5-8 同态与同构
同态基本定理与同构定理
第九节 同态基本定理与同构定理重点、难点:同态基本定理,满同态与子群的关系.一 同态基本定理前几节是研究一些定量的东西,下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证 令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,,)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态;注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身,任意给定一个不变子群N ,有两个可以供我们参考的群: N 和N G /,由于0/→→→N G G N ,故更容易推测G 的性质.自然会问:定理2.9.1的逆命题是否成立?即0→'→G G ,G '是否与G 的某个商群是同构的呢?我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射,但本书中同态均为满同态;注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态,则N Ker =π.证 由于N G /的单位元是N ,则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 (同态基本定理)设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射,则(1)G Ker ϕ;(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ,即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射:(ⅰ)ψ为映射:).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射:,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射:ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀,则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态:ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀,则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述,G Ker G '≅ψϕ/. 注 一般地,设G G '→:ϕ为一个群同态,则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道,群在一个群的满同态映射之下,一个群的若干性质会发生改变的,下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆,记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像;(2)设A S '⊆',记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像(或后像).注 一个不能多且一个不能少!定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射,(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ;(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ;(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ;(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ, )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----,故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---,故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .()(1H e H e -∈⇒∈ϕ))()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二 同构定理第一同构定理 设G G f '→:为群同态,则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理(方块定理)H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理(分式定理) 设G K G H K ,≤≤,则①GH G H ⇔(K G G K H H /,/==) ② H G K H K G ≅.第四同构定理(对应定理) 设G G f '→:为群的满同态,则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ;Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业:Page 79 第2题,第3题。
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念,因此在线性代数的学习中,我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然,线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词,也是我们学习线性空间理论时,需要重点关注的。
一、线性空间同构同构,是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说,如果两个集合之间存在一一对应,且它们之间的映射不仅是单射还是满射,那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间,它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则,因此,我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构:定义:若存在双射映射$f:V\to W$,并满足:1. $\forall u,v\in V$,有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$,有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构,称$f$为同构映射。
其中,$F$是一个数域,它是一个固定的标量(标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质)。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同,尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构,我们有如下三个重要结论:(1)同构是一种双射关系,即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
(2)两个线性空间同构,则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
(3)两个线性空间同构,当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论,我们可以发现,实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时,它们才是同构的。
因此,为了构造同构映射,我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射,满足一一对应、线性、满射的性质,这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语,他们主要与线性空间中的变换相关。
离散数学-同态和同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法, 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式,从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中,同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质,即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射,那么对于任意子集$U subseteq X$,有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性,即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射,那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$, 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系,即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射,那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$,有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系,它不仅保持了群的基本运算性质,还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
群论中的同态与同构理论
群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支,研究群的性质和结构。
在群论中,同态和同构是两个基本概念,它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。
一、同态的定义和性质在群论中,同态是指两个群之间的映射,它保持了群运算的结构。
具体来说,设有两个群G和H,如果存在一个映射φ:G→H,对于任意的x、y∈G,有φ(xy)=φ(x)φ(y),那么φ就是一个从G到H的同态。
同态具有以下性质:1. 同态保持群运算:对于任意的x、y∈G,有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同态保持单位元:对于任意的eG∈G,有φ(eG)=eH。
3. 同态保持逆元:对于任意的x∈G,有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射,它是一种双射,并且保持了群运算和群结构。
具体来说,设有两个群G和H,如果存在一个映射φ:G→H,满足以下条件:1. φ是一个双射,即φ是一个一一对应的映射。
2. φ保持群运算,即对于任意的x、y∈G,有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
那么φ就是一个从G到H的同构。
同构具有以下性质:1. 同构保持群运算:对于任意的x、y∈G,有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同构保持单位元:对于任意的eG∈G,有φ(eG)=eH。
3. 同构保持逆元:对于任意的x∈G,有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们研究群的性质和结构,以及群之间的关系。
1. 同态的应用:同态可以用来研究群之间的映射关系。
通过同态,我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群,从而简化问题的研究。
同态还可以用来刻画群的性质,例如同态核和同态像等。
2. 同构的应用:同构可以将一个群与另一个群进行一一对应,从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。
同构还可以用来研究群的结构,例如分类群的同构分类问题。
四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念,我们来看几个具体的例子。
同态和同构的关系
同态和同构的关系
在数学中,同态和同构是两个重要的概念,它们描述了两个代数结构之间的关系。
