第4章傅立叶变换例题精编版

2
1 10 10 10
2
例13：1.求f t e2t t 1的频谱密度函数。
2.已知F j cos(4 3)，求f t .
解：1、 f t e2t t 1
et t 1
1 j
et t 1
1 j
et1 1 t e j e3et1 1 t e3 j
例题:4.47如图所示的系统,已知
f t e jn t , n 0,1,2, 1rad / s
st cost
n
频率响应
H
j
e
j
3
,
1.5rad / s
求系统的响应.
0, 1.5rad / s
解: f t e jnt 1 2cos t 2cos 2t 2cos 3t n f tst cos t 2cos2 t 2cos 2t cos t 2cos 3t cos t
4.23
4.41 4.45 4.48
抽样
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分），若对 f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特 周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F(ω)。
已知
令τ
Gτ
t
τ
Sa
t
2
100ω ,则τ＝200
2
所以 G200 t 200Sa100ω
例1：线性性质，求：F j
f t f1 t g2 t
f1 t 1 2 g2 t 2Sa
F j 2 2Sa
例2：对称性质，求
f
t
1
1 t
2
F
j ?
e t
2 2 2
e t
2
12
2 1 t2
2 e
1 1 t2
e
例3-2：尺度变换 求：f t 1 F j ?
jω 5
Yω XωHω
π δ ω 3 π δ ω 3
5 j3
5 j3
π
jarc tan1 3
e
5δ ω3
G(
20
)
G0( )H( ) G( )
频谱
求不失真恢复G(w)的H(w) 的幅频特性及wc的范围
A G0 ( )
2
A
4
H ( )
2
2 0
O mc
G( ) A
2 0
c O c
m c 20 m
O m
失真 例16：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b) 所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是
5 画出ReF j所对应的时域信号的波形。
ReF j所对应的时域信号为f t的偶函数分量fe t.
f t
fev
t
1 2
f
t
f
t
2
1
t
1 0 1
3
f t
fe t
2
1
1
3 1 0 1 t
3 1 0 1
3t
例11:系统如图所示, f1t Sa 1000t , f2t Sa 2000t,
pt t nT , f t f1t f2t , fs t f tpt
2t
1 2
F1
ω 2
F
f1 6
2t
1 2
F1
ω 2
e j 3ω
方法二：
按反褶－时移－尺度次序求解
已知
F1ω F f1t
对t反褶
F f1 t F1ω
对t时移6, 得 F f16 t F1ωej6ω
对t压缩2倍 F f16
方法三 利用傅里叶变换的性质
2t Ff
1 2
F1
at t0
yt
g t Sa
2
g4t 4Sa 2
H j
y2t
4Sa 2t 2g4
sin4t
2
Sa
2t
g4
F j g4
Y1
j
1
2
g4
4
4
1 2
g4
4
g4
4
H j j sgn
F j g4
cos4t
f t
y1 t
yt
H j
y2t
sin4t
Y2
j
1
2
g4
H
j
j
4
4
1
t
Sa t g2
2
Sa
t
2
g2
例12：帕斯瓦尔关系式
求：f t 2cos 997t sin 5t 的能量
t
g10 t 10Sa5
1 10
g10
t
Sa
5
Sa
5t
2
1 10
g10
sin 5t
t
g10
2
cos
997t
sin 5t
tBiblioteka Baidu
g10
997
g10
997
E
2
f t dt
1
2
F j d
sgn t
求：f
2
t
1 t2
F
j ?
j
2 2 sgn
jt
1 j sgn
t
d dt
1 t
j
j
sgn
sgn
1 t2
sgn
例8：频域微分
特别：当n=1时，
tf
jt n f t F n
t j dF j
j
d
nF
d
j
n
d
若已知 f t F j ，求 1t f 1t 的频谱
2
dt
2
dx 1 x2
2
根据 f 2t dt 1 F j 2d
2
2
dx 1 x2
2
e t
2 2
2
1 et 2
1
1
2
dx 1 x2
2
2
1 e t
2
dt
2
2
作业:
4.8
4.171
4.27
4.11
4.1834
4.34
4.13bc 4.207
4.14e
求不失真恢复G(w)的H(w) 的幅度及wc的范围
将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。
g(t)cos0t 相乘
g0 t 理想低通 g(t)
本地载波， 与发送端载波
同频同相
cos 0 t
g0 (t )
g(t)cos20t
1 2
g(t)1
cos20t
G0 ()
1 2
G()
1 4
G(
20
)
1 4
fev t Re F j R
fod t j Im F j jX
证明：
fev
t
1 2
f
t
f
t
1 2
F
j
F
j
1 2
R
jX
R
jX
R
fod
t
1 2
f
t
f
t
1 2
F
j
F
j
1 2
R
jX
R
jX
jX
例10:如图所示信号 f t，已知其傅里叶变换 F j F je j
n
(1)为从 fs t 无失真恢复 f t ,求最大抽样间隔Tmax 。
（2）当 T Tmax时，画出 fs t 的幅度谱 F j 。
f1t 时域相乘 f t 时域抽样 fs t
解：(1)
f2 t
pt
f1 t
Sa 1000t
1 1000
g2000
f 2 t
Sa
2000t
1 2000
1 j
1 j
即
et2 1 t e3 j
1 j
例13： 1.求f t e2t t 1的频谱密度函数。 2.已知F j cos(4 3)，求f t .
