2.2 方法训练勾股定理判定直角的五种常用方法

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勾股定理500种证明方法

勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。

具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。

1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。

2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。

3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。

4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。

5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。

6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。

7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。

......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。

基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。

通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。

勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。

勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。

根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。

将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。

2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。

例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。

3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。

4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。

通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。

5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。

通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。

这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。

掌握勾股定理的必备三种证明方法详解五

掌握勾股定理的必备三种证明方法详解五勾股定理的三角函数证明方法勾股定理是初中数学中最基本的定理之一，它是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

在证明勾股定理时，有多种方法可以使用。

其中，三角函数证明方法是一种非常常用的证明方法。

下面将详细介绍勾股定理的三角函数证明方法。

一、正弦函数证明法正弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：sinθ=对边/斜边。

根据此定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²。

同样地，根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。

由于勾股定理中涉及到三条线段，因此可以将其表示为：a²+b²=c²。

将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos²θ+sin2 θ = 1即：a^2/b^2 + b^2/b^2 = c^2/b^2化简后得：a^2 + b^2 = c^2这就是勾股定理的三角函数证明法。

二、余弦函数证明法余弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：cosθ=邻边/斜边。

根据此定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²。

同样地，根据正弦函数和正切函数的定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。

将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos θ = a/csin θ = b/ctan θ = sin θ / cos θ = b/a由此可得：a^2 + b^2 = (ac)^2 / c^2 + (bc)^2 / c^2化简后得到：a^2 + b^2 = c ^ 2这也是勾股定理的三角函数证明法。

证明勾股定理的多种方法

证明勾股定理的多种方法1. 几何证明：假设有一个直角三角形，其中两条边长分别为a和b，斜边长为c。

根据直角三角形的定义，可以得知两条直角边构成一条直角。

根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2，即通过几何构造证明了勾股定理。

2. 代数证明：假设有一个直角三角形，其中两条边长分别为a和b，斜边长为c。

根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2。

就是要证明等式成立。

我们可以假设a = m^2 - n^2，b = 2mn，c = m^2+ n^2，其中m和n为任意正整数。

将a、b、c代入勾股定理的等式中，可以得到(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2。

将等式展开后，可以得到m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 =m^4 + 2m^2n^2 + n^4。

整理后，可以看出等式两边相等，证明了勾股定理。

3. 数学归纳法证明：假设存在一个正整数n，使得勾股定理对所有小于n的正整数都成立。

我们要证明勾股定理对n+1也成立。

假设有三个正整数a、b和c，使得a^2 + b^2 = c^2。

在等式两边同时乘以k，可以得到(k*a)^2 + (k*b)^2 = (k*c)^2。

由于a、b和c都是正整数，所以k*a、k*b和k*c也都是正整数。

因此，勾股定理对于所有小于n+1的正整数也成立。

据此可以得出，勾股定理对于所有正整数都成立。

以上是勾股定理的三种常见证明方法，每一种方法都能够清晰地证明勾股定理的正确性。

勾股定理的技巧

勾股定理的技巧勾股定理是数学中非常重要的一条定理，它可以解决一类与直角三角形相关的问题，是解决三角形问题的基础。

下面将介绍一些应用勾股定理的技巧。

首先，我们来回顾一下勾股定理的表达形式：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

那么根据勾股定理，有：a²+ b²= c²。

这是勾股定理最基本的形式。

它可以用来计算任意三角形中的边长，或者判断一个三角形是否为直角三角形。

接下来，我们来看一些关于应用勾股定理的技巧：1. 求解边长：如果我们已知一个直角三角形的两条边，想要求解斜边的长度，那么我们可以直接应用勾股定理。

假设已知直角边的长度分别为a和b，那么斜边的长度c可以通过计算得到：c = √(a²+ b²)。

2. 判断直角三角形：有时候我们需要判断一个三角形是否为直角三角形。

这时，我们可以应用勾股定理。

如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，即a²+ b ²= c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