1.同态(Homomorphism):同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射,保持运算结构的性质。
如果存在两个代数结构A 和B,以及一个映射f:A→B,对于A中的任意元素a和b,满足f(a*b)=f(a)*f(b),其中"*"表示A和B上的运算,而"="表示两个代数结构中的相等关系。
简而言之,同态保持了代数结构中的运算规则。
2.同构(Isomorphism):同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系,使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。
如果存在两个代数结构A和B,以及一个映射f:A→B,满足以下条件:-f是一个双射,即对于A中的每个元素a,都存在唯一的元素b 在B中与之对应;
-对于A中的任意两个元素a1和a2,满足a1*a2=a3,则f(a1)*f(a2)=f(a3);
-对于B中的任意元素b1和b2,满足b1*b2=b3,则存在A中的元素a1和a2,使得f(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a1*a2)=b3。
简而言之,同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。
因此,可以将同构看作是一种更严格的同态关系。
如果两个代数结构之间存在一个同构映射,那么它们在结构和性质上是完全相同的,只是元素的表示不同而已。
需要注意的是,在数学中,同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构,还可以应用于其他领域,如拓扑学、图论等。
1/ 1。
近世代数科普
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态:设f:G→G′,如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab),则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时,称为满同态当f是⼀个单射时,称为单同态当f是⼀个双射时,称为同构,称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G},f−1(x)={a:f(a)=x},f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态,则f(e)=e′,f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态,则f(G)⩽G′Prof:对a′,b′∈f(G),∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′,则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def:设H⩽G,若∀a∈G,aH=Ha,则称H为⼀个正规⼦群,记做H⊲G正规⼦群的等价结论:设H⩽G,∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G,∀a∈G,aHa−1⊆HProf:取a和a−1,aHa−1⊆H,a−1Ha⊆H设H⊲G,K⩽G,则H∩K⊲KProf:∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K(H是由正规⼦群,K由群的封闭性)3. 核Def:设f:G→G′是⼀个同态,则f−1(e)称为f的核,记做ker(f)核⼀定是正规⼦群:⼦群:∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群:∀g∈G,h∈ker(f),f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f),从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f),从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算,AB={ab|a∈A,b∈B}Def:设H⩽G,G/H为H的陪集的集合,若H⊲G,G/H在上述集合运算下构成群,称为商群,商群的单位元为H,元素aH的逆元为a−1HProf:∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G,则存在G→G/H的同态φ(a)=aH,称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态,则G/ker(f)≅G′Prof:记N=ker(f),构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射,如果f(a)=f(b),则a∈bN,则aN=bN,故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′,故为满射再证同构,ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论:设f:G→G′是⼀个同态,则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态,记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof:设S1={K:N⩽K⩽G},S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法,∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态,因此f(H)⩽G′(b) 证明单射,先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H,知H⊂f−1(f(H)),并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H),因⽽∃h∈H,f(x)=f(h),故x∈hN⊂H,故f−1(f(H))⊂H,因此f−1(f(H))=H,那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射,∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof:设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法,因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K,故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1,由f是满同构知f(K)∈S b,⼜由f:S1→S2是双射知,f是⼀个单射(b) 反之,∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′,从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′),从⽽f−1(K′)∈S a,由f:S1→S2是双射知,f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理:设f:G→G′是⼀个满同态,设N=ker(f),设N⊂H⊲G,则G/H≅G′/f(H)Prof:设G′/f(H)的⾃然同态为π,那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H)),由π,f为满同态,则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ),即{x|πf(x)∈f(H)},显然H⊆ker(φ),⽽∀x∈ker(φ),有πf(x)∈f(H),即f(x)∈f(H),即x∈f−1(f(x))⊆H,从⽽H=ker(φ),由群同态基本定理,我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理:设H⩽G,N⊲G,则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义,先证HN是⼦群,⾸先HN=NH,∀h1,h2∈H,n1,n2∈N,n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN,故HN为⼦群Prof:设H/H∩N的⾃然同态为π,π(a)=a(H∩N),构造f:HN→H,∀x∈aN,f(x)=a,则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ),即{x|πf(x)∈H∩N},⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N,故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e},故x∈N,故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理:设N⊲G,N⩽H⊲G,则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof:第⼀群同构定理,取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def:如果G没有⾮平凡的正规⼦群({e}和G),那么G称为单群G≠{e}是交换单群,当且仅当G为素数阶的循环群Prof:对任意g≠e,考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩,即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时,⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群(导群)a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦(交换⼦),记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群(导群),常记做G′, [G,G], G(1)(以后变量要取别的名字了...)当ab=ba时,[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf:g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′,故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof:aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1),注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def:如果G(k)={e},则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质,有这样的充要条件:群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e},且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof:“⇒":显然,G,G(1),G(2),....,满⾜题意“⇐”:如果G/N是阿贝尔群,考虑φ:G→G/N为⾃然同态,那么有φ([a,b])=e,即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N,在本题中,由于G/G1是阿贝尔群,故G(1)⩽G1,归纳得到G(k)⩽G k,即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa},称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的,定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa},称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S,且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x)),称f决定了群G在S上的作⽤,f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群,X,X′是两个⾮空集合,G作⽤在X,X′上,如果存在双射ϕ:X→X′,使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x)),则称这两个作⽤等价example:项链的旋转构成群,对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上,定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y},易证R是等价关系,在这个等价关系下,我们划分出的等价类称为轨道,和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊,在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上,∀x∈X,定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群(显然为⼦群)如果|O x|=1,或者说∀g∈G,g(x)=x,则称x为不动点7. 