第七章 线性变换
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如果说上面 3 个例子给出的都是抽象线性空间上的抽象的线性变换的话，那么下面这个 例子将给出一个具体线性空间上的一个具体线性变换。
例 4 考虑线性空间 P[x], 定义其上一个变换D : P[x] P[x] ，对任意 f (x) P[x],
D f (x) f '(x), 这里 f '(x) 表示多项式 f (x) 的导函数。可以验证，这样定义的变换D 的
对于可逆变换 A , 也像可逆矩阵一样，还可以定义 A m (A 1)m , 特别地，通常规定 A 0 E , 显然它们还都是线性变换，并且满足以下运算规律
A m A k A mk , (A m )k A mk . 但是，需要注意， (A B )k A kB k 一般是不成立的，除非 A B B A .
义 K k k. 容易验证，这样定义的映射 K k :V V 是线性空间V 上的一个线性变换， 常称之为数乘变换，其特点是线性空间V 中每个元素在这个变换下的像都是数 k 与这个元
素作数乘运算的结果。
注 显然，当数 k 0 时， K k K 0 O 即为零变换；当数 k 1 时， K k K 1 E 即为恒等（单位）变换；当数 k 1 时， K k K 1, 其特点是将线性空间V 中每个元素 变成它的负元素，即对于任意 V , 有 K 1 . 我们把这样的变换称为线性空间V 上 的负单位变换，记作 E , 即 K 1 E .
进一步，如果 f (x) am xm am1xm1 a1x a0 P[x], 则同样可以定义线性变换 A 的多项式 f (A ) amA m am1A m1 a1A a0E , 显然它还是线性变换。和方
阵多项式情形一样，关于同一线性变换的两个多项式，它们的乘积也是可交换的Байду номын сангаас即如果另
5） 在 Pmn 中，对任意 X Pmn , A X BXC, 其中 B, C 分别是取定的 m, n 阶方阵； 6） 在 P3 中，对任意 (x1, x2 , x3 )T P3, A (x1, x2 , x3 )T (x1, x1 x2 , x32 )T ; 7） 在 P3 中，对任意 (x1, x2 , x3 )T P3, A (x1, x2 , x3 )T (x1, x1 x2 , x1 x3 )T ; 8） 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x 1); 9） 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x) 1; 10）在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x0 ), 其中 x0 P 是一个固定数。
2. 验证例 1,2,3,4.
3. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 3 中对 xOy 坐标平面的正投影变换，即对于任意 (x, y, z)T 3, 定义 A (x, y, 0)T 3, 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 3 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证 明： A 是 3 上的线性变换，并且 A 4 E .
性质 1.2 A 保持线性组合关系： A (k11 k22 kss ) k1A 1 k2A 2 ksA s ;
性质 1.3 A 保持线性相关性不变，即如果向量组 1,2 ,,s 线性相关，那么向量 组 A 1, A 2 ,, A s 也线性相关。
有 g(A ) blA l bl1A l1 b1A b0E , 那 么 f (A )g(A ) g(A ) f (A ) 总 是 正确的，特别地，有 A f (A ) f (A )A .
习题 1. 判别下列线性空间上的变换 A ，哪些是线性变换，哪些不是，为什么？ 1） 在线性空间V 中，对任意 V , A , 其中 V 是一固定向量； 2） 在线性空间V 中，对任意 V , A , 其中 V 是一固定向量； 3） 把复数域看做复数域上的线性空间，对任意 V , A , 其中 表示 共轭复数； 4） 把复数域看做实数域上的线性空间，对任意 V , A , 其中 表示 共轭复数；
确是 P[x] 上的一个线性变换，通常称之为线性空间 P[x] 上的微商变换。
注 其实，根据数学分析中关于函数求导的有关法则，即[u(x) v(x)]' u'(x) v'(x),
[ku(x)]' ku'(x), 立即可见，上述微商变换是保加法、保数乘运算的。
例 5 考虑闭区间[a, b] 上全体连续实函数构成的集合，记作 C[a,b], 容易验证它构成实
就是这样。 线性变换也可以定义加法，数乘以及乘法运算，分别介绍如下
定义 1.3 设V 是数域 P 上一个线性空间，设 A1, A 2 , A L(V ), k P, （1） A1, A 2 的和 A1 A 2 定义为，对任意 V , (A1 A 2 ) A1 A 2; （2）数 k 与 A 的数乘 kA 定义为，对任意 V , (kA ) k(A ); （3） A1, A 2 的积 A1A 2 定义为，对任意 V , (A1A 2 ) A1(A 2 ). 注 容易验证 A1 A 2 , kA , A1A 2 L(V ), 并且有 A O A ,1A A . 另外， 利用数乘，或者乘法，可以定义一个给定线性变换 A 的负变换如下 定义 1.4 设 A L(V ), 称 (1)A （或者，K 1A (E )A ）为线性变换 A 的负 变换，记作 A , 即 A (1)A K 1A (E )A . 注 显然有 A (A ) O , 另外，利用负变换，又可以定义两个线性变换的减法 定义 1.5 A ,B L(V ), 定义 A B A (B ). 于是有 A A A (A ) O . 最后，读者可以验证，按照定义 1.3 所给出的线 性变换的加法与数乘还满足线性空间定义中的 8 条规则，因此，L(V ) 也构成数域 P 上一个
省略括号。
定义 1.2 设V 是数域 P 上一个线性空间， A ,B L(V ), 如果对任意 V , 都有 A B , 那么称线性变换 A 与B 是相等的，记作 A B , 换句话说，即有
定理 1.1 设V 是数域 P 上一个线性空间， A ,B L(V ), 则 A B V , A B .
