋∞1 112．以下图，已知正四周体A-BCD 中，AE ＝4AB ，CF ＝4CD ，则直线 DE 和 BF 所成的角的余弦值为 __________．→ → → 1 →→ 分析： ED ＝EA ＋AD ＝4BA ＋AD ，→ → → → 1 → BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋4CD ， → → → →ED ·BF〈 ED ，BF 〉＝cos→ →|ED| |BF ·|1 →→→1 →＋AD · ＋4CD＝4BABC1 →→2→ 1→2＋AD·＋4CD4BABC4＝ 13.4答案： 1313．已知 a＝(x,2，－ 4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－ 2，z)，且 a，b，c 两两垂直，则 (x，y，z)＝__________.－x ＋2y －12＝ 0，分析：由题意知 x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得 x ＝－ 64， y ＝－ 26，z ＝－ 17.答案： (－64，－ 26，－ 17)14．已知空间四边形 OABC ，以下图，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC的中点，点G 在线段MN → →上，且MG ＝3GN ，现用基向量→OA 、→ →→ → → → →OB 、OC 表示向量 OG ，并设 OG ＝ x ·OA ＋ y ·OB ＋z ·OC ，则 x 、y 、z 的和为__________．→ →→1 → 3 → 1 →31→→1→1分析： OG ＝ OM ＋MG ＝2OA ＋4MN ＝2OA ＋4 －2OA ＋OC ＋2CB ＝2→ 3 → 3 → 3 → 3 → 1 → 3 → 3 →OA －8OA ＋4OC ＋8OB －8OC ＝8OA ＋8OB ＋8OC ，1 3 3∴x ＝8，y ＝8，z ＝8.7∴x ＋y ＋z ＝8.7答案： 8三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分．15．(12 分)已知 a ＝(1,2，－ 2)．(1)求与 a 共线的单位向量 b ；(2)若 a 与单位向量 c ＝(0，m ，n)垂直，求 m 、n 的值．解： (1)设 b ＝(λ，2λ，－ 2λ)，而 b 为单位向量，∴|b|＝1，即 λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.1 ∴λ＝± .(4 分)31 2 2 1 2 2∴b ＝ 3，3，－ 3 或 b ＝－3，－ 3，3 .(6 分)·＝，1×0＋2m －2n ＝0，a c 0?(2)由题意，知m 2＋n 2＋02＝1，|c|＝1，m ＝ 2m ＝－ 2解得 2 ，或 2，(12 分)22n＝ 2 ， n ＝－2 .16．(12 分)以下 (左)图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为 AC 、AB 上的点，且 DE ∥BC ，DE ＝2，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A 1DE 的地点，使 A 1C ⊥CD ，以下 (右)图．(1)求证： A1C⊥平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小．解： (1)∵ AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴ DE ⊥AC.∴ D E ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴ DE ⊥平面 A 1DC.∴ D E ⊥A 1C.又∵ A 1C ⊥CD ，∴ A 1C ⊥平面 BCDE.(4 分 )(2)以下图，以C 为坐标原点，成立空间直角坐标系 C － xyz ，则A 1(0,0,2 3)，D(0,2,0)，M(0,1， 3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面 A 1 的法向量为 →→BE n ＝，，，则·1＝0，n ·BE ＝0.(x y z)n A B→又A 1B ＝(3,0，－ 2 3)，→BE ＝(－1,2,0)，3x －2 3z ＝0，∴－ x ＋2y ＝0.令 y ＝1，则 x ＝2，z ＝ 3，∴ n ＝(2,1， 3)．设 CM 与平面 A 1BE 所成的角为 θ.→∵CM ＝(0,1， 3)，→→∴sin θ＝|cos 〈n ，CM 〉|＝ | n ·CM＝ 4 ＝ 2→ | 8× 42 .|n| ·|C M|∴CM 与平面 A 1BE 所成角的大小为π.(12 分)417．(12 分)如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面相互垂直， AB ＝ 2，AF ＝1，M 是线段 EF 的中点．(1)求证： AM ∥平面 BDE ；(2)试在线段 AC 上确立一点 P ，使得 PF 与 CD 所成的角是 60°.解： (1)证明：如图，成立空间直角坐标系．设 AC∩BD＝N，连结 NE，2 2则 N 2 ， 2 ，0 ，E(0,0,1)，→2，－ 2，1 .∴NE ＝－222 2又A( 2， 2，0)，M 2，2，1，→2，－ 2，1 .∴AM ＝－22→ →∴NE ＝AM ，且 NE 与 AM 不共线．∴NE ∥AM.又 NE? 平面 BDE ，AM?平面 BDE ，∴AM ∥平面 BDE.(6 分)(2)设 P(t ，t,0)(0≤t ≤ 2)，→ →则PF ＝( 2－t ， 2－t,1)，CD ＝( 2，0,0)． → →又∵ PF 与CD 所成的角为 60°.|2－t ·2|1 2－t 2＋ 2－t 2＋1·2＝2，2 3 2 解之得 t ＝ 2 ，或 t ＝ 2 (舍去 )．故点 P 为 AC 的中点． (12 分)18．(14 分)如图，在圆锥 PO 中，已知 PO＝2，⊙ O 的直径 AB＝ 2，︵C 是AB的中点，D 为 AC 的中点．(1)证明：平面 POD⊥平面 PAC；(2)求二面角 B-PA-C 的余弦值．解： (1)证明：以下图，以 O 为坐标原点， OB，OC，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，1 1C(0,1,0)，P(0,0， 2)，D －2，2，0 .→→设 n1＝ (x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1·OD＝0，n1·OP ＝0，空间向量与立体几何-单元测试含答案 21 / 211 1 得－2x 1＋2y 1＝0， (4 分) 2z 1＝0.∴ z 1＝0，x 1＝y 1.取 y 1＝1，得 n 1＝ (1,1,0)．设 n 2＝(x 2，y 2，z 2 ) 是平面 PAC 的一个法向量，则由 2 → ＝0，n 2 → ＝ · · n PA PC0，－x 2－ 2z 2＝0，得 y 2－ 2z 2＝0.∴ x 2＝－ 2z 2，y 2＝ 2z 2，取 z 2＝1，得 n 2＝(－ 2， 2，1)．∵n 1·n 2＝(1,1,0) (－· 2， 2，1)＝0，∴n 1⊥ n 2.进而平面 POD ⊥平面 PAC.(8 分)(2)∵ y 轴⊥平面 PAB.∴平面 PAB 的一个法向量为 n 3＝(0,1,0)．由 (1)知，平面 PAC 的一个法向量为 n 2＝(－ 2， 2，1)．设向量 n 2 和 n 3 的夹角为 θ，则 cos θ＝n 2·n 3 2 10 2 ·3＝＝ 5 . |n | |n |5 由图可知，二面角 B-PA-C 的平面角与 θ相等，∴二面角 B-PA-C 的余 10弦值为 5 .(14 分)。

2-1空间向量与立体几何单元测试