齐性空间Def:设H⩽G,则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的,默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上,则\forall x \in X,G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof:定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射,因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射,因此此为⼀⼀映射,并且,f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群,G作⽤在X上,则|O_x| = |G/H_x|Prof:由上⼀个命题,f是⼀个⼀⼀映射,故这两个集合的基数相等ex:求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式,不难得到|H_1| = 3,|O_1| = 8,从⽽|G| = 24在G作⽤到G上,并且g(x) = gxg^{-1}时,此时H_x = C_G(X),定义C(x)为和x共轭的元素的集合,则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义,从每个共轭类中选择⼀个元素,得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的,当x\in C(G)时,[G:C_G(x)] = 1,因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元,则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G,则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def:如果|G| = p^k(k\geq 1),其中p为素数,则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上,设|X|=n,设t为X中不动点的数⽬,则t \equiv n(mod\;p)Prof:设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k,则有\sum |O_i| = n,注意到|O_i| = p^m(m\geq 0),当且仅当|O_i| = 1时,有|O_i|\;mod\;p =1,否则|O_i| \;mod\;p=0,因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof:考虑G到G上的共轭变换,任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点,因此,我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p),⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上,令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数,\forall g\in G,F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数,则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof:⾸先转化命题,我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式,\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|,因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|},即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x,这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1,如此,t为不同的轨道的条数,命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群,p为素数,如果p^k | n, k \geq 0,那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof:引理:设n = p^r*m, (p, m) = 1,对k \leq r,有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k(由Kummer\;TH显然)取G中所有含有p^k个元素的⼦集,构成集合X,令G作⽤在X上,定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|,由于p^{r-k+1} \nmid |X|,因此存在A\in X,使p^{r-k+1} \nmid |O_A|,下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知,v_p(H_A) \geq k,即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A,故|H_A| \leqslant |A| = p^k,从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k,则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r,P是G的⼀个西罗p-⼦群,\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof:考虑X为P的左陪集的集合,将H作⽤于X,h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1,那么存在⼀个不动点,使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2,即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1},因此H \leqslant gPg^{-1}推论1:任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论:⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def:对H \leqslant G,定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦,记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数,以及对任⼀西罗p-⼦群P,N(P)的阶为|G|的因⼦Prof:设X为G中所有西罗p-⼦群的集合,在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P,有O_P = X,H_P = N(P),从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t,则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1,结合t | |G|,我们有t | m。
同态基本定理的应用
同态基本定理的应用摘要:通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程.关键词:同态基本定理;同构;商群;商环证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5µGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明.本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ;H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理想) ; G1 µG2表示G1与G2同构.以下是同态基本定理的应用举例.例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKµHP(H HK) .证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义.( • ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元.若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射.( ‚ ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射.( ƒ ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK =h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态.( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H HK } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK µH PH H K .例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHµ(GPK)P(H PK) .证明( • )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映射,且容易看出5是满射.(‚ )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) =[ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算.(ƒ )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { gI G | 5 ( g) =H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH µ( GPK )P( H PK ) .例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)µ(S+I)PI.证明( • )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)P I 及SP( S H) 均为商环.( ‚ ) 现要给出S 到( S + I ) PI 的一个映射, 注意到( S + I )PI 中的元素均可为表成s+ I , 其中 s I S, 故可定义G: s y s+ I .显然,G是S到(S+I)PI的一个满射,同时对于S中任意两个元s及t,有s + t y ( s + t ) + I = ( s + I ) + ( t +I ) ,s # t y ( s # t ) I = sI # tI ,即G是一个环同态.( ƒ )因为ker G= {s I S|s+I=I}]ker G= {s I S|s I I}]ker G=S H I.故由FHT可得到SP(S H I)µ(S+I)PI.例4设R是环,S和I均是R的理想,求证: (RPS)PSµRP(S+I) .