运筹学第二章课后题

习题2.1

某厂利用A 、B 两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知单位产品所需的原料、利润及有关数据如表2—3所示。

表2—3 两种原料生产三种产品的有关数据

产品甲 产品乙 产品丙 拥有量 原料A 6 3 5 45 原料B 3 4 5 30 单位利润 4 1 5 请分别回答下列问题：

（1） 求使该厂获利最大的生产计划。

（2） 若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，

最优解不变？

（3） 若原料A 市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B 如数量不足可去

市场购买，单价为0.5，问该厂是否应该购买，且以购进多少为宜？

解：（1）设产品甲的产量为x 1，产品乙的产量为x 2，产品丙的产量为x 3. 目标函数为:Max z =4 x 1 + x 2+5 x 3

约束条件：s.t.{ 6x 1+3x 2+5x 3≤45；3x 1+4x 2+5x 3≤30；x 1,x 2,x 3≥0；

该线性规划模型为：

答：该厂获利最大的生产计划为产品甲产量为5，产品乙产量为0，产品丙产量为3，总利润为35。

（2）敏感性报告为：

答：如数据显示，产品甲的单位利润变化范围为：[3，6]。

（3）敏感性报告为：

由敏感性报告显示原料B允许的增量为15，其影子价格为0.667，又因为市场上原料B单价为0.5，此时，总利润为37.5。

答：该厂可购买15。

习题2.3

已知某工厂计划生产三种产品，各产品需要在设备A、B、C上加工，有关数据如表2—5所示。

表2—5 生产三种产品的有关数据

产品A产品B产品C每月设备有效台时

设备A8210300

设备B1058400

设备C21310420

单位利润（千元）32 2.9

请分别回答下列问题：

(1)如何充分发挥设备能力，才能使生产盈利最大？

(2)为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，若每月可借用60台时，租金为1.8

万元，问借用设备B是否合算？

(3)若另有两种新产品（产品4和产品5），其中生产每件新产品4需用设备A、

B、C各12、5、10台时，单位赢利2.1千元；生产每件新产品5需用设备A、

B、C各4、4、12台时，单位赢利1.87千元。如果设备A、B、C台时不增加，

分别回答这两种新产品的投资在经济上是否合算？

(4)对产品工艺重新进行设计，改进构造。改进后生产每件产品1，需用设备A、

B、C各9、12、4台时，单位赢利4.5千元，问这对原生产计划有何影响？解：（1）设每月产品A的产量为x1,产品B的产量为x2，产品C的产量为x3。

目标函数：Maxz=3x1+2x2+2.9x3

约束条件：s.t.

{8x1+2x2+10x3≤300；10x1+5x2+8x3≤400；2x1+13x2+10x3≤420；

x1,x2,x3≥0；

该线性规划模型为：

答：当产品1的产量为22，产品2的产量为23，产品3的产量为7时，工厂盈利最大，最大为13.5万元。

（2）其敏感性报告为：

其线性规划模型为：

答：不合算，由敏感性报告显示，借用66台设备B超出设备B每月设备使用台时允许的增量44台；由线性规划模型显示，当设备B增加60时，总利润为14.7-1.8=12.9 万元，所以不合算。

（4）该线性规划模型为：

答：如线性规划模型所示，产品4的投资在经济上不合算，产品5的投资在经济上合算。

（5）该线性规划模型为：

答：如线性规划模型所示，当盈利最大时，产品3没有产量，总利润提高约1.8万元。