3. 判断三条边长是否构成三角形：有时候我们需要判断给定的三条边长是否能够构成一个三角形。

这时，我们可以应用勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

因此，如果我们有三条边长a、b、c，那么如果它们满足a²+ b²= c²（其中a、b、c为正数），那么这三条边长可以构成一个直角三角形。

4. 利用勾股定理解决几何问题：勾股定理不仅仅适用于求解直角三角形的边长，还可以应用于解决其他几何问题。

例如，我们可以通过勾股定理来证明两条直线之间的角度是直角，或者来求解两个圆的切点。

以上是一些应用勾股定理的常见技巧。

需要注意的是，在应用勾股定理求解问题时，我们需要注意给定条件是否符合勾股定理的要求，以及解的合理性。

勾股定理几种证明方法

勾股定理几种证明方法勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2+b2+4×ab=c2+4×ab22，整理得a2+b2=c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab2等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.2∴.∴a+b=c.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角(a+∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)2=4×1ab+c22221ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，2∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º. 2(b−a)∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.14×ab+(b−a)2=c22∴.222∴a+b=c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵∴∵∴∴∴RtΔEAD≌RtΔCBE,∠ADE=∠BEC.∠AED+∠ADE=90º,∠AED+∠BEC=90º.∠DEC=180º―90º=90º.ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.1(a+b)2∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1(a+b)2=2×1ab+1c222.∴2∴a+b=c.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，222∴∴又∵∴∴∵∴∴即又∵∠BED+∠GEF=90°，∠BEG=180º―90º=90º.AB=BE=EG=GA=c，ABEG是一个边长为c的正方形.∠ABC+∠CBE=90º.RtΔABC≌RtΔEBD,∠ABC=∠EBD.∠EBD+∠CBE=90º.∠CBD=90º.∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则1a2+b2=S+2×ab,21c2=S+2×ab2,∴a2+b2=c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，12a∵ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2∴矩形ADLM的面积=a.2b同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积222222∴c=a+b，即a+b=c.【证法8】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=S1+S2+S3+S4+S5①∵S8+S3+S4=1[b+(b−a)]•[a+(b−a)]b2−1ab22，=S5=S8+S9，1S3+S4=b2−ab−S8b2−S−S18.2∴=②把②代入①，得c2=S1+S2+b2−S1−S8+S8+S92b+S2+S9=b2+a2.=222∴a+b=c.【证法9】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.222c=S+S+S+S+Sa=S+Sb1234516∵，，=S3+S7+S8，又∵S7=S2，S8=S5，S4=S6，22a+b=S1+S6+S3+S7+S8∴=S1+S4+S3+S2+S5=c，222即a+b=c.【证法10】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.222222假设a+b≠c，即假设AC+BC≠AB，则由AB2=AB•AB=AB(AD+BD)=AB•AD+AB•BD22可知AC≠AB•AD，或者BC≠AB•BD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠A C：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222AC+BC≠AB这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.222∴a+b=c.【证法15】（辛卜松证明）DD2设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为∴∴(a+b)21=4×ab+c222=2ab+c.a2+b2+2ab=2ab+c2,【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结则AD=c.∵EM=EH+HM=b+a,ED=∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b.又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º，AE=b，∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，∴∠ADC=90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG 中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.2c=S2+S3+S4+S5，∵S1=S5=S4=S6+S7，b2=S1+S2+S6，a2=S3+S7，22a+b=S3+S7+S1+S2+S6∴=S2+S3+S1+(S6+S7)∴=S2+S3+S4+S52=c。

证明勾股定理的方法

证明勾股定理的方法勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中直角边与斜边之间的关系。

证明勾股定理的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法。

方法一：几何证明法几何证明法是最常见的证明勾股定理的方法之一。

它通过构造几何图形，利用几何性质来证明定理的正确性。

下面以一种简单的几何证明法为例进行说明。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以构造一个正方形，边长为a+b，如图所示。

