幂的运算

幂的运算

一、教学内容：

1.同底数幂的乘法

2.幂的乘方与积的乘方

3.同底数幂的除法

二、技能要求：

掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

三、主要数学能力

1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。

2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。

四、学习指导

1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n(m, n是自然数)

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。

（3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即

a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。

（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：

x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，

如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5

解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1 =(- )1+2+3②底数为- ，不变。

=(- )6③指数相加1+2+3=6

= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂

解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂

=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂

=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：

=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)

=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6

解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6

=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行

=-(x-y)10计算。

例3．计算：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4

解：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4 分析：①先做乘法再做减法

=x5+n-3+4-3x2+n+4②运算结果指数能合并的要合并

=x6+n-3x6+n③3x2即为3·(x2)

=(1-3)x6+n④x6+n，与-3x6+n是同类项，

=-2x6+n合并时将系数进行运算

(1-3)=-2

底数和指数不变。

2．幂的乘方(a m)n=a mn，与积的乘方(ab)n=a n b n

(1)幂的乘方，(a m)n=a mn，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：

①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式，

[(x+y)2]3=(x+y)6

②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：

(a3)4=a7；[(-a)3]4=(-a)7；a3·a4=a12

(2)积的乘方(ab)n=a n b n，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：

①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。

②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3

如(a1·a2·……a n)m=a1m·a2m·……a n m

例4．计算：①(a2m)n②(a m+n)m③(-x2yz3)3④-(ab)8

解：①(a2m)n分析：①先确定是幂的乘方运算

=a(2m)n②用法则底数a 不变指数2m和n相乘

=a2mn

②(a m+n)m分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘

=a(m+n)m

= ②运用乘法分配律进行指数运算。

③(-x2yz3)3分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3

=(-1)3(x2)3y3(z3)3分别3次方

=-x6y3z9②注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6

④-(ab)8分析：①8次幂的底数是ab。

=-(a8b8)②“-”在括号的外边先计算(ab)8

=-a8b8再在结果前面加上“-”号。

例5．当ab= ，m=5, n=3, 求(a m b m)n的值。

解：∵(a m b m)n分析：①对(ab)n=a n b n会从右向左进行逆=[(ab)m]n运算a m b m=(ab)m

=(ab)mn②将原式的底数转化为ab，才可将ab ∴当m=5, n=3时，代换成。

∴原式=( )5×3( )15应将括起来不能写成15。

=( )15

例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。

解：-5a6b4分析：a6b4=(a3b2)2

=-5(a3b2)2应用(ab)n a n b n

=-5(15)2

=-1125

例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。

解：8m·4n分析：①8m=(23)m=23m

=(23)m·(22)n4n=(22)n=22n

=23m·22n②式子中出现3m+2n可用6

=23m+2n来代换

=26=64