1数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．若a 、b 、c 为任意向量，∈m R ，下列等式不一定成立的是（） A ．)()(c b a c b a ++=++ B ．)(b a +·a c =·b c +·c C ．b m a m b a m +=+)( D ．（a ·b a c b ()=·)c 2．已知ABCD 是四面体，O 为△BCD内一点，则)(31++=是O 为△BCD 的重心的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若向量),2,1,2(),2,,1(-==λ、夹角的余弦值为98，则λ等于（） A ．2 B ．－2 C ．－2或552 D ．2或－5524．在以下命题中，不正确的个数为（） +=-是、共线的充要条件； ②．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使λ=a ·b ；③．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OC OB OA OP --=22，则P 、A 、B 、C 四点共面；④．若｛,,｝为空间的一个基底，则{+++,,}构成空间的另一个基底； ⑤．│（a ·b ）c │＝│a │·│b │·│c │A ．2B ．3C ．4D ．5 5．设),2,3(),3,4,(z x ==，且∥，则xz 等于（） A ．－4 B ．9 C ．－9 D ．9646．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°7．在△ABC 中，⊥===PA BC AC AB ,6,5平面8,=PA ABC ，则P 到BC 的距离是2（） A ．5 B ．54 C ．53 D ．52 8．一条长为 a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足间的距离（） A ．2a B ．3a C ．a 22 D ．a 32 9．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为（） A ．2a B ．3a C ．a 22 D ．a 3210．如右图所示，在正方体''''D C B A ABCD -的侧面''A ABB 内有一动点P ，点P 到直线''B A 的距离与到直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．1A 、2A 、3A 是空间不共线的三点，则=++133221A A A A A A ；类比上述性质得到一般性的结论是． 12．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，A B C D 是边长为a 的正方形，=∠=∠=AD A AB A b AA 111,120°，则1AC 的长＝．13．已知a ＝（3，1，5），b ＝（1，2，－3），向量c 与z 轴垂直，且满足c ·a ＝9，c ·，4-=，则＝．14．在长方体1111D C B A ABCD -中，C B 1和D C 1与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线C B 1 和D C 1所成角的余弦值为．'A'B 'C 'DBA DCP'A 'B B A P A 'A 'B B A P B 'A 'B B A P C 'A'BBAPDD CBA1A1B1C1D3三、解答题（本大题共6小题，共58分）15．(9分)如右图，E 是正方体1111D C B A ABCD -的棱11D C 的中点，试求向量11C A 与所成角的余弦值．16．（10分）设a a a a 523,32,23,24321++=-+-=-+=+-=，试问是否存在实数λ、μ、v ，使3214a v a a a ++=μλ成立？如果存在，求出λ、μ、v ；如果不存在，请给出证明．17．（9分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ；（Ⅱ）求二面角P AE D --的大小。

《空间向量与立体几何》章检测试卷(附答案)

《空间向量与立体几何》章检测试卷（附答案）试卷总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 如图,在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A. −12a +12b +c B. 12a +12b +c C. −12a −12b +c D. 12a −12b +c(第 1 题)2. 平面 α 的法向量为 (1,2,−2) ,平面 β 的法向量为 (−2,−4,k ) ,若 α//β ,则 k 等于 ( )A. 2B. -4C. 4D. -23. 若 a =(1,2,−3),b =(2,a −1,a 2−13) ,则 “ a =1 ” 是 “ a ⊥b ” 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知两个平面的法向量分别为 m =(0,1,0),n =(0,1,1) ,则这两个平面所成的二面角的大小为 ( )A. 45∘B. 135∘C. 45∘ 或 135∘D. 60∘ 5. 直线 l 的方向向量 a =(1,−3,5) ,平面 α 的法向量 n =(−1,3,−5) ,则有 ( ) A. l//α B. l ⊥α C. l 与 α 斜交 D. l ⊂α 或 l//α6. 已知平面 α 内有一点 M (1,−1,2) ,平面 α 的一个法向量为 n =(6,−3,6) ,则下列点 P 中, 1. 在平面 α 内的是 ( )A. P (2,3,3)B. P (−2,0,1)C. P (−4,4,0)D. P (3,−3,4) 7. 若 A,B 两点的坐标分别是 A (3cosα,3sinα,1),B (2cosβ,2sinβ,1) ,则 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的取值范围是 ( )A. [0,5]B. [1,5]C. (1,5)D. [1,25]8. 已知正四棱雉 S −ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为 ( )A. 13B. √23C. √33D. 23二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第一章空间向量与立体几何单元测试卷-人教版B版(2019)选择性必修第一册

→
D．与夹角的余弦值为−
→ →
→
→
√3
6
→
→
11．定义空间两个向量的一种运算 ⊗ =| |•| |sin＜，＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒
成立的有（
→ →
）
→ →
A． ⊗ = ⊗
→ →
→
→
B．λ（ ⊗ ）＝（λ ）⊗
→
→
→
→ →
→ →
C．
（ + ）⊗ =（ ⊗ ）+（ ⊗ ）
→
→
→ →
， =（x2，y2）
，则 ⊗ =|x1y2﹣x2y1|
D．若 =（x1，y1）
12．给出下列命题，其中正确命题有（
）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
→
→
→
→
B．已知向量 ∥ ，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
→
→
→
C．A，B，M，N 是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么 A，B，M，N 共面
→
→
→
→
→
点 N，P 为平面上一点，满足2 = + (1 − )，则 ⋅ 的最小值为
．
四．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
1
17．如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥DC，ED＝EF= CD＝1，∠EAD
2
＝30°．
（Ⅰ）求证：AE⊥FC；
B．θ1＜θ3＜θ2
C．θ2＜θ1＜θ3
第1页（共14页）
）
D．θ2＜θ3＜θ1
→，﹣1）
， =（2，﹣1，2）

空间向量与立体几何单元测试-2022-2023学年高二上学期数学