[图1]根据正方形的性质，它的对角线相等，即对角线AC的长度等于对角线BD的长度。

又因为AC的长度等于a+b，BD的长度等于c，所以a+b=c。

这就证明了勾股定理。

方法二：代数证明法代数证明法是另一种常见的证明勾股定理的方法。

它通过代数运算和方程推导来证明定理的正确性。

下面以一种代数证明法为例进行说明。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，我们有a²+b²=c²。

我们可以将这个方程转化为等价的形式进行证明。

首先，我们将c²展开，得到c²=a²+b²。

然后，我们将a²和b²分别展开，得到a²=(c-b)(c+b)和b²=(c-a)(c+a)。

将这两个等式代入c²=a²+b²中，得到c²=(c-b)(c+b)+(c-a)(c+a)。

我们可以进行简化运算，得到c²=2ac+2bc-2ab。

继续简化运算，得到c²+2ab=2ac+2bc。

再将等式两边同时除以2，得到(c²+2ab)/2=(2ac+2bc)/2。

化简得到c²+ab=ac+bc。

根据等式两边的相等性，我们可以得到a(c-b)=b(c-a)。

再将等式两边同时除以c-a，得到a=b。

同样的方法，我们可以得到b=a。

勾股定理的365种证明方法

勾股定理的365种证明方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。

在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。

《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。

开方除之，即弦。

”勾股定理现辨认出约有种证明方法，就是数学定理中证明方法最少的定理之一。

下面我们一起来观赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算是经》并作注释时，编定了一幅“勾股圆方图”，也称作“弦图”，这就是我国对勾股定理最早的证明。

年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。

方法二：刘徽“青朱进出图”约公元年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。

方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（euclid，公元前～公元前）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。

年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发售了一张邮票，图案就是由三个棋盘排序而变成。

方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前—前年），古希腊知名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形abcd，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形abcd．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的`两个正方形洞。

勾股定理的多种证明方法比较

勾股定理的多种证明方法比较勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它在几何学和三角学中都有广泛应用。

勾股定理的原始形式是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

本文将比较勾股定理的多种证明方法，探讨它们的优缺点。

一、几何证明方法几何证明方法是最经典的一种证明方式，它通过图形和几何推理来证明勾股定理的成立。

这种方法常用的证明手段有相似三角形证明、面积相等证明等。

1. 相似三角形证明相似三角形证明勾股定理的思路是利用直角三角形中两个角相等的性质，将问题转化为求解两个相似三角形的边长比例。

例如，可以假设直角三角形ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，通过角度追踪可以推出三角形ABC和三角形ACD相似，进而得到a/c=b/c，最终推导得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。

2. 面积相等证明面积相等证明利用了三角形的面积公式S=1/2 * 底边 * 高。

通过将形状相同但比例不同的两个直角三角形进行比较，可以得到它们的面积之间的关系。

例如，可以构造两个直角三角形ABC和DEF，其中BC=EF，AC=FD，角B和角E相等。

由于直角三角形的面积公式为S=1/2 * 底边 * 高，通过比较两个三角形的面积公式可以得到S(ABC) = S(DEF)，进而推导出a^2 + b^2 = c^2。

几何证明方法的优点是直观易懂，符合几何直觉，有助于对定理的理解。

然而，这种方法往往需要一定的几何推理能力和想象力，有时候比较繁琐，对初学者来说有一定的难度。

二、代数证明方法代数证明方法是通过代数运算和方程推导来证明勾股定理的成立。

这种方法通常通过代数方程的变换和等式的推导来得到证明结果。

1. 平方和公式证明平方和公式是一种常用的证明勾股定理的代数方法。

该方法利用了(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 这个公式，将直角三角形中的两条直角边分别记为a和b，斜边记为c。

代入公式并整理得到(a+b)^2 = c^2 + 2ab，进一步简化得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。