解：2、F j cos(4 3)
F
j
cos(4
3)
e
j4 3
e 2
j4 3
f t e j 3 t 4 e j 3 t 4
已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5
(1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
方法1
H ω 1
1
jarctan ω
e
5
jω 5 ω2 32
即 幅度加权
1 ω2 32
,相移
arc tan ω 5
cos 3t作为输入的输出为
1 cos3t arc tan 3
2
jg2
1
jg2
1
j
4
4
1 2
g2
1
g2
1
4
4
1 2
g2
5
g2
3
1 2
g2
3
g2
5
1 2
g2
5
g2
5
1 2
g2
3
g2
3
Y j Y1 jY2 j
1 2
g4
4
g4
4
1 2
g2
5
g2
5
1 2
g2
3
g2
3
g2 5 g2 5
1
2
2 g2
5
5
yt 2sint cos5t
1 jt
et t 1
1 j
1 2 e
1 jt
1 2 e
1 jt
例3-1
已知F1ω F f1t,利用傅里叶变换的性质, 求F2ω F f16 2t。
方法一：
按反褶－尺度－时移次序求解
已知
F1ω F f1t
对t反褶
F f1 t F1ω
对t压缩2倍 对t时移 6 , 得
2
F
f1
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t)
正余弦响应法 已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5 (1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
F j 6Sa 3 2Sa e j5
例5：频移性质
求：f t e j3t F j?
1 2
e j3t 1 2 3
例6：卷积定理
求： sitn t
2
F
j
?
g2 t 2Sa
2Sat 2g2
Sat g2
sin t t
2
1
2
g2 g2
2
g2
g2
例7：时域微分
g4000
f t
f1t f2t
1
2
F1 j F2 j
F
j
1
2
1 1000
g2000
1 2000
g4000
F j
1
s 6000 rad / s
2000
0 3000 1000 1000
1
T max
s 3000
3000
（2）当 T Tmax时，画出 fs t 的幅度谱 F j 。
梯形周期延拓，周期为 6000 ，幅度为3/2。
即
1 200
G200
t
Sa100ω
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t
2π
1 200
G200ω
π 100
G200ω
f(t)的波形和频谱图如下
f t
1
F ω
100
π π
t
100 100
所以信号的频带宽度为
fm
ωm 2π
50 Hz π
100 O
ωm 100rad/s
100
（2）
fm
ωm 2π
50 π
2
2
4.28计算下列积分值。
1
sin t t
2
dt
2
dx 1 x2
2
根据 f 2t dt 1 F j 2d
2
1
sin t
t
2
dt
g2t 2Sa Sa t g2
sin t
t
2
dt
1
2
1
2d
1
4.28计算下列积分值。
1
sin t t
ω 2
e
1 a
j
3ω
F
ω a
e
jt0 a
这里a -2, t0 6代入上式，得
其它方F法 f自16己练2t习 。12
F1
ω 2
e
j
3ω
例4：时移性质，求 F j
f t f1 t f2 t
f1 t g6 t 5 6Sa3e j5 f2 t g2 t 5 2Sae j5
：载波角频率
0
频谱结构
m时，G( ) 0 gt
O
t
f (t) g(t) cos0t
cos 0 t
0 m
O
t
F( )
1 2
G(
0 ) G( 0 )
gt cos0t
O
t
G( ) A
O
m
m
F cos0t
(π )
0
O
(π )
0
F ( )
A
A
2
2
0
O 0 m 0 0 m
2．解调
32 52
5
（2）同理 sin t 作为输入的输出为
1 sin t arctan 1
12 52
5
正余弦响应法 已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5 (1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
方法2 所以
Xω πδ ω 3δ ω 3
Hω 1
解： 令：tf t g t 则： G j j dF j
d
Q g t G j
g 1 t g t 1 G j e j j dF j e j
d
例9. 函数 f t 可以表示成偶函数 fev t 与奇函数 fod t 之和
试证明 ：
若 f t 是实函数，且 f t F j R jX 则：
利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求：
1 ;
2 F0 ;
3
F jd
4
画出1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波形。
5 画出ReF j所对应的时域信号的波形。
解：f t f t 1 F je j
f t
Q F j F j e j 0
2
1
f t F j e j 1 0 1
t 3
1
Fω f tejωtd t
f t 1 Fωejωt d ω
2 π
2F0
f tdt
3
1
f tdt
4
f t
2
3 F jd 2 f 0 2
1
t
1 0 1
3
4
画出1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波形。
4 f 2t 1 1 F 2
j 2
e j 2
图略
Hz
ωm 100rad/s
最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
f
N
2
fm
100 π
Hz
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
TN
1 fN
π s 100
幅度调制（抑制载波的振幅调制，AM-SC）
1.调制
g(t)
f (t) g(t)cos0t
相乘
cos 0 t
g(t) : 调制信号
f (t)：已调信号
cos0t ：载波信号
2cos t 1 cos 2t
H
j
e
j
3
,
1.5rad / s
yt
1
0, 2 cos(t
1.5rad
)
/
s
f t
f tst
H j
yt
3
st
4.44如图所示系统,已知
f t
2
sa 2t
,
H j
j sgn
,
cos4t
求系统的输出 yt .
解:
f
t
2
sa
2t
f t
y1 t