求三角函数的周期6种方法总结多个例子详细解答

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、定义法

例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= ,

3

2tan

)2(x y =．

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．

解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3

2tan

)(32tan x

T x =+成立，同时考虑到正切

函数x y tan =的周期是π．

解：∵

)2

3

(32tan )32tan(32tan

ππ+=+=x x x , 即

3

2tan )23(32tan x x =+π．

∴ 函数32tan x y =的周期是π2

3． 例2. 求函数

（m ≠0）的最小正周期。

解：因为

所以函数（m ≠0）的最小正周期

例3. 求函数的最小正周期。

解：因为

所以函数的最小正周期为。

例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.

解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜

＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2

(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2

π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.

注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函

数值重复出现的自变量x 的增加值，

如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 2

1； 2、”

“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．

直接利用周期函数的定义求出周期。

2、公式法

对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式

是|

|2ωπ

=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式

是|

|ωπ=T ．

例1．求函数)6

23sin(3π

-=x y 的周期 解：

342

32π

π==

T ．

例2． 求函数

的最小正周期。

解：因为

所以函数的最小正周期为。

例3． 求函数的最小正周期。

解：因为，

所以函数的最小正周期为。

3、 同角函数法

例4． 求函数x x x y 2

sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322

-+=-=x x x x x y

1)6

2sin(21)2cos 212sin 23(

2-+=-+=πx x x

∴

ππ==

2

2T ．

例5． 求函数

的最小正周期。

解：因为

所以函数的最小正周期为。

例5． 已知函数),3

cos 3(sin 3sin )(x

x x x f +=求周期 解：∵3

2sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin

)(2

x

x x x x x f +-=+=

)4

32sin(222

1

)32cos 32(sin 2121π

-+=-+=x x x

∴

ππ

33

22==

T ．

4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式 2

||a a =,

化去绝对值符号再求周期 例6. 求函数 |cos |x y =的周期 解：∵

2

2cos 1cos |cos |2x

x x y +=

==

∴

ππ==

2

2T ．

例7． 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期

解：∵()x

x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22

+=+=+=+=

)4cos 1(2

1

124cos 11x x -+=-+

=

∴ 函数

|

cos ||sin |x x y +=的最小正周期

2

42ππ==

T ．

5、最小公倍数罚: 若函数)()()(2

1

x f x f x f y k

+++=Λ，

且)(,),(),(2

1

x f x f x f k

Λ，都是周期函数，且最小正周期分别为k

T T T Λ,,2

1

，如果找到一个正常数T , 使k

k T n T n T n T ====Λ2

21

1，

(k

n n n ,,,2

1

Λ均为正整数且互质)，则T 就是)()()(2

1

x f x f x f y k

+++=Λ的最小正周期．

例1． 求函数x x y 2

1cos sin +=的周期 解：∵

x

sin 的最小正周期是π21

=T ，

x

2

1

cos 的最

小正周期是π42

=T ．

∴ 函数y 的周期2

21

1T n T n T == ，把2

1

T T ，代入得

2

1

4 2n n ππ=，即2

1

2n n =，

因为2

1

,n n 为正整数且互质， 所以

1 ,22

1

==n n ．

函数x x y 2

1cos sin +=的周期ππ4221

1=⨯==T n T ． 例2． 求函数x x y 4

3cos 32sin +=的周期