求三角函数的周期6种方法总结多个例子详细解答
精解三角函数的周期性
精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期，一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数y=sin x的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.2、y=sin〔ωx〕的最小正周期设ω>0，y =sin〔ωx〕的最小正周期设为L .按定义y= sin ω〔x+L〕= sin〔ωx+ ωL〕= sinωx .令ωx = x则有sin 〔x+ ωL〕= sin x因为sin x最小正周期是2π，所以有例如sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为3、正弦函数y=sin〔ωx+φ〕的周期性对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin 〔ωx+φ〕.它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y = sin〔3x〕相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sin x的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx后者周期变为而在以下的各种变换中，如〔1〕初相变换sinωx→si n〔ωx+φ〕；〔2〕振幅变换sin〔ωx+φ〕→A sin〔ωx+φ〕；〔3〕纵移变换A si n〔ωx+φ〕→A si n〔ωx+φ〕+m；后者周期都不变，亦即A si n〔ωx+φ〕+m与si n〔ωx〕的周期相同，都是.而对复合函数f〔sin x〕的周期性，由具体问题确定.1、复合函数f〔sin x〕的周期性【例题】研究以下函数的周期性：〔1〕2 sin x；〔2〕〔2〕的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】〔1〕2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log ax，sin x，，sin〔sin x〕都是最小正周期2π的周期函数.2、y= sin3x的周期性对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y= sin2x的周期性对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.4、sin2n x和sin2n-1x的周期性y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，sin m x的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】求y =|sin x|的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2π.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是2π. 那么它们的和函数，即si nx + cos x的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数sin x + sin2 x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.2、函数sin x + sin2x的周期性依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x+sin x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3π=因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.。
【答题技巧】求三角函数最小正周期的方法
【答题技巧】求三角函数最小正周期的方法三角函数是考试中的一个重要的考点，那么三角函数的最小正周期怎么求？下面是相关信息，供大家参考。
1、定义法概念：根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.解:∵=|sinx|+|cosx|=|－sinx|+|cosx|=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|=f(x+π/2)对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.（如果f（x+T）=f（x），那么T叫做f（x）的周期）。
2、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
3、最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：（1）分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
4、恒等变换法概念：通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。
5、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。
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三角函数的周期性质及计算
三角函数的周期性质及计算三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们具有周期性质，即它们的函数值在一定区间内具有重复的特点。
本文将介绍三角函数的周期性质，并给出相关的计算方法。
1. 正弦函数的周期性质及计算正弦函数的周期为2π，即在每一个2π的区间内，正弦函数的函数值重复。
我们可以利用这个周期性质来计算正弦函数在给定角度下的函数值。
例如，计算正弦函数在角度为45度时的函数值。
首先，将角度转换为弧度，1度约等于0.01745弧度。
因此，45度约等于0.7854弧度。
然后，利用正弦函数的周期性质，可以将0.7854弧度对应到0到2π之间的区间。
即0.7854除以2π的余数为0.7854。
因此，正弦函数在角度为45度时的函数值等于正弦函数在0.7854弧度时的函数值。
通过查表或计算，我们可以得到正弦函数在0.7854弧度时的函数值为0.7071。
2. 余弦函数的周期性质及计算余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
同样地，我们可以利用这个周期性质来计算余弦函数在给定角度下的函数值。
例如，计算余弦函数在角度为30度时的函数值。
同样地，将角度转换为弧度，30度约等于0.5236弧度。
然后，通过将0.5236弧度对应到0到2π之间的区间，我们可以得到余弦函数在角度为30度时的函数值等于余弦函数在0.5236弧度时的函数值。
查表或计算可以得到余弦函数在0.5236弧度时的函数值为0.8660。
3. 正切函数的周期性质及计算正切函数的周期为π，即在每一个π的区间内，正切函数的函数值重复。
同样地，我们可以利用这个周期性质来计算正切函数在给定角度下的函数值。
例如，计算正切函数在角度为60度时的函数值。
将角度转换为弧度，60度约等于1.0472弧度。
然后，通过将1.0472弧度对应到0到π之间的区间，我们可以得到正切函数在角度为60度时的函数值等于正切函数在1.0472弧度时的函数值。
查表或计算可以得到正切函数在1.0472弧度时的函数值为1.7321。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
三角函数周期的常用求法
三角函数周期的常用求法河南 陈长松三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法例1 函数)23sin(x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ4212=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=T 求得。
二、图像法例２ 求下列函数的最小正周期① x y sin = ②x y sin解：分别作出两个函数的图像知三、解：∵ 2cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2π 下面证明2π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ① 但<<T 02π，∴1cos sin >+T T ②∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．四、转化法例４ 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --=+- ＝x 4cos 8385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是242ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．五、最小公倍数法例５ 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ， 则12T 3π=，22T 5π=，2T 1π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数。
求三角函数的周期6种方法总结 多个例子详细解答
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、定义法例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 例2. 求函数（m ≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m ≠0）的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．直接利用周期函数的定义求出周期。
三角函数周期
(x)的周
期在(2/3, 4/3)内, 则正整数k的最小值和最
大值分别是多少?