典中点勾股定理专训4巧用勾股定理判定直角的六种方法

典中点勾股定理专训4 巧用勾股定理判定直角的六种方法◐名师点金◑说明垂直的方法：1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条.2.等腰三角形中“三线合一”.3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先说明垂直,再利用垂直的性质来解相关问题。

典例剖析：某校把一块三角形的废地开辟为植物园,如图,测得AC=80m,BC=60m,AB=100m 。

(1)若人口E 在边AB 上,且与A,B 的距离相等.求从入口E 到出口C 的最短路线的长(提示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);(2)若线段CD 是一条水渠,且点D 在边AB 上,点D 距点A 多远时,水渠最短?解题秘方:解实际生活中的问题,需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,再利用数学知识进行解答.本题中:已知△ABC 中,AC=80m,BC=60m ，AB=100m 。

(1)若AE=EB,求CE 的长； (2)若CD ⊥AB,求AD 的长。

方法1：利用三边的数量关系证明直角1.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,且CE=41BC ，求证:∠AFE 是直角.方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形2.如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.求ABCD S 四边形.方法3：利用倍长中线法构造直角三角形3.如图,在△ABC 中,D 为边BC 的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证AB ⊥AD方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形4.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状。

方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形5. 如图,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,M,N 分别为AC,BC 上的点,且DM ⊥DN.求证:22CN CM 2AB ）（+=方法6：利用轴对称的性质构造直角三角形6.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上,与点B'重合,AM 为折痕,则MB'的长为多少?。

直角三角形的五种判定方法

直角三角形的五种判定方法三角形是几何中最常见的几何体，也是中学课本中最基础的几何形状之一，而普通的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形，其中直角三角形的判定尤为重要，我们来看看直角三角形的五种判定方法。

一、据直角三角形两条直边的关系根据直角三角形定义，可知一个直角三角形有两条直边，按以下情况判断：1.如果两条直边相等，则是等腰直角三角形；2.如果两条直边长度比都是整数，而且两个比例相等，则是等比直角三角形；3.如果两条直边都不相等，也不是整数比，则是普通直角三角形。

二、据勾股定理根据公式a2 + b2 = c2，可知，一个直角三角形的斜边是由它的两条直边的平方和组成的，如果一个三角形满足这个关系，则它就是一个直角三角形。

三、据余弦定理余弦定理是一个最基本的三角形定理，它定义为：A2 = b2 + c2 - 2bccosA，在直角三角形中，A角的余弦等于该直角的边的比，如果一个三角形满足余弦定理，则它就是一个直角三角形。

四、据正弦定理正弦定理是另一个重要的三角形定理，它定义为：a/sinA =b/sinB = c/sinC，如果一个三角形满足正弦定理，则它就是一个直角三角形。

五、据直角三角形的特殊性另外，由于直角三角形有两条直边，其它线段成角以90度来表示，如果通过以上四种测量方法得知某个三角形有一个角是90度，那么，就可以判断它是一个直角三角形。

总结：以上就是直角三角形的五种判定方法，它们分别以不同的方式来检查一个三角形是否是直角三角形。

裁判一个三角形是否是直角三角形，应根据以上五种判定方法，综合考虑余弦定理、正弦定理，以及对直角三角形的特殊性的了解，可以轻松判定一个三角形的边的比例关系，从而判定是否是直角三角形。

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法勾股定理是初中数学中的重要定理，它是数学中的基础知识之一，也是几何学中的重要定理。

勾股定理的证明方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的证明方法。

一、几何证明法。

几何证明法是最直观的证明方法之一。

我们可以通过画出直角三角形的三条边，利用几何图形的性质来证明勾股定理。

具体步骤如下：1. 画出一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，AC为一条直角边，BC为另一条直角边。

