2020年初三数学难题集锦

作者：非成败

作品编号：92032155GZ5702241547853215475102

时间：2020.12.13

初中数学难题集锦组题：韩松

1．（本小题满分10分）

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点D，已知∠D＝30°.

⑴求∠A的度数；

4，求图中阴影部分

⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝3

的面积.

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）

【材料一】：如图⑴，直线l上有1A、2A两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在1A和2A之间的任何地方，此时距离之和为1A到2A的距离.

如图⑵，直线l上依次有1A、2A、3A三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A、3A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点2A处，此时距离之和为1A到3A的距离. (想一想，这是为什

么？)

不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置.

【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b -. 【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ；

若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 .

【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-+

+-的最

小值，

根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为 .

3. （本小题满分10分）

如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示．

图⑴

图⑵

3

2

l

12

l

1

y （千米）

x （时）

乙 甲

图②

图①

根据图象进行以下探究：

⑴请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；

⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．

⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A地的距离1y与行驶时间x 的函数关系式．

⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

4．（本小题满分10分）

已知抛物线2

y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1

12

y x =-

-上，且过点A (4，0)．

⑴求这个抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标.

5．（本小题满分12分）

作者：非成败

作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直

角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.

⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 .

⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

⑶如图2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为

何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB＝3，BD

＝BC的长.

A

B C

D

图1

E

F

D

B

A

图2

6．（本小题满分12分）

已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒．

⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值；

⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

图1Q

P

D C

B A

备用图

A

B

C

D 备用图

A

B

C

D

参考答案

1．（本小题满分10分）

⑴解：连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD

90°. ………………………………(1分)

∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. …………………(2分) ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°. ………………(4分) ⑵∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝(5分) ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ……………………(6分) ∴

2BOC 6048

3603

S ππ

⨯扇形＝＝，

EOC

1

22

S

⨯⨯＝…………………………(8分) ∴

EOC

BOC S S S

π阴影扇形8＝－＝－3

…………………………………………………(10分)

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）

问题一：点13A 处 …………(3分) 点25A 和26A 之间的任何地方 ………(6分)

问题二：48 …………(8分)

1225 ………(10分)

3. （本小题满分10分）

⑴A 地位置如图所示．使点A 满足AB ∶AC ＝

2∶3 . ……………………………… (2分)