解：函数f (x)的最小正周期为6k ，
故
6
k
2 3
,
4 3
，得
9 k 9 ，
2
又k为正整数，
故k的最小值为15，最大值为28.
思考
y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？
在周期函数y f ( x)中,T是周期,若x是定
世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律，如四季更替，星期变化.这种 现象在数学上称为周期性，在函数领域里， 周期性是函数的一个重要性质.
诱导公式 : 对任意的x R, sin(2 x) sin x, cos(2 x) cos x
正弦函数和余弦函数所具有的这 种性质称为周期性．
定义：对于函数f(x)，如果存在一 个—非—零—常——数—T，对于定义域内的 —每—一—个—x 值，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做周期函数，非—零—常——数—T叫做这个 函数的周期。
令u 2x，则
cos u 2T cos u
对任意实数u都成立，
又 y cos u的周期为2， 2T T 2 ,即T .
等式f ( x T ) f ( x),强调： 自变量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2x T ) f (2x),T不是周期,而应写成
f (2x T)
当ω<0周期为 T 2
(3)
y
2
tan
2
x
4
结论:
函数y=Atan(ωx+φ),x∈R(其中
A,ω, φ为常数，且A≠0,ω ≠ 0)的周
期为 T
三角函数周期的求法
求三角函数的周期问题常以选择题或者填空题的形式出现，属于基础题目.很多三角函数具有周期性，三角函数的解析式不同，其周期也不相同.对于不同的三角函数解析式，我们也需要采用不同的方法来求其周期.这里介绍三种方法.一、定义法定义法是指利用函数周期的定义来解题的方法.若函数f (x )的定义域为数集D ，那么对于∀x ∈D ，有f (x +T )=f (x )，则该函数为周期函数，其中T （最小正常数）为函数f (x )的最小正周期.运用定义法求三角函数的周期，只需要找到使f (x +T )=f (x )成立的T 的值即可.例1.求三角函数y =sin 2x 的最小正周期.解：设sin 2(x +T )-sin 2x =0，则2sin2x +T 2cos T 2⋅cos 2x +T 2sin T 2=0，化简得sin(2x +T )=sin T ，所以sin(2x +T )=0或者sin T =0，当sin(2x +T )=0时T =k π-2x ，此时T 不为常数，不能作为周期，当sin T =0时，T 的最小非零正数解为T =π，所以函数y =sin 2x 的最小正周期为T =π.由题目可知该三角函数为周期函数，不妨根据三角函数周期的定义设出函数的周期T ，然后通过三角恒等变换求得T 的值.二、最小公倍数法最小公倍数法：当三角函数f (x )和g (x )的定义域都是D ，且三角函数f (x )和g (x )的周期分别为T 1、T 2，那么T 1、T 2的最小公倍数就是函数f (x )±g (x ),f (x )×g (x ),f (x )g (x )的周期.运用最小公倍数法求三角函数周期的关键是寻找两个三角函数周期的最小公倍数.例2.求三角函数f (x )=4cos x 4-5sin x5的最小正周期.解：因为cos x 4与sin x5都是周期函数，且最小正周期分别为T 1=8π,T 2=10π且T 1T 2=45为有理数.而8和10的最小公倍数为40，所以f (x )为周期函数，且最小正周期为40π.函数f (x )是两个三角函数y =4cos x 4、y =5sinx5的和，而它们的最小正周期分别为T 1=8π、T 2=10π，利用最小公倍数法，求出它们周期的最小公倍数，便可求出该三角函数的最小正周期.三、公式法当遇到较为复杂的三角函数式时，可通过三角恒等变形将原三角函数转化为y =A sin(ωx +ϕ)+h 、y =A cos(ωx +ϕ)+h 、y =A tan(ωx +ϕ)+h 的形式，再结合正弦、余弦、正切三角函数的周期公式：T =2π||ω或T =π||ω来求得三角函数的周期.例3.求三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.解：y =sin 6x +cos 6x =(sin 2x +cos 2x )(sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x )=(sin 2x +cos 2x )2-3sin 2x cos 2x =1-34sin 22x =1-34∙1-cos 4x2=38cos 4x +58.所以三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期为T =2π||ω=π2.该三角函数的次数比较高，运用sin 2x +cos 2x =1、正余弦的二倍角公式便可将三角函数式化简为只含有余弦函数的式子.这样便可根据余弦函数的周期公式T =2π||ω求得三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.求三角函数周期的方法还有很多，不仅仅局限于这三种方法.同学们在平时的学习中要注意熟悉题型，总结解题技巧，以后再遇到类似的问题就能快速解题.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）方法集锦45Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