证明因为S和I均是R的理想,所以S+I也是R的理想,且S A S+I.于是S+IPS也应是RPS的理想,所以(RPS)P(S+I)PS与RP(S+I)均有意义.( • )令G:r+S y r+ (S+I) .Pr I R,易知G是RPS到RP(S+I)的映射,且是满射.( ‚ ) Pr1、r2I R , G( ( r1 + S ) + ( r 2 + S ) ) = G( ( r 1 + r2 ) + S) = ( r1 + r 2 ) + ( S + I ) =( r 1 + ( S + I ) ) + ( r 2 + ( S + I ) ) = G( r1 + S ) + G( r 2 + S) ,G( ( r1 + S ) #( r2 + S ) ) = G( ( r1 #r2 ) + S) = r 1 r2 + ( S + I ) =( r1 + ( S+ I ) ) ( r 2 + ( S + I ) = G( r1 + S ) #G( r2 + S ) ,由此可见G是环同态.( ƒ )因ker G={ r+S , r I R | G( r + S ) = r + ( S + I ) = S+ I } ={ r+ S , r I R | r I S + I } = { r + S | r I S +I } = ( S + I )PS, 所以由FHT 得( RPS) P( S+I ) PS µRP( S+ I ) .例5设R是一个交换环,I、K为R的两个理想,并且R=I©K,求证:( • )对P a、b I R,存在c I R,使得c S a( modI) ,c S b( modK) ;( ‚ )若任意一对a、b所确定的满足上述条件的c是唯一的]R µRPI ª RPK .证明( • )由R=I©K]对Pa、b I R,存在i a、i b I I、k a、k b I K,使得a=i a+k a,b=i b+ k b . 定义c= i b + k a , 可得到c- i a = k a = ( a- i a ) ] c- a= i b - i a I I ] c S (modI ) .同理(c-k a) =i b= (b-k b)]c-b=k a-k b I K]c S b( modK) .( ‚ ) 首先, 需要知道在何种条件下c 是唯一的. 给出a、b I R , 若存在c、cc都满足上述规定的与a、b的同余关系,即有c S a( modI ) S cc ] c- ccI I ,c S b( modK ) S cc ] c- ccI K ] c- ccI I H K ,从而I H U= { 0}Z c=cc(即若存在唯一的元c既同余于a( modI)又同余于b( modK)则当且仅当 I 与K 的交集生成的理想是平凡理想) .用 G( r ) = ( r + I , r + K ) 定义G: R y RPI ª RPK , 我们可以验证:G( r + s ) = ( ( r+ s) + I ,( r + s) + K ) = ( r+ I , r + K ) = ( s + I , s+ K ) = G( r ) + ( s ) ,G( r#s ) = ( ( r #s ) + I , ( r#s) + k) = G( r ) #G( s) ,由此可知G是R到RPIªRPK的同态映射.又由于ker G= { r I R | r + I = I , 且r + K = K } = { r I R | r I I 且r I K }= { r I R | r I I HK } = I HK ,由c 的唯一性知I HK = { 0} , 即ker G= { 0} . 根据FHT,RPker G=RP{ 0} =RµRPIªRPK.参考文献:[ 1] 张禾瑞. 近世代数基础[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1978. 75- 79; 113- 116.[ 2] 贺昌亭, 张同群. 近世代数基础[ M] . 长春: 东北师范大学出版社, 1978. 256- 273; 347- 355.。
同态与同构
离散结构同态与同构教学目标基本要求(1)掌握同态映射与同构映射的定义(2)掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点(1)同态映射的证明同态映射定义:设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统,f:A→B,且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射,简称同态.同态分类:(1) 如果f是单射,则称为单同态(2) 如果f是满射,则称为满同态,这时称V2是V1的同态像,记作V1∼ V2(3) 如果f是双射,则称为同构,也称代数系统V1同构于V2,记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2,则称作自同态实例例:设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统,判断下述函数是否为G的自同态?如果不是,说明理由. 如果是,判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解:(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态,不是单同态,也不是满同态,因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态,因为f不是 G 到 G 的函数实例例:(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>.其中Z为整数集,+为普通加法;Z n={0,1,…,n−1},⊕为模n,f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态.【f满射,f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >,其中R和R*分别为实数集与非零实数集,+ 和 · 分别表示普通加法与乘法.令f: R→R*,f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射,f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>,其中Z为整数集,+为普通加法. ∀a∈Z,令f a : Z→Z,f a (x)=ax,f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态;为自同构;当a=±1时,称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。
Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数 (1)
9
同态像是映到代数系统的子代数
定理15.7 设V1 =< A,o1 ,o2 ,...,or > 与V2 =< B,o1',o2 ',...,or '>是同 定理 是同 类型的代数系统, 类型的代数系统,oi与oi′是ki 元运算 (i=1,2,…,r), 是 元运算, f : A→B是V1到V2的同态,则f(A)关于 2的运算构成代数系统, 的同态, 关于V 是 关于 的运算构成代数系统, 且是V 的子代数, 下的同态像 同态像. 且是 2的子代数,称f(A)为V1在f 下的同态像 为 f(A)是 的非空子集.证明 证明f(A) 中的所有运算封闭. 证 f(A)是B 的非空子集.证明f(A) 对V2中的所有运算封闭. (1) 若V2有0元运算 则V1存在 元运算 f(a)=a′. 即a′∈f(A). 元运算a′, 存在0元运算 元运算a, 元运算 ∈ (2) 任意 2中非 元运算 k元运算 ∀ y1, y2, …, yk∈ f(A), 任意V 中非0元运算 元运算o′( 元运算 元运算), , 存在x 存在 1, x2,…, xk ∈ A, 令 f(xi) = yi, i=1,2,…,k, 则 o'(y1, y2,..., yk ) = o‘( f (x1), f (x2),..., f (xk ))= f (o(x1, x2,..., xk )) ∈ f(A) .
第三编 代数结构
6
同态映射的实例
(1) V = <Z,+>, fc:Z→Z, fc(x) = cx, c为给定整数 为给定整数 c = 0, 零同态 (∀ x∈A, f (x)=0 ) ∈ c = ±1,自同构 其它 单自同态 ,自同构; 其它c, (2) V = <Z6,⊕>, fp:Z6→Z6, fp(x) = (px) mod 6, p = 0,1, …, 5, ⊕ p = 0, f0 零同态 p = 1, f1 恒等映射,自同构 零同态; 恒等映射, p = 2, f2 = {<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>}, p = 3, f3 = {<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>} p = 4, f4 = {<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>} p = 5, f5 = {<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构 自同构 (3) 推广到 V = <Zn,⊕>, fp(x) = (px) mod n, p = 0,1, …,n-1, ⊕ fp(x⊕y) = (p(x⊕y)) mod n ⊕ ⊕ = (px) mod n ⊕ (py) mod n = fp(x)⊕fp(y) ⊕
习题八 同态与同构
习题八: 同态与同构1.证明:如果f 是由<A ,★>到<*,B >的同态映射,g 是由*〉〈,B 到〉∆〈,C 的同态映射,那么,f g 是由<A ,★>到〉∆〈,C 的同态映射。
2.设*〉〈,G 是一个群,而G a ∈,如果f 是G 到G 的映射,使得对于每一个G x ∈,都有 1)(-**=a x a x f试证明f 是一个从G 到G 上的自同构。
3.试证由表5-8.9所给出的两个群<G ,★>和*〉〈,S 是同构的。
表5-8.9<G ,★>*〉〈,S4.设1f ,2f 都是从代数系统<A ,★>到代数系统<*,B >的同态。
设g 是从A 到B 的一个映射,使得对任意A a ∈,都有)()()(21a f a f a g *=证明:如果<*,B >是一个可交换半群,那么g 是一个由<A ,★>到<*,B >的同态。
5.+〉〈,R 是实数集上的加法群,设R x e x f ix ∈→,:2πf 是同态否?如果是,请写出同态象和同态核。
6.证明:循环群的同态象必定是循环群。
8.{}⨯〉-〈,0R 与+〉〈,R 同构吗?8.证明:一个集合上任意两个同余关系的交也是一个同余关系。
9.证明定理5-8.4中在B 上所定义的二元运算*是唯一确定的。
10.考察代数系统+〉〈,I ,以下定义在I 上的二元关系R 是同余关系吗?a)R y x ∈〉〈, 当且仅当)00()00(≥∧≥∨<∧<y x y xb)R y x ∈〉〈, 当且仅当10<-y xc)R y x ∈〉〈, 当且仅当(0==y x )∨(x 00≠∧≠y )d)R y x ∈〉〈, 当且仅当y x ≥11.设f 和g 都是群<1G ,★>到群*〉〈,2G 的同态,证明<C ,★>是<1G ,★>的一个子群,其中 {})()(|1x g x f G x x C =∈=且12.设f 为从群*〉〈,1G 到〉∆〈,2G 的同态映射,则f 为入射当且仅当{}e f Ker =)(。
同态与同构
• (3)同构映射:
性质 • 性质1 设 A, A, A 是三个代数系统,并且
f : A A, g: A A
是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, gf : A A仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射)
• 性质2 设 f : A A 是一个同构. 那么, f 1 : A A 也是一个同构. • 证明: • (1) f 1是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式
§5 同态与同构(8-9节)
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰:保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
注: 同态映射简称为态射. • A ={所有整数}, A 的代数运算是普通加法. • A {1, 1} , A 的代数运算是普通乘法.