2. 以AC为直径作圆，交BC于点D。

3. 以BC为直径作圆，交AC于点E。

4. 连接DE。

5. 证明△ADE与△ABC全等。

6. 证明AD⊥BC。

7. 证明AD=BC。

通过以上步骤，我们可以得出结论，在直角三角形ABC中，AB²=AC²+BC²，即勾股定理成立。

二、代数证明法。

代数证明法是利用代数运算来证明勾股定理。

具体步骤如下：1. 假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c为斜边。

2. 根据勾股定理的定义，我们有a²+b²=c²。

3. 将a²和b²分别展开，得到a²=x²+y²，b²=z²+w²。

4. 将a²和b²代入a²+b²=c²中得到x²+y²+z²+w²=c²。

5. 证明x²+y²、z²+w²、c²构成直角三角形。

通过以上步骤，我们可以得出结论，在直角三角形中，a²+b²=c²成立，即勾股定理成立。

三、数学归纳法。

数学归纳法是一种数学证明方法，它适用于证明一般情况下的结论。

具体步骤如下：1. 假设在直角三角形中，a²+b²=c²成立。

2. 证明在下一个直角三角形中，a'²+b'²=c'²也成立。

勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。

几何证明法是最直观的证明方法之一。

我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。

将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。

通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。

2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。

这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。

根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。

我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。

由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。

这意味着a或b至少有一个为0。

如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。

同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。

综上所述，勾股定理成立。

3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。

虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。

首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。

这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。

然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。

即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法勾股定理是数学中非常重要的一个定理，它是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

在数学中，勾股定理有多种证明方法，下面我将介绍几种常见的证明方法。

1. 几何法证明。

几何法证明是最直观的一种证明方法。

我们可以通过构造几何图形，利用几何关系来证明勾股定理。

例如，我们可以构造一个正方形，然后在正方形的对角线上分别构造两个相似三角形，通过相似三角形的性质，可以得出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 代数法证明。

代数法证明是利用代数运算来证明勾股定理。

我们可以假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，然后利用勾股定理的公式a² + b² = c²进行代数运算，最终得出结论。

3. 数学归纳法证明。

数学归纳法是一种数学证明方法，通过证明当n=k时结论成立，然后再证明n=k+1时结论也成立，从而得出结论对所有自然数都成立。

我们可以利用数学归纳法来证明勾股定理。

首先证明直角三角形边长为3, 4, 5的情况，然后假设直角三角形边长为k, k+1,k+2的情况也成立，再证明直角三角形边长为k+1, k+2, k+3的情况也成立，从而得出结论。

4. 数学分析法证明。

数学分析法是利用数学分析的方法来证明勾股定理。

我们可以利用导数、积分等数学工具来证明勾股定理。

例如，我们可以利用导数的定义和勾股定理的公式进行推导，最终得出结论。

综上所述，勾股定理有多种证明方法，每种方法都有其独特的优势和适用范围。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的证明方法来证明勾股定理，从而更好地理解和运用这一重要定理。

勾股定理的证明方法十种过程

勾股定理的证明方法十种过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基础的定理之一。

它表明在直角三角形中，直角的两边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的证明方法有很多种，下面我将介绍十种常用的证明过程。