求三角函数最小正周期的五种方法
所以函数 解：因为求三角函数最小正周期的五种方法、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。
y -cos （— x-―）例1.求函数 "（m 产0）的最小正周期。
.m 琵、y =cos （—x-—） 解：因为 "=曲（彳_彳+ 2町T ^n . 10 、 洗、=cos[—（A+ —^）--] 5 w 6.m琵、y =cos （—x-—）"（m 产0）的最小正周期x X= cot — = cot （— + 泥）=cot[—+ a a a 二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1. sm（应 a 或丿=占8£（皿+朝+必的最小正周期2.Ztan （曲+物H ■血野二宜sg + 前+矗的最小正周期例2.求函数 y -cot —总的最小正周期。
y- 所以函数t x-的最小正周期为'=|/|解:尸二而少二3 因为l J:I所以函数■■ I1-1-"--的最小正周期为解: 因为丁=各而印=卜竺|虫| m所以函数的最小正周期为T=—3.一--、的最小正周期7。
T-—4.- 的最小正周期-'I例3.求函数''I1"1的最小正周期。
y =cot (3 -——x)例4.求函数的最小正周期。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为》= "£曲(俪+ ") +心等类型，再用公式法求解。
例5.求函数「：/的最小正周期。
■ 6 | 6解：因为「汕」:=(sin z + cos x)(sin x- xcos x + cos 或=(sin x+ cos 对-3sin JCOS A=1- — sin32z4-3 1— cos4x=1'- •----------4 23 ” 58 87=—=-所以函数'1 :' ■-的最小正周期为丄-例6.求函数：；'7的最小正周期。
如何求解三角函数的最值和周期
如何求解三角函数的最值和周期三角函数是数学中经常遇到的重要函数之一，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在解题中，求解三角函数的最值和周期是常见的问题之一。
本文将介绍如何求解三角函数的最值和周期，并给出相关的方法和例子。
一、求解正弦函数的最值和周期在求解正弦函数的最值和周期时，我们需要注意以下几点：1. 最值：正弦函数的最值在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：正弦函数的周期为2π，即正弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
二、求解余弦函数的最值和周期对于余弦函数的最值和周期的求解，我们需要注意以下几点：1. 最值：余弦函数的最值也在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：余弦函数的周期也为2π，同正弦函数，即余弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
三、求解其他三角函数的最值和周期除了正弦函数和余弦函数，其他三角函数（比如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等）也有各自的最值和周期，需要分别求解。
以下是它们的最值和周期的求解方法：1. 正切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是π；2. 余切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是π；3. 正割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是2π；4. 余割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是2π。
四、求解三角函数最值和周期的应用举例为了更好地理解求解三角函数最值和周期的方法，我们来看一个具体的例子：例子：求解函数y = 2sin(3x) + 1的最值和周期。
解析：根据正弦函数的性质，我们可以知道最大值和最小值分别为3和-1，周期为2π/3。
通过这个例子，我们可以看到，求解三角函数最值和周期的方法是先分析函数的性质，确定最值和周期的范围，然后根据函数的公式进行计算得出结果。
五、总结求解三角函数的最值和周期是数学中的基本问题，掌握求解方法对于解题非常关键。
在本文中，我们介绍了求解正弦函数和余弦函数最值和周期的方法，并给出了其他三角函数最值和周期的求解方法。
怎样求三角函数的周期