• 例1 证明 1 : a 1 ( a是 A 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 …… a 1 , • 例2 2 : 若是偶数 若是奇数 a 1 , • 证明: 2是一个 A 到 A 的满射的同态映射. 2 是 A 到 A 的满射.对于 A 的任意两 • 证明 : 显然 , • (2)若 a , b 都是奇数…… 个整数 a 和 b 来说,分三种情况: a b 也是偶数 • (3) (1)若a , b 都是偶数 ,那么 ,………. b 奇偶性相反 a和 2 (a) 1 , 2 (b) 1 , 2 (a b) 1 • • 所以, 2 (a b) 2 (a)2 (b)
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
2013-7-31
离散数学
22
吸收律
定义5-2.5:设<A, *,△>,若x,y,zA, 有x*(x△z)=x称运算*满足吸收律; 有x△(x*y)=x称运算△满足吸收律。 【例】 N为自然数集, x,yN,x*y=max{x,y},x△y=min{x,y}, 试证:*,△满足吸收律。 证明: x,yN,x*(x△y)=max{x,min{x,y}}=x ∴ *满足吸收律 x,yN,x△(x*y)=min{x,max{x,y}}=x ∴ △满足吸收律。
离散数学
24
【例】设ρ(s)是集合S的幂集,在ρ(s)上定义的两个 二元运算,集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩,验证∪,∩满足幂等律。
证明:对于任意的A∈ρ(s),有A∪A=A和A∩A=A,
因此运算∪和∩都满足等幂律。 【例】普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法 的幂等元(0+0=0),0和1是乘法的幂等元( 0*0=0且1*1=1)。
2013-7-31
离散数学
9
例:以下哪些运算是封闭的?
(1) 自然数集合N上的减法运算。 不封闭
(2) 整数集合I上的除法运算。 不封闭
(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数,
使得x ≤p≤y。 不封闭,当x=y=4时,x与y之间的质数个数为0, 而0不属于A集合。
2013-7-31 离散数学 26
特殊元素
在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们 对于系统的一元或二元运算起着重要的作用。 例:<Z,+>中的+运算有单位元0。 例:矩阵乘法运算中的单位矩阵。 将这些特殊元素作为代数系统的性质进行讨论, 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数 常数。
离散数学同态与同构
❖同态、同态映射、同态象
例题2: f:NNk,对xN:f(x)=x mod k,验证f是 从<N,+>到<Nk,+k>的满同态。(Nk={0,1,2,…,k-1})
说明:对例如:k=5,则N5={0,1,2,3,4} 。 k1,k2 Nk:
k1 +k k2 =
k1 + k2 k1 + k2 - k
<A,>
A
a
b c
ac
f: AB
<B,*>
f(a)
f(A)
f(b)
f(c)
f(a)*f(c)
bc
f(b)*f(c)
❖同态、同态映射、同态象
定义1:<A,>和<B,*>是两个代数系统, f是从A到B的一个映射, 对a1,a2A , 有:f (a1a2) = f(a1) * f(a2), 则称f 为由<A,>到<B,*>的一个同态映射;称 <A,> 同态于<B,*>,记为A~B;<f(A),*>为<A, >的一个同态象;
❖同构
例题5:有三个代数系统如下: 它们彼此是同构的。
a b <{a, b}, >
aab
bba
★ 偶 奇 <{偶, 奇}, ★>
偶偶奇 奇奇偶
这3个系统运算规律 相同,只是符号不同。
* 0 180 <{0, 180}, *>
0 0 180 180 180 0
❖同态与同构
定义3: <A,*> 是一个代数系统, 若f是由<A,*>到<A,*>的同态映射,则称f是自同态; 若f是由<A,*>到<A,*>的同构映射,则称f是自同构。
形式逻辑中的同构关系与同态关系分析
形式逻辑中的同构关系与同态关系分析形式逻辑是一门研究符号和推理关系的学科,它通过符号和规则的运用来研究思维和推理的过程。
在形式逻辑中,同构关系和同态关系是两个重要的概念,它们在逻辑推理和数学领域中有着广泛的应用。
本文将对同构关系和同态关系进行深入分析,并探讨它们在形式逻辑中的作用。
同构关系是指两个结构之间存在一种一一对应的关系,即两个结构具有相同的形式和结构。
在形式逻辑中,同构关系常常用于比较不同逻辑系统之间的相似性。
例如,我们可以将命题逻辑和谓词逻辑看作是两种不同的逻辑系统,它们的基本结构和规则有所不同。
然而,通过建立适当的映射,我们可以将命题逻辑和谓词逻辑之间建立起同构关系。
这种同构关系的建立有助于我们在不同逻辑系统之间进行推理和转换。
同态关系是指两个结构之间存在一种保持结构和关系的映射,即两个结构之间的关系在映射后仍然保持不变。
在形式逻辑中,同态关系常常用于研究结构之间的映射和转换。
例如,在谓词逻辑中,我们可以通过将谓词符号映射为命题符号,将谓词逻辑的结构转换为命题逻辑的结构,从而建立起谓词逻辑和命题逻辑之间的同态关系。
这种同态关系的建立使得我们可以利用命题逻辑的推理规则来处理谓词逻辑的问题。
同构关系和同态关系在形式逻辑中具有重要的意义。
首先,它们为我们提供了一种比较和转换不同逻辑系统的方法。
通过建立同构关系和同态关系,我们可以将不同逻辑系统之间的问题转化为同一种逻辑系统的问题,从而简化了问题的处理和求解。
其次,它们为我们提供了一种抽象和概括逻辑结构的方法。
通过建立同构关系和同态关系,我们可以将复杂的逻辑结构简化为更为简单和易于理解的形式,从而便于我们对逻辑结构进行研究和分析。
然而,同构关系和同态关系也存在一些限制和局限性。
首先,同构关系和同态关系的建立需要满足一定的条件和约束,否则可能会导致错误的结果。
例如,在建立同构关系时,我们需要保证两个结构之间的映射是一一对应的,否则可能会导致信息的丢失或混淆。
第十四讲同态与同构