空间向量与立体几何测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1—→－D 1C 1—→等于( )A.AD 1—→B.AC 1—→C.AD →D.AB →2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)3．（2022·江苏如东·高三期末）已知三棱锥P －ABC 的外接球半径为4，底面ABC 中，AC ＝6，∠ABC ＝60°，则三棱锥P －ABC 体积的最大值是（）A ．183B ．543C ．24πD 16324+ 4．（2022·江苏无锡·高三期末）正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1B M 与平面11A C B 所成角的正弦值为（）A ．13B 3C 6D 22 5．（2022·江苏苏州·6的母线长为（）A ．22B ．3C ．26D ．426．（2022·广东罗湖·高三期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中点，P 为1AA 的中点，则直线PO 与1AD 所成的角为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π7．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O ，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．32D ．不能确定7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A 3λB 2C 2λD 5 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．24-D ．122．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，AC AD 0⋅=，则BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（） A ．43-B ．43C ．13-D ．134．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（）A ．3B ．5C ．9D ．215．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++C ．2133a b c →→→-+D ．2133a b c →→→-+6．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1258．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（）A ．144B ．114C ．142D ．1129．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（） A ．14B ．14-C ．34D ．34-10．以下四个命题中正确的是（）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底11．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（）A ．43B ．16C ．8D ．4212．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为 BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ,CE 所成角的余弦值为（）A ．12B ．2C ．15D ．4513．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（）A B C D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题14．已知下列命题：①若空间向量a ，b 满足a b =，则a b =；②已知()y f x =是R 上的连续可导函数，则“0x x =是函数()y f x =的一个极值点”是“()00f x '=”的充分不必要条件；③在空间中，已知A ，B ，C ，D 四点共面，若1136PA PB PC mPD =++，则12m =； ④已知函数()sin 2cos xf x x=+，当0x >时，函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是13k ≥(只填序号) 其中正确的命题是______.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．16．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为__________.（将你认为正确的命题序号都填上）17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.18．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.19．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．20．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．21．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．22．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．23．在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________.24．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．25．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.26．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ，则正确命题的序号为______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．【详解】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，(22A ∴，0，0)，(22C -，0，0)，(0P ，0，22)， (2D ，6，0)，∴(42AC =-，0，0)，(2PD =，6，22)-，cos AC ∴<，2||||424AC PD PD AC PD >===-⨯．∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为2．故选：B ．【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．2．B解析：B 【分析】由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得()()20BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐角，从而可得结果．【详解】因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，所以()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>，cos 0BC BD B BC BD⋅∴=>⋅，故B ∠是锐角，同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角，故BCD 是锐角三角形，故选B ．【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.3．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥，所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点，此时，242sin 60MC ==23MC ∴= AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，2223MA AC MC ∴=-==. 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．B【分析】由条件可知点P 在平面123A A A 上，并且由几何意义可知4A Q ⊥平面123A A A ，利用数量积的几何意义求4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数. 【详解】条件“4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=”，说明点P 在平面123A A A 上，而44min ||A Q A P =说明Q 为平面123A A A 的中心，此时4A Q ⊥平面123A A A ，由向量数量积的几何意义，i j A A 在4A Q 的投影有5种情况：0、41||2A Q ±、4||A Q ±，∴数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是5，故选：B ．