怎样求三角函数的周期对于周期函数的定义，同学们应抓住下面两个要点：⑴f(x+T)=f(x)必须对定义域中任何一个x成立．T 是不为0的常数；⑵周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．由y=sinx,y=cosx的最小正周期为2π，可以得知函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=；由y=tanx,y=cotx的最小正周期为π，可以得知函数y=Atan(ωx+φ),y=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=．例1求下列函数的周期⑴y=cos(x)cos[(x-1)]；⑵y=tan-cscx．分析先对解析式作适当的恒等变形，化为基本三角函数，然后求解．解⑴∵y=cos(x)cos[(x-1)]=cos(x)sin(x)=sinπx，∴T==2．⑵y=tan-cscx=-=-cotx，∴T=π．例2求f(x)=|sinx+|的最小正周期．错解∵y=|sinx|的周期是y=sinx周期的一半，即T=π．∴y=|sinx+|的周期是π．错因分析f(x+π)=|sin(x+π)+|=|-sinx+|≠f(x)，可见T≠π．正解作出函数y=sinx+的函数，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，就得到y=|sinx+|的图象，由图象可看出y=|sinx+|的周期是T=2π．例3(2003年全国)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)．⑴求函数f(x)的最小正周期和最大值；⑵在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间[-,]上的图象．解⑴f(x)=2sin x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+sin(2x-)故f(x)的最小正周期为π，最大值为1+．此时sin(2x-)=1，2x-=+2kπ．x=+kπ(k∈Z)．⑵由⑴知x--y 1 1- 1 1+ 1故y=f(x)在区间[-,]上的图象如下图．例4函数f(x)=|sinx|+sin|x|的值域是A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,2]D.[0,1]分析可由正弦函数的性质，去掉绝对值符号，将f(x)化简后求解．解∵f(-x)=|sin(-x)|+sin|-x|=|-sinx|+sin|x|=|sinx|+sin|x|=f(x)，可知f(x)是偶函数，故将定义域限制在[0,+∞)上，其值域不变．此时，当x∈[0,+∞)时，f(x)=|sinx|+sinx．∵f(x+2π)=|sin(x+2π)|+sin(x+2π)=|sinx|+sinx=f(x)，可知f(x)是周期为2π的周期函数．故进一步限制定义域为[0,2π)，其值域仍不变，这时，f(x)=显然这时f(x)的值域为[0,2]，即原题答案选C．周期函数在某一个周期上的值域，等于它在整个定义域上的值域．上例中首先确定了f(x)在一个周期上的表达式，从而求得值域．。
求三角函数的性质的方法总结
求三角函数的性质的方法总结三角函数是数学中重要的概念，对于研究几何形状、信号处理、波动现象等都具有重要的意义。
在学习三角函数的过程中，了解其性质是十分重要的。
本文将总结一些求三角函数性质的方法，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、求三角函数的周期性三角函数中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
方法一：观察函数图像通过观察函数图像可以判断函数的周期性。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们可以观察其图像，注意到在x轴上的相邻两个零点之间的距离，即可得到其周期。
方法二：代数方法对于一般的三角函数，可以利用其定义式来判断其周期性。
例如，正弦函数的定义式为sin(x) = sin(x + 2π)，由此可知其周期为2π。
二、求三角函数的单调性三角函数的单调性指的是函数在某个区间上是递增还是递减。
方法一：导数分析利用导数的正负可以判断函数的单调性。
对于正弦函数和余弦函数，它们的导数分别为cos(x)和-sin(x)，通过分析导数的正负号可以得到函数在不同区间上的单调性。
方法二：函数图像通过观察函数图像，我们可以判断函数在某个区间上的单调性。
例如，观察正弦函数sin(x)的图像，可以看到它在区间[0, π]上是递增的。
三、求三角函数的对称性三角函数的对称性指的是函数关于某个轴或点的对称性。
方法一：观察函数图像通过观察函数图像可以判断函数的对称性。
例如，观察正弦函数sin(x)的图像，可以看到它关于原点对称。
方法二：代数方法利用函数性质和定义式可以判断函数的对称性。
例如，正弦函数的定义式为sin(-x) = -sin(x)，由此可知它关于原点对称。
四、求三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性指的是函数在某个区间上的奇偶性质。
方法一：观察函数图像通过观察函数图像可以判断函数的奇偶性。