第⼗四讲同态与同构第⼗四讲同态与同构§14.1. 同态§14.2. 同态基本定理§14.1. 同态在讲授半群和monoid时,我们已定义过它们的同态与同构,现定义群同态与群同构。
1.1.定义:设(G,*)与(H,?)为群,f: G→H为映射(1)f为从群G到群H的同态,指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b)),记为G∽f H(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto,记为G≌f H(4)f为从(G,*)到(G,*)的⾃同态指f(ab)=f(a)f(b)(5)f为从(G,*)到(G,*)的⾃同构(automorphism)指f为⾃同态且1-1&onto1.2.例:(1)(Z,+),(Z2,+2)为群,令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态,但f⾮同构。
令g(n)=0,则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群,(R*,*)为⾮零实数乘群,令f: R→R*为f(x)=2x∵2x+y=2x*2y,∴f为同态,但f不是满的。
(3)令R+为全体正实数,(R+,*)为群,令f: R→R+为f(x)=2x,则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。
1.3.命题:设(G,*),(H,?)为群,(1)令f: G→H,对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。
(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为⾃同构。
证明:∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)∴f a为同态⼜∵f a为1-1&onto∴f a为同构. #1.4.命题:(Z6,+6)恰有6个⾃同态,恰有2个⾃同构。
证明:(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod6)=f i(x)+6f i(y)∴f i为同态.∵f i(1)=i∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)⾄少有6个⾃同态。
同态映射
同态映射、同态与同构之基本概念的重要性这两天我又学习了同态映射、同态和同构这三个近世代数中最为基本的概念,由于在学习的时候同态映射跟其他两个概念不是在同一时间学的,所以竟然在小小的一段时间内对三个概念产生了一些误解,尤其是认为同态是同态映射的简称可以说是犯了一个很大的错误。
刚刚我在学习同态的概念的时刻,授课的老师特别强调了这一点,我也对老师提出的这一点感到强烈的震惊,才发现自己的自我认为有时并非准确的。
再加上,老师在证明同态的两个集合之间运算的结合律的时候又指出了我差一点就犯了的一个很严重的逻辑错误,而且这个错误的发生往往是伴随着对基本概念的掌握不够好。
而且在上个学期的时候我在自学数学知识的时候已经明显地感觉到了无论研究什么首要做的事情就是要弄清楚研究对象里的基本概念才能做到有的放矢,在那个时候我也是这样去告诉我的好伙伴的,并且以如何证明两个集合相等这样的一个题目给他展示了掌握基本概念的好处。
并且我们这学期的一位任课老师要求我们在课堂上为大家谈一下我们对数字图书馆的一些认识,当时我的第一意识就告诉要借这么一个机会把理解并掌握基本概念对我们学习、工作甚至是生活的重要性来传达给大家,希望对他们的学习生活有些许帮助,虽然因为种种原因我的这个想法可能没有办法实现,但是这许许多多的事情都已经充分在表明我已经开始对基本概念有了很高的重视。
今天我写此文的目的也就是在于在弄清楚同态映射、同态和同构这三个概念以及一个定理的证明的同时来阐述体现其中基本概念的重要性,如果基本概念掌握不好就有可能会犯错,而掌握了概念做起事来就能达到事半功倍的效果。
1.基本概念1.1 同态映射对于集合A到-A映射-→AA:ϕ,以及A上的一个二元运算 和-A上的一个二元运算-,如果Aba∈∀,,都有 aba=b (即)()()(babaϕϕϕ=),那么我们称ϕ为A与-A的同态映射。
(注:-A在近世代数中只是一个普通的集合并非A的补集,对于)(xϕ我们也经常记作x即x的象,其他的映射函数也是如此。
同态与同构
13
定理5-8.2: 设f 是从代数系统<A,★>到代数系统 <B,*>的同态映射。
(a) 如果<A,★>是半群,那么在f 作用下,同态 象<f(A),*>也是半群。
(b)如果<A,★>是独异点,那么在f 作用下,同 态象<f(A),*>也是独异点。
(c)如果<A,★>是群,那么在f 作用下,同态象 <f(A),*>也是群。
显然,f是一个从A到B的双射,由表5-8.2和表5-8.3, 容易验证f是由<A,★>到<B,*>的一个同态。因此, <A,★>和<B,*>是同构的。
如果考察映射g, 使得g(a)=δ,g(b)=γ,g(c)=β, g(d)=α那么,g也是由<A,★>到<B,*>的一个同构。
由此例我们知道,当两个代数系统是同构的话,它 们之间的同构映射可以是不唯一的。
算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定
义一个二元运算如表5-8.3所示。证明<A,★>
和<B,*>是同构的。
表 5-8.2
表 5-8.3
★
abcd
a
abcd
b
baac
c
bddc
d
abcd
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
2021/5/23
9
证明:考察映射f, 使得f(a)=α,f(b)=β,f(c)=γ, f(d)=δ
2021/5/23
10
定义5-8.3: 设<A,★>是一个代数系统, 如果f是由<A,★>到<A,★>的同态,则称f 为自同态。
第5-5讲 同态与同构
1、例子(3)
f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=-1, *(- )=0 β ⊗ ζ= ε ; 1*(-1)=0 f(β )=f( f(ε *(f(β)*f(ζ f(β ⊗ ζ)=f(ε)= 0 =1*(-1)= f(β)*f(ζ)
