2.2 方法训练 勾股定理判定直角的五种常用方法

5．如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D 为 AB 的中 点，M，N 分别为 AC，BC 上的点，且 DM⊥DN. 求证 AB2＝2(CM＋CN)2.
证明：如图，连接 CD，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为 AB 的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°. ∴∠CDN＋∠NDB＝90°. ∴∠MDC＝∠NDB. ∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
4．在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α，点 P 为△ABC 内一点， 将 CP 绕点 C 顺时针旋转 α 得到 CD，连接 AD.
(1)如图①，当 α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8 时，求∠BPC 的度数；
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解：连接 DP. 由题意知 CD＝CP＝8，∠PCD＝60°，∴△DCP 为等边三角形． ∴∠CDP＝60°. ∴DP＝DC＝8. 易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6. ∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°.
解：∵正方形的面积为 16，∴a2＝16. ∵DF2＝2156a2＝2156×16＝25， ∴DF＝5.
2．如图是一块地的平面图，已知 AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝ 90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积．
解：如图，连接 AC. ∵AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°， ∴AC2＝CD2＋AD2. ∴AC＝10 m. 在△ABC 中，AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°.
(2)如图②，当 α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2 时，求∠BPC 的 度数．
解：连接 DP，易得△DCP 为等腰直角三角形． ∴∠CDP＝45°，易得△CPB≌△CDA， ∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1. ∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9. ∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝135°. ∴∠BPC＝135°.
证明：如图，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BE. ∵D 为 BC 的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB. ∴BE＝AC＝13. 在△ABE 中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169. 又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2. ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE＝90°，即 AB⊥AD.
在△CMD 和△BND 中，
∠MDC＝∠NDB， CD＝BD， ∠MCD＝∠NBD＝45°， ∴△CMD≌△BND(ASA)．
∴CM＝BN. ∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC. 又∵AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，∴AB2＝2(CM＋CN)2.
∴这块地的面积为 S△ABC－S△ACD＝12AC·BC－12AD·CD ＝12×10×24－12×8×6＝96(m2)． 答：这块地的面积为 96 m2.
3．如图，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝5，AD＝6，AC ＝13.求证 AB⊥AD.
【点拨】本题运用倍长中线法构造全等三角形来说明线段相等， 再利用勾股定理的逆定理说明三角形为直角三角形，从而说明两 条线段垂直．
在 Rt△DAF 中，DF2＝AD2＋AF2＝2156a2. 在 Rt△CDE 中，DE2＝CD2＋CE2＝54a2. 在 Rt△EFB 中，EF2＝FB2＋BE2＝156a2. ∵DE2＋EF2＝54a2＋156a2＝2156a2＝DF2， ∴△DFE 为直角三角形．∴EF⊥DE.
(2)若此正方形的面积为 16，求 DF 的长．
人教版 八年级下
期末提分练案
第2讲 勾股定理 第2课时 方法训练 勾股定理判定直角的五种常用方法
1．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 在 AB 上， 且 AF∶FB＝3∶1.
(1)请你判断 EF 与 DE 的位置关系，并说明理由； 解：EF⊥DE.理由如下： 设正方形的边长为 a，则 AD＝DC＝BC＝AB＝a， BF＝14a，AF＝34a，BE＝EC＝12a.