例如，观察正弦函数sin(x)的图像，可以看到它关于原点对称，因此是奇函数。
方法二：代数方法利用函数性质和定义式可以判断函数的奇偶性。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
三角函数周期的几种求法解读
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
如何求三角函数的最小正周期
如何用初等方法求三角函数的最小正周期在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。
一公式法函数f(x )＝Asin(ωx+φ)和f(x )=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ωπ2；函数f(x)＝A t an(ωx+φ)和f(x)=A c ot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ωπ，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例1 求下列函数的最小正周期：（1）f(x )＝2sin （53πx ＋1）。
（2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。
（3） f(x)＝51t a n(31x 3π-).f(x)＝)62cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则：（1）T =532ππ =310 T=42π=2π T=31 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2c o t(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2π 二定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例2 求函数f (x)＝2si n （21x －6π）的最小正周期。
解：把21x －6π看成是一个新的变量z ,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6π)的最小正周期是4π。
例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。
三角函数的周期
三角函數的週期
1.一般三角函數的週期為:
sinx ,conx ,secx ,cscx:2π
tanx,cotx:π
2.若將一般三角函數變形,則其週期為何?下面
以sin為例來說明,首先來看
"y=sin(x-π/2)",它的圖形只是向右平移
π/2個單位,週期並未改變,仍為2π,請看:
3.再來看"y=sin(x)+1",它的圖形只是向上平移1個單位,週期並未改變,仍為2π,請看:
4.接著來看"y=3sin(x)",它的圖形只是直向拉長3倍,週期並未改變,仍為2π,請看:
5.以上三個例子週期皆未改變,最後來看
"y=sin(2x)",它的速度增快為原來的2倍,但時間減少為原來的1/2倍,故週期變為π,請看:
6.再看一個例子"y=sin(1/2x)",它的速度減慢為原來的1/2倍,但時間拉長為原來的2倍,故週期變為4π,請看:
7.若混合上述幾種變形:
"y=sin(2x-1/2π)+1","y=3sin(2x-1/2π)+1",則影響週期的變數只有x最近的"2",即將原週期2π除以2為π:
若函數為"y=sin(1/2x-1/2π)+1"則影響週期的變數只有x最近的"1/2",即將原週期2π除以1/2為4π:
8.結論:y=asin(bx-c)+d的週期為2π/b,即將原週期除以b,其他的三角函數y=af(bx-c)+d的週期為原週期除以b.。
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如何求三角函数的周期
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、定义法
例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= ,
3
2tan
)2(x y =．
(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．
解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．
(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3
2tan
)(32tan x
T x =+成立，同时考虑到正切
函数x y tan =的周期是π．
解：∵
)2
3
(32tan )32tan(32tan
ππ+=+=x x x , 即
3
2tan )23(32tan x x =+π．
∴ 函数32tan x y =的周期是π2
3． 例2. 求函数
（m ≠0）的最小正周期。
解：因为
所以函数（m ≠0）的最小正周期
例3. 求函数的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.