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、同态核
定义4 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态,eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|x∈G且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映 射f的核,简称同态核。 定理3 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态,则f的同态 核K是G的子群。(<K,⊗>是<G,⊗>的子群) 证明:对任意k1,k2∈K,有 对任意k K,有 对任意 )=e f(k1⊗k2)=f(k1)*f(k2)= H*eH=eH k 所以k k K,所以 运算在K 封闭。进而可知⊗运算在 所以⊗运算在 所以k1⊗k2∈K,所以 运算在K上封闭。进而可知 运算在 可结合。 K上可结合。 又因f是群<G, 到群<H,*>的同态,根据定理1 <G,⊗ <H,*>的同态 又因f是群<G,⊗>到群<H,*>的同态,根据定理1, eH=f(e),这说明e∈K,e也是K的幺元。 这说明e 也是K 幺元。 这说明 对任意k f(k)=e =(e 对任意k∈K, f(k)= H。 f(k-1)=(f(k))-1=( H)-1= eH 所以k K,即 中任意元素有逆元 从而K 逆元。 的子群。 所以k-1∈K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。
群论2
• 代数学研究的对象是具有一种或多种二元运算的 集合,但不是孤立地研究集合本身,而是将集合 与它的二元运算一起讨论,研究群当然也是如此。 当已知两个群和,可能它们各自的二元运算不同, 我们期望在两个群之间建立某种对应关系,使得 该对应关系仅涉及群中的二元运算,而各个群的 元素具体是什么东西无关,那么从抽象的角度看, 仅利用二元运算由某一个群导出的性质可以通过 对应关系对应到另一个群上,这样可使我们的研 究一般化,从而从一个群的研究达到对另一个群 的讨论,为此,下面介绍两个重要的概念——同 态和同构。
8.3.2 同态的性质
定理 5-13 设 是 G1 , 到 G2 , 的同态映射, e1 和 e2 分别为 G1 和 G2 的单位 元,则 (1) ( e1 ) e2 (2)
( a -1) (a ) -1 , a G1 证明 (1) ( e1 ) ( e1 ) ( e1 e1 ) ( e1) (e1) e2 ,由 G2 的消去律得 ( e1{e, a, a 2 , , a11} 是 12 阶循环群, 小于等于 12 并与 12 互质的正整数为 1、5、7 和 11,所以其生成元为 a 、 a 5 、 a 7 和 a11 。 (2) 设 Z9 , 是模 9 的整数加法群,小于等于 9 并与 9 互质的正整数为 1、2、4、5、7 和 8,所以其生成元为 1、2、 4、5、7 和 8。 (3) 设 G {3 z | z Z} ,G 上的运算是普通加法,显然 G, 是无限循环群,所以只有两个生成元:3 和-3。
下面我们讨论另一种重要类型的群——置换群。 定义 5-27 集合 S 上的所有一一变换组成的集合 E (S ) ,关 于变换的复合运算 所构成的群 E (S ), ,称为 S 的一一变换 群。 E (S ), 的子群称为变换群。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
同态与同构
这一节我们将讨论两个代数系统之间 的联系。着重研究两个代数系统之间的同 态关系和同构关系。
定义5-8.1: 设<A,★>和<B,*>是两个代数系 统,★和*分别是A和B上的二元(n元)运 算,设f是从A到B的一个映射,使得对任 意的a1,a2∈A,
有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2),
证明:(a) 设<A,★>是半群且<B,*>是一个 代数系统,如果f是由<A,★>到<B,*>的一 个同态映射,则f(A)B。 对于任意的a,b∈f(A),必有x,y∈A 使得 f(x)=a, f(y)=b 在A中,必有z=x★y,所以 a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)
定理5-8.1:设G是代数系统的集合,则G中代数系 统之间的同构关系是等价关系。
证明: 因为任何一个代数系统<A,★>要以通过恒 等映射与它自身同构,即自反性成立。
关于对称性,设<A,★>≌<B,*>且有对应的同构映 射f, 因为f 的逆是由<B,*>到<A,★>的同构映射, 即<B,*>≌<A,★>。 最后,关于传递性,如果f是由<A,★>到<B,*>的同 构映射,g是由<B,*>到<C,Δ>的同构映射,那么 g。f就是<A,★>到<C,Δ>的同构映射。
★ a b c d
a b a b b a b a d b
c c a d c
d d c c d
*
α β γ δ
α α β β α
β
ห้องสมุดไป่ตู้
γ
δ
β γ δ α α γ δ δ γ β γ δ
证明:考察映射f, 使得f(a)=α,f(b)=β,f(c)=γ, f(d)=δ
显然,f是一个从A到B的双射,由表5-8.2和表5-8.3, 容易验证f是由<A,★>到<B,*>的一个同态。因此, <A,★>和<B,*>是同构的。
可以说,代数系统<B , ⊙>描述了<I , >中运 算结果的这些基本特征。 而这正是研究两个代数系统之间是否存在同 态的重要意义。
注:由一个代数系统到另一个代数系统可能 存在着多于一个的同态。
定义5-8.2: 设f是由<A,★>到<B,*>的一个 同态,如果f是从A到B的一个满射,则f 称为满同态;如果f是从A到B的一个入 射,则f 称为单一同态;如果f是从A到B 的一个双射,则f 称为同构映射,并称 <A,★>和<B,*>是同构的(isomorphism), 记作A≌B。
形象地说,一个代数系统的同态象可以看 作是当抽去该系统中某些元素的次要特 性的情况下,对该系统的一种粗糙描述。 如果我们把属于同一个同余类的元素看 作是没有区别的,那么原系统的性态可 以用同余类之间的相互关系来描述。
作业(5-8)
P221 (2), (3)