一、几何证明法1. 利用相似三角形的性质，构造辅助线，将直角三角形分割成两个直角三角形，再利用勾股定理的定义证明斜边的平方等于直角两边的平方和。

2. 利用平行线的性质，构造辅助线，形成四边形，再利用四边形的性质推导出勾股定理。

二、代数证明法1. 利用代数方法将直角三角形的三边长度表示成a，b，c，利用勾股定理的定义列出等式a^2 + b^2 = c^2，再进行变形推导得到结论。

2. 利用向量法，将三角形的三个顶点表示成二维向量，用向量的性质证明直角三角形满足勾股定理。

三、三角函数证明法1. 利用正弦、余弦、正切等三角函数的关系，将直角三角形的三条边长和角度联系起来，通过三角函数的计算推导出勾股定理。

2. 利用三角函数的定义，将角度和边长关系转换成三角函数的等式，再通过化简和运算得到勾股定理。

五、解析几何证明法1. 利用直角三角形在坐标平面上的表示，用坐标的差和平方和表达斜边和直角两边之间的关系，进行运算保证两边相等。

2. 利用解析几何的方法，利用两直线间的距离公式和直线的斜率关系，推导出勾股定理成立的条件。

七、数学归纳法证明法1. 从一个特殊的直角三角形出发，比如3-4-5直角三角形，验证勾股定理成立。

然后假设勾股定理对于n=1的情况成立，推导出n=k+1的情况也成立，利用数学归纳法证明定理的普遍性。

2. 从勾股数列的性质入手，证明勾股定理的普遍性。

十、几何变换证明法1. 利用几何变换，比如平移、旋转等，将直角三角形变换成其他几何形状，再通过形状不变性证明勾股定理。

2. 利用相似性和对称性的变换，将直角三角形转化成其他几何形状，结合几何形状的性质证明勾股定理的成立。

勾股定理判定直角的五种常用方法

方法训练在 Rt△DAF 中，DF2＝AD2＋AF2＝2156a2. 在 Rt△CDE 中，DE2＝CD2＋CE2＝54a2. 在 Rt△EFB 中，EF2＝FB2＋BE2＝156a2. ∵DE2＋EF2＝54a2＋156a2＝2156a2＝DF2， ∴△DFE 为直角三角形．∴EF⊥DE.
方法训练 (2)若此正方形的面积为 16，求 DF 的长．
方法训练在△CMD 和△BND 中， ∠MDC＝∠NDB， CD＝BD， ∠MCD＝∠NBD＝45°， ∴△CMD≌△BND(ASA)． ∴CM＝BN. ∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC. 又∵AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，∴AB2＝2(CM＋CN)2.
பைடு நூலகம்
方法训练证明：如图，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BE. ∵D 为 BC 的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB. ∴BE＝AC＝13. 在△ABE 中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169. 又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2. ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE＝90°，即 AB⊥AD.
方法训练 5．如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D 为 AB 的中
点，M，N 分别为 AC，BC 上的点，且 DM⊥DN. 求证 AB2＝2(CM＋CN)2.
方法训练证明：如图，连接 CD，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为 AB 的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°. ∴∠CDN＋∠NDB＝90°. ∴∠MDC＝∠NDB. ∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.