解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜
＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2
(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2
π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.
注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函
数值重复出现的自变量x 的增加值，
如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 2
1； 2、”
“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．
直接利用周期函数的定义求出周期。
2、公式法
对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式
是|
|2ωπ
=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式
是|
|ωπ=T ．
例1．求函数)6
23sin(3π
-=x y 的周期 解：
342
32π
π==
T ．
例2． 求函数
的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例3． 求函数的最小正周期。
解：因为，
所以函数的最小正周期为。
3、 同角函数法
例4． 求函数x x x y 2
sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322
-+=-=x x x x x y
1)6
2sin(21)2cos 212sin 23(
2-+=-+=πx x x
∴
ππ==
2
2T ．
例5． 求函数
的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例5． 已知函数),3
cos 3(sin 3sin )(x
x x x f +=求周期 解：∵3
2sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin
)(2
x
x x x x x f +-=+=
)4
32sin(222
1
)32cos 32(sin 2121π
-+=-+=x x x
∴
ππ
33
22==
T ．
4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式 2
||a a =,
化去绝对值符号再求周期 例6. 求函数 |cos |x y =的周期 解：∵
2
2cos 1cos |cos |2x
x x y +=
==
∴
ππ==
2
2T ．
例7． 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期
解：∵()x
x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22
+=+=+=+=
)4cos 1(2
1
124cos 11x x -+=-+
=
∴ 函数
|
cos ||sin |x x y +=的最小正周期
2
42ππ==
T ．
5、最小公倍数罚: 若函数)()()(2
1
x f x f x f y k
+++=Λ，
且)(,),(),(2
1
x f x f x f k
Λ，都是周期函数，且最小正周期分别为k
T T T Λ,,2
1
，如果找到一个正常数T , 使k
k T n T n T n T ====Λ2
21
1，
(k
n n n ,,,2
1
Λ均为正整数且互质)，则T 就是)()()(2
1
x f x f x f y k
+++=Λ的最小正周期．
例1． 求函数x x y 2
1cos sin +=的周期 解：∵
x
sin 的最小正周期是π21
=T ，
x
2
1
cos 的最
小正周期是π42
=T ．
∴ 函数y 的周期2
21
1T n T n T == ，把2
1
T T ，代入得
2
1
4 2n n ππ=，即2
1
2n n =，
因为2
1
,n n 为正整数且互质， 所以
1 ,22
1
==n n ．
函数x x y 2
1cos sin +=的周期ππ4221
1=⨯==T n T ． 例2． 求函数x x y 4
3cos 32sin +=的周期
解： ∵
x 3
2sin 的最小正周期是ππ33
221
==T ，x
4
3cos 的最小正周期是384
322
π
π==
T
，
由2
21
1T n T n =，
213
8 3n n ππ=
，
2
1
89n n = (2
1
,n n 为正整数且互质), 得
9
,821==n n ．
所以 函数x x y 4
3
cos 32sin +=的周期是ππ24381
1=⨯==T n T ． 例3. 求函数的最小正周期。
解：因为csc4x 的最小正周期
，的最小正周期，由于和的最小
公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例4. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小
公倍数是，
所以函数
的最小正周期为T ＝。
例5. 求函数
的最小正周期。
解：因为sinx 的最小正周期
，
的最小正周期
，
sin4x 的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T ＝。
例 6.求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.
解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为
T 1、T 2，则5
2,322
1
π
π
=
=T
T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的
最小正周期T ＝2π／1＝2π.
例7.求y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期.
解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π
，其最小公倍数是1
10π
＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π.
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
6、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。
例1. 求函数
的最小正周期。
解：函数
的图像为图1。
图1
由图1可知：函数的最小正周期为。
例2.求y＝｜sin x｜的最小正周期.
解：由y＝｜
sin x｜的图象：
可知y＝｜sin x｜的周期T＝π.。