例4. 设H={x|x=dn, d是某一个正整数, n∈I},定义映射f:I→H为对任意n∈I, f(n)=dn,那么,f是<I,+>到<H,+>的一 个同构。所以I≌H。 f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n); 又f是双射。
例题1: 设A={a,b,c,d},在A上定义一个二元运 算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定 义一个二元运算如表5-8.3所示。证明<A,★> 和<B,*>是同构的。 表 5-8.2 表 5-8.3
如果考察映射g, 使得g(a)=δ,g(b)=γ,g(c)=β, g(d)=α那么,g也是由<A,★>到<B,*>的一个同构。
由此例我们知道,当两个代数系统是同构的话,它 们之间的同构映射可以是不唯一的。
定义5-8.3: 设<A,★>是一个代数系统, 如果f是由<A,★>到<A,★>的同态,则称 f为自同态。 如果g是由<A,★>到<A,★>的同构,则称g 为自同构。
最后,*在f(A)上是可结合的,这是因为:对于任 意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得 f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c 因为★在A上是可结合的,所以 a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z))=f(x)*f(y★z) =f(x★(y★z))=f((x★y)★z) =f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z) =(a*b)*c 因此,<f(A),*>是半群。
表5-8.1 ⊙ 正 负 零 正 正 负 零 负 负 正 零 零 零 零 零
作映射f: I→B如下:
正 若n>0 f(n)= 负 若n<0 零 若n=0 很明显,对于任意a,b∈I,有
f(ab)=f(a)⊙f(b)
因此,映射f是由<I, >到<B, ⊙>的一个同态。
例1 告诉我们,
在<I , >中研究运算结果的正、负、零的特 征就等于在<B , ⊙>中的运算特征
这是因为对于a,bA, 有f(a★b)=f(a)*f(b), 而c,dB, 有g(c*d)=g(c)Δg(d);所以 a,bA, 有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a) *f(b))=g(f(a))Δg(f(b))= g。f(a)Δg。f(b) 。 因此,同构关系是等价关系。
若<a,b>∈R,则f(a)=f(b)即f(b)=f(a),所以<b,a>∈R。 若<a,b>∈R,<b,c>∈R则f(a)=f(b)=f(c),所以 <a,c>∈R。最后,又因为若<a,b>∈R,<c,d>∈R,则 有 f(a★c)=f(a)*f(c)=f(b)*f(d)=f(b★d) 所以,<a★c,b★d>∈R。 因此,R是A上的同余关系。
例2.设f: R→R定义为对任意x∈R,f(x)=5x,那么, f是从<R,+>到<R,· >的一个单一同态。 f(x+y)=5x+y=5x ·5y=f(x) ·f(y) f为入射。因为x1≠x2,则5x1 ≠5x2 , 即f(x1)≠f(x2)。 又因为5x>0 , 所以f 不是满射。
例3.设f: N→Nk定义为对任意的x∈N,f(x)=x mod k,那么,f是从<N,+>到<Nk,+k>的一个满同态。 f(x+y)=(x+y) mod k =(x mod k) +k (y mod k) = f(x) +k f(y); 又f是满射。 而f(1)=f(K+1)=1 ∈ Nk, f 不是入射。
f(x★y) = Ak = Ai*Aj = f(x)*f(y)
因此,f是由<A,★>到<B,*>的满同态,即<B,*> 是<A,★>的同态象。
定理5-8.5: 设f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射, 如果在A上定义二元关系R为:<a,b>∈R当且仅当 f(a)=f(b),那么,R是A上的一个同余关系。 证明: 因为f(a)=f(a),所以<a,a>∈R。
定义5-8.5: 设<A,★>是一个代数系统,并 设R是A上的一个等价关系。
如果当<a1,a2>,<b1,b2>∈R时,蕴涵着 <a1★b1,a2★b2>∈R,
则称R为A上关于★的同余关系。由这个同余 关系将A划分成的等价类就称为同余类。
定理5-8.4: 设<A,★>是一个代数系统,R 是A上的一个同余关系,B={A1, A2,…,Ar}是由R诱导的A的一个划分, 那么,必定存在新的代数系统<B,*>,它 是<A,★>的同态象。
定理5-8.2: 设f 是从代数系统<A,★>到代数系统 <B,*>的同态映射。 (a) 如果<A,★>是半群,那么在f 作用下,同态 象<f(A),*>也是半群。 (b)如果<A,★>是独异点,那么在f 作用下,同 态象<f(A),*>也是独异点。 (c)如果<A,★>是群,那么在f 作用下,同态象 <f(A),*>也是群。
对于任意的a∈f(A)必有x∈A 使f(x)=a, 因为<A,★>是群,故x有逆元,且f(x1)∈f(A), 而 f(x)*f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x -1★x)
=f(x -1)*f(x)
所以,f(x-1)是f(x)的逆元。即f(x-1)= f(x)-1。
因此,<f(A),*>是群。
则称f为由<A,★>到<B,*>的一个同态映射 (homomorphism mapping),称<A,★> 同态于<B,*>,记作A~B。 把<f(A),*>称为<A,★>的一个同态象(image under homomorphism)。 其中f(A)={x|x=f(a), a∈A} B
例1 考察代数系统<I, >,这里I是整数集, 是普通 的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、 零之间的特征区别,那么代数系统<I, >中运算 结果的特征就可以用另一个代数系统<B, ⊙>的运 算结果来描述,其中B={正,负,零},是定义在 B上的二元运算,如表5-8.1所示。