第1章矢量分析PPT课件
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电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
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单位圆
x
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? e?xcos?
? e?ysin?
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xy 平面上的投影图
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矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
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位置矢
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位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
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A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
第1章矢量分析
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》PPT课 件
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法
01 第一章 矢量分析
t t0
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第1章矢量分析
ex A x
ey y Ay
ex z Az
Ax
第一章 矢量分析
斯托克斯定理：矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭 合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 数学表示如下：
( A) d S A d l
S c
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量，都是 描绘矢量场性质的重要物理量，数学上称为 积分量。
得到数量场u在点M(1, 1, 2)处的剃度:
1 u(1,1,2) e x e y e z 2
第一章 矢量分析
1 l方向的方向余弦为: cos 2 1 22 22 3 2 2 cos 2 2 2 3 1 2 2 2 cos 12 2 2 2 2 3 2
第一章 矢量分析
总复习
第一章 矢量分析
麦克斯韦方程组: 全电流定律(1)
磁通连续性原理(3)
法拉第电磁感应定律(2) 高斯定理(4)
D H J t
D l H d l S J t d S
B E t
5 求下列矢量场的旋度： （1） A=exx2+eyy2+ez3z2 （2） A=exyz+eyxz+ezxy
第一章 矢量分析
一、标量场φ(x, y, z)的等值面方程为：
( x, y, z ) const.
例1-1 求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面
方程。
解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场 值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 :
第1章 矢量分析
在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子 哈米尔顿算子，是一个微分 哈米尔顿算子 符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A 的点积 点积为一标量 标量函数。 点积 标量 散度的表达式可以写为: 散度 直角坐标系
∂ ∇ ⋅ A = ax + ay ∂x ∂Ax = ax + ay ∂x ∂ ∂ + a z ⋅ (a x Ax + a y Ay + a z Az ) ∂y ∂z ∂Ay ∂Az + az ∂y ∂z
Φ = ∫ A ⋅ dS = ∫ A cos θ dS
S S
1.2.2. 矢量场的散度 (1) 散度的定义 设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P点在内 的闭合曲面S，设S所限定的体积为∆V，当体积∆V以任 意方式缩向P点时，取下列极限:
∆V ndS ∆V
如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处 的散度，记作
∫
l
∫
S
•斯托克斯定理的几何意义 矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢 量沿围绕此面积曲线边界的线积分。
1.4 标量的方向导数和梯度 1.4.1标量的方向导数和梯度 等值面 一个标量场u可以用标量函数来表示。在直角坐标系中， 可将u表示为 u = u ( x, y , z ) u = u ( x, y , z ) = C 令 C为任意常数。该式在几何上一般表示一个曲面，在 这个曲面上的各点，虽然坐标(x, y, z)不同，但函数值 相等，称此曲面为标量场u的等值面 等值面。 等值面 等值线 对于由二维函数v=v(x,y)所给定 的平面标量场，可按v(x, y)=C得 到一系列不同值的等值线。
第一章 矢量分析
本章重点及知识点 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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Bx By Bz
=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)
第一章 矢量分析
三、矢量函数的导数与积分
矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时 间的函数。
1、矢量函数：若A的每个分量都是变量t 的函数，则
称A是变量t 的矢量函数。
2、矢量函数的导数：若极限 limA(tt)-A(t) 存在，则
第一章 矢量分析
C
en O eB
eA
B
A
(a)
C＝ A× B
B A
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
第一章 矢量分析
矢量积又称为叉乘(Cross Product)，如果两个 不为零的矢量的叉乘等于零，则这两个矢量 必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量 的叉乘一定等于零。矢量的叉积不服从交换 律，但服从分配律，即
2） 矢量积（矢量的叉乘） 任 意 两 个 矢 量 A 与 B 的 矢 量 积 （ Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两 个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其 方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3 所示，记为 C=A×B=enAB sinθ en=eA×eB （右手螺旋）
坐标变量: x, ye,zx ey ez ey ez
e z exx ey
变量取值范围: y z
单位矢量： （ex, ey, ez ）
任一矢量可表示为：F e xF x e yF y e zF z
位置矢量： rexxeyyezz
d r exd x eyd y ezd z
第一章 矢量分析 面积元： dSx dydz dSy dxdz dSz dxdy
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
1.1 1.2 1.3 1.4 矢量场的通量 1.5 矢量场的环流 1.6 亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
1.1 场的概念和表示法
一、场的概念：
1、场的定义：如果在全部空间或部分空间的每一点，都 对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定 了该物理量的场。 物理系统中某物理量在该区域的一种分布。
A e x A x e y A y e z A z B e x B x e y B y e zB z
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z + B z )
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
第一章 矢量分析
矢量的表示方式
矢量可表示为：A AeA 其中
A 为其模值，表征矢量的大小；
eA
A A
为其单位矢量，表征矢量的方向；
注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E 。教
材上符号即为印刷体。
第一章 矢量分析
一个矢量场在具体坐标系中可以分解为三个分量场。
例如：在直角坐标系中，
A(x, y, z) ex Ax (x, y, z) ey Ay (x, y, z) ez Az (x, y, z)
ex
Ax x
Ax
ex x
ey
Ay x
Ay
ey x
ez
Az x
Az
ez x
ex
Ax x
ey
Ay x
ez
Az x
矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种，它们和一般函
数的积分在形式上类似，所以一般函数积分的基本法则对
矢量函数积分也适用。
第一章 矢量分析
1.2 三种常用的正交坐标系
1.2.1 直角坐标系
x, y,z
其中，Ax(x,y,z) 、Ay(x, y,z)、Az(x,y,z)都是标量场
所以，一个矢量场对应三个标量场
第一章 矢量分析
在直角坐标系中，用单位矢量 e x 、e y 、e z 表征矢量
分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间的一点A(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直 的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。
A+B
A
A-B
B
第一章 矢量分析
1.1.3矢量的乘积
矢量的乘积包括标量积和矢量积。
B
1） 标量积（矢量的点乘）
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
它等于两个矢量的大小与它
们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为
Bcos
A
A·B=AB cosθ
图1-2 标量积
t0
t
称它为矢量函数A=A（t）的导数，记为：
d d A tdA d x t(t)ex+dA d y t(t)ey+dA d z t(t)ez
第一章 矢量分析
在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空 间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的偏导数问题
Ax x(exAx eyAy ezAz)
A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
第一章 矢量分析
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex×ey=ez, ey×ez=ex, ez×ex=ey ex×ex=ey×ey=ez×以表示为
ex
ey
X
ex ey ez
A B Ax Ay Az
第一章 矢量分析
例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关 系式：
ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量 表示为
A·B=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即
A·B=B·A
A·(B+C)=A·B+A·C
第一章 矢量分析
2、标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强）
第一章 矢量分析
3、场的分类 按物理量的性质分：
标量场：被描述的物理量是标量，用一个标量函数
(x,y,z)来描述
矢量场：被描A(述x,y的,z物)来理描量述是矢量，用一个矢量函数
按场量与时间的关系分： 静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。 动态场也称为时变场。
r 从原点指向点A的矢量 称为位置矢量
(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为
rexX +eyY +ezZ
第一章 矢量分析
zZ ez
ex
O ey
X
A(X,Y,Z)
y Y
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
第一章 矢量分析
二、矢量的加法和减法
矢量加、减符合平行四边形法则 ； 矢量的加减法：是两矢量对应坐标分量之和，矢量加 法的结果仍是矢量