【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.5．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．6．D解析：D 【分析】判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案.命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题；当0a b =>时，方程221ax by +=表示圆，故q 为假命题；故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.7．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,Ba a a ，0,0,2a E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以00ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以()()()()11111122a aB E n a =⨯-+-⨯-+-⨯=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；因为()()()()2115022a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误； 111113111136C B CE B C EC C ECV V SB C a --===，故C 错误；面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则112sin 31m B Em B Eθ===⨯，所以cos θ== 所以2sin tan cos θθθ===D 正确；故选：D【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.8．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ，所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=，即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ，所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤，因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--，即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以223114122EF ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.9．B解析：B 【分析】由题意作图，可得所求数量积为12BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案．【详解】解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ，由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒，又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以12EF BD =，故11||||cos()22EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．10．B解析：B 【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．11．D解析：D 【分析】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则四边形ABDE 为平行四边形.线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠=4AB AC BD ===4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.ACE ∴∆为等边三角形，4CE =AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE DE ∴⊥平面ACE 又CE ⊂平面ACE∴DE CE ⊥在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+=故选：D 【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.12．C解析：C 【分析】取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，求得向量,AD CE 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，则3(0,,0),(,0,),(0,,0),(0,0,)2222a a a a A D C E a ，则3(,,),(0,,)222a a aAD a CE a ==-，设AD 与CE 成的角为θ ，则222223012222cos 534444a a aaa a a a a θ-⨯+⨯==++⋅+，故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．D解析：D 【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==，即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =. 设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，则1130sin 30n A E n A Eθ⋅===⋅ 故选D. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题14．②③④【分析】①根据向量相等的知识进行判断；②结合极值点和充分必要条件的知识进行判断；③根据四点共面的知识进行判断；④求得在处的切线方程结合切线的斜率基本不等式求得的取值范围【详解】①不正确方向不同解析：②③④ 【分析】①根据向量相等的知识进行判断；②结合极值点和充分、必要条件的知识进行判断；③根据四点共面的知识进行判断；④求得()f x 在0x =处的切线方程，结合切线的斜率、基本不等式求得k 的取值范围. 【详解】①不正确，,a b 方向不同，则a b ≠.②正确，由“极值点导数为0，导数为零不一定是极值点”以及充分、必要条件的知识可知正确.③正确，由四点共面结论可知1111362m m ++==⇒. ④正确，由()()2cos 2cos 21x x f x +'=+，由()103f '=，()00f =，则()f x 在()0,0处的切线方程为13y x =，令[]2cos 11,3t x =+∈-，则1cos 2t x -=，则()222co c 1s os x x ++可化为2246932t tt t t =+++⎛⎫⎪⎝⎭，当10t -≤<时，()0f x '<，()f x 递减，当0t =时，()0f x '=，当03t <≤时，2441096936t t t t t <=≤=++++，()f x 递增，当且仅当9,3t t t==时等号成立. 所以()()22113cos cos 2f x x x +'=≤+. 所以当13k ≥时满足条件.故答案为：②③④ 【点睛】本小题主要考查空间向量、导数与极值点、导数与切线方程等知识.15．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz-，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y =，可得(2,1,2)n =，设11D C 与平面11A BC 所成角为θ，则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅，故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13．故答案为：13．16．