注 可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。 类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下
定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂： A 2 A A , A 3 A 2 A , , A m A m1 A (m 2, 3,) ,
定义 1.1 设V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A :V V 满足： 1） 对于任意 , V , 都有 A ( ) A ( ) A ( ); （也称 A 保持加法运算） 2） 对于任意 V , 任意 k P, 都有 A (k ) kA ( ); （也称 A 保持数乘运算） 那么，称 A :V V 是线性空间V 上的一个线性变换。 注 今后用 L(V ) 表示线性空间 V 上全体线性变换构成的集合。换句话说，如果 A :V V 是线性空间V 上的一个线性变换，那么 A L(V ). 另外，当线性变换 A 作用 于仅由一个单独符号表示的向量，如 A ( ), A ( ), 时，在不致引起混淆的情况下，我 们常常也将括号省略而简记作 A , A ,, 其它情况，如 A ( ), A (k ),, 则不能
下面看几个线性变换的例子
例 1 设V 是数域 P 上一个线性空间，对于任意 V , 定义O 0, 这里的 0 是线 性空间V 中那个唯一的零元素。容易验证，这样定义的映射O :V V 是线性空间V 上的 一个线性变换，常称之为零变换，其特点是线性空间V 中所有元素在这个变换下的像都是
线性空间。 本节余下的部分，介绍一下可逆线性变换概念以及线性变换的幂与多项式概念，读者会
觉得，它与我们所学过的方阵的有关概念十分类似，其原因等到下节内容学习过后便知晓了。
定义 1.6 设V 是数域 P 上一个线性空间， A L(V ), 如果存在B L(V ), 满足： AB BA E , 那么称 A 是线性空间V 上的可逆线性变换，并且把B 称为 A 的逆 变换， A 的逆变换也记作 A 1, 即 A 1 B .
数域上一个线性空间，定义其上变换 I : C[a,b] C[a,b], 对任意 f (x) C[a,b], I f (x)
x f (t)dt. a
可以验证，这样定义的变换 I
的确是 C[a,b] 上的一个线性变换。
线性空间V 上的任一线性变换 A 总具有以下简单性质
性质 1.1 A 0 0, A ( ) A ;
零元素。
例 2 设V 是数域 P 上一个线性空间，对于任意 V , 定义E . 容易验证，这 样定义的映射E :V V 是线性空间V 上的一个线性变换，常称之为恒等（或者单位）变 换，其特点是线性空间V 中每个元素在这个变换下的像仍然是它自身。
例 3 设V 是数域 P 上一个线性空间， k( P) 是一个给定常数，对于任意 V , 定
5. 证明性质 1.1, 1.3.
6. 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f'(x), B f (x) xf (x), 其中 f'(x) 是 f (x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
7. 设 A ,B L(V ), 并且 AB BA E , 这里E 为恒等变换，证明：当正整数 k 1 时，有 A kB BA k kA k1.
注 性质 1.3 的逆否命题显然是成立的，即如果向量组 A 1, A 2 ,, A s 线性无 关，那么必有向量组1,2 ,,s 线性无关。
可是，线性变换一般不再保持线性无关性，换句话说，对于线性变换 A , 如果向量组 1,2 ,,s 线性无关，那么向量组 A 1, A 2 ,, A s 未必还线性无关，例如零变换
第七章 线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1 线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系，那么，这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。
§2 线性变换的矩阵
上节知识告诉我们，L(V ) 关于线性变换的加法与数乘也构成数域 P 上线性空间，为了
得到这样的线性空间的维数，我们先介绍线性变换的矩阵概念。
定义 2.1 设V 是数域 P 上一个 n 维线性空间， A L(V ), 1,2 ,,n 是V 的一组 基， 由于 A i V , 因此，可设 A i a1i1 a2i2 anin , (i 1, 2,, n.), 借助形
例 4 考虑线性空间 P[x], 定义其上一个变换D : P[x] P[x] ，对任意 f (x) P[x],
D f (x) f '(x), 这里 f '(x) 表示多项式 f (x) 的导函数。可以验证，这样定义的变换D 的
对于可逆变换 A , 也像可逆矩阵一样，还可以定义 A m (A 1)m , 特别地，通常规定 A 0 E , 显然它们还都是线性变换，并且满足以下运算规律
A m A k A mk , (A m )k A mk . 但是，需要注意， (A B )k A kB k 一般是不成立的，除非 A B B A .
