混沌与分形笔记

分形图形生成手法主要有五类：

1）实数相空间上的非线性映射、非线性微分方程求解、保守系统准则斑图（quasi-regular-patterns ）

2）复域上各式广义的朱丽亚集和芒德勃罗集‘等势面着色’方法，球面、双曲面对称图形的动力学生成。

3）迭代函数系统、分形插值和小波变换方法。

4）林德梅叶形式语言方法。

5）扩散置限凝聚模型、元胞自动机模型和自组织临界性方法。

科赫曲线

构造过程：

①设0E 是单位长线段；

②1E 是0E 除去中间1/3的线段，而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形，它含四个线段。

③对1E 中的四条线段重复上述操作，一直进行下去

Fractal 中最重要的概念就是dimension ，不同于常规的一维、二维、三维。大都是分数维。叫做分形维数（fractal dimension ）：如果把曲线（或曲面或立体）等分为N 个小的自相似的线段（小曲面，小立体），每一段长度为s ，则曲线的自相似维数D 为.)/1log()(log s N D 通常是大于拓扑维数而小于欧几里得维数的非整数维。

1.拓扑维数（topology dimension ）

一个集合X 的拓扑T 就是由X 的一些子集组合而成的集合，而这些子集的有限交合无限并还是属于T 。

拓扑学是近代发展以来的研究连续性和连通性的一个数学分支，它也叫橡皮几何学。拓扑学研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的解析几何不同。通常的解析几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，也有可能在拓扑空间里是等价的。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

比如在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但在不破裂或折叠时，它们“相交”始终不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。一般说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变换。就存在拓扑等价。球面不能拓扑成环面，所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变成一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。

对于任何一个海岸线，经过某些形变总可以变为圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数

（T D ）。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的欧几里得维数,1=E D 所以海岸线的拓扑维数也是1.可以论证对一个几何图形，恒有.T E D D =和欧几里得空间的维数是整数一样，拓扑维数T D 的值也为整数。

拓扑维数也叫覆盖维数（covering dimension ）。通俗地说，拓扑维数就是决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。直线、曲线，乃至原盘的拓扑维数都是1，平面、曲面的拓扑维数都是2.决定一个物体的拓扑维数，一般用有限个最少可能的相交的开集来覆盖它，能覆盖此物体的每个点的最多数目的开集如果是1+n 个，那么这个物体的拓扑维数.n D T =

2.分形维数

设想一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，N 是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R 的球体的最少个数，则这个最小数N 是R 的一个函数，记作).(R N 显然R 越小则N 越大，假设)(R N 和d R 之间存在一个反比的关系，我们得到：.log

lim 0N d R R →-=

一般难以直接计算，一般的可以通过计盒维数（Box-counting dimension ）估计到它的一个上界，而且可以通过局部维数（点维数）（Local-dimension ）估计到它的一个下界。 在分形维数中有很多分数维，最有用的一种定义叫做相似维，记作.s D

先拿直线来说，如果直线分成了N 小段，每小段的长度是。δ

平面图形等分成N 个变长为δ的多边形。

立体图形等分成N 个变长为δ的立体图形。

例如对Cantor 三分集，,3

1,2==δN 则 6309.03ln 2ln )/1log()log(s ≈==

δN D 对于柯西曲线，,3

1,4==δN 则 1862.13

ln 4ln )/1log()log(s ≈==δN D 对于sierpinski gasket 的分形构造的前四步，,21,3=

=δN 则 9584.12

ln 3ln )/1log()log(s ≈==δN D 上面都是精准自相似，然而在自然界，很多分形都是随机分形，也就是此类分形具有随机性。相似维数的计算是对精准的分形而言的。

现对ISF 法画分形图做一下介绍：

对于一个坐标),(y x ，定义下面4个矩阵变换

收敛点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3239.108219.15.1086.003.003.083.0:T 001y x y x y x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7951.15610.05.1023.021.025.02.0:T 002y x y x y x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5660.0.1551045.0026.025.027.015.0:T 003y x y x y x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000017.0000:T 004y x y x y x 然后，初始时令)0,0(),(=y x ，按照%1T %,8T %,6T %,85T 4321----的概率，随机选择一个变换对该点进行操作，生成的点就是新的),(y x 。已知重复上述过程。得到图如下：

这些变换的实质就是把图形转移为另一个位置下的另一个尺度，经过变换以后的每个点都仍然在这个图形内。不同的变换有着不同的作用。T1的作用很明显：把该点移动到下一片小树叶上相同的位置。我们用红色的线条标注了对某个点连续三次T1变换的路径。T2, T3的作用是，把这个点在整个大叶子上的位置“投射”到最底部的叶片上对应的位置，其中T2负责投射到左边，T3负责投影到右边。我们分别用蓝色箭头和绿色箭头来演示T2和T3

的轨迹。比如，对大叶