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--， 2||2cos ,2||||21(2)BP CE BP CE BP CE y ⋅〈〉==≤⋅⋅+-，当2y =时等号成立，此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题17．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立 3【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A BM D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则11111132cos ,9||||13114BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===⋅++，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为39. 故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.18．【分析】设根据平行四边形法则对角线再结合条件利用向量的模即可求出对角线长【详解】解：设因为所以所以对角线故答案为:【点睛】本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构解析：66【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长．【详解】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，因为11AC AB AD AA a b c =++=++，所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC =．故答案为:66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．19．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －解析：(12，0,0) 【分析】设P (x,0,0)，求出·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标. 【详解】设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)，·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋， ∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)．故答案为(12，0,0) 【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++.20．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC 23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ， ∵AB=1，AD=2，AA 1=3， ∵11AC AC CC =+ =1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23 ∴AC 123 23 【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．21．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行解析：5【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，49114,41AB AC =++==+=，所以2)31(1)32cos 7BAC -+⨯+-⨯∠==-，所以sin BAC ∠=，所以以AB ，AC为邻边的平行四边形的面积为7S == 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.22．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题解析：①②③ 【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的；在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.23．2【分析】由已知建立空间直角坐标系求出的坐标和平面的法向量由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值再由三角函数平方关系和商数关系可得答案【详解】因为两两垂直所以以为原点分别为轴的正半轴建立如图所示空间解析：2由已知建立空间直角坐标系，求出CD 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案. 【详解】因为OC OA OB 、、两两垂直，所以以O 为原点，OA OB OC 、、分别为x y 、、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以()3,0,0A ，()0,4,0B ，()0,0,5C ，3,2,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，3,2,52CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO 是底面OAB 的法向量，且()0,0,5CO =-，设CD 与平面OAB 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以sin cos ,9554254CO CD CO CD CO CDθ⋅====⋅⨯++，所以2cos 1sin 5θθ=-=，所以sin tan 2cos θθθ==. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.24．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值．【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB=，则k ∈R，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=，设直线AB '与C M '所成角为θ，则cos 2AB C M AB C Mθ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x<，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+1<，∴max ()3f x =，max (cos )θ==，即0cos θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．25．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===即78x y z ++= 故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.26．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向解析：①② 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-，故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，由100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--，因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.又()10,2,1A M =-，设平面1A MN 的法向量为(),,m x y z =，由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠ 故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，故③错，故答案为：①②. 【点睛】本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.。

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