义 K k k. 容易验证，这样定义的映射 K k :V V 是线性空间V 上的一个线性变换， 常称之为数乘变换，其特点是线性空间V 中每个元素在这个变换下的像都是数 k 与这个元
素作数乘运算的结果。
注 显然，当数 k 0 时， K k K 0 O 即为零变换；当数 k 1 时， K k K 1 E 即为恒等（单位）变换；当数 k 1 时， K k K 1, 其特点是将线性空间V 中每个元素 变成它的负元素，即对于任意 V , 有 K 1 . 我们把这样的变换称为线性空间V 上 的负单位变换，记作 E , 即 K 1 E .
进一步，如果 f (x) am xm am1xm1 a1x a0 P[x], 则同样可以定义线性变换 A 的多项式 f (A ) amA m am1A m1 a1A a0E , 显然它还是线性变换。和方
阵多项式情形一样，关于同一线性变换的两个多项式，它们的乘积也是可交换的Байду номын сангаас即如果另
5） 在 Pmn 中，对任意 X Pmn , A X BXC, 其中 B, C 分别是取定的 m, n 阶方阵； 6） 在 P3 中，对任意 (x1, x2 , x3 )T P3, A (x1, x2 , x3 )T (x1, x1 x2 , x32 )T ; 7） 在 P3 中，对任意 (x1, x2 , x3 )T P3, A (x1, x2 , x3 )T (x1, x1 x2 , x1 x3 )T ; 8） 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x 1); 9） 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x) 1; 10）在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f (x0 ), 其中 x0 P 是一个固定数。
2. 验证例 1,2,3,4.
3. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 3 中对 xOy 坐标平面的正投影变换，即对于任意 (x, y, z)T 3, 定义 A (x, y, 0)T 3, 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 3 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证 明： A 是 3 上的线性变换，并且 A 4 E .
性质 1.2 A 保持线性组合关系： A (k11 k22 kss ) k1A 1 k2A 2 ksA s ;
性质 1.3 A 保持线性相关性不变，即如果向量组 1,2 ,,s 线性相关，那么向量 组 A 1, A 2 ,, A s 也线性相关。
有 g(A ) blA l bl1A l1 b1A b0E , 那 么 f (A )g(A ) g(A ) f (A ) 总 是 正确的，特别地，有 A f (A ) f (A )A .
习题 1. 判别下列线性空间上的变换 A ，哪些是线性变换，哪些不是，为什么？ 1） 在线性空间V 中，对任意 V , A , 其中 V 是一固定向量； 2） 在线性空间V 中，对任意 V , A , 其中 V 是一固定向量； 3） 把复数域看做复数域上的线性空间，对任意 V , A , 其中 表示 共轭复数； 4） 把复数域看做实数域上的线性空间，对任意 V , A , 其中 表示 共轭复数；
确是 P[x] 上的一个线性变换，通常称之为线性空间 P[x] 上的微商变换。
注 其实，根据数学分析中关于函数求导的有关法则，即[u(x) v(x)]' u'(x) v'(x),
[ku(x)]' ku'(x), 立即可见，上述微商变换是保加法、保数乘运算的。
例 5 考虑闭区间[a, b] 上全体连续实函数构成的集合，记作 C[a,b], 容易验证它构成实
就是这样。 线性变换也可以定义加法，数乘以及乘法运算，分别介绍如下
定义 1.3 设V 是数域 P 上一个线性空间，设 A1, A 2 , A L(V ), k P, （1） A1, A 2 的和 A1 A 2 定义为，对任意 V , (A1 A 2 ) A1 A 2; （2）数 k 与 A 的数乘 kA 定义为，对任意 V , (kA ) k(A ); （3） A1, A 2 的积 A1A 2 定义为，对任意 V , (A1A 2 ) A1(A 2 ). 注 容易验证 A1 A 2 , kA , A1A 2 L(V ), 并且有 A O A ,1A A . 另外， 利用数乘，或者乘法，可以定义一个给定线性变换 A 的负变换如下 定义 1.4 设 A L(V ), 称 (1)A （或者，K 1A (E )A ）为线性变换 A 的负 变换，记作 A , 即 A (1)A K 1A (E )A . 注 显然有 A (A ) O , 另外，利用负变换，又可以定义两个线性变换的减法 定义 1.5 A ,B L(V ), 定义 A B A (B ). 于是有 A A A (A ) O . 最后，读者可以验证，按照定义 1.3 所给出的线 性变换的加法与数乘还满足线性空间定义中的 8 条规则，因此，L(V ) 也构成数域 P 上一个
省略括号。
定义 1.2 设V 是数域 P 上一个线性空间， A ,B L(V ), 如果对任意 V , 都有 A B , 那么称线性变换 A 与B 是相等的，记作 A B , 换句话说，即有
定理 1.1 设V 是数域 P 上一个线性空间， A ,B L(V ), 则 A B V , A B .
注 可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。 类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下
定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂： A 2 A A , A 3 A 2 A , , A m A m1 A (m 2, 3,) ,
定义 1.1 设V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A :V V 满足： 1） 对于任意 , V , 都有 A ( ) A ( ) A ( ); （也称 A 保持加法运算） 2） 对于任意 V , 任意 k P, 都有 A (k ) kA ( ); （也称 A 保持数乘运算） 那么，称 A :V V 是线性空间V 上的一个线性变换。 注 今后用 L(V ) 表示线性空间 V 上全体线性变换构成的集合。换句话说，如果 A :V V 是线性空间V 上的一个线性变换，那么 A L(V ). 另外，当线性变换 A 作用 于仅由一个单独符号表示的向量，如 A ( ), A ( ), 时，在不致引起混淆的情况下，我 们常常也将括号省略而简记作 A , A ,, 其它情况，如 A ( ), A (k ),, 则不能
下面看几个线性变换的例子
例 1 设V 是数域 P 上一个线性空间，对于任意 V , 定义O 0, 这里的 0 是线 性空间V 中那个唯一的零元素。容易验证，这样定义的映射O :V V 是线性空间V 上的 一个线性变换，常称之为零变换，其特点是线性空间V 中所有元素在这个变换下的像都是
线性空间。 本节余下的部分，介绍一下可逆线性变换概念以及线性变换的幂与多项式概念，读者会
觉得，它与我们所学过的方阵的有关概念十分类似，其原因等到下节内容学习过后便知晓了。
定义 1.6 设V 是数域 P 上一个线性空间， A L(V ), 如果存在B L(V ), 满足： AB BA E , 那么称 A 是线性空间V 上的可逆线性变换，并且把B 称为 A 的逆 变换， A 的逆变换也记作 A 1, 即 A 1 B .
数域上一个线性空间，定义其上变换 I : C[a,b] C[a,b], 对任意 f (x) C[a,b], I f (x)
x f (t)dt. a
可以验证，这样定义的变换 I
的确是 C[a,b] 上的一个线性变换。
线性空间V 上的任一线性变换 A 总具有以下简单性质
性质 1.1 A 0 0, A ( ) A ;
零元素。
例 2 设V 是数域 P 上一个线性空间，对于任意 V , 定义E . 容易验证，这 样定义的映射E :V V 是线性空间V 上的一个线性变换，常称之为恒等（或者单位）变 换，其特点是线性空间V 中每个元素在这个变换下的像仍然是它自身。
例 3 设V 是数域 P 上一个线性空间， k( P) 是一个给定常数，对于任意 V , 定
5. 证明性质 1.1, 1.3.
6. 在 P[x] 中，对任意 f (x) P[x], A f (x) f'(x), B f (x) xf (x), 其中 f'(x) 是 f (x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
7. 设 A ,B L(V ), 并且 AB BA E , 这里E 为恒等变换，证明：当正整数 k 1 时，有 A kB BA k kA k1.
注 性质 1.3 的逆否命题显然是成立的，即如果向量组 A 1, A 2 ,, A s 线性无 关，那么必有向量组1,2 ,,s 线性无关。
可是，线性变换一般不再保持线性无关性，换句话说，对于线性变换 A , 如果向量组 1,2 ,,s 线性无关，那么向量组 A 1, A 2 ,, A s 未必还线性无关，例如零变换
第七章 线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1 线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系，那么，这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。
§2 线性变换的矩阵
上节知识告诉我们，L(V ) 关于线性变换的加法与数乘也构成数域 P 上线性空间，为了
得到这样的线性空间的维数，我们先介绍线性变换的矩阵概念。
定义 2.1 设V 是数域 P 上一个 n 维线性空间， A L(V ), 1,2 ,,n 是V 的一组 基， 由于 A i V , 因此，可设 A i a1i1 a2i2 anin , (i 1, 2,, n.), 借助形