勾股定理的九种证明方法附图

勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法图1左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、;斜边为的直角三角形拼成的..右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、;斜边为的直角三角形拼成的..因为这两个正方形的面积相等边长都是;所以可以列出等式;化简得..二、美国第20任总统茄菲尔德的证法图3这个直角梯形是由2个直角边分别为、;斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的..因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积;所以可以列出等式;化简得..三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后;我们知道在直角三角形中;斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似..如图;Rt △ABC 中;∠ACB=90°..作CD ⊥AB;垂足为D..则 △BCD ∽△BAC;△CAD ∽△BAC..由△BCD ∽△BAC 可得BC 2=BD × BA; ① 由△CAD ∽△BAC 可得AC 2=AD × AB.. ② 我们发现;把①、②两式相加可得BC 2+AC 2=ABAD+BD;而AD+BD=AB;因此有 BC 2+AC 2=AB 2;这就是 a 2+b 2=c 2..这也是一种证明勾股定理的方法;而且也很简洁..它利用了相似三角形的知识.. 四、古人的证法：如图;将图中的四个直角三角形涂上深红色;把中间小正方形涂上白色;;以弦为边的正方形称为弦实;然后经过拼补搭配;“令出入相补;各从其类”;他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的..即“勾股各自乘;并之为弦实;开方除之;即弦也”.. 赵爽对勾股定理的证明;显示了我国数学家高超的证题思想;较为简明、直观..五、项明达证法：C A BD作两个全等的直角三角形;设它们的两条直角边长分别为a、bb>a ;斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形;使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC;交AC于点P.过点B作BM⊥PQ;垂足为M；再过点F作FN⊥PQ;垂足为N.∵∠BCA = 90°;QP∥BC;∴∠MPC = 90°;∵ BM⊥PQ;∴∠BMP = 90°;∴ BCPM是一个矩形;即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °;∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°;∴∠QBM = ∠ABC;又∵∠BMP = 90°;∠BCA = 90°;BQ = BA = c;∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图;Rt△ABC中;∠ABC=90°;AD是斜边BC上的高;通过证明三角形相似则有射影定理如下：1BD^2;=AD·DC; 2AB^2;=AD·AC ; 3BC^2;=CD·AC ..由公式2+3得：AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC =AD+CD·AC=AC^2;;即AB^2;+BC^2;=AC^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形;设它们的两条直角边长分别为a、bb>a;斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC;AF交GT于F;AF交DT于R. 过B作BP⊥AF;垂足为P. 过D作DE与CB 的延长线垂直;垂足为E;DE交AF于H.∵∠BAD = 90o;∠PAC = 90o;∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90o;∠BCA = 90o;AD = AB = c;∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a;AH = AC = b.由作法可知; PBCA 是一个矩形; 所以RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB =987654321PQR HG DCabcacccCA = b;AP= a;从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ;Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a;∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o;∠DHF = 90o;∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o; ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF;TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形;上底TF=b ―a;下底BP= b;高FP=a +b ―a . 用数字表示面积的编号如图;则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-; 985S S S +=;∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①;得=922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+. 八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、bb>a;斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形b>a;把它们拼成如图所示形状;使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图.在EH = b 上截取ED = a;连结DA 、DC; 则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a ; ED = a; ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o;CM = a; ∠AED = 90o; AE = b; ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC;DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o; ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o; ∴ ∠ADC = 90o .∴ 作AB ∥DC;CB ∥DA;则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o; ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB;在ΔABF 和ΔADE 中;∵ AB =AD = c;AE = AF = b;∠BAF=∠DAE; ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90o;BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中; ∵ AB = BC = c;BF = CG = a; ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=; 6212S S S b ++=;732S S a +=;76451S S S S S +===; ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+. 九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b;斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分;则正方形ABCD的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分;则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++;∴ 222c b a =+.。

趣味几何｜巧用勾股定理判定直角的五种方法

趣味几何｜巧用勾股定理判定直角的五种方法在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．证垂直的常用方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理．今天主要讨论利用勾股定理判定直角的5种方法.方法1：利用三边的数量关系说明直角例题：考点：勾股定理、勾股定理的逆定理分析：根据题目已知条件，设出正方形的边长，从而可得BE、CE、CF、DF的长度，利用勾股定理可求出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理的逆定理判断∠AFE是否是直角.解答：点评：此题主要考察了勾股定理与勾股定理逆定理的应用：在直角三角形中，已知两边长可利用勾股定理求第三边长；已知三边长，也可根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形例题：考点：勾股定理、勾股定理的逆定理分析：连接AC，在Rt△ACB中，根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD为直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可.解答：点评：本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，把四边形ABCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.方法3：利用倍长中线法构造直角三角形例题：考点：倍长中线、勾股定理的逆定理分析：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE.可证△ADC≌△EDB，得BE=13，AE=12，AB=5，根据勾股定理的逆定理，可得∠BAE=90°.解答：点评：利用倍长中线构造全等三角形得到线段相等，把已知的三边长转化到同一三角形中，再利用勾股定理的逆定理证明直角.方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形例题：考点：全等三角形的性质和判定、勾股定理分析：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的a、x、b转化到△DNB中，只需判定△DNB的形状即可．解答：点评：本题难度较大，根据等腰三角形内角含半角模型将△ACM进行旋转，再利用全等三角形的性质和判定，将已知三边转化到同一三角形中去，才能判断以这三边为边长的三角形的形状.方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形例题：考点：全等三角形的性质和判定、勾股定理分析：连接CD，根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△CMD≌△BDN，则CM=BN.解答：点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出△CMD≌△BND是解此题的关键.。

2.2 方法训练 勾股定理判定直角的五种常用方法

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2.2 方法训练勾股定理